函数的图像、函数的零点（八大题型+模拟练）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

专题09函数的图像函数的零点（八大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01画函数的变换图像

♦题型02识别函数的图像

♦题型03函数图像变换的应用

♦题型04求函数的零点及个数

♦题型05二分法求函数的零点

♦题型06根据函数的零点求参数

♦题型07函数零点的其他应用

♦题型08补函数的应用（一）：几类不同增长的函数模型,函数的实际应用

♦题型01画函数的变换图像

L（2024高三・全国•专题练习）作出下列函数的图象：

X3

（1）kn；

（3）,y=|log2x-l|；

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【分析】⑴去绝对值化简成分段函数，画出图象即可.

（2）原式变形为y=l+',先作出的图象，再结合图象变换，即可得出结论.

x-1X

⑶先作出y=bg2x的图象，结合图象变换，即可得出结论.

x2,x>0

【解析】（1）首先要化简解析式，y=

-x2,x>0

利用二次函数的图象作出其图象，如图①所示.

』Hl

33

⑵原式变形为y=l+—先作出歹的图象，再将其图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位,

x

即得如图②所示.

图2

⑶先作出了=IOg2X的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留X轴上方的部分，将X轴下方的图象翻折

到X轴上方来，即得y=|log2X—1］的图象，如图③所示.

【点睛】本题主要考查了绝对值函数图象的画法，关键是化为分段函数或利用图象变换来画图，属于中档

题.

♦题型02识别函数的图像

2

2.(23湖南岳阳•模拟预测)函数尸二的图象为()

【答案】D

【分析】利用特殊点法与图象平移即可得解.

22

【解析】因为—,所以当x=0时，y=--=2,故排除ABC,

1-XL-X

222

又V—=——；的图象可由函数>=--的图象向右平移一个单位得到，则D正确.

1-xx-\X

故选：D.

1

3.(2024•湖北•模拟预测)函数/(x)=e，_/-lnx2的图象大致为()

【分析】根据x<0时/(无)的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.

_1_ex-cx-2In(-x),x<0

［解析】/(x)=e^-e"-lnA-2

e"-cx-21nx,x>0

因为当x<0时，y==—//=—21n(—x)都为增函数，

所以，y=e，-e-21n(r)在(一°°，°)上单调递增，故B，C错误;

又因为/(一,二？—"-ex-Inx2

所以/(x)不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.

故选：A

4.（2024•宁夏固原•一模）已知函数/（%）的部分图像如图所示，则/（力的解析式可能为（）

A・=WB./（力=送

U小）=2D」（上后

【答案】A

【分析】利用“X）在（1,+8）上的值排除B,利用奇偶性排除排除C,利用/（%）在（1,+动上的单调性排除D,

从而得解.

【解析】对于B,当x>l时，f（x}=-———,易知行-片”>0,3-4x<0,

I'3-4x

则y（x）<0,不满足图象，故B错误；

33

对于C,〃x)=,定义域为U2,

4国-3一„454

又"一无）=：,T-」X\：；J=疗T-LXTJ，则〃x）的图象关于歹轴对称，故c错误;

对于D,当X>1时，/（x）=TT7=—r=1+—r，

|x-1x-1x-\

由反比例函数的性质可知，/（X）在（1,+8）上单调递减，故D错误；

检验选项A,=一y满足图中性质，故A正确.

故选：A.

♦题型03函数图像变换的应用

5.(2024・四川南充•二模)已知函数/(x)=g,则函数>=/(x-l)+l的图象()

A.关于点(U)对称B.关于点(-1」)对称

C.关于点(-1,0)对称D.关于点(1,0)对称

【答案】A

【分析】

首先判断函数/(x)=；为奇函数，再根据函数平移规则判断即可.

【解析】函数=j的定义域为{刈"0},又/(r)=4=_/(x),

所以/(x)=:为奇函数，则函数“X)的图象关于原点(0,0)对称，

又丁=/(X-l)+l的图象是由/(x)=j的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到,

所以函数y=/(x-i)+i的图象关于点(草)对称.

故选:A

6.(22-23高二上•河南•阶段练习)直线2G+如-2=0(a>0力>0)过函数/(司=工+—二+1图象的对称中心,

X—1

则？4+;1的最小值为()

ab

A.9B.8C.6D.5

【答案】A

【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得了(x)的对称中心，从而得到。+6=1,再利用基本不等

式"1”的妙用即可得解.

【解析】函数f(x)=x+工+1=无一1+工+2的图象，

x-lX-]

可由y=x+^的图象向右平移1个单位，再向上2个单位得到，

X

又丫=*+，的定义域为(-e,0)U(0,+oo),-x+^-=-fx+-\

所以y=x+，是奇函数,则其对称中心为(0,0),

X

故/(X)的对称中心为(1,2),所以2a+26-2=0,即a+b=l,

所以一+—=(°+6)—+—=5+―+—>5+2./-----=9,

ab\ab)ab\ab

当且仅当竺=*,即a=26=:时，等号成立，

ab3

所以之4+：1的最小值为9.

ab

故选：A.

7.(2022高三・全国•专题练习)已知二次函数/(x)的图象的顶点坐标是(2,2),且截工轴所得线段的长度是

4,将函数的图象向右平移2个单位长度，得到抛物线y=g(x),则抛物线y=g(x)与了轴的交点是

()

A.(0,-8)B.(0,-6)C.(0,-2)D.(0,0)

【答案】B

【分析】利用二次函数的性质，结合待定系数法求得了(x),再利用平移的特征求得g(“，从而得解.

【解析】因为二次函数/(x)的图象的顶点为(2,2),

故〃X)的对称轴为直线x=2,

又/(x)的图象截x轴所得线段的长度是4,

所以/(x)的图象与x轴的交点坐标为(0,0)和(4,0),

设〃x)=a(尤-2)2+2(“彳0),将点(0,0)代入得。(-2y+2=0,解得。=-；,

19

所以/■(X)=-5(X-2『+2,

因为g(x)的图象为/(x)的图象右移2个单位得到的，

所以g(x)=/(x_2)=Tx-2_2y+2=_g(x_4y+2,

19

令x=0,贝iJy=g(0)=_/(O_4)~+2=_6,

所以g(x)与了轴交点生标为(0,-6).

故选：B.

8.(23-24高一上•河南南阳•期末)已知函数〃x)的定义域为(1,+⑹,且满足/(3，+l)=x,xeR,将/(x)

的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g("的图象.

⑴分别求/(x)与g(x)的解析式;

⑵设函数为(x)=［g(x)f+机g.),若g)在区间［1,&］上有零点，求实数机的取值范围.

【答案】⑴/(x)=log3(x-l)(x〉l)，gW=log3x+l(x>0)

9

⑵_6，T

o

【分析】(1)利用换元法求得〃X)的解析式，根据图象变换的知识求得g(x)的解析式.

(2)先求得力(x)的解析式，然后利用换元法，根据根据函数的零点与方程的解、分离参数法、对钩函数的

性质求得切的取值范围.

【解析】⑴令3*+l=f,xeR,pjij?e(l,+co),x=\og3(t-I),

所以/(0=log3«T)，则/(x)=log3(x-l)(x>l).

由题意可得，gM=f(^+l)+l=log3(x+l-l)+l=log3x+l(x>0).

22

(2)/z(x)=(log3x+l)+m(log3x+l)=(log3x+l)"+w(21og3x+l).

令”=logs无，当xe工行］时，0,-,

函数/7(X)有零点等价于关于〃的方程("+1)2+加(2〃+1)=0在0,；上有解.

11—I

令2n+1=〃，则〃£[1,2],n=----,

2

所以，-3I/2+2K+1

=UH---1-2

2〃+1u4〃4(u

由双勾函数的单调性可知，

函数加=-；/+;+2］在［1,2］上单调递减，

当〃=2时，该函数取得最小值，即加mm=—x12+g+2］=T

当"=1时，该函数取得最大值，即％出=-2］+；+2)=-1,

9-

因此，实数机的取值范围为-g,T.

O

【点睛】利用换元法求函数的解析式，要注意函数的定义域在求解过程中的变化.求解函数的零点问题，可

转化为方程的根来进行研究.如果零点问题含有参数，则可以考虑分离参数法、构造函数，转化为值域问题

来进行求解.

♦题型04求函数的零点及个数

9.(2023高三•全国•专题练习)已知指数函数为/'")=4，，则函数>=〃x)-2向的零点为()

A.-1B.0

C.1D.2

【答案】C

【分析】根据给定条件，解指数方程即可作答.

【解析】函数/(x)=4*,由〃x)-2i=0,即4，一2小=0,整理得2、(2工-2)=0,解得无=1,

所以函数>=/(x)-2㈤的零点为1.

故选：C

10.(2023・陕西西安•模拟预测)函数〃x)=l-lg(3'+2)的零点为()

A.logs8B.2C.log37D.log25

【答案】A

【分析】根据零点的定义即可求解.

【解析】令/(x)=l-lg(3*+2)=0,得3*+2=10,贝h=1(^8.

故选：A

11.(2024高三・全国•专题练习)函数/(x)=2x+x—2的零点个数是()

A.0B.1

C.2D.3

【答案】B

【解析】

解析：f(x)=2xln2+l>0,所以/(x)在R上单调递增，f(0)=~1,/(I)=1,故函数的零点个数

为1.故选B.

Y2y_7r<Q

,,'.二零点个数为()

{-1+lnx,x>0

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】根据零点的定义计算即可.

【解析】由/(司=0得：

+x-*2=01—1+In尤=0,

解得％=-2或%=0.

因此函数共有2个零点.

故选：B.

13.(2024•广东湛江•二模)已知函数/'(x)=12,—“-a,g(x)=X?—4忖+2—a,则()

A.当g(x)有2个零点时，〃x)只有1个零点

B.当g(x)有3个零点时，f(x)有2个零点

C.当〃x)有2个零点时，g(x)有2个零点

D.当/(无)有2个零点时，g(x)有4个零点

【答案】D

【分析】作出函数了=忙-1|,了=尤2-4国+2图象，两个函数的零点个数转化为它们的图象与>的图象

的公共点的个数，结合图象可得答案.

【解析】两个函数的零点个数转化为图象与歹=。的图象的公共点的个数，

作出了=归-1|,>-4同+2的大致图象，如图所示.

由图可知，当g(x)有2个零点时，/(x)无零点或只有1个零点；

当g(x)有3个零点时,/(x)只有1个零点;

当/'(x)有2个零点时，g(x)有4个零点.

14.(2024・全国•模拟预测)函数=2sin(2x+0[-]<°<曰的图像关于点仁,0)中心对称,将函数

的图像向右平移5个单位长度得到函数g(x)的图像，则函数g(x)在区间卜兀,对内的零点个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】正弦函数的图像与性质、三角函数图像的平移变换

【解析】••.函数"X)的图像关于点中心对称，.•./(5]=2sin[[L+，=O,.•・亨+O=

=,则/(x)=2sin12x+|^.

将函数的图像向右平移方个单位长度得到函数g(x)=2sin(2x-「的图像，

令2x-1=E,LeZ,得x=g+"，左eZ,.,.函数g(x)在区间[-兀，兀]内的零点有x=-y户=-2,尤=:，

3626363

共4个.

故选：D.

♦题型05二分法求函数的零点

15.(2023高三•全国•专题练习)用二分法求函数/(x)=ln(x+l)+x-l在区间(0,1)上的零点，要求精确度

为0.01时，所需二分区间的次数最少为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】由于长度等于1区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过〃(〃eN*)次操作后,

区间长度变为《，若要求精确度为0.01时则《<0.01，解不等式即可求出所需二分区间的最少次数.

【解析】因为开区间(。,1)的长度等于1，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，

所以经过〃(〃eN*)次操作后，区间长度变为一，

<0.01,解得“27,且“eN*,

故所需二分区间的次数最少为7.

故选：C.

16.(2019高三・全国•专题练习)以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是

【答案】c

【分析】根据零点的存在定理及二分法分析各选项的函数图象，即可得到答案.

【解析】根据二分法的思想，函数/（X）在区间［。向上的图象连续不断，且伍）<0,即函数的零点

是变号零点，才能将区间（。，6）一分为二，逐步得到零点的近似值.

对各选项的函数图象分析可知，A,B,D都符合条件，

而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点.

故选：C.

♦题型06根据函数的零点求参数

17.（23-24高三上•浙江绍兴•期末）已知命题P：函数/（x）=2x3+x-a在0,2］内有零点，则命题P成立的

一个必要不充分条件是（）

A.3<a<18B.3<。<18C.a<18D.a>3

【答案】D

【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在性定理列式求出。的取值范围，结合必要不充分条件的意义判

断即得.

【解析】函数/（xhZd+x-a在R上单调递增，由函数/（x）=2x3+x-a在（1,2］内有零点，

得【二1Q、八，解得3<。418,即命题p成立的充要条件是3<。<18，

显然3<aV18成立，不等式3Wa<18、3<a<18>a<18都不一定成立，

而3<aW18成立，不等式恒成立，反之，当。上3时，3<。418不一定成立，

所以命题P成立的一个必要不充分条件是«>3.

故选：D

18.(2023高三•全国•专题练习)函数〃幻=%・2。质-2在区间(1,2)内有零点，则实数后的取值范围是.

【答案】(0,3)

7

【分析】根据题意将问题转化为>=左与g(x)=2;4,xe(1,2)的图象有交点，再由g(x)在(1,2)上递增,

X

可求得结果.

2

【解析】令/⑴=0,贝!lx-2=0,即左=2'——,

x

2

即尸左与ga)=2'——,x£(l,2)的图象有交点，

X

因为丁=2、和y=—-在(1,2)上递增，所以g(x)=2——在(1,2)上递增，

所以g(l)<g(x)<g(2),即0<g(x)<3,

所以0<左<3,

即实数人的取值范围是(0,3),

故答案为：(0,3)

19.(22-23高三•全国•课后作业)已知函数f(x)=20.3一*-X的零点(函左+1),keZ,则斤=.

【答案】2

【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理判断零点的范围，即可得答案.

【解析】因为函数夕=3一，为R上单调减函数，

故函数〃x)=20-3T-x为R上单调减函数，

X/(2)=20-3^-2=y-2=->0,/(3)=20-3^-3=--3<0,

故〃尤)=203*-尤在(2,3)上有唯一零点，

结合题意可知左=2,

故答案为：2

20.(22-23高三•全国•对口高考)方程-2=0在区间口,5］上有解，则实数。的取值范围为,

-23"

【答案】-y,l

【分析】根据〃尤)=/+办-2在区间［1,5］端点的正负列式求解即可.

【解析】考查/(切=/+"-2,因为〃0)=-2<0,且〃x)开口向上,

故/(无)在区间口,5］上最多有一个零点，结合零点存在性定理可得，若方程/+⑪-2=0在区间工5］上有解,

〃1)4。l2+a-2<0

则《，解得

"052+5a-2>0T』

23

故答案为：-不」

21.(2024•全国•模拟预测)若不等式/(x)>0或/(x)<0只有一个整数解，则称不等式为单元集不等式.已

知不等式.(工+1)2一|10氏刈+1>0为单元集不等式，则实数。的取值范围是.

【答案】［：，0

【分析】不等式转化为hg2M<a(x+l『+l，引入函数〃"=|唾炉|,g(x)=a(x+l『+l,分类讨论作出

函数图象，利用数形结合思想求解.

［解析】根据题意可转化为满足hg2xl<。(X+以+1的整数X的个数为1.

令〃x)=|log2x|,g(x)=a(x+l『+l,

当a>0时，作出函数f(x)=|k)g2H和g(x)=a(x+l)-l的图象，如图所示,

数形结合得，/(x)<g(x)的解集中整数的个数有无数多个，不符合题意；

当。=0时，g(x)=l,所以110gH<1,解得g<x<2,只有一个整数解x=l,

所以。=0符合题意；

当”0时，作出函数/'(x)=|log2x|和g(x)=a(x+l)-l的图象，如图所示,

fg⑴>0

要使log/<a(x+l)2+1的整数解只有一个,只需满足⑵,

「4〃+1〉01

即八C1‘结合可得一:<。<0・

［l>9a+l4

综上所述，实数〃的取值范围是.

故答案为：

【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：

(1)转化为函数最值问题，利用导数解决；

(2)转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题；

(3)参变分离法，结合函数最值或范围解决.

♦题型07函数零点的其他应用

22.(23-24高三上,山东威海,期末)已知函数J=/(x)的图象是连续不断的，且/(x)的两个相邻的零点是1,

2,则“九e(l,2),〃々)>0"是“也£(1,2),2/>0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】结合函数的单调性，由充分必要条件的判断方法求解即可.

【解析】解：由题意知，/(1)=/(2)=0,对任意xe(l,2)J(x)wO,

而函数V=的图象是连续不断的，

由加e(l,2),f(xo)>O,可得Vxe(l,2),/(x)>0,充分性成立，

反之Vxe(l,2),/(x)>0,显然可推出设e(l,2),/(x0)>0,必要性成立，

故”叫«1,2),/g)>0"是"Vxe(l,2),〃幻>0”的充要条件，

故选：C

23.(2020•江西赣州•模拟预测)设函数/(x)=e'+“x-l)+6在区间［0,1］上存在零点，则/+/的最小值

为()

A.eB.yC.7D.3e

【答案】B

【分析】设/为在［。,口上的零点，可得e'+a(-l)+6=0,转化为点(。))在直线(…l)x+y+e'=0上,

2zIt

根据力+从的几何意义，可得J+'u:令g(f)=,［2,，利用导数求得函数的单调性和最值，

(7-1)2+1(f-1)2+1

即可得答案.

【解析】设/为/(幻在［0,1］上的零点，则e'+a«-l)+6=0,

所以(f-l)a+6+e'=0,即点(。泊)在直线Q-l)x+y+e'=0,

又表示点(。⑼到原点距离的平方,

则，/+万之

II,即a1+b2>

(If+1

e2z202，(d+2-2£)—e2，(2/-2)2e2,(?2-3/+3)

令g«)=可得g'")=

f+1(t2+2-2t)2(7+2-21)2

因为e?'>0,t2-3Z+3>0,

所以g'«)>0,

可得g⑺在［0,1］上为单调递增函数，

所以当/=0是，g(/)mm=g(0)=g，

所以/+/2/即/+〃的最小值为

故选：B

【点睛】解题的关键是根据的几何意义，将方程问题转化为求距离问题，再构造新函数，利用导数

求解，分析、计算难度大，属难题.

24.(2023・湖北武汉•模拟预测)已知不是函数〃x)=4+lnx的一个零点，若占€(1,%),^^伉什⑹,

1-X

贝I」()

A./(Xj)<0,/(x2)<0B.〃%)>0,/(x2)>0

C./(再)>0,/(x2)<0D./(x2)>0

【答案】D

【分析】利用数形结合判定函数值大小即可.

【解析】令〃x)=4+lnx=0.从而有lnx=」；，此方程的解即为函数/(x)的零点.

1-xx-1

在同一坐标系中作出函数>=lnx与/的图象，如图所示.

X-1

由图象易知，」7>ln为，从而In』——故必再+^^—即〃再)<0.

再一1再_1i一再

同理，仁）>0.

故选：D

25.（23-24高三上•黑龙江齐齐哈尔•阶段练习）已知三个函数〃X）=X3+X-3,g（x）=22-1+x-2,

〃（x）=lnx+x-5的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系为（）

A.c>b>aB.a>c>bC.a>b>cD.c>a>b

【答案】D

【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理得出结果.

【解析】因为>=x3,>=22*在R上为增函数，y=lnx在（0,+8）上为增函数，

所以由题知函数“X）,g（x）,〃（x）在各自定义域上都为增函数，又/⑴=-1<0,〃2）=7>0,

••.«e（l,2）;g⑼=-1<0,g（l）=3>0,赤（0,1）；

A（3）=ln3-2<0,/；（4）=ln4-l>0,.-.re（3,4）,

:・c>a>b.

故选：D.

|lgx|-tz,0<x<3

26.（20-21高三上•辽宁大连•阶段练习）已知函数/（x）=1g；6-3<x<6（其中花”若小）的四

4

个零点从小到大依次为再用,无3，尤4，则•的值是（）

1=1

A.16B.13C.12D.10

【答案】C

【分析】根据零点的定义，通过转化法、数形结合思想进行求解即可.

lgx|,0<x<3

【解析】令〃x）=Ona=

lg(6-x)],3<x<6

1gx|,0<x<3

设g(x)=图象如下图所示:

lg(6-x)|,3<x<6

所以有0<X1<1<X2<3<X3<5<X4<6,

且一恒再=lg%=-lg(6-x3)=lg(6-x4)=tz,

因此可得%二10一"/2=1°"，W=6—10一",招=6—10",

4

所以［%=10^+10°+6-10^+6-10"=12,

Z=1

故选：c

♦题型08补函数的应用（一）：几类不同增长的函数模型、函数的实际应用

27.（2024,宁夏吴忠•模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km,经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量。

（单位：L）与速度v（单位：km/h）（0<v<120）的下列数据：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（）

A.2=0.5v+aB.Q=av+b

32

C.Q=av+bv+cvD.Q^k\ogav+b

【答案】C

【分析】作出散点图，根据单调性和定义域即可得解.

【解析】作出散点图，由图可知函数模型满足：第一，定义域为［0,120］；第二，在定义域单调递增且单位

增长率变快；第三，函数图象过原点.

A选项：函数。=05+。在定义域内单调递减，故A错误；

B选项：函数。=0+6的单位增长率恒定不变，故B错误；

C选项：。=狈3+加2+”满足上述三点，故C正确；

D选项：函数。二左1。&"+6在v=0处无意义，D错误.

故选：C

24-

20-

16-

12-

8-

2-

20406080160120140160

O

28.(23-24高三上•福建泉州•期末)函数/(%)的数据如下表，则该函数的解析式可能形如()

X-2-101235

2.31.10.71.12.35.949.1

A./(%)=左〃国+6

B.f^x)=kxQx+/?

C.f[x)=k\j^+b

D./(x)=A:(x-1)2+b

【答案】A

【分析】由函数/(x)的数据即可得出答案.

【解析】由函数的数据可知，函数/(-2)=〃2)J(-1)=/(1),

偶函数满足此性质，可排除B,D；

当x>0时，由函数/(%)的数据可知，函数/(力增长越来越快，可排除C.

故选：A.

29.(23-24高三上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组

数据：

x/月份23456

7/元1.402.565.311121.30

X

i2

请从模型y=/,模型7=g中选择一个合适的函数模型，并预测小学生零花钱首次超过300元的月份为

（）（参考数据：lg3®0.477,lg2ao.301）

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【分析】利用给出函数的表格法确定自变量与函数值之间的关系，选择出好的模型之后利用解不等式求出

自变量的范围.

1>

【解析】根据表格提供的数据，画出散点图，并画出函数及的图象•

［图象上或附近，因此用y=F这一函数模型•

当,3。。时，2,>9。。，则有"皿。。=翳=普。9.814.

由1VXV12且xeN,x最小值为10.

故选：C.

30.（2024•北京朝阳•二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力/满足公式f=^pCSv2,其中2

是空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数（其大小取

决于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率尸=力.当O，S不变，v比原来提

高10%时，下列说法正确的是（）

A.若C不变，则尸比原来提高不超过30%

B.若C不变，则P比原来提高超过40%

C.为使尸不变，则C比原来降低不超过30%

D.为使尸不变，则C比原来降低超过40%

【答案】C

【分析】由题意可得尸弓i。CSM,。=商2P，结合选项，依次判断即可.

I120

【解析】由题意，f=^PCSv\P=fv,所以尸=gpC”,C=—^,

A：当0S,C不变，v比原来提高10%时，

333

贝q=；pCS(l+10%”=1/9CS(l.l)v=1.33.|pCSv,

所以尸比原来提高超过30%,故A错误；

B：由选项A的分析知，4=1.33.；“^,

所以尸比原来提高不超过40%,故B错误；

2P2Pyp

C:当P，S,P不变，V比原来提高1。％时，CLE^^^R.75.市，

所以C比原来降低不超过30%,故C正确；

D：由选项C的分析知，C比原来降低不超过30%,故D错误.

故选：C

31.(2024•全国•模拟预测)2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任

务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半

径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是(参考数据：

In2«0.693,e0462»1.587)()

A.1.587B.1.442

C.0.587D.0.442()

【答案】C

【分析】利用指数和对数的运算求解即可.

【解析】空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，

设伊=决，

当空间站运行周期增加1倍时，设此时半径为4，

贝1(27)2=松/，

两式相比得：4=,即ln4=ln[111%=次上。0.462,

UJUJR3

故&=e"462。1,587,

R

故圆轨道半径增加的倍数大约是1.587-1=0.587.

故选：C.

32.（23-24高三下•陕西•阶段练习）某种生物群的数量0与时间，的关系近似的符合：。⑺=±吱（其中e

一e+9

为自然对e^2.71828…），给出下列四个结论，根据上述关系，其中错误的结论是（）

A.该生物群的数量不超过10

B.该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小

C.该生物群的数量的增长速度与种群数量成正比

D.该生物群的数量的增长速度最大的时间（2,3）

【答案】C

【分析】对解析式上下同时除以e',结合反比例函数模型可判断A正确；对。（/）=/,求导，0'⑺即为

该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断C错，BD正确

【解析】因为e'>0,牛=10x=J<10,故该生物种群的数量不会超过10,故A正确；

I，e，+9e,+9

10e，O'（ty-9°'_9°

由。（。=步，求导得-，81,显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正

v7e'+9K+刃e/+18+—

e

比，故C错误；

因为e'+之为对勾函数模型，故入。22）八号=1模

ee\e

当且仅当e'=9,即，=ln9时取到等号，

当/e（0,ln9）时生物群的数量的增长速度随时间的增加而增加，当/e（ln9,+s）时生物群的数量的增长速度

随时间的增加减小，即该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；

且当%=ln9e（2,3）时，。'⑺最大，故BD正确.

故选：C.

33.（23-24高三下•甘肃•阶段练习）北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃省临夏州积石山县发生

里氏6.2级地震，震源深度10公里.面对突发灾情，社会各界和爱心人士发扬“一方有难、八方支援”的中

华民族团结互助、无私奉献的大爱精神，帮助灾区群众渡过难关.震级是以地震仪测定的每次地震活动释

放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级.能量E

与里氏震级M的对应关系为lgE=4.8+1.5X,试估计里氏震级每上升两级，能量是原来的（）

A.100倍B.512倍C.1000倍D.1012倍

【答案】C

I分析】借助能量E与里氏震级M的对应关系计算即可得.

【解析】由lgE=4.8+1.5M,设lgE°=4.8+1.5(M+2),

则lgE0-lg£=4.8+1.5(Af+2)-4.8-1.5Af=3,

即lg"=3,"=io3=iooo.

EE

故选：c.

34.（2024•江苏•一模）德国天文学家约翰尼斯・开普勒根据丹麦天文学家第谷・布拉赫等人的观测资料和星表,

通过本人的观测和分析后,于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律一一绕以太阳为焦点的

3

2na，

椭圆轨道运行的所有行星,其椭圆轨道的长半轴长。与公转周期7有如下关系：T=其中M为

4GM

太阳质量，G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星

的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

【答案】B

【分析】根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.

【解析】设火星的公转周期为十，长半轴长为生,火星的公转周期为《，长半轴长为的，

2%3

编①

-JGM

则，北=峪,且

2

返②

4GM

知:尹闺=8,

②T2a2

t

所以，2=4,即：fll=4a2.

故选：B.

35.（23-24高三上•宁夏银川,阶段练习）"开车不喝酒，喝酒不开车."，饮酒驾驶和醉酒驾驶都是根据驾驶

人员血液、呼气酒精含量来确定，经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量值/（x）

随着时间X（小时）的变化规律，可以用函数模型/（x）=U）来拟合，则该人喝一瓶

90•产+14,x>2

啤酒至少经过多少小时后才可以驾车？（）（参考数据：ln30«3.40）

驾驶行为类别酒精含量值（mg/100mL）

饮酒驾驶>20,<80

醉酒驾驶>80

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】可结合分段函数建立不等式90e4，+14<20,利用指数不等式的求解即可.

【解析】对于析x）=40sin印+13,

TT27r

由0Vx<2,则无<彳，函数/（x）先增后减，

当xe1|,21寸，/（x）=2073+13>20,

所以，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其血液酒精含量可能大于20,

[«>2\n-2

则驾车只能在2个小时之后，令90.^,+14<20,即]。'，<」，

115

解得〃>21111522x2.71=5.42,

・"eN*,的最小值为6,故至少经过6小时才可以驾车.

故选：B.

36.（2024・陕西咸阳・模拟预测）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的

=X0cosh

变化遵循兰彻斯特模型：其中正实数X。，天分别为红、蓝两方的

(y[abt^~^^XoSinh(yfabt^

y{t^=%cosh

初始兵力，，为战斗时间；x（。，歹（。分别为红、蓝两方，时刻的兵力；正实数。，b分别为红方对蓝方、蓝

方对红方的战斗效果系数；侬』千和sm』三分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数.规定：

当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为则下

列结论不正确的是（）

A.若X°>环且。=6,则x⑺>了（。（04"）

贝！|T=Ln

B.若乂且。=6,

a

X。b

C.若”＞一，则红方获得战斗演习胜利

Yoa

D.若§＞P，则红方获得战斗演习胜利

YQVa

【答案】C

【分析】对于A根据已知条件利用作差法比较大小即可得出尤（。-了（。=6"（4-天）＞0,对于B,利用A

at.—afat—a/

中结论可得蓝方兵力先为0,即为。=0解得7;对于C和D,若要红方获得战斗演习胜

22

利，分别解出红、蓝两方兵力为0时所用时间4、G，比较大小即可.

尤(。=X。cosh(czf)-西sinh(a。

【解析】对于A,