2025年中考数学几何模型综合训练专题35最值模型之费马点模型解读与提分精练（教师版）

专题35最值模型之费马点模型

费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考

试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，

而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费

马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之

和最小的点。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.费马点模型..........................................................................................................................................1

模型2.加权费马点模型................................................................................................................................12

.................................................................................................................................................19

模型1.费马点模型

结论：如图1，点M为ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，

MA+MB+MC的值最小。△

图1图2图3

注意：上述结论成立的条件是ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就

是最大角的顶点A。（这种情况△一般不考，通常只考查三角形的最大顶角小于120°）

证明：如图2，以AB为一边向外作等边三角形ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．

△

∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．

ABBE

在与中，∵，∴△≌△（）．

AMBENBABMEBNAMBENBSAS

△△BMBN

连接MN．由AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．

∴BM＝MN．△∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．

此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；

∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．

费马点的作法：如图3，分别以ABC的AB、AC为一边向外作等边ABE和等边ACF，连接CE、BF，设

交点为M，则点M即为ABC的△费马点。△△

【最值原理】两点之间，△线段最短。

例1．（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在ABC中，BAC90,AB5,AC23，点P为ABC

内部一点，则点P到ABC三个顶点之和的最小值是．

【答案】67

【分析】将ABP绕着点A顺时针旋转60，得到△AEH，连接EP，CH，过点C作CNAH，交HA的

延长线于N，由旋转的性质可得BAPHAE，AEAP，AHAB5，BAH60，BPHE，易得

△AEP是等边三角形，可得AEAPEP，进而得到APBPPCEPEHPC，当点H、E、P、C共

线时，APBPPC有最小值HC，再求出CN和HN的长度，由勾股定理可求解．

【详解】解：将ABP绕着点A顺时针旋转60，得到△AEH，连接EP，CH，过点C作CNAH，交HA

的延长线于N，

∴BAPHAE，AEAP，AHAB5，BAH60，BPHE，

∴HABEAP60，∴△AEP是等边三角形，∴AEAPEP，

∴APBPPCEPEHPC，∴当点H、E、P、C共线时，APBPPC有最小值HC．

∵NAC180BAHBAC180609030，AC23，

122

∴CNAC3，∴ANAC2CN22333，∴HNAHAN538．

2

2

在Rt△CNH中，CHHN2CN282367，即点P到ABC三个顶点之和的最小值是67．

故答案为：67．

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角

形的性质，构造旋转图形是本题的关键．

例2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB4,BC6,E是AB的中点，F是BC边上一

动点，将△BEF沿着EF翻折，使得点B落在点B处，矩形内有一动点P,连接PB,PC,PD,则PBPCPD

的最小值为．

【答案】423

【分析】将△DPC绕点D逆时针旋转60得到DPC，连接PP、CC，从而将PBPCPD转化到

PBPPPC，当点E、B、P、P、C在同一条直线上时，PBPCPD=PBPPPC取得最小值．

【详解】

如图，将△DPC绕点D逆时针旋转60得到DPC，连接PP、CC，则有：

DPP、△DCC是等边三角形，PDPP,PCPCPBPCPD=PBPPPC

由折叠的性质可知，B的运动轨迹是以E为圆心，EB长为半径的圆（如图所示），故当E、B、P、P、C

在同一直线上时取最小值；

AB4,BC6,E是AB的中点，DPP、△DCC是等边三角形，

1

DC=4，EBEBAB2，

2

343432323

PDPP=DC,PCPC=PD=PB624，

33333

234343

PBPCPD的最小值为：PBPCPD=PBPPPC=4++=4+23；

333

故答案为423．

【点睛】本题考查了图形中求最短距离的问题，解题的关键是把所求线段转化到同一直线中求解．

例3．（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）【问题背景】在已知ABC所在平面内求一点P，使它到三角形

的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前

后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图2，把△APC绕

A点逆时针旋转60得到APC（点P，C的对应点分别为点P，C），连接PP，则PAP60，PCPC．

∵______，∴APP为等边三角形，∴APPP，∴PAPBPCPPPBPC，

∴当B，P，P，C四点在同一直线上时，PAPBPC的值最小，即点P是ABC的“费马点”．

任务：（1）横线处填写的条件是______；（2）当点P是ABC的“费马点”时，APBBPCAPC______；

（3）如图3，ABC中，CAB90，ABAC，E，F为BC上的点，且EAF45，判断BE，EF，FC

之间的数量关系△并说明理由；

【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，A75，AB22km，

AC＝4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则PAPBPC的

最小值是______．

【答案】问题背景：（1）见解析；（2）120；（3）EF2BE2CF2，理由见解析；实际应用；210km

【分析】问题背景：（1）先证明APP为等边三角形，得到APPP，则PAPBPCPPPBPC，

由此可得当B，P，P，C四点在同一直线上时，PAPBPC的值最小，即点P是ABC的“费马点”．

（2）由旋转的性质可得CAC60，∠C∠ACP，进而利用三角形内角和定理得到

∠CPO∠CAC60，再由等边三角形的性质得到APP60，则∠APC120，APC120，即可

利用周角的定义得到∠BPC360∠ABP∠APC120；

（3）将BAE绕点A逆时针旋转90，得到CAD，连接DF，利用旋转的性质和等边对等角，得到CDBE，

FCD为直角三角形，进而得到DF2CD2CF2，证明△AFE≌△AFD，得到EFDF，即可得出结论；

实际应用：如图所示，将CAP绕点A逆时针旋转60得到△CAP，连接PP，由问题背景（1）可得当B，

P，P，C四点在同一直线上时，PAPBPC的值最小，最小值为BC，过点C作CD⊥BA交BA延长

2

线于D，证明△CDA是等腰直角三角形，得到ADCDAC22km，则BDABAD42km，

2

利用勾股定理得到BCCD2BD2210km，则PAPBPC得最小值为210km．

【详解】解：问题背景：（1）如图2，把△APC绕A点逆时针旋转60得到APC（点P，C的对应点分别

为点P，C），连接PP，则PAP60，PCPC．

∵APAP，∴APP为等边三角形，∴APPP，∴PAPBPCPPPBPC，

∴当B，P，P，C四点在同一直线上时，PAPBPC的值最小，即点P是ABC的“费马点”．

（2）如图2所示，设PP，AC交于O，由（1）可得当B，P，P，C四点在同一直线上时，PAPBPC

的值最小，由旋转的性质可得CAC60，∠C∠ACP，又∵∠AOC∠POC，∴∠CPO∠CAC60

∵APP为等边三角形，∴APP60，∴∠APC180∠APP120，APC120，

∴∠BPC360∠ABP∠APC120，∴APBBPCAPC120，故答案为：120；

（3）EF2BE2CF2，理由如下：∵ABAC，BAC90，∴BACB45，

如图所示，将BAE绕点A逆时针旋转90，得到CAD，连接DF，

则：BAEDAC,ACDB45,ADAE,BECD，

∴DCFACBDCA90，∴DF2CF2CD2CF2BE2，

∵EAF45，∴DACCAFBAECAFBACEAF45，∴DAFEAF45，

又∵AFFA，ADAE，∴△AFE≌△AFD，∴EFDF，∴EF2CF2BE2；

实际应用：如图所示，将CAP绕点A逆时针旋转60得到△CAP，连接PP，

由问题背景（1）可得当B，P，P，C四点在同一直线上时，PAPBPC的值最小，最小值为BC，

过点C作CD⊥BA交BA延长线于D，由旋转的性质可得CAC60，ACAC4km，

∵BAC75，∴∠CAD180∠CAC∠BAC45，∴△CDA是等腰直角三角形，

2

∴ADCDAC22km，∴BDABAD42km，

2

∴BCCD2BD2210km，∴PAPBPC得最小值为210km，故答案为：210km．

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，

等腰直角三角形的性质与判定等等，通过旋转构造全等三角形是解题的关键．

例4．（2023春·重庆·九年级专题练习）背景资料：在已知ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个

顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点

被人们称为“费马点”．如图1，当ABC三个内角均小于120°时，费马点P在ABC内部，当

APBAPCCPB120时，则PAPBPC取得最小值．

(1)如图2，等边ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求APB的度数，为

了解决本题，我们可以将ABP绕顶点A旋转到△ACP处，此时ACP≌ABP这样就可以利用旋转变换，

将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出APB_______；

知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三

角形并连接等边三角形的顶点与ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问

题．(2)如图3，ABC三个内角均小于120°，在ABC外侧作等边三角形ABB，连接CB，求证：CB过

ABC的费马点．(3)如图4，在RTABC中，C90，AC1，ABC30，点P为ABC的费马点，

连接AP、BP、CP，求PAPBPC的值．(4)如图5，在正方形ABCD中，点E为内部任意一点，连接AE、

BE、CE，且边长AB2；求AEBECE的最小值．

【答案】(1)150°；(2)见详解；(3)7；(4)62．

【分析】（1）根据旋转性质得出ABP≌△ACP，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，

根据ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股

定理逆△定理PP2PC2324225PC2，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+

∠PPC=60°+90°=150°即可；△

（2）将APB逆时针旋转60°，得到AB′P′，连结PP′，根据APB≌AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，

根据∠PA△P′=∠BAB′=60°，APP′和A△BB′均为等边三角形，得出△PP′=AP△，根据PAPBPCPPPBPC，

根据两点之间线段最短得出△点C，△点P，点P′，点B′四点共线时，PAPBPC最小=CB′，点P在CB′上即

可；

（3）将APB逆时针旋转60°，得到AP′B′，连结BB′，PP′，得出APB≌△AP′B′，可证APP′和ABB′均

为等边三△角形，得出PP′=AP，BB′=AB△，∠ABB′=60°，根据PAPB△PCPPPBPC，△可得点C△，点P，

点P′，点B′四点共线时，PAPBPC最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理

BC=AB2AC222123，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在RtCBB′

2△

中，B′C=BC2BB23227即可；

（4）将BCE逆时针旋转60°得到CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出

BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，△CB=CB′，可证ECE′与BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，

△∠B′BC=△60°，AEBECEAEEEEB，得出△点C，点△E，点E′，点B′四点共线时，

AEBECEAEEEEB最小=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠

11

FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=BB21，勾股定理

22

BF=BB2BF222123，可求AF=AB+BF=2+3，再根据勾股定理

2

AB′=AF2BF2231262即可．

【详解】（1）解：连结PP′，∵ABP≌△ACP，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，

∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，

∴△APP′为等边三角形，,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，在P′PC中，PC=5，PP2PC2324225PC2，

∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠AP△P+∠PPC=60°+90°=150°，

∴∠APB=∠AP′C=150°，故答案为150°；

（2）证明：将APB逆时针旋转60°，得到AB′P′，连结PP′，∵△APB≌AB′P′，∴AP=AP′，PB=PB′，

AB=AB′，△△△

∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP，

∵PAPBPCPPPBPC，∴△点C，点P，点P′，点B′四点共线时，PAPBPC最小=CB′，

∴点P在CB′上，∴CB过ABC的费马点．

（3）解：将APB逆时针旋转60°，得到AP′B′，连结BB′，PP′，

∴△APB≌△△AP′B′，∴AP′=AP，AB′=AB，△

∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，

∵PAPBPCPPPBPC∴点△C，点P，点P′，点B′四点共线时，PAPBPC最小=CB′，

∵C90，AC1，ABC30，∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=AB2AC222123∴

BB′=AB=2，

2

∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，∴在RtCBB′中，B′C=BC2BB23227

△

∴PAPBPC最小=CB′=7；

（4）解：将BCE逆时针旋转60°得到CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，

∴△BCE≌△△CE′B′，∴BE=B′E′，CE=C△E′，CB=CB′，

∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′与BCB′均为等边三角形，∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，

∵AEBECEAEEEEB，△

∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，AEBECEAEEEEB最小=AB′，

∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，

11

∵B′F⊥AF，∴BF=BB21，BF=BB2BF222123，

22

2

∴，∴222，∴．

AF=AB+BF=2+3AB′=AFBF23162AEBECE最小=AB′=62

【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间

线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾

股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题

关键．

例5．（2024·江苏·校考三模）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB10公里，BC15公

里，现在要设立两个车站E，F，则EAEBEFFCFD的最小值为______公里．

【答案】15+103

【分析】将AEB绕A顺时针旋转60°得AGH，连接BH、EG，将DFC绕点D逆时针旋转60°得到DF'M，

连接CM、△FM、FF'，如图2，此时EH、△EF、FM共线，EA+EB+△EF+FC+FD是最小值，利用旋转的△性质和

等边三角形的性质，相加即可得出结论．

【详解】解：如图1，将AEB绕A顺时针旋转60°得AGH，连接BH、EG，将DFC绕点D逆时针旋转

60°得到DF'M，连接CM△、FF'，△△

△

由旋转得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH，

∴△AEG和ABH是等边三角形，∴AE=EG，

同理得：D△FF'和DCM是等边三角形，DF=FF'，FC=F'M，

∴当H、G△、E、F△、F'、M在同一条直线上时，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如图2，

∵AH=BH，DM=CM，∴HM是AB和CD的垂直平分线，∴HM⊥AB，HM⊥CD，

∵AB=10，∴△ABH的高为53，

∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+53+53=15+103，

则EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+103）公里．故答案为：（15+103）．

【点睛】本题考查了矩形的性质和最短路径问题，旋转的性质和等边三角形的性质，确定最小值时点E和F

的位置是本题的关键，利用全等、勾股定理求其边长，从而得出结论．

模型2.加权费马点模型

结论：点P为锐角ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点）

△

证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。

xz

如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=y(APBPCP)，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。

yy

例1．（2024·广东广州·一模）如图，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD4，AE2，

AB3AD,AG3AE．矩形AGFE绕着点A旋转，连接BG，CF，AC，AF．

(1)求证：ABG∽ACF；(2)当CE的长度最大时，①求BG的长度；②在△ACF内是否存在一点P，使得

CPAP3PF的值最小?若存在，求CPAP3PF的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)见解析(2)①BG221；②存在，最小值是413

【分析】（1）根据矩形的性质，先证ABC∽AGF，利用相似三角形的性质准备条件，再证ABG∽ACF

即可；（2）①先确定当E在矩形ABCD外，且C,A,E三点共线时，CE的长度最大，并画出图形，在Rt△CEF

中求出CF的长，最利用ABG∽ACF的性质求解即可；②将AP绕着点A顺时针旋转30,且使AK3AP，

连接PK，同理将AF绕着点A顺时针旋转30,得到AL,且使AL3AF，连接LK，过P作PSAK于S，

过点L作LQ垂直CE的延长线于点Q，确定CPAP3PFCL，当C、P、K、L四点共线时，CL的长

最小，再根据30直角三角形的性质和勾股定理求解即可．

AB3ADAD

【详解】（1）证明：∵AB3AD，AG3AE，∴，

AG3AEAE

ABADBC

∵矩形ABCD和矩形AGFE，∴ADBC，AEGF，ABCAGF90，∴=，

AGAEGF

ACAB

∴ABC∽AGF，BAC=GAF，∴，∠BAC∠GAC∠GAF∠GAC，

AFAG

ACAF

即，BAGCAF，∴ABG∽ACF

ABAG

（2）∵ACAECE，∴当E在矩形ABCD外，且C,A,E三点共线时，CE的长度最大，如图所示：

此时ACAECE，CEF90，

①∵AD4，AB3AD43，∴ACAB2BC28，BAC30，

在Rt△CEF中，EFAG3AE23，CEACAE10，

∴CFCE2EF2102(23)247，由（1）得：ABG∽ACF，

BGABBG43

∴，即，∴BG221；

CFAC478

②如图，将AP绕着点A顺时针旋转30,且使AK3AP，连接PK，同理将AF绕着点A顺时针旋转30,

得到AL,且使AL3AF，连接LK，

KLAK

由旋转可得：PAFKAL30FAK，∴AKL∽APF，∴3，∴KL3PF,

PFAP

13

过P作PSAK于S，则PSAP，ASAP，

22

3PS3

∴KSAKASAP，则tanPKS，∴PKS30，∴PKAP，

2KS3

∵CPPKKLCL，即CPAP3PFCL，当C、P、K、L四点共线时，CL的长最小，

由题意，LAC903030150，AF4，AC8，AL43，

过点L作LQ垂直CE的延长线于点Q，LAQ18015030，

∴QL23，AQ6，则CQACAQ14，

在RtCQL中，根据勾股定理得CLCQ2QL2413，∴CPAP3PF的最小值为413.

【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解

直角三角形，等腰三角形的判定，最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与

联系，适当添加辅助线是解答的关键.

例2．（2024·重庆·二模）已知ABC中ABBC，点D和点E是平面内两点，连接BD，DE和BE，BED90．

(1)如图1，若BDBA，ABC2D，BE2，求AC的长度；(2)如图2，连接AD和CD，点F为AD中

点，点G为CD中点，连接EF和BG，若EFBG，求证：BACDBE；(3)若ABC60，AB2，

13

当ADBDCD取得最小值，且AE取得最大值时，直接写出BDE的面积．

22

1219

【答案】(1)4(2)见解析(3)

133

【分析】（1）过点B作BHAC交AC于点H，证明AHB≌BEDAAS即可求解；

（2）取BD的中点T，连接TE,TF,TG，根据中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，

得出TFE≌TBGSSS，再证明TBE∽TFG，得出EBTGFT，进而即可得证；

（3）将BDC绕点B顺时针转60得到BDA，将△ABD绕点B顺时针旋转60得到BAD，连接AA，根

13

据ADBDCDGFFDCDGC，当G,F,D,C四点共线时，GC最小，进而确定E的位置，根

22

1

据点E在O为圆心，BD为半径的圆上运动，由点到圆上的距离关系，得出当AE取得最大值时，E在AO

2

的延长线上，连接OF，过点E作ES^BD于点S，进而解直角三角形，求得SE的长，根据三角形面积公式，

即可求解．

【详解】（1）解：如图所示，过点B作BHAC交AC于点H，

∵ABC中ABBC，∴AHB90，ABC2ABH，AC2AH

∵BED90，ABC2D，∴AHBBED，ABHD．

又∵BDBA，∴AHB≌BEDAAS∴AHBE2∴AC2AH4；

（2）解：如图所示，取BD的中点T，连接TE,TF,TG，

11

又∵F,G是AD，DC，∴FTAB,TGBC，FG∥AC,FT∥AB

22

∵ABBC∴FTTG，∵BED90，T为BD的中点，∴TEBT，

TFTG

在TFE,TBG中，TETB∴TFE≌TBGSSS∴FTEGTB

EFBG

∴FTEGTEGTBGTE即FTGETB

TETB

又∵FTTG,TEEB即，∴TBE∽TFG∴EBTGFT

TFTG

∵FG∥AC,FT∥AB∴TFBBAC∴BACDBE

（3）解：∵ABC中ABBC，ABC60，∴ABC是等边三角形，

如图所示，将BDC绕点B顺时针转60得到BDA，将△ABD绕点B顺时针旋转60得到BAD，连接AA，

∴BDBD，DBD60，ABAB，AB∥AC则DBD是等边三角形，△AAB是等边三角形，

11

∵CDAD,AAAC取BD,BA的中点F,G，则FGADAD，

22

313

∵F是BD的中点，DFBD，DFBDsin60BD，∴ADBDCDGFFDCDGC

222

∴当G,F,D,C四点共线时，GC最小此时如图所示，∴GCBD

∵AD∥GF，∴ADBD，∴ADB是直角三角形，∴△ABD是直角三角形，∴ADBD

1

∵BDD60∴DDA30∴ADADDC设CDa，则ADa，AD2a，

2

在Rt△ADD中，DDcos30AD3a∵△BDD是等边三角形，∴BDDD3a，

2227

在Rt△ABD中，AB2∴AB2AD2BD2∴223a2a解得：a

7

22147

∴BD3a，AD2a取BD的中点O，连接AO,OE，

77

1

∵BED90∴点E在O为圆心，BD为半径的圆上运动，

2

121

∴OEBD，∴当AE取得最大值时，E在AO的延长线上，连接OF，过点E作ES^BD于点S，

27

22

214721133

在中，，∴22，

RtAODODOEAOADOD

7777

47

AD7419419214339

∴cosAOD，∴SEcosSOEOEcosAODOE，

A/p>

7

1122143391219

∴BDE的面积为BDSE．

227133133

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三

角形中位线的性质，旋转的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的性质与判定，

加权费马点问题，点与圆的位置关系，直径所对的圆周角是直角；熟练掌握以上知识是解题的关键．

例3．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）在等边VABC中，点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点

A顺时针旋转120得到线段AE，则DAE120，AEAD，连接BE交AD于点F，交AC于点H．

(1)如图1，当点D为BC中点时，且AD3，求ABE的面积；(2)如图2，猜想线段AB、BD、AH之间的

数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若AB8，在VABC内部有一个动点P，连接PA、PB、PC，直

接写出3PA4PB5PC的最小值．

33

【答案】(1)(2)ABBD2AH，见解析(3)825123

2

13

【分析】（1）过点E作EMAB，交BA的延长线于点M，求得AB23，EAM30，EMAE，

22

11333

利用SABEM23计算即可．（2）在AC上取点M使CMBD，连接BM．则由SAS

ABE2222

可证明△ABD≌△BCM，从而有ADBM，BADCBM；再由AAS证明AЕН≌MBH，得AHMH，

DC4

则由线段的和差关系可得结论；（3）过点C作DCBC于点C，使得，过点C作ECPC于点C，

BC3

EC4

使得，证明DCE∽BCP，得到4PB3DE，根据勾股定理，得5PC3PE，从而得到

PC3

3PA4PB5PC3PA3DE3PE3PAPEED，根据两点之间线段最短，得到PAPEEDAD，

得到当PA,PE,ED共线时，3PA4PB5PC取得最小值，过点A作AQDC，交DC的延长线于点Q，过

点A作ARBC于点R，则四边形AQCR是矩形，利用等边三角形的性质，勾股定理解答即可．

【详解】（1）解：过点E作EMAB，交BA的延长线于点M，

∵等边VABC，∴ABBCCA，ABCBCACAB60，

11

∵点D为BC中点,∴CDBDBC，CADBADCAB30，

22

1

∵AD3，DAE120，AEAD，∴BDAB，由勾股定理得AB2BD2AD2，解得AB23；

2

1311333

∵EAM18015030，AEAD3，∴EMAE，∴SABEM23．

22ABE2222

（2）解：ABBD2AH．理由如下：在AC上取点M使CMBD，连接BM．

∵VABC是等边三角形，∴ABBCAC，CABABDC60，

ABBC

在△ABD和△ВСM中，ABDC，∴ABD≌BCMSAS，

BDCM

∴ADBM，BADCBM，∴EABM，

∵EAHEADCADEADCABBAD60BAD，BMHCCBM60CBM，

AHEMHB

∴EAHBMH，在△AEH和MBH中，EAHBMH，∴AЕН≌MBHAAS，

EABM

∴AHMH，即AMAHMH2AH，∵AMACCMABBD，∴ABBD2AH．

DC4EC4

（3）解：过点C作DCBC于点C，使得，过点C作ECPC于点C，使得，根据题意，

BC3PC3

DCECDCBC

得DCE90ECBBCP，，∴，∴DCE∽BCP，

BCPCECPC

DCDE45

∴，∴4PB3DE，根据勾股定理，得PEPC2EC2PC，

BCPB33

∴5PC3PE，∴3PA4PB5PC3PA3DE3PE3PAPEED，

∵PAPEEDAD，∴当PA,PE,ED共线时，3PA4PB5PC取得最小值，

32

∵AB8，∴ABBCCA8，∴DC，

3

过点A作AQDC，交DC的延长线于点Q，过点A作ARBC于点R，则四边形AQCR是矩形，

1

∴AQCR,CQAR，∵等边VABC，∴AQCRBC4，CQARAC2CR243，

2

22

22322282100483

∴ADDQAQ4344314

339

4248

2512325123，∴3PA4PB5PC825123，

93

故3PA4PB5PC的最小值为825123．

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，

含30度直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相应的知识是解题的关键．本题有一定的

难度，添加适当的辅助线是解题的关键．

1．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形ABCD内一点，且AB=5，AD=8，N为边

BC上一点，连接MA、MD、MN，则MAMDMN的最小值为______．

【答案】543

【分析】将△ADM绕点A逆时针旋转60得到VADM，连接DD、MM，然后即可得ADD为等边三角

形，同理VAMM为等边三角形，接着证明当MD、MM、MN三条线段在同一直线上，MMMDMN

的值最小，即MAMDMN的值最小，过点D¢作DEBC于点E，即MAMDMN最小值为：DE，

问题随之得解．

【详解】如图所示，将△ADM绕点A逆时针旋转60得到VADM，连接DD、MM，

根据旋转的性质有：DAD=60，AD=AD，MD=MD，

ADD为等边三角形，同理VAMM为等边三角形，

AM=AM=MM，AD=AD=DD=8，MAMDMN=MMMDMN，

当线段MD、MM、MN三条线段在同一直线上，且该直线与BC垂直时，MMMDMN的值最小，

即MAMDMN的值最小，如下图，过点D¢作DEBC于点E，交AD于点F，

MAMDMN最小值为：DE，在矩形ABCD中，DEBC于点E，

即可知四边形ABEF是矩形，DEAD，即AB=EF=5，

1

ADD为等边三角形，DFAD，AF=FD=AD=4，

2

DF=DA2AF2=43，DE=EFDF=543，

MAMDMN的最小值为543，故答案为：543．

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的判定定理与性质，勾股定理，垂线段最

短等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键．

2．（2023·广东深圳·二模）如图，ABE是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意

一点，BMBN，ABN15（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为31时，正方形的边长

为______．

【答案】2

【分析】首先通过SAS判定△AMB≌△ENB，得出AMEN，因为ABDABN60,BMBN,得出MNB

是等边三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM，而且为最小值，我们可以得出EC=31，作辅助线，过点E

作EFBC交CB的延长线于F，由题意求出EBF30，设正方形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾

股定理求得正方形的边长为2．

【详解】∵ABE为正三角形，∴ABE60，ABBE∴NBEABEABN45

∵BD是正方形ABCD的对角线，∴ABD45∴ABDNBE．