2025年中考数学一轮知识梳理难点03 全等三角形的应用常考题型（5大热考题型）（解析版）

难点03全等三角形的应用常考题型

（5大热考题型）

题型一：全等三角形的性质

题型二：添加条件证明三角形全等

题型三：全等三角的综合问题

题型四：角平分线性质定理

题型五：线段垂直平分线的性质与判定

题型一：全等三角形的性质

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·山东济南·中考真题）如图，已知△ABC≌△DEC,A60,B40，则DCE的度数为

（）．

A．40B．60C．80D．100

【答案】C

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等

成为解题的关键．

先根据三角形内角和定理求得ACB，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答．

【详解】解：∵在VABC中，A60,B40，

∴ACB180AB80，

∵△ABC≌△DEC，

∴DCEACB80．

故选C．

【变式1-1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在VABC中，ABAC4，BAC120，点D，E分别

是边AB，BC上的动点，且ADBE，连接AE，CD，当AECD的值最小时，AEB的度数为（）

A．90B．120C．135D．150

【答案】C

【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．将△ADC拼接到△BEF，连接AF交BC

于点G，推出AECDAEEFAF，当点E与点G重合时，AECD的值最小，据此求解即可．

【详解】解：如图，将△ADC拼接到△BEF，连接AF交BC于点G，

则ADC≌BEF，

CDEF，ACBF，EBFDAC120，

AECDAEEFAF，

当A，E，F三点共线，即点E与点G重合时，AECD的值最小，

ABAC，BAC120，

ABCACB30，

ABF150，ABACBF，

BAFBFA15，

∠AGB135

即AECD最小时，AEB的度数为135．

故选：C．

【变式1-2】（2024·河北秦皇岛·二模）如图，△ABC≌△AEF，有以下结论：①ACAE；②FABEAB；

③EFBC；④EABFAC．其中正确的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【分析】本题考查的是全等三角形的性质；掌握三角形全等的性质是解题的关键．

根据已知找准对应关系，运用三角形全等的性质“全等三角形的对应角相等，对应边相等”求解即可．

【详解】解：ABC≌AEF，

BCEF，BACEAF，故③正确；

EABBAFFACBAF，

即EABFAC，故④正确；

AC与AE不是对应边，不能求出二者相等，也不能求出FABEAB，

故①、②错误；

∴正确的有③④共2个．

故选：B．

【变式1-3】（2024·四川成都·模拟预测）如图，CAE≌EBD，CAAB，且ACE55，则BDE的度

数为．

【答案】35

【分析】本题考查了全等三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题

的关键．

【详解】解：∵CAAB，

∴A90，

又∵ACE55，

∴AEC90ACE905535，

又∵CAE≌EBD，

∴BDEAEC35，

故答案为：35．

5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，CD90，CBADAB．

(1)求证：ABC≌BAD；

(2)若DAB70，则CAB__________°．

【答案】(1)答案见解析

(2)20

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解

题的关键．

（1）利用AAS即可证得ABC≌BAD；

（2）先根据三角形内角和定理求出DBA的度数，再根据全等三角形的性质即可得出CAB的度数．

【详解】（1）证明：在VABC和BAD中，

CD90

CBADAB，

ABBA

ABC≌BADAAS；

（2）解：DAB70，ÐD=90°，

DBA907020，

由（1）知ABC≌BAD，

CABDBA20，

故答案为：20．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·江苏南通·模拟预测）下面四个几何体中，主视图、左视图、俯视图是全等图形的几何图形是（）

A．圆柱B．正方体C．三棱柱D．圆锥

【答案】B

【分析】本题考查简单几何体的三视图及全等图形的概念，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．根

据简单几何体的三视图逐个判断即可．

【详解】解：A．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆形，故此选项不符合题意；

B．正方体的三视图都是正方形，且大小一样，即全等，故此选项符合题意；

C．三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故此选项不符合题意；

D．圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故此选项不符合题意；

故选：B．

2．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，BCA2DCA，点E

在AC上，EDCABC．若BC5，CD25，AD2AE，则AC的长为．

161

【答案】/5

33

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解

题关键是注意探究题中的隐含条件，通过适当添加辅助线构造全等三角形和相似三角形；

根据角平分线的特点，在AB上截取AFAD，连结CF，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的

性质求出AC的长；

【详解】解：如图，在AB上取一点F，使AFAD，连接CF，

AC平分BAD，

FACDAC，

ACAC，

AEC≌ADCSAS，

CFCD，FCADCA，AFCADC，

FCABCFBCA2DCA，

DCABCF，

即DCEBCF，

EDCABC，即EDCFBC，

DCE∽BCF，

CDCE

，DECBFC，

BCCF

BC5，CFCD25，

2

CD·CF25，

CE4

BC5

AEDDEC180，

AFCBFC180，

AEDAFCADC，

EADDAC，

EAD∽DAC，

AD2AE，

AEAD1

，

ADAC2

4416

AC2AD4AECE4，

333

16

故答案为：

3

3．（2024·上海·模拟预测）如图，已知点A，B，C在同一直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC

同侧，ABBC，AC90，EAB≌BCD，连接，设ABa，BCb，DEc，下列结论正

确的数量为（）𝐷

（1）abc（2）a2b2ab（3）2(ab)c

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，过点D作DFAC,则四边形ABGF、BCDG是

矩形，即可判断（1）；根据EAB≌BCD可以得BEBD，然后根据勾股定理即可判断（3）；根据全等三

角形得到AEBCb，然后利用勾股定理判断（2）．

【详解】（1）过点D作DFAC,交AE于点F,过点B作BGFD,交FD于点G.

∵DFAC,ACAE,

∴DFAE,

又∵BGFD,

∴BGAE,

∴四边形ABGF为矩形，

同理可得，四边形BCDG也为矩形，

∴FDFGGDab,

∴在RtEFD中,直角边abc.

故（1）正确，符合题意；

（2）∵EAB≌BCD,

∴AEBCb,

在RtEAB中，BEAB2AE2a2b2,

ABAEBE,

aba2b2,

故（2）正确，不符合题意；

（3）EAB≌BCD，

AEBCBD,BEBD，

又AEBABE90，

CBDABE90，

EBD90，

BEBD，

BEDBDE45，

2

BEa2b2c，

2

c2a2b2，

22

2ab2a22abb22a2b²4ab2a²b²，

2ab2a2b2，

2abc，故（3）正确，符合题意；

故选:C.

4．（2024·广东汕头·一模）如图，VABC和△DCE都是等腰直角三角形，ACBDCE90，ACBC，

DCEC，连接AD,BE．

(1)求证：△ACD≌△BCE；

(2)直接写出AD和BE的位置关系．

【答案】(1)见解析

(2)ADBE

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，对顶角相等，证明△ACD≌△BCE

是解答本题的关键．

（1）先证明ACDBCE，然后根据SAS即可证明△ACD≌△BCE；

（2）延长AD交BE于点F，交BC于点N，由全等三角形的性质得CADCBE，由CADANC90

可证CBEBNF90，进而可证结论成立．

【详解】（1）∵ACBDCE90，

∴∠ACB∠BCD∠DCE∠BCD，

∴ACDBCE，

∵ACBC，DCEC，

∴ACD≌BCESAS；

（2）延长AD交BE于点F，交BC于点N

∵△ACD≌△BCE，

∴CADCBE

∵ACB90，

∴CADANC90，

∵ANCBNF，

CBEBNF90，

∴BFN90，

∴ADBE．

5．（2024·山西·模拟预测）综合与实践

【问题情境】

“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，

表示为VABC和△DFE，其中ACBDEF90，AD，将VABC和△DFE按图2所示方式摆放，

其中点B与点F重合（标记为点B）．当ABEA时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形

状，并说明理由．

【数学思考】

（1）请你解答以上老师提出的问题；

【深入探究】

（2）老师将图2中的DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在VABC内部，让同学们提出新的问题并请

你解答此问题．

“善思小组”提出问题：如图3，当ABEBAC时，过点A作AMBE交BE的延长线于点M，BM与AC

交于点N．证明：AMBE．

【拓展提升】

（3）如图4，当CBEBAC时，过点A作AHDE于点H，若BC3，AC4，求AH的长．

9

【答案】（1）正方形，见解析；（2）见解析；（3）

5

【分析】对于（1），先根据“三个角是直角的四边形是矩形”证明四边形BCGE为矩形，再根据ACB≌DEB

得BCBE，即可得出答案；

对于（2），先根据“等角对等边”得ANBN，进而确定AMBN，再根据三角形面积相等得BCAM，

然后由（1）得出答案；

对于（3），设AB，DE的交点为M，并作MGBD，根据ACB≌DEB得出CBEDBM，再根据“等

角对等边”得MDMB，再根据勾股定理求AB，

DGDE

进而求出DG，然后由cosD，求出DM，可得AM，再证明△AMH∽△BME，根据相似三

DMBD

AHAM

角形的对应边成比例得，即可得出答案．

BEBM

【详解】（1）结论：四边形BCGE为正方形．

理由如下：

BED90，

BEG180BED90，

ABEA，

AC∥BE，

CGEBED90，

C90，

四边形BCGE为矩形．

ACB≌DEB，

BCBE．

矩形BCGE为正方形；

（2）证明：ABEBAC，

ANBN，

C90，

BCAN．

AMBE，即AMBN，

11

SANBCBNAM，

ABN22

ANBN，

BCAM．

由（1）得BEBC，

AMBE；

（3）解：如图，设AB，DE的交点为M，过M作MGBD于点G，

ACB≌DEB，

BEBC3，DEAC4，DBAB，BACD，ABCDBE，

CBEDBM．

CBEBAC，

DBMD，

MDMB．

MGBD，

点G是的中点，

��

由勾股定理得ABAC2BC25，

15

DGBD．

22

DGDE

cosD，

DMBD

5

5

DGBD25，

DM2

DE48

25

即BMDM，

8

2515

AMABBM5．

88

AHDE，BEDE，AMHBME，

AMH∽BME，

AHAM3

，

BEBM5

339

AHBE3，

555

9

即AH的长为．

5

【点睛】本题主要考查了正方形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，余弦

等，勾股定理是求线段的长的常用方法．

题型二：添加条件证明三角形全等

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·山东德州·中考真题）如图，C是AB的中点，CDBE，请添加一个条件，使

ACD≌CBE．

【答案】ADCE或ACDB

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键．

要使ACD≌CBE，已知ACBC，CDBE，则可以添加一对边ADCE，从而利用SSS来判定其全等，

或添加一对夹角ACDB，从而利用SAS来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）．

【详解】解：∵C是AB的中点，

∴ACBC，

∵CDBE，

∴添加ADCE或ACDB，

可分别根据SSS、SAS判定ACD≌CBE（填一个即可，答案不唯一）．

故答案为：ADCE或ACDB．

【典例2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，VABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点

共线，请添加一个条件，使得AECE．（只添一种情况即可）

【答案】DEEF或ADCF（答案不唯一）

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根

据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一．

【详解】解：∵CF∥AB

∴AECF，ADECFE，

∴添加条件DEEF，可以使得ADE≌CFEAAS，

添加条件ADCF，也可以使得ADE≌CFEASA，

∴AECE；

故答案为：DEEF或ADCF（答案不唯一）．

【变式2-1】（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，锐角三角形ABC中，∠ABCACB，点D，E分别在边AB，

AC上，连接BE，CD．下列命题中，假．命．题．是（）

A．若ACDABE，则CDBEB．若BDCE，则BECD

C．若CDBE，则ACDABED．若ADAE，则CBEDCB

【答案】C

【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．由∠ABCACB，可得ABAC，

再分别利用全等三角形的判定和性质即可得出结论．

【详解】解：∵∠ABCACB，

∴ABAC，

若ACDABE，又CADBAE，ABAC，

∴△CAD≌△BAEASA，

∴CDBE，则原命题是真命题，故选项A不符合题意；

若BDCE，∴ADAE，又CADBAE，ABAC，

∴CAD≌BAESAS，

∴CDBE，则原命题是真命题，故选项B不符合题意；

若CDBE，又CADBAE，ABAC，

不能证明CAD与BAE全等，则ACD与ABE不一定相等，

则原命题是假命题，故选项C符合题意；

若ADAE，又CADBAE，ABAC，

∴CAD≌BAESAS，

∴ACDABE，

∵∠ABCACB，

∴CBEDCB，则原命题是真命题，故选项D不符合题意；

故选：C．

【变式2-2】（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD．只添加一个条件，

能判定△AOC≌△BOD的是（）

A．AODOB．AOBOC．ABD．AOCBOD

【答案】B

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，ASA，

ASA，SSS，SAS，HL．根据全等三角形的判定方法，逐项进行判断即可．

【详解】解：∵AC∥BD，

∴AB，CD．

A．添加AODO不能判断△AOC≌△BOD，故此选项错误；

B．添加AOBO可以根据AAS或AAS能够判断△AOC≌△BOD，故此选项错误；

C．添加AB，不能判断△AOC≌△BOD，故此选项错误；

D．添加AOCBOD，不能判断△AOC≌△BOD，故此选项错误．

故选：B．

【变式2-3】（2024·贵州黔东南·一模）如图，点A，B，C，D在同一直线上，ABDC，ECFB，______．

求证：AEDF．

在①AEDF；②EC∥FB这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在上面的横线上，并加以解答．

【答案】见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，选择①利用SSS证明△AEC≌△DFB，即可；选择②，利用SAS，

证明△AEC≌△DFB，即可．

【详解】证明：选条件①，ABDC,

ABBCDCBC,

ACDB，

AEDF，

在△AEC和△DFB中，ACDB，

ECFB，

△AEC≌△DFBSSS,

AD,

AE∥DF．

选条件②，EC∥FB,

ACEDBF,

ABDC,

ABBCDCBC,

ACDB，

ACDB，

在△AEC和△DFB中ACEDBF，

ECFB，

AEC≌DFB，

AD,

AE∥DF．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·北京西城·二模）如图，点C为线段AB的中点，BAMABN，点D,E分别在射线AM,BN上，

ACD与BCE均为锐角，若添加一个条件一定可以证明VACD≌VBCE，则这个条件不能是（）

A．ACDBCEB．CDCE

C．ADCBECD．ADBE

【答案】B

【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪

一种方法，取决于题目中的已知条件．

由于ACBC，AB，则可根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断．

【详解】解：如图：

点C为线段AB的中点，

ACBC，

AB，

A、当添加ACDBCE时，VACD≌VBCE(ASA)，故本选项不符合题意；

B、当添加CDCE时，不能确定VACD≌VBCE，故本选项符合题意；

C、当添加ADCBEC时，ACD≌BCEAAS，故本选项不符合题意；

D、当添加ADBE时，△ACD≌△BCE(SAS)，故本选项不符合题意．

故选：B．

2．（2024·黑龙江鸡西·二模）如图，已知ABDE，AD，请你添加一个条件（一个即可）：，

使△ABC≌△DEC．

【答案】ACBDCE(合理即可）

【分析】本题是开放性题目，考查了全等三角形的判定，由已知条件：ABDE，AD，再添加一组

角相等或ACDC即可证明全等．

【详解】添加条件：ACBDCE；

证明：∵ABDE，AD，ACBDCE

∴△ABC≌△DECAAS，

故答案为：ACBDCE(合理即可）．

3．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，ABAC，点D，E分别在AB与AC上，CD与BE相交于点F．只

填一个条件使得ABE≌ACD，添加的条件是：．

【答案】BC（答案不唯一）

【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理添加条件即可．

【详解】添加的条件是：BC

∵BC，ABAC，AA

∴△ABE≌△ACDSAS

故答案为：BC（答案不唯一）．

4．（2024·北京·模拟预测）如图，AD，BE是VABC的两条高线，只需添加一个条件即可证明△AEB≌△BDA

（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是．（写出

一个即可）

【答案】BDAE（答案不唯一）

【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，添加BDAE，通过“HL”即可证明△AEB≌△BDA．熟练掌

握三角形全等的判定是解此题的关键．

【详解】解：添加BDAE，

AD，BE是VABC的两条高线，

BEAADB90，

在RtAEB和RtBDA中，

BDAE

，

ABBA

RtAEB≌RtBDAHL，

故答案为：BDAE（答案不唯一）．

5．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在VABC和△ABD中，AD与BC相交于点O，BCAD，添加一个

条件可以证明ACBD．

(1)①12；②CADCBD；③OCOD；④CD，上面四个条件可以添加的是______（填序

号）．

(2)请你选择一个条件给出证明．

【答案】(1)①③

(2)详见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定：

（1）添加①或③，即可；

（2）添加①，根据等腰三角形的判定可得OAOB，从而得到OCOD，可证明AOC≌BOD，即可；

添加③，可得OAOB，可证明AOC≌BOD，即可．

【详解】（1）解：上面四个条件可以添加的是①；

故答案为：①③

（2）若添加①12；

∵12，

∴OAOB，

∵BCAD，

∴OCOD，

在△AOC和BOD中，

∵OCOD，AOCBOD，OAOB，

∴AOC≌BODSAS，

∴ACBD；

若添加③OCOD；

∵BCAD，OCOD，

∴OAOB，

在△AOC和BOD中，

∵OCOD，AOCBOD，OAOB，

∴AOC≌BODSAS，

∴ACBD．

6．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF，AEBF．

若________，则ABCD．

请从①CE∥DF；②CEDF；③EF这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并

说明理由．

【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析

【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出AFBD,DECA，再由

全等三角形的判定和性质得出ACBD，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的

判定得出AEC≌BFD(SAS)，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．

【详解】解：选择①CE∥DF；

∵AE∥BF，CE∥DF，

∴AFBD,DECA，

∵AEBF，

∴AEC≌BFD(AAS)，

∴ACBD，

∴ACBCBDBC，即ABCD；

选择②CEDF；

无法证明△AEC≌△BFD，

无法得出ABCD；

选择③EF；

∵AE∥BF，

∴AFBD，

∵AEBF，EF，

∴AEC≌BFDASA，

∴ACBD，

∴ACBCBDBC，即ABCD；

故答案为：①或③（答案不唯一）

7（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知ABCD，点E，F在线段BD上，且AFCE．

请从①BFDE；②BAFDCE；③AFCF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得

△ABF≌△CDE．

你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．

添加条件后，请证明AECF．

【答案】①（或②）

【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定

理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角

形的性质及平行线的判定证明即可．

【详解】解：可选取①或②（只选一个即可），

证明：当选取①时，

在△ABF与CDE中，

ABCD

AFCE，

BFDE

ABF≌CDE(SSS)，

BD，

BFDE，

BFEFDEEF，

BEDF，

在ABE与VCDF中，

ABCD

BD，

BEDF

△ABE≌△CDF(SAS)，

AEBCFD，

AE∥CF；

证明：当选取②时，

在△ABF与CDE中，

ABCD

BAFDCE，

AFCE

△ABF≌△CDE(SAS)，

BD，BFDE，

BFEFDEEF，

BEDF，

在ABE与VCDF中，

ABCD

BD，

BEDF

△ABE≌△CDF(SAS)，

AEBCFD，

AE∥CF；

故答案为：①（或②）

题型三：全等三角的综合问题

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离

【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具

【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及PAB

和PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB60米，PAB79，PBA64．画出示意图，如图

【问题解决】（1）计算A，P两点间的距离．

（参考数据：sin640.90，sin790.98，cos790.19，sin370.60，tan370.75）

【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：

如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且ADDE，DEFDAP，当F，

D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可．

（2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号）

①解直角三角形②三角形全等

【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．

【答案】（1）A，P两点间的距离为89.8米；（2）②

【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，解直角三角形的应用，灵活应用知识点是解本题

的关键；

（1）如图，过B作BHAP于H，先求解AHABcos79600.1911.4，

BHABsin79600.9858.8，再求解APB37及PH即可；

（2）由全等三角形的判定方法可得ADP≌EDFASA，可得APEF，从而可得答案.

【详解】解：如图，过B作BHAP于H，

∵AB60米，PAB79，sin790.98，cos790.19，

∴AHABcos79600.1911.4，

BHABsin79600.9858.8，

∵PAB79，PBA64，

∴APB180796437，

BH

∴tanAPBtan370.75，

PH

58.8

∴PH78.4，

0.75

∴APAHPH11.478.489.8（米）；

即A，P两点间的距离为89.8米；

（2）∵ADDE，DEFDAP，当F，D，P在同一条直线上时，

∴ADPEDF，

∴ADP≌EFDASA，

∴APEF，

∴只需测量EF即可得到AP长度；

∴乙小组的方案用到了②；

【典例2】（2024·重庆·中考真题）在VABC中，ABAC，点D是BC边上一点（点D不与端点重合）．点D

关于直线AB的对称点为点E，连接AD,DE．在直线AD上取一点F，使EFDBAC，直线EF与直线

AC交于点G．

(1)如图1，若BAC60,BDCD,BAD，求AGE的度数（用含的代数式表示）；

(2)如图1，若BAC60,BDCD，用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明；

(3)如图2，若BAC90，点D从点B移动到点C的过程中，连接AE，当△AEG为等腰三角形时，请直

CG

接写出此时的值．

AG

【答案】(1)60

2

(2)CG3DE

3

3135

(3)或

22

【分析】（1）由三角形内角和定理及外角定理结合EFDBAC即可求解；

（2）在CG上截取CMBD，连接BM,BE，BM交AD于点H，连接BE,AE，先证明，再证明四边形EBMG

是平行四边形，可得CG2BD，记AB与DE的交点为点N，则由轴对称可知：DEAB，NEND，再

解Rt△BND即可；

（3）连接BE，记AB与DE的交点为点N，由轴对称知EABDAB，DEAB，NEND，

EBADBA45，当点G在边AC上时，由于EAG90，当△AEG为等腰三角形时，只能是AEAG，

同（1）方法得BAD，AGE，Rt△AFG中，290，解得30，然后AFx，解直角

三角形，表示出AG2x，CG31x，即可求解；当点G在CA延长线上时，只能是GEGA，设

BADBAE，在RtAFE中，90180290，解得60，设GFx，解直角三角形求

出CG53x，即可求解．

【详解】（1）解：如图，

∵EFDBAC，BAC60，

∴EFD60

∵EFD1BAD1，

∴160，

∵AGE1BAC180，

∴AGE1806011201，

∴AGE1206060；

2

（2）解：CG3DE，

3

在CG上截取CMBD，连接BM,BE,AE，BM交AD于点H，

∵ABAC,BAC60，

∴VBCA为等边三角形，

∴ABCC60,BCAB，

∴△ABD≌△BCM，

∴3=4，

∵AHM35，

∴AHM4560，

∵EFDBAC60，

∴AHMEFD，

∴EG∥BM，

∵点D关于直线AB的对称点为点E，

∴AEAD,BEBD,ABEABC60，

∴EBC120，

∴EBCC180，

∴EB∥AC，

∴四边形EBMG是平行四边形，

∴BEGM，

∴BEGMBDCM，

∴CG2BD，

记AB与DE的交点为点N，

则由轴对称可知：DEAB，NEND，

3

∴RtDNB中，DNBDsinABCBD，

2

∴DE2DN3BD，

CG2BD2

∴3，

DE3BD3

2

∴CG3DE；

3

（3）解：连接BE，记AB与DE的交点为点N，

∵ABAC,EFDBAC90，

∴ABC45，

由轴对称知EABDAB,EBADBA45,DEAB,NEND，

当点G在边AC上时，由于EAG90，

∴当△AEG为等腰三角形时，只能是AEAG，

同（1）方法得BAD，AGE，

∴EAB，

∴EAD2，

∵AEAG,EGAD，

∴FAGEAD2，

∴Rt△AFG中，290，解得30，

∴EAD60，而AEAD，

∴△AED为等边三角形，

∴AEED，

设AFx，

∵EAD60，

AF

∴AGAEED2x，

cos60

∴DNx，

DN

∴在Rt△DAN中，AN3DN3x，

tanDAB

∵DEAB,ABC45，

DN

∴BNDNx，

tan45

∴ACAB3xx，

∴CGACAG3xx2x31x，

CG31

∴；

AG2

当点G在CA延长线上时，只能是GEGA，如图：

设BADBAE，

∴DACGAF90，EAF1802，

∴GAEEAFGAF90，

∵GEGA，

∴GAEGEA90，

∵EFDBAC90

∴在RtAFE中，90180290，

解得60，

∴DAC906030GAF，

设GFx，则AGGE2x，AF3x，

在Rt△EFA中，EF2xx3x，由勾股定理求得AE23x，

在Rt△EAN中，ANAEcos603x，ENDNBNAEsin603x，

∴ABAC3x3x，

∴CGAGAC53x，

CG35

∴，

AG2

CG3531

综上所述：或．

AG22

【点睛】本题考查了三角形的内角和，外角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，

解直角三角形，等腰三角形的分类讨论，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是

解题的关键．

【变式3-1】（2023·湖南岳阳·一模）如图，在VABC中，ABAC，D、E是BC边上的点．请从以下三个

条件：①BDCE；②BC；③BADCAE中，选择一个合适的作为已知条件，使得ADAE．

(1)你添加的条件是______（填序号）；

(2)添加了条件后，请证明ADAE．

【答案】(1)①（答案不唯一）

(2)见解析

【分析】（1）利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解即可；

（2）结合（1）进行求解即可．

【详解】（1）解：可选取①或③（只选一个即可），

故答案为：①（答案不唯一）；

（2）证明：当选取①时，

ABAC，

BC，

在△ABD与△ACE中，

ABAC

BC，

BDCE

△ABD≌△ACESAS，

ADAE；

当选取③时，

ABAC，

BC，

在△ABD与△ACE中，

BADCAE

ABAC，

BC

ABD≌ACEASA，

ADAE．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活

运用．

【变式3-2】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在VABC和DEF中，点A、E、B、D在同一条直线

上，AC∥DF，ACDF，只添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（）

A．AEDBB．CFC．BCEFD．ABCDEF

【答案】C

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明AD，再根据三角形全等的判定方法做出选择即

可．

【详解】解：∵AC∥DF，

∴AD，

A、∵AE＝DB，AD，ACDF，∴AEEBDBEB，∴ABC≌DEFSAS，该选项不符合题意；

B、∵CF，ACDF，AD，∴ABC≌DEFASA，该选项不符合题意；

C、BCEF，AD，ACDF不能判断△ABC≌△DEF，该选项符合题意；

D、∵ABCDEF，AD，ACDF，∴ABC≌DEFAAS，该选项不符合题意．

故选：C．

【变式3-2】（2024·四川南充·模拟预测）如图，在VABC中，ACB90，CAB35，将VABC沿AB边

所在直线翻折得△ABC，连接CC交AB于点D，则BCC的度数为（）

A．35B．45C．55D．65

【答案】A

【分析】本题考查由翻折，全等三角形的性质，由翻折得到ABC≌ABC，ABCC即可得到BCBC，

ABCABC，ACBACB90，然后根据余角的性质得到BCCCAB90ACC35即

可．

【详解】∵将VABC沿AB边所在直线翻折得△ABC，

∴ABC≌ABC，ABCC，

∴BCBC，BDCACB90，CABCAB35，

∴BCCCAB90ACC35，

故选：A．

【变式3-3】（2023·四川成都·二模）如图，OB是AOC内的一条射线，D、E、F分别是射线OA、射线OB、

射线OC上的点，D、E、F都不与O点重合，连接ED、EF，添加下列条件，能判定DOE≌FOE的是（）

A．DOEEOF，ODEOEFB．ODOF，EDOA，EFOC

C．DEOF，ODEOFED．ODOF，ODEOFE

【答案】B

【分析】运用全等三角形的判定方法逐项判定即可．

【详解】解：A.DOEEOF，ODEOEF不符合对应边、对应角相等，故不能证明DOE≌FOE，

故不符合题意；

B.ODOF，EDOA，EFOC，运用HL可证DOE≌FOE，故符合题意；

C.DEOF，ODEOFE不符合对应边、对应角相等，故不能证明DOE≌FOE，故不符合题意；

D.ODOF，ODEOFE再加上隐含条件OEOE,运用SSA不能证得DOE≌FOE，故不符合题

意．

故选B．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，知道SSA不能判定三角形全等是解答本题的关键．

【变式3-4】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，C90，BAC的平分线交BC于点D，

过点D作DEAB于点E．

(1)求证：ACAE；

(2)若AC4，BC3，求CD的长．

【答案】(1)证明见解析；

4

(2)CD的长为．

3

【分析】（1）根据角平分线的性质得到DECD，再证明Rt△ACD≌Rt△AED即可得到ACAE；

（2）根据勾股定理求得AB5，设CDx，则DECDx，BD3x，再应用勾股定理即可求解．

本题考查了解平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．

【详解】（1）解：BD是BAC的角平分线，C90，DEAB，

∴DECD，

DECD

∵，

ADAD

∴RtACD≌RtAEDHL，

∴ACAE；

（2）解：∵C90，AC4，BC3，ACAE，

∴ABAC2BC242325，AEAC4，

∴BEABAE1，

设CDx，则DECDx，BD3x，

在RtBED中，DE2BE2BD2，

2

即x2123x，

4

解得：x，

3

4

∴CD的长为．

3

【变式3-5】（2024·浙江宁波·三模）如图，在66的方格纸中，有VABC，仅用无刻度的直尺，分别按要求

作图：

(1)在图1中，找到一格点D，使VABC与ACD全等；

(2)在图2中，在BC上找一点E，使得SABE:SACE2:3．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查作图—应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，

解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

（1）构造平行四边形ABCD即可；

（2）取格点P，Q，连接PQ交BC于点E，连接AE即可（利用相似三角形的性质PCE∽QBE,证

明:BE:ECBQ:PC2:3）．

【详解】（1）解：如图1中，点D即为所求；

（2）如图2中，点E即为所求．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，

其中射线OP为AOB的平分线的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】D

【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质

和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．

【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，OP为AOB的平分线；

第二个图，由作图可知：OCOD,OAOB，

∴ACBD，

∵AODBOC，

∴△AOD≌△BOC，

∴OADOBC，

∵ACBD，BPDAPC，

∴BPD≌APC，

∴APBP，

∵OAOB,OPOP，

∴△AOP≌△BOP，

∴AOPBOP，

∴OP为AOB的平分线；

第三个图，由作图可知ACPAOB,OCCP，

∴CP∥BO，COPCPO，

∴ÐCPO=ÐBOP

∴COPBOP，

∴OP为AOB的平分线；

第四个图，由作图可知：OPCD，OCOD，

∴OP为AOB的平分线；

故选D．

2．（2024·湖南·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，线段CD绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为，

点F在直线DE上，且ADAF，连接BF．

(1)如图1，当090时，求证：EF2BF．

(2)如图2，取线段EF的中点G，连接AG，已知AB2，请直接写出在线段CE旋转过程中（0360）

△ADG面积的最大值．

【答案】(1)见解析

(2)△ADG面积的最大值为12

【分析】（1）连接BE，计算得到BCE90BAF，利用SAS证明△BCE≌△BAF，推出EBF是等

腰直角三角形，据此即可证明EF2BF；

（2）过点G作AD的垂直，交直线AD于点H，连接AC，BD相交于点，连接OG，利用直角三角形的性

质推出点G在以点O为圆心，OB为半径的一段弧上，得到当点H、O、G在同一直线上时，GH有最大值，

则ADG面积的最大值，据此求解即可．

【详解】（1）解：连接BE．

DCE，

BCE90BAF，

CDCEADAFBC，

BCE≌BAFSAS，

BFBE，ABFCBE．

ABC90，

EBF90

EBF是等腰直角三角形，

EF2BF；

（2）解：过点G作AD的垂线，交直线AD于点H，连接AC，BD相交于点，O，连接OG，

由（1）得EBF是等腰直角三角形，又点G为斜边EF的中点，

BGEF，即BGD90，

四边形ABCD是正方形，

OBOD．

OBODOG，

点G在以点O为圆心，OB为半径的一段弧上，

当点H、O、G在同一直线上时，GH有最大值，则ADG面积的最大值，

11111

GHABOGABBD22212．

22222

1

ADG面积的最大值为ADGH12．

2

【点睛】本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、

直角三角形的性质、勾股定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．

k

3．（2024·湖北·一模）如图，一次函数ykxbk0的图象与反比例函数y2k0的图象在第一

1112x2

象限内交于点A，与y轴交于点C，与x轴交于点B，C为AB的中点，SVAOC4．

(1)求k2的值；

(2)当OB2，y1y20时，求x的取值范围．

【答案】(1)k216

(2)x2

【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识

解决问题，

（1）过点A作y轴的垂线，垂足为D，证明VADC≌V