高考数学一轮复习讲义：空间动态问题

空间动态问题突破

空间动态问题，是高考常考题型，常以客观题出现.常见题型有空间位置关系判定、轨

迹问题、最值问题、范围问题等.

题型一空间位置关系的判定

例1（1）（2023・昆明模拟）已知尸，。分别是正方体481cbDi的棱CQ上的动点

（不与顶点重合），则下列结论错误的是（）

A.AB±PQ

B.平面8PQ〃平面/DA4

C.四面体/8P0的体积为定值

D./尸〃平面CDD©

答案C

解析对于A,'：AB±BC,ABtBBi，BCCBB]=B,BC,平面

平面2CG2i，平面5CC/i，C.ABLPQ,故A正确；

对于B,二•平面4094〃平面BCCpBi，平面3P0与平面3CGS重合，

平面AP0〃平面4DD/1，故B正确；

对于C,到平面AP0的距离48为定值，0到的距离为定值，AP的长不是定值，

四面体48尸。的体积不为定值，故C错误；

对于D,:平面/8丛4〃平面CDAG，4PU平面/8名小，

〃平面CDD1G，故D正确.

（2）（多选）己知等边△/3C的边长为6,M,N分别为边NC的中点，将△如W沿AW折

起至△/'MN,在四棱锥/'—MNCB中,下列说法正确的是（）

A.直线〃平面HBC

B.当四棱锥-MNC5体积最大时，平面〃N_L平面

C.在折起过程中存在某个位置使平面HNC

D.当四棱锥T—MNC8体积最大时，它的各顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为

39K

4

答案AB

解析因为MN〃BC,MNQ平面4,BC,3CU平面BC,所以直线〃平面BC,

故A正确；

因为四棱锥-MNC8的底面积为定值，所以当点4,到平面MNC5距离最大时，体积最

大，此时平面MN1平而MNCB,满足题意，故B正确；

对于C,如图，若2NJ_平面NC,则BALL//',又D±MN,AD±MN,A'£>n4D=

D,可知MALL平面HAD,所以HALMN,又MNCBN=N,所以H/_L平面MNCB,

这显然不可能，故C错误；

当四棱锥/'—MNC8体积最大时，平面HMV_L平面MNCB,如图，

71

由/〃3。=一，取5C的中点5则E是等腰梯形MNC5外接圆的圆心，尸是△%,的外

3

心，

作OE_L平面MNC5,连接0G则。9_L平面4,MN,则。是四棱锥—A/NC5外接球的

球心，

且。尸=£>£=¥，/'尸=石，设四棱锥T—MVC8外接球的半径为七则R2=/'产+。尸2

_39

—4,

故球。的表面积为4位?2=39兀故D错误.

思维升华解决空间位置关系的动点问题

⑴应用“位置关系定理”转化.

（2）建立“坐标系”计算.

跟踪训练1（2022・杭州质检）如图，点尸在正方体421cs的面对角线3G上运动,

则下列结论一定成立的是（）

A.三棱锥/—4尸£）的体积大小与点P的位置有关

B.4P与平面/ci相交

C.平面平面48G

D.AP±DiC

答案C

解析对于选项A,匕"=%叱

在正方体中，8cl〃平面441。，所以点尸到平面44Q的距离不变，

即三棱锥P—/小。的高不变，又△44pD的面积不变，

因此三棱锥P—AAQ的体积不变，

即三棱锥A—AXPD的体积与点P的位置无关，故A不成立；

对于选项B,由于2ci〃4Di，平面/CD],2。收平面/C",

所以2cl〃平面NCDi，同理可证24〃平面NCDi，又24nBe1=3,

所以平面24cl〃平面/CDi，因为4PU平面24G，

所以小尸〃平面/CDi，故B不成立；

对于选项C,因为4G_L3。，AiCrLBBi，BDCBBi=B,

所以4G，平面88Q,则小。，氏。；同理小3，周。，

又4cle48=4，所以80_L平面/18G，

又30U平面尸£囱，所以平面平面48G，故C成立；

71

对于选项D,当2与尸重合时，AP与DC的夹角为一,故D不成立.

4

题型二轨迹问题

例2(1)(2023•韶关模拟)设正方体488—4与。01的棱长为1,P为底面正方形/BCD内

的一动点，若△4PG的面积S=；,则动点尸的轨迹是()

A.圆的一部分B.双曲线的一部分

C.抛物线的一部分D.椭圆的一部分

答案D

1/31/3

解析设"是△/七边垢上的高,则S“G=”G「公争所以公：,即点夕

/3/3

到直线NC1的距离为定值L,所以点尸在以直线为轴，以L为底面半径的圆柱侧面上,

33

直线/G与平面既不平行也不垂直，所以点P的轨迹是平面N2CD上的一个椭圆，其

中只有一部分在正方形/BCD内.

(2)如图所示，正方体NBCD—4SGD1的棱长为2,E,尸分别为44i，的中点，M点是

正方形内的动点，若CiM〃平面CDiER则"点的轨迹长度为

答案V2

解析如图所示，取小氏的中点区历2的中点G,连接G77,CXH,GG,EG,HF,可得

四边形EGC01是平行四边形，所以CiG〃A£,又CiGC平面CDpEF,O|£U平面CQEF,

所以CiG〃平面CDiEE同理可得CiH//CF,CXH//平面CDXEF.

因为G8nCiG=G，所以平面GG8〃平面CDyEF.

由“点是正方形4aBi4内的动点可知，若G”〃平面CAEF,则点M在线段G8上，所以

M点的轨迹长度GH=1忏12=母.

思维升华解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法

(1)几何法：根据平面的性质进行判定.

(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算.

⑶特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.

71

跟踪训练2⑴(2022•滨州模拟)如图，斜线段与平面a所成的角为-，8为斜足.平面a

71

上的动点尸满足/尸/8=-，则点尸的轨迹为(

A.圆B.椭圆

C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分

答案B

解析建立如图所示的空间直角坐标系,

设08=04=1,

则3(0,1,0),/(0,0,1),尸(X,%0),

则48=(0/，—1),

4P=(x,y,—1),

所以cos<AB,AP)

拉•，―+俨+12

8-2)2

即X2+^——-=1,

3

所以点尸的轨迹是椭圆.

(2)已知动点尸在棱长为1的正方体的表面上运动，且尸

记点P的轨迹长度为y(r),则人1)+大血)=.

答案3兀

解析如图，当r=l时，点P在正方体表面上的轨迹分别是以/为圆心，1为半径的三个面

上的三段弧，分别为丽，港,4D,

13兀

则大1)=3义］><2兀=万，

当r=时，点尸在正方体表面上的轨迹为在平面421cl上以4为圆心，1为半径的

而,

在平面BpBCCi上为以8为圆心，1为半径的就，

在平面DCGA上为以。为圆心，1为半径的函，

13兀

则人物=3X—X2TI=—,

42

所以人1)+40)=；+彳=3兀.

题型三最值、范围问题

例3(1)如图所示，菱形N3CD的边长为2,现将△/CD沿对角线/C折起，使平面

ACD'，平面/C8,则此时空间四面体/BCD'体积的最大值为()

D'

16735J3D叵

A.-------B.-----C.1

2794

答案A

解析取4C的中点O,连接。'。（图略）.

aa1

设/4BC=a,a£（0,兀），所以O=AD'cos-=2cosS^=-X2X2sina=2sina.

22ABC2

,14aSaa8

因为。'O_L平面45c,所以/四面体=-S&43cX。'O=-sinotcos-=-sin-cos2-=-

3323223

aa\a71'

sin—

2

设sin—,则0W1,V四面体NBCZT=~（^一玲.

8、

设次。=3（，一户），0<?<1,

8

则，（尸3»）,0</<1.

所以当0</<彳-时，f（o>o,大。单调递增；

当g</<i时，/（0<0,八。单调递减.

所以当时，黄。取得最大值3f.

所以四面体N5C。'体积的最大值为"走.

27

（2）在三棱锥P—N8C中，PA,AB,NC两两垂直，。为棱PC上一动点，PA=AC=2,AB=

3.当BD与平面尸/C所成角最大时，AD与平面网C所成角的正弦值为.

答案十「

解析因为在三棱锥尸一4BC中，PA,AB,NC两两垂直，所以平面尸/C,则AD与平

AB3

面P4C所成的角为tan//D8=——=—,当/。取得最小值时，/4D8取得最大

ADAD

值.在等腰Rt△尸/C中，当。为尸C的中点时，取得最小值.

以/为坐标原点，AB,AC,4P所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角

坐标系,

'\£_

则/(0,0,0),5(3,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),£>(0,1,1),

则4D=(0,l,l),PC=(0,2,-2),5C=(-3,2,0).

设平面PBC的法向量为"=(x,y,z),

n-PC=Q,

n-BC=Q,

2z=0,

【一3x+2y=0,令尸3,得修=(2,3,3).

nAD3+3

因为cos5,4D〉

所以/。与平面尸8c所成角的正弦值为耳I

思维升华在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小卜角的范围等问题，常用的思

路是

(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即

可求解.

(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求

目标函数的最值.

跟踪训练3(1)在四面体/BCD中，若4D=DB=4C=CB=1,则四面体体积的最大

值是()

答案A

解析如图，取的中点E,连接CE,DE,

c

设A8=2x(0<x<l),则CE=DE=d、一x2,

当平面N2C_L平面48。时，四面体/BCD的体积最大,

111

此时，四面体45cZ)的体积/=]—X—X3

33

1

所以厂=――%2,令7=0,得

3

当xe0,时，忆单调递增，当xd时，%单调递减.故当x,忆有最大值,

一27'

(2)如图，正方体/BCD—//1CQ1的棱长为1,E,尸分别为SG，GA的中点，尸是底面

481aoi上一点.若"〃平面8EF,则N尸长度的最小值是,最大值是

答案或叵

42

解析如图，取45的中点N,45的中点连接NM,AN,MN,NE,BQi，

在正方体49。一421GD1中，E,N分别为昂G，的中点,

：.EN//AiBi//AB,EN=AB=AB,

：.四边形ABEN为平行四边形，

J.AN//BE,

火ANQ平面BEF,BEU平面BEF,

...NN〃平面BEF,

•：E,二分别为々Ci,GA的中点,

由中位线性质知所〃BQi，

同理可知MN〃丛。1，

：.MN//EF,

又MNQ平面BEF,EFU平面BEF,

.♦.MV〃平面BEF,

又ANCMN=N,AN,MNU平雨4MN,

.•.平面/儿W〃平面BEF,

•.•尸是底面N/iCQi上一点，且4P〃平面

:.PGMN,

在等腰△/胸中，当/P的长度最大时，尸在M点或N点,

即AP=AM=AN=P+

mm(|

3J2

‘^APmm=~

课时精练

1.如图，在正方体ABCD一中，点M是平面4SC01内一点，且2M〃平面

ACD„则tan/DMJi的最大值为（）

答案D

解析因为当M在直线4cl上时，都满足3M〃平面NCDi，

DDiDDi

所以tanZDMDr当MD、最小时，tan/DM?i取得最大值，此时tan/DA®i

MD\冢

-y[2.

2.（多选）如图，在长方体/BCD—42CQ1中，点E,尸分别是棱台8上的动点（异于

所在棱的端点）.则下列结论正确的是（）

A.在点尸运动的过程中，直线厂G可能与NE平行

B.直线NG与所必然异面

C.设直线NE,/尸分别与平面4SCQ1相交于点尸，Q,则点Ci可能在直线尸。上

D.设直线4F分别与平面45。功相交于点P,Q,则点。一定不在直线P0上

答案AC

解析在长方体N8C。一中，AB=CQi，DDi=BBi，BXCX=AD,连接ACX,

EF,

当点E,尸分别是棱DDi,ABi的中点时，

由勾股定理得/£=J/D2+0£2,CjF=Jci^+BiF2,

故AE=GF,

同理可得/尸=GE,

故四边形AECXF是平行四边形，

所以在点尸运动的过程中，直线可能与NE平行，/。1与£尸相交，A正确，B错误；

以Ci为坐标原点，CQi，Ga,GC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间

直角坐标系，

则当点£,尸分别是棱8周中点且几何体/BCD—48CQ1为正方体时,

设棱长为2,延长小，交于点延长4S交于点N,连接MN,

则C1(O,O,O),M(2,-2,0),N(—2,2,0),

则满=(2,-2,0),记=(2,—2,0),

则府=而,

又两向量有公共点G,

所以G，M,N三点共线，

故点G可能在直线P。上，C正确，D错误.

3.（2023・广州模拟）点P为棱长是2套的正方体ABC。一的内切球。球面上的动点,

点M为SG的中点，若满足。尸，则动点P的轨迹的长度为（）

A.兀B.2兀C.4兀D.20兀

答案C

解析根据题意知，该正方体的内切球半径为7=石，如图.取331的中点N,连接CN,

则CAaBM,；.CN为DP在平面SGCS中的射影，.•.点尸的轨迹为过。，C,N的平面与

内切球的交线，

D,C,

Ai

AB

:正方体48CD—N/iCpDi的棱长为26，

二截面圆的半径为2,

二点P的轨迹的长度为2兀义2=4兀

4.（多选）如图，在等腰Rt4/BC中，BC=2,ZC=90°,D,£分别是线段N8,NC上异于

端点的动点，且DE〃BC,现将△/DE沿直线DE折起至△/'DE,使平面H平面

BCED,当。从3滑动到”的过程中，下列选项中正确的是（）

A./⑷D8的大小不会发生变化

B.二面角/'—8D—C的平面角的大小不会发生变化

C.三棱锥T—E8C的体积先变小再变大

D.A'8与DE所成的角先变大后变小

答案AB

解析设/'D=a,则。2=2渡一°,A'£=?，EC=2-、a,BO+CEZUBE1,A'炉=

A'D2+BD2~A'B21

A'E^+BE2,COSZA'DB=-------------------=一一是定值，；./A'的大小不会发生

2BDA'D2

变化，故A正确；

由三垂线法作出二面角—8。一C的平面角，可知其大小为定值，故B正确；设4,E=

x,则CE—2—x(0<x<2),则%三梭傕⑷-BCE=%三樽隹B-卬CE~~^~BCCE-A'E——(2—x)x—j(2x—

x2)(0<x<2),

由二次函数的单调性，可知厂先变大后变小，故C错误；A'2与所成的角先变小后变

大，故D错误.

5.在空间直角坐标系。孙z中，正四面体P—4BC的顶点/,8分别在x轴、y轴上移动.若

该正四面体的棱长是2,则的取值范围是()

A.[y[3~1>-y3+1]B.[1,3]

C.[73-1,2]D.[1,73+1]

答案A

解析如图所示，若固定正四面体尸一/3C的位置，则原点。在以N2为直径的球面上运

动.

设的中点为则PMfp—36,所以原点。到点P的最小距离等于尸以减去球M

的半径，最大距离是加上球"的半径，所以退一即|。尸|的取值范围是

[A/3-1,V5+1].

6,已知正四面体。一48C,点£,尸分别为棱CD,NC的中点，点M为线段所上的动点,

设EM=x,则下列说法正确的是(

A.直线ZX4与直线M2所成的角随x的增大而增大

B.直线N与直线M3所成的角随x的增大而减小

C.直线DA/与平面48。所成的角随X的增大而增大

D.直线DM与平面48。所成的角随x的增大而减小

答案D

解析因为E,尸分别为DC,NC的中点，所以斯〃。4所以直线。/与直线”3所成的角

等于直线EF与2”所成的角.

在等腰△AEF中，直线EF与卸0所成的角随着x的增大先增大，再减小，当“运动到EF

中点时取到最大值，故A,B选项说法错误；

d

设〃r点到平面N8D的距离为d,直线DMr与平面NAD所成的角为明则sina=—.因为

MD

EF//AD,EF(t平面4BD,/DU平面

所以£F〃平面/瓦九所以随着x的增大，“保持不变，儿。在增大，所以sina的值在减小,

即a随着x的增大而减小，故C选项说法错误，D选项说法正确.

7.(多选)如图，已知正方体/BCD—4氏。。1的棱长为4,M为DA的中点，N为4BCD所

在平面内一动点，则下列命题正确的是()

71

A.若与平面48CD所成的角为-，则点N的轨迹为圆

4

B.若MV=4,则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2兀

C.若点N到直线2用与到直线。C的距离相等，则点N的轨迹为抛物线

71

D.若"N与所成的角为-，则点N的轨迹为椭圆

3

答案AC

解析如图所示，对于A,根据正方体的性质可知，M)_L平面48c£),斩以/MND为MN

7111

与平面45CD所成的角，若/MND=-,则。N=Z)M=—Z)Di=-X4=2,所以点N的轨迹为

422

以。为圆心，2为半径的圆，故A正确；

对于B,在RtZXMDN中，DN=dMN2—MD?=弋42—»=,取A/D的中点E,连接PE,

1l

因为P为九W的中点，所以PE〃DN,且PE=三＞N=6'因为DNLED,所以P£_LED,即

点尸在过点E且与DDi垂直的平面内，又尸£=退，所以点P的轨迹为以石为半径的圆，

其面积为兀•（、/1）2=3兀，故B不正确；

对于C,连接A®,因为ABi，平面4BCD,所以所以点N到直线2氏的距离为

NB,因为点N到点2的距离等于点N到定直线CD的距离，又5不在直线CD上，所以点N

的轨迹为以3为焦点，C。为准线的抛物线，故C正确；

对于D,以。为坐标原点，DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间

直角坐标系，

则/(4,0,0),5(4,4,0),。1(0,0,4),设N(x,j,0),

则/8=(0,4,0),DiN=(x,y,—4),

71-*---->■71

因为Z)iN与48所成的角为］所以|cos(AB,DiN)|=cos

4y13y2x2

所以丁=〒=一，整理得上一一=1，所以点N的轨迹为双曲线，故D错误.

4y/x2+y2+1621616

8.如图，在四棱锥尸一43CD中，顶点尸在底面的投影。恰为正方形/8CZ）的中心，且48=

JL设点M,N分别为线段尸D,P。上的动点，已知当/N+MN取最小值时，动点M恰为

尸。的中点，则该四棱锥外接球的表面积为（）

9兀16K25兀64兀

A—B.---C.---D.—

2349

答案B

解析如图，在PC上取点AT,使得，连接W,则N,AN+MN=

AN+M'N,

则当/,N,M'三点共线时，AN+M'N最小，为AM',当_LPC时，AM'取得最

小值，即NN+MW'的最小值.

因为此时〃恰为电）的中点，所以为PC的中点，所以尸/=/C=2,因此尸。=，&2―/。2

易知外接球的球心在四棱锥内部，

设外接球的半径为r