空间角与空间距离（含探索性问题）（8题型+高分技法+限时提升练）-2025年天津高考数学复习专练（原卷版）

重难点06空间角与空间距离（含探索性问题）

明考情・知方向

三年考情分析2025年考向预测

空间角与空间距离问题一直是天津高考数学必考点

2022年，第17题，考察线面角和二面角

与热点考向。通常出现在解答题第（2）（3）问，难

年，第题，考察二面角和点到平面距离

202317度中等。在高考复习过程中除了掌握空间向量法，还

年，第题，考察二面角和点到平面距离

202417需多锻炼几何法的应用。

重难点题型解读

题型1异面直线所成角

IlaoW

:设异面直线4和4所成角为。，其方向向量分别为Z，；；则异面直线所成角向量求法：

i

i-一

i------U-V

!①COS<U,V>=一一

Iwllvl

i

i

i②COS0=|COS<W,V>|

江若高三工吴滓赢茉丁茬工二,后z五市:百妍巷二靛二5：荔二工五谣市n

为CC1的中点，则直线与E厂所成角的余弦值为（）

2.（23-24高一下•浙江宁波・期中）在正四棱锥尸-ABCD中，PA=AB,M是尸8的中点，则异面直线AM

与30所成角的余弦值为（）

A.叵B.@C.逅D.逅

6336

3.（24-25高二上•天津滨海新•期末）如图，在平行六面体ABC。-A瓦GQ中，4cl与4鼻的交点为

（1）设丽=力,而=方,瓯=八则两*=（用方,5,1表示）；

⑵若BA=BC=BB「且ZABC=ZABBt=ZBtBC=60°,则CM与BA所成角的余弦值为.

4.（24-25高二上•天津和平•阶段练习）在直三棱柱ABC-A耳G中，46=90。，2,工分别是4月，AG

的中点，BC=CA=CCl,则A2与8耳所成角的余弦值是.

5.（24-25高三上•天津滨海新•期中）在四棱锥S-ABCD中，SA_L平面ABC。，四边形ABCD为平行四边

形，ZABC=60°S.SA=AB=BC=2,E为&4的中点，则异面直线SC与所成的角的余弦值为—.

题型2直线与平面所成角（定值）

—

设直线/的方向向量为平面口的一个法向量为［,直线/与平面口所成的角为。，则①

一-a-n

cos<a.n>=―――；

\a\\n\

②sin0=|cos<a,n>\.

7「芯ci辞丽谬莪稔=iTPi簟黄决》是我国■音和薮孽茗善;百重五荷孥•的黄正茜芳铲翠罗霍丁

例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖膈指的是四个面均为直角三角形的三棱锥

如图，在堑堵ABC-ABC中，NACB=9（r,若AC=3C=1,AA,=2,直线用C与平面ABBW所成角的余

弦值为（）

A

题B.华

•10•需

2.（2023•河北保定•二模）如图，在长方体ABCD-A瓦G2中，AB=BC=\,A4t=2,对角线BQ与平

面ABG交于E点.则AE与面A4A。所成角的余弦值为（）

B-Tc-tD-T

3.（23-24高二上•全国•期中）PA,PB,PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为60。，则直线PC

与平面尸48所成角的余弦值为（）

A.；B.在C.BD.立

2332

4.（2024•全国•模拟预测）在棱长为2的正方体ABC。-AACQ中，动点〃，N分别在棱2C,A5上,

且满足AN=3M,当/一的体积最小时，4M与平面4MN所成角的正弦值是

5.（2024.海南•模拟预测）在空间直角坐标系。孙z中，已知点A（LLO）,8（0,3,2）,C（2,0,3）,若平面c//y

轴，且BCu/,则直线AC与平面a所成的角的正弦值为.

题型3直线与平面所成角（最值，范围）

%

00日图

（1）设直线/的方向向量为Z，平面a的一个法向量为7,直线/与平面a所成的角为。，则①

——d•J2

cos<a,n>=———；

\a\\n\

②sin0=|cos<a,n>\.

（2）常涉及到基本不等式，二次函数，求导等方法求最值或范围

…苍豆T禽三不湎，襦而而葭蒙心防断蒜防元荷桎戛亩育花瀛石漪薮益旋转36嗨蓟菽藁

G是圆弧CE的中点，H是圆弧D尸上的动点（含端点），则直线E”与平面BDG所成角的正弦值最大为（）

A.巫B.回C.—D.在

3323

2.（23-24高三下•重庆沙坪坝•阶段练习）如图，矩形A8C。中，AB=2AD=2日E为边48的中点，将

VADE沿直线。E翻折成△AOE.在翻折过程中，直线AC与平面ABC。所成角的正弦值最大为（）

AV10-A/2„V6「y[5-l„V5

4645

3.（24-25高二上•云南大理•阶段练习）在长方体ABCD-44G2中，AB=AD^2,M=1,。是AC的

中点，点尸在线段AG上，若直线。尸与平面ACA所成的角为。，贝Usine的取值范围是（）

,正且B.降半

A•~~~->~~~

33

V373

?'三T,T

4.（23-24高二上•安徽•阶段练习）在长方体ABCD-A4G2中，AB=AD^2,照=3,。是AC的中点,

点P在线段AG上（包含端点），若直线0P与平面阴C所成的角为凡贝hind的取值范围是（）

rv|B口店

£\.•,JLJ•,

3333

342V22

c5D.——，——

-TT1111

5.(23-24高二上•广东东莞•阶段练习)如图,在正四棱柱ABCD-A耳储2中，A5=3,9=4,尸是侧面BCCXBX

内的动点，且4月，区2,记AP与平面BCG5所成的角为凡贝han。的最大值为()

8岳

仁i15

题型4根据直线与平面所成角求参数

©0混

(1)设直线/的方向向量为2,平面a的一个法向量为［,直线/与平面a所成的角为夕，则①

ii

一一

—一a,n

cos<a,n>=―――；

ii

!------

②sin0=|cos<a,n>\.

ii

1(2)常设点的坐标或者假设g=

ii

二二一7"五行无危逐5一茹菌：选三痛万二罚不相丁谑工宸面至1丁’2^二坛；「商方厂方「尢分

别为棱R4,PC,BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=2,AB=1.

⑴求证：MN"平面BDE；

⑵求点N到直线ME的距离；

(3)在线段上4上是否存在一点H,使得直线人巴与平面肱VE所成角的正弦值为亚，若存在，求出线段AW

21

的值，若不存在，说明理由.

2.(2022.天津河东•二模)如图所示，直角梯形ABC。中，4。垂直AB,AB=3C=2AZ)=2,

四边形EDCT为矩形，CF=V3,平面EDb,平面ABCD

⑴求证：DF〃平面ABE；

(2)求平面ABE与平面E/韦所成二面角的正弦值；

(3)在线段OF上是否存在点P,使得直线与平面ABE所成角的正弦值为也，若存在，求出线段BP的

4

长，若不存在，请说明理由.

3.(2022・天津•一模)如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面A8CD是直角梯形，ZABC=ZBAD=90°,API

平面ABC。，AB=3C=2AP=2AD=2,点M、N分别为线段BC和尸。的中点.

(1)求证：AN_L平面PZ)M；

(2)求平面POM与平面POC夹角的正弦值；

2

(3)在线段PC(不包括端点)上是否存在一点E,使得直线BE与平面PDC所成角的正弦值为］,若存在，求

出线段尸£的长：若不存在，请说明理由.

4.(24-25高二上•天津•期中)如图，在四棱锥尸-ABCD中，上4,平面ABC。，AB//CD,AB±AD,PA=AB,

AB=2,AD=6，CD=\.

(1)证明：BDLPC；

⑵求平面APC与平面DPC夹角的余弦值；

(3)设0为线段产。上的点，且直线A。和平面上4c所成角的正弦值为正，求冬的值.

3PD

题型5求二面角(定值)

<1）如图①，AB,CD是二面角。一，一，的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小

AB,CD>.

①COS<"1，%>=」三;

|邛%|

②cose=±cos<〃i，〃2>

若二面角为锐二面角（取正）,]J!!]COS9=|COS<%,〃2〉|；

若二面角为顿二面角（取负），JU!|cose=—|cos<n1,%〉|；

（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是

钝二面角.）

二”,苍GW高三―辐淳阶葭练习）在矩形ABCD中，益二乐广了；♦落.ACD沿着AC翻折，使

。点在平面ABC上的投影E恰好在直线AB上，则此时二面角3-AC-。的余弦值为（）

2.（24-25高二上•安徽马鞍山•阶段练习）如图，在体积为5的多面体A2CDP。中，底面A2C。是平行四

边形，ZZMB=45°,BC=2PQ=2^2AB=272,M为BC的中点，PQ//BC,PD1DC,QBVMD.则

平面PCD与平面QAB夹角的正弦值为（）

M口「历国

---D.-3/--J6-----nD.----

10103737

3.（24-25高二上•天津和平•阶段练习）己知矩形ABC。，AB=20,BC=15,沿对角线AC将VA3C折起,

使得8£>=灰I,则二面角AC-D的余弦值是

4.（22-23高三上•天津河北•期末）如图，在多面体A2CD所中，平面ABC。，AEPC是平行四边形,

5.AD//BC,AB±AD,AD=AE=2,AB=BC=1,则二面角A—DE—5的余弦值为.

D

5.（2024高三•全国•专题练习）如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面ABC。是直角梯形，ADHBC,AD=2BC,

ZDAB=90\平面尸平面ABCD,AC_LBD,AB1PD,BC=1,PD=0，则二面角D—PC—B的

余弦值为_____

BC

题型6求二面角（最值，范围）

（1）如图①，AB,CD是二面角。-/一尸的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小

6>=<AB,CD>.

（2）如图②③，后分别是二面角。-/-/?的两个半平面名，的法向量，则二面角的大小。满足:

①COS<"1,%>=」上

一|々||巧|

@cos0-±cos<nl.n1>

ii

若二面角为锐二面角（取正）,贝1|（：05夕=|（：05<%,巧〉|；

ii

j若二面角为顿二面角（取负），］ffljcose=—|cos<n1,n2〉l；

（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是

钝二面角.）

（2）常涉及到基本不等式，二次函数，求导等方法求最值或范围

ii

一'K五W膏三工:董误‘.薪葭篆3广工金荏♦万己方二'赢=Be=1,一懿；多：商黄7褊运一'

丽=九前+”函（4〃e［0,l］），AP±BDt,则二面角P-B的正切值的取值范围是（）

A.0,；B.|"oi~|C.另D.3,1

L4J12」|_42j\_2J

2.（23-24高二上•福建泉州•期末）如图，在三棱锥P-ABC中，PA±PB,PA=PB,AB=2BC=2,平

面平面ABC,则三棱锥P-ABC的体积的最大值为；二面角P-AC-3的正弦值的最小值

3.（2024・重庆・模拟预测）如图，在多面体A6a>PQ中，四边形4尸。£>为矩形，四边形为直角梯形,

（1）当前=4丽时，求证：PMVBD-,

⑵当点M在线段BC上（包含端点），。2=2时，求平面R4M与平面CDQ的夹角的余弦值的取值范围.

4.（24-25高二上•黑龙江・期末）如图，在三棱柱ABC-A用G中，VABC是边长为2的等边三角形，CC1=2,

ZC,CA=60°,D,E分别是线段AC,的中点，且平面A41GC，平面ABC.

(1)求证：AC_L平面瓦汨；

(2)求点A到平面GCB用的距离；

(3)若点/为线段4G上的动点(不包括端点)，求平面EBD与平面3DE夹角的余弦值的取值范围.

5.(24-25高三上•山东•阶段练习)如图，在正四棱柱ABC。-A与G2中，底面边长是1,点E,F,G分

别在侧棱8月，CG，上，且A,E,F,G四点共面.设直线AE、AG与平面A2CD所成的角分别为a、

(1)设平面AEFG与平面ABCD相交于直线/,求证：当3D〃/时，a=/3；

TT

(2)当a+〃=5时，求平面AEFG与平面ABCD所成角的余弦值的最大值.

题型7根据二面角求参数

<1）如图①，AB,CD是二面角。一，一，的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小

AB,CD>.

①COS<"1，%>=」三;

|%||%|

②cose=±cos<〃i，〃2>

若二面角为锐二面角（取正）,]J!!]COS9=|COS<%,〃2〉|；

若二面角为顿二面角（取负），JU!|cose=—|cos<n1,%〉|；

（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是

钝二面角.）

（2）常涉及到动点的假设，一般来说可以①设点的坐标②设各=/[

1.（2022・天津北辰・模拟预测）如图，在长方体ABCD-A4G2中，AB=AD=1,例=2,点E在线段。，

上.

⑴求。到BG的距离；

（2）当E是的中点时，求直线AC与平面BQE所成角的大小；

（3）若平面AA1nD与平面BCE所成角的余弦值为:，求线段DE的长.

2.(2023•天津河北•二模)如图，在直三棱柱ABC-4与£中，VA5C是以BC为斜边的等腰直角三角形,

BDC,E八

AA=AB=3,D,E分别为3C,耳G上的点，且击;=3={°＜，＜1).

inCCj/?!

(2)若/=；,求直线AC与平面A0E所成角的正弦值;

7T

(3)若平面4G。与平面AC。的夹角为g，求实数f的值.

3.(2023•天津南开•一模)如图，四棱锥P-ABCD中，平面尸平面

ABCD,AB//CD,AB±AD,AB=3,AD=区AP=CD=2,ZPAB=6。。,M是CD中点，N是PB上一点、.

p

(1)当=时，

(i)证明：MN//平面PAD；

(ii)求直线PM与平面PAD所成角的正弦值；

4PN

(2)平面PA。与平面夹角的余弦值为w，求了g的值•

5PB

4.(2022・天津・二模)如图，在长方体中，AB=AD=1,胡=2,点E在线段。Q上.

(1)求证：AC±BE；

⑵当E是。2的中点时，求直线AC与平面BGE所成角的大小；

(3)若平面与平面BQE所成角的余弦值为:，求线段DE的长.

5.(24-25高三上•天津•阶段练习)在如图所示的几何体中，四边形ABC£＞是菱形，5W是矩形，平面

兀

ADNM_L平面ABC。，ZDAB=~,AD=4,AM=2,E为2B的中点.

⑴求证：AN//平面MEC；

(2)求ME与平面MBC所成角的正弦值;

(3)在线段AM上是否存在点尸，使平面PEC和平面DEC的夹角大小为三？若存在，求出"的长；若不存

在，请说明理由.

题型8点到平面距离

电混

如图，已知平面£的法向量为3，A是平面a内的定点，P是平面a外一点.过点P作平面a的垂线/,

交平面a于点Q,则百是直线/的方向向量，且点P到平面e的距离就是Q在直线/上的投影向量存

的长度.PQ=1AP—1=||=J~一

In\1771\n\

1.（2024.天津.二模）如图，在直三棱柱中，AC±BC,AC=BC=2,CCX=3,尸为与G的中

点、，点、D,E分别在棱9和棱CG上，且AD=1,CE=2.

⑴求证：4尸〃平面瓦加；

⑵求平面ACCX\与平面BDE夹角的余弦值;

⑶求点A到平面BDE的距离.

2.（2024.天津河北.一模）如图，三棱台A8C-A8G中，AB，AC,AB=AC=4，Aq=40=44=2,侧

棱AA_L平面A3C,点。是CG的中点.

⑴求证：3瓦，平面AB。；

(2)求点用到平面ABD的距离：

(3)求平面A4c和平面A5D夹角的余弦值.

3.(2024.天津.一模)如图，在多面体ABCDEF中,底面ABCD为菱形，ZBAD60°,ED_L平面ABCD,

£8,平面ABC。，DE=AD=2BF=2.

⑴求证：CF//平面AT史；

(2)求直线DF与平面A跖所成角的正切值;

(3)求点C到平面AEF的距离.

4.(2024•天津河西•一模)已知三棱锥尸—ABC中，24,平面ABC,AB1AC,AB=2PA=2AC=4,N

为AB上一点且满足3京=而，M,S分别为PB,2c的中点.

⑴求证：CM1.SN；

(2)求直线SN与平面CMN所成角的大小;

⑶求点P到平面CMN的距离.

5.(2023•天津河西•三模)已知直三棱柱ABC-A4a中，AB±BC,AB=44,=2,&?=1,。刀分别为44,5耳

的中点，/为CO的中点.

⑴求证：砂〃平面ABC；

⑵求平面CED与平面ACGA夹角的余弦值;

(3)求点G到平面CED的距离.

限时提升练

(建议用时：60分钟)

一、单选题

1.（24-25高二上•天津和平•期末）已知平面a的一个法向量为万=（拒,1,-1）,点A（-l,2,0）在平面a内，

点「卜1,2,如）在平面a外，则直线与平面a所成角的大小为（）

57r2兀兀71

A.—B.—C.-D.一

6336

2.（23-24高二下.陕西西安・期末）在正方体A8C。-962中，E是棱。2的中点，则直线EG与平面

所成角的正弦值为（）

Ay/15RV78ry/iOn272

5953

3.（23-24高二上.北京.阶段练习）如图，棱长为1的正方体中，E,尸分别为。2,2月的

中点，则下列结论中错误的是（）

A.直线厂和与直线AE的距离为粤

B.直线FG与平面的距离为g

C.直线厂G与底面ABC£＞所成的角为30°

2

D.平面与底面ABC。夹角的余弦值为1

4.（24-25高二上•广东肇庆•阶段练习）如图，正三棱柱ABC-4与£的各棱长相等，。为&A的中点，则

异面直线4B与CQ所成角的余弦值为（）

A.立B.交C.1D.0

222

5.（24-25高三上•安徽阜阳•阶段练习）在三棱锥。一ABC中，AB=BC=CD=DA=4,AC=4g,M,N级

别是棱BC,CD的中点，则当三棱锥O-ABC的体积最大时，二面角A-MN-3的余弦值为（）

A2719口4M-5后八3历

A.----D.-----C.----D.-----

19195757

6.（24-25高二上•黑龙江哈尔滨•期末）如图，正方体ABC。-AAG2中，丽=丽，硕=两，瓦g=2鸵,

当直线与平面MNE所成的角最大时，2=（）

二、填空题

7.（2024高三.全国•专题练习）如图，在斜三棱柱ABC-A4c中，底面ABC为正三角形，。为AC的中

点，AB=BBl=2,AABBX=ZCBBt=120°,则异面直线8。与A与所成角的余弦值为.

8.（24-25高二