空间向量与立体几何（八大题型+模拟练）学生版-2025年高考数学一轮复习

专题20空间向量与立体几何（八大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01空间向量的线性运算

♦题型02空间向量的数量积

♦题型03空间向量的基本定理

♦题型04空间向量的坐标表示

♦题型05利用空间向量判断位置关系

♦题型06利用空间向量求角度

♦题型07利用空间向量求距离

♦题型08空间向量与立体几何解答题

♦题型01空间向量的线性运算

1.（2024高三•全国•专题练习）如图，在空间四边形/BCD中，E,尸分别是2C,CD的中点，则

1--->-1---*---->-

-BC+-BD+FA=（）

22

A.BAB.AFC.ABD.EF

2.（23-24高二下•江苏常州•期中）如图，在正三棱柱/8C-4月J中，AB=AAl=l,尸为Bg的中点，则

AC「BP=()

53i

A.-B.1C.-D.v

422

3.（23-24高二下•江苏宿迁•期中）下列命题正确的是（）

A.若4民是空间任意四点，则有方+无+元+方=0

B.若表示向量Z3的有向线段所在的直线为异面直线，则向量d石一定不共面

c.若，石共线，则表示向量］与B的有向线段所在直线平行

D.对空间任意一点。与不共线的三点A、B、C,若丽=xE+y赤+z3（其中X、八zeR）,

则P、A、B、C四点共面

4.（23-24高一下•安徽合肥・期末）如图，三棱柱N8C-4耳G中，&F分别为AB/G中点，过尸作三

棱柱的截面交片。于初，且丽=2近，则4的值为（）

CID.1

♦题型02空间向量的数量积

5.（23-24高二下•湖北•期末）空间向量3=（1,0,1）在3=（0,1,1）上的投影向量为（）

A.B.C.°。;D.

6.（23-24高二下•福建龙岩•期中）如图，在斜三棱柱/8C-4耳£中，AC=BC=CCi=4,

ABCCX=AACCX=y,ZACB=^,则可(赤+0)=()

A.48B.32C.32+8后D.32-8收

7.（23-24高二下•福建漳州•期末）正方体48。-44GA的棱长为1,AW是正方体外接球的直径，尸为

正方体表面上的动点，则两•两的取值范围是（）

1"I「11「3I「3一

A.--,0B.0,-C.-JD.1,-

8.（2024•河南新乡•二模）已知圆锥MO的底面半径为石，高为1,其中O为底面圆心，是底面圆的一

条直径，若点尸在圆锥的侧面上运动，则用.丽的最小值为（）

93

A.—B.—C.—2D.—1

42

♦题型03空间向量的基本定理

_____.------1—►.1—►—►3—►

9.（24-25高二上•上海•课后作业）如图，在1四m面体048C中，BM=-BC,MN=-NO,AP=-AN,若

224

OQ=AOB,且尸。II平面4BC,则实数X=（）

10.（22-23高二上・江西南昌•期末）已知点。在“8C确定的平面内，。是平面4BC外任意一点，实数

^^DO=xOA+2yOB-3OC,则£+/的最小值为（）

47

A.-B.—C.1D.2

55

11.（23-24高二下•江苏淮安•阶段练习）以等腰直角三角形斜边2C上高2。为折痕，把△43。和A/CD折

成120。的二面角.若/8=2,DP=xDA+yDB+（\-x-y）~DC,则网斗最小值为（）

「厢

A亚RV6nV6

2356

♦题型04空间向量的坐标表示

12.（2023•河南•模拟预测）已知空间向量a=（1,2,0）［=（0,-1,1）,3=（2,3,〃?），若工薪共面，则实数加=

（）

A.1B.2C.3D.4

13.（23-24高二下•福建莆田•期末）在三棱锥P-4BC中，PA,PB,PC两两垂直，^.PA=PB=PC=2.

若“为该三棱锥外接球上的一点，则丽.比的最大值为（）

A.2B.4C.2+2百D.4+26

14.（23-24高二下•福建•期中）在棱长为2的正方体N8C。-4片GA中，若点尸是棱上一点（含顶点），则

满足德•西=-1的点尸的个数为（）

A.8B.12C.18D.24

♦题型05利用空间向量判断位置关系

15.（23-24高二下•甘肃•期中）已知平面a外的直线/的方向向量为3=（1,0,2）,平面a的一个法向量为

«=(6,1,-3),则()

A./与a斜交B./laC.IllaD.v//n

16.（23-24高三下•湖南衡阳•阶段练习）空间四边形/BCD中区RG,〃分别为的点（不含

端点）.四边形斯G8为平面四边形且其法向量为/下列论述错误项为（）

A.BD.n=0,则AD〃平面EFG

B.砺=成，则/C//平面£尸G

C.W-HG=0,EF//HG，则四边形EFGH为矩形.

D.BDAC=0,EF=HG,则四边形EFG”为矩形.

17.（23-24高二下•江苏扬州•阶段练习）正方体/BCD-/4C1。的棱长为1，动点M在线段CG上，动点尸

在平面4片6。1上，且工尸上平面儿分口，线段8P长度的取值范围是（）

18.（2024•宁夏吴忠・模拟预测）在正方体/8CD-44CQ1中，点尸为线段8,上的动点，直线冽为平面4。尸

与平面4C尸的交线，现有如下说法

①不存在点P,使得84〃平面4。尸

②存在点尸，使得用平面4OP

③当点尸不是8A的中点时，都有机〃平面

④当点尸不是2"的中点时，都有机_L平面

其中正确的说法有（）

A.①③B.③④C.②③D.①④

♦题型06利用空间向量求角度

TT

19.（23-24高二下•福建厦门•期末）在四面体N8CZ）中，BC1BD,ZABC=ZABD=~,BA=BD=2,

BC=3,则/。与8c所成角的余弦值为（）

A.yB.立C.—D.逅

2323

20.（2024•陕西•模拟预测）在平行六面体44GA中，已知/2=/。=/4=1,

ZA.AB=ZA.AD=ABAD=60°,则下列选项中错误的一项是（）

A.直线4c与AD所成的角为90。

B.线段4c的长度为a

C.直线4c与所成的角为90。

D.直线4c与平面N8CD所成角的正弦值为"

3

21.（23-24高二下•江苏徐州•期中）如图，四边形力5。。,/8=5。=。4=4,5。=。。=2收，现将

TVTT

沿AD折起，当二面角/-AD-C的大小在匕，二］时，直线和CD所成角为贝的最大值为（）

A2V2-V6„V2「2V2+V6「46

168168

♦题型07利用空间向量求距离

22.（23-24高一下•黑龙江齐齐哈尔•期末）平行六面体中，

AAl=AD=AB=1,ZA.AD=AAXAB=ABAD=60°,点〃为耳口的中点，则点。到直线MC的距离为.

23.（23-24高二下•安徽•期末）在棱长为2的正方体/BCD-44G。中，E,尸分别为正方形48CD和正方

形82G的中心，则点A到平面A{EF的距离为.

24.（23-24高二下•江苏淮安•阶段练习）将边长为2的正方形/3CD沿对角线NC折叠使得△NCD垂直于底

面/8C,则异面直线4D与3c的距离为.

25.（24-25高二上•上海•单元测试）如图，在直三棱柱/8C-44G中，ZABC=90°,BC=2,CCX=4,

点。为CG的中点，则8Q与平面N5D的位置是.

26.（19-20高二•全国•课后作业）正方体/8CD-4SCQ/的棱长为4,M,N,E,尸分别为小。，AB，

CD，3/G的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为.

♦题型08空间向量与立体几何解答题

27.（24-25高三上•湖南•开学考试）如图，在直三棱柱/3C-4用G中，。是侧棱CG的中点,

ZACB=nO°,AAl=s5AC=43BC.

（1）证明：平面4AG，平面A.BD.

（2）求锐二面角B-A.D-用的余弦值.

28.（23-24高二下•上海・期末）如图，在四棱锥尸-/BCD中，底面N3CD为正方形，PO,底面N3CQ,M

为线段尸C的中点，PD=AD=\,N为线段8C上的动点.

⑴证明：MDLPN；

（2）当N为线段2C的中点时，求点A到面ACV。的距离.

29.（2024•重庆•模拟预测）如图，在四棱锥中，£。，平面/8口）,/3〃。（74/。为等边三角形,

DC=2/3=2,C2=C£,点尸为棱BE上的动点.

（1）证明：。。，平面8。£；

（2）当二面角尸-4C-8的大小为45。时，求线段。尸的长度.

30.（2024•吉林•模拟预测）如图所示，半圆柱0a与四棱锥/-8CDE拼接而成的组合体中，/是半圆弧3C

上（不含瓦C）的动点，尸G为圆柱的一条母线，点A在半圆柱下底面所在平面内,

OB=200,=2,AB=AC=2近.

⑴求证：CG工BF；

⑵若DF//平面ABE,求平面FOD与平面GOD夹角的余弦值;

（3）求点G到直线0D距离的最大值.

一、单选题

1.（2024•辽宁沈阳•模拟预测）已知直三棱柱/8C-4耳。中，ZABC=120°,AB=CC,=2,BC=\,则异

面直线/片与3G所成角的余弦值为（）

AV3RV15「屈「拒

2543

2.（2024•浙江嘉兴•模拟预测）设x,yeR,a=（l,l,l）,5=（l,y,z）,c=（x,-4,2）,且〃〃1，贝1］忻+可=

（）

A.2&B.0C.3D.3也

3.（2024•山西•三模）正方体/BCD-44GA的棱长为2,瓦尸分别为2瓦的中点，。为底面/BCD的

中心，则三棱锥。-E尸C的体积是（）

A.叵B.-C.-D.近

6642

4.（2024•青海•模拟预测）如图，在三棱锥P/3C中，ZAPB=90°,ZCPA=ZCPB=60°,

PA=PB=PC=1,点。，E,尸满足丽=丽，PE=2EA＞然=同，则直线C£1与。9所成的角为

（）

5.（2024•山东日照・二模）已知棱长为1的正方体以正方体中心为球心的球。与正方体

的各条棱相切，若点尸在球。的正方体外部（含正方体表面）运动，则莎・丽的最大值为（）

A.2

JT

6.（2024•湖北武汉•模拟预测）已知菱形/8C。，ZDAB=~,将△D4C沿对角线/C折起，使以4民心。

四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线N8与所成角的余弦值为（）

A.-B.立C.-D.@

5244

7.（2024•河南•三模）在四面体43。中，△BCD是边长为2的等边三角形，。是内一点，四面体

/BCD的体积为26，则对Vx,yeR,|o/-xO2-yOq的最小值是（）

/7

A.2屈B.—?C.V6D.6

3

8.（2024・辽宁•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体/3CD-4片GA中，已知M,N,尸分别是棱

CR,AAt,8c的中点，。为平面尸脑V上的动点，且直线与直线。片的夹角为30。，则点。的轨迹长

兀C.271D.371

2

二、多选题

9.（2024•河北承德・二模）如图，在正四棱柱/BCD-44GA中，/%=2/8=2,£是棱/耳的中点，尸为

线段8。上的点（异于端点），且ED=PD,则下列说法正确的是（）

A.五是平面切。的一个法向量

B.JP=^BD{

c.点尸到平面及9的距离为亚

18

D.二面角尸-EC-。的正弦值为之叵

14

10.（2024•山东滨州•二模）图，在边长为4的正方形中，B为E尸的中点，〃为BC的中点.若分别

沿48,3c把这个正方形折成一个四面体，使E、尸两点重合，重合后的点记为尸，则在四面体P-/3C

中，下列结论正确的是（）

A.PBLAC

B.〃到直线尸/的距离为退

C.三棱锥尸-48C外接球的半径为叵

3

D.直线上4与8C所成角的余弦值为竽

n.（2024•江西宜春•三模）如图，正方体/BCD-44GA的棱长为2,设尸是棱CG的中点，。是线段CF

上的动点（含端点），〃是正方形3CG耳内（含边界）的动点，且4朋7/平面。/尸，则下列结论正确的是

A.存在满足条件的点使

B.当点。在线段G尸上移动时，必存在点"，使4M_L80

C.三棱锥C「A\PM的体积存在最大值和最小值

D.直线4M与平面BCG4所成角的余弦值的取值范围是g,J

12.（2024・山东济南•一模）在三棱柱48C-/£G中，AM=2MBA{N=mAxCx,且3N〃平面4cM,

则m的值为.

13.（2024•河南•一模）三棱锥P-n3C中，尸8=2,NPAB=N4BC=30。,PB_LAB,ACVAB,点、M,N

分别在线段/尸，8c上运动.若二面角尸—N8-C的大小为60。，则的最小值为.

14.（2024•山东青岛•一模）已知球。的表面积为12兀，正四面体N8CD的顶点8,C,。均在球。的表面

上，球心。为△8CO的外心，棱N8与球面交于点尸.若/e平面4,Be平面％，Ce平面De平

面%,%〃生+1（，=1,2,3）且生与%+4=1,2,3）之间的距离为同一定值，棱/C,40分别与%交于点0,R,

则"的周长为.

四、解答题

15.（2024•广东•模拟预测）如图，在直