七年级数学专项复习：数轴角度中动态问题技能提升训练

专题02技能提升

1.(2020・宿迁市期末)如图①，已知线段AB=20aw,CD=2cm,线段C£)在线段4B上运动，E、尸分别是AC、BD

的中点.

(1)若AC=4c/w,贝！|£/=cm.

(2)当线段CO在线段AB上运动时，试判断跖的长度是否发生变化？如果不变请求出跖的长度，如果变化，

请说明理由.

(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知NCOD在NAO3内部转动，OE、。厂分别平分NAOC在

ZBOD,则NEO尸、NAOB和NC8有何关系，请直接写出_______________________.

••♦•♦♦

AECDFB

图①图②

【答案】(1)11；(2)(3)见解析.

【解析】解：

(1)VAB=20cm,CD=2cmfAC=4cm,

：.BD=AB~AC~CD=20—2—4二14皿

•：E、尸分别是AC、的中点，

EC=2cm,DF=7cm,

.*.EF=2+2+7=llcm；

(2)跖的长度不发生变化，

•；E、1分别是AC、5。的中点,

11

：.EC=—AC,DF=—DB,

22

:・EF=EC+CD+DF

AC+CD+-

22

(AC+B£»+CZ)

2

」(AB—CD)+CD

2

=—(AB+C£»,

2

VAB=20cm,CD=2cm,

EF-—(20+2)=llcm；

2

(3)ZEOF=—(ZAOB+ZCOD^.

2

理由：；OE、OF分别平分NAOC在NBO。，

/COE=g/AOC,NDOF=；ZBOD,

：.ZEOF^ZCOE+ZCOD+ZDOF

=—ZAOC+ZCOD+—ZBOD

22

=2(ZAOC+ZBOD)+ZCOD

(ZAOB-ZCOD)+ZCOD

=[(ZAOB+ZCOD).

故答案为：NEOF=g(ZAOB+ZCOD).

2.(2020•长沙市期末)一套三角尺(分别含45°，45°，90°和30。，60°，90°的角)按如图所示摆放在量角器上，

边PZ)与量角器0。刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角尺AB尸绕量角器中心点P以每秒10°的

速度顺时针旋转，当边QB与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺A3P的运动时间为f.

(1)当。=5时，边QB经过的量角器刻度线对应的度数是度；

(2)若在三角尺A3P开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止

旋转时，三角尺PCD也停止旋转.

①当f为何值时，边PB平分NCPD；

②在旋转过程中，是否存在某一时刻使NBP£>=2NAPC,若存在，请求出f的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(D85°；(2)见解析.

【解析[解：(1)当t=5秒时，由旋转知，10以5=50。

180°-45°-50°=85°,

故答案为:85；

（2）①如图所示

VPB平分/CPD；

1

ZCPB=ZBPD=-ZCPD=30°,

2

ZAPC=ZAPB-ZCPB=45°-30°=15°,

由/MPN=180°得，10f+15+60+2f=180,

解得，t=335,

4

35

...当t=一秒时，边PB平分/CPD；

4

②设在t秒时，ZBPD=2ZAPC,t<13.5

在t秒时，边BP对应的刻度是（135-10t）°,

边PD对应的刻度是2t°,即ZBPD=|135-12t|°

边AP对应的刻度是（180-10t）°

边PC对应的刻度是（60+2t）°,ZAPC=|120-12t|0

故|135-12t|=2|120-12t|,

⑼,日35125

解侍：t=—或t=-----.

412

3.（2019•泰州市期末）如图，在射线OM上有三点A,B,C,满足OA=20cm,AB=60cm,BC=10cm,点P从

点O出发，沿OM方向以lcm/s的速度运动，点Q从点C出发在线段CO上向点。匀速运动（点Q运动到点。时

停止运动），两点同时出发.

（1）当PA=2PB（P在线段AB上）时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的中点，求点Q的运动速度；

（2）若点Q的运动速度为3cm/s,经过多长时间P,Q两点相距70cm?

OABCM

IIIII

【答案】见解析.

【解析】解：

（1）♦点P在线段AB上时,PA=2PB,AB=60cm

AP=40cm,OP=OA+AP=60cm,

t=60s

:点Q是线段AB的中点

1

BQ=—AB=30cm

・・・CQ=BC+BQ=40cm,

402

点Q的运动速度为—cm/s；

603

(2)设运动时间为t秒

则OP=t,CQ=3t,OC=90cm,PQ=70cm

分以下两种情况：

①当点P、Q相向而行时

t+3t+70=90,解得t=5

②当点P、Q直背而行时

点Q运动30s到点。停止运动后，点P继续运动40s,点P、Q相距70cm,此时运动时间为70s

经过5秒或70秒，P、Q两点相距70cm.

4.(2019•浙江杭州市月考)如图，数轴上点A,3表示的数分别为-40,50,现有一动点尸以2个单位每秒的速

度从点A向3运动，另一动点。以3个单位每秒的速度从点3向A运动.当AQ=3PQ时，运动的时间.

I__i__A|P__I__|__i__|__J_Q____B

-40050

【答案】15秒或20秒.

【解析】解：设运动时间为t,

则P点表示的数为-40+2t,Q点表示的数为50-3t,

①P、Q相遇前，

AQ=50-3t-(-40)=90-3t,PQ=50-3t-(-40+2t)=90-5t,

贝i」90-3t=3(90-5t),解得：t=15

②P、Q相遇后

同理，得：90-3t=3(5t-90)

解得：t=20

故答案为：15秒或20秒.

5.(2020•宜兴月考)如图，数轴上有A、B、C、D、O五个点，点O为原点，点C在数轴上表示的数是5,线段

CD的长度为6个单位，线段AB的长度为2个单位，且B、C两点之间的距离为13个单位，请解答下列问题：

ABOCD

【,i______Z】

0s

(1)点D在数轴上表示的数是一，点A在数轴上表示的数是一；

(2)若点B以每秒2个单位的速度向右匀速运动t秒运动到线段CD上，且BC的长度是3个单位，根据题意列出

的方程是，解得t=—；

(3)若线段AB、CD同时从原来的位置出发，线段AB以每秒2个单位的速度向右匀速运动，线段CD以每秒3

个单位的速度向左匀速运动，把线段CD的中点记作P,求出点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位时运动

的时间.

【答案】⑴11,-10；(2)2M3=3,8；(3)t=2.8或3.6或4.

【解析】解：

(1)•.,点C在数轴上表示的数是5,CD=6,AB=2,8c=13,

/.点D在数轴上表示的数是11,点B在数轴上表示的数是-8,

点A在数轴上表示的数是-10；

(2)2M3=3,解得：仁8；

(3)由题意得，线段CD的中点尸的位置为8,分三种情况讨论：

①当点尸在点8右侧2个单位时，16-2"3/=2,解得：U2.8

②当点尸在点B左侧2个单位时，2r+3-16=2,解得:(=3.6

③当点尸在点A左侧2个单位时，2r+3f-18=2,解得：r=4；

综上，当t=2.8或3.6或4时，点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位.

6.(2020•锡山期中)数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础.若点P为数轴上一动点，点P对应

的数记为a,请你利用数轴解决以下问题：

_____illII_______II

-A-Q-9-1~n~i5~~2~a.~

(1)若点P与表示有理数2的点的距离是3个单位长度，则a的值为.

(2)若数轴上表示数a的点位于一5与2之间，则|a—2|+|a+5|=.

⑶己知点M、N在数轴上，点M对应的数是一1,点N对应的数是3,令点P在点N左侧运动，在点P、M、N中，

若其中一点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，请直接写出此时点P所表示的数.

【答案】(1)5或-1；(2)7；(3)见解析.

【解析】解：⑴2-3=-1,2+3=5

a=5或-1

(2)原式=2-a+(a+5)

=2-a+a+5

=7

(3)①当P在M左侧时，当PM=3MN时，Pi=-13；

当PN=3PM时，P2=-3；

7

当MN=3PM时，P=--；

33

当PN=3MN时，P4=-9；

②当P在MN之间时，当PM=3PN时，P5=2；

当PN=3PM时，P6=0；

,…1

当MN=3PM时，P^=-

3

当3PN=MN时，P=-.

83

7.(2020•哈尔滨市月考)如图，已知数轴上有三点A、B、C,AC=2/3,点C对应的数是200,30=300.

(1)点A对应的数为；点3对应的数为.

ABC

------------------------------------------------------・A

(2)如图，动点尸、Q分别从4、。两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点尸、。、。的

速度分别为1。个单位长度每秒、5个单位长度每秒、2个单位长度每秒，点〃为线段网的中点，设运动时间是/

秒，求/秒时M点表示的数(用含/的表达式表示)；

ABC

----------------------•-----------•-----------•-------->■

(3)如图，在(2)的条件下，点N为线段RQ中点，多少秒时恰好满足上发=4RV.

ABC

♦・-------------・A

【答案】(1)-400,-100；(2)(3)见解析.

【解析】解：(1)由AC=2AB,得AC=2BC=600,

A点表示的数是：200-600=-400,

B点表示的数是：200-300=-100.

(2)根据题意：AP=10t,AR=2t,

则PR=AP+AR=12t

是PR中点

；.MR=6t,AM=MR-AP=4t

t秒M点表示数为：-4004.

(3)①当点Q在点R右侧时，

ABC

------------------------------•-------------•------••------•-A

MRN0

AR=2t,R表示数为-400+23

CR=200-(-400+2t)=600-2t

VCQ=5t

.,.RQ=RC-CQ=600-7t

•・・N为RQ中点

17

...RN=-RQ=300--1

22

由MR=4RN,得：

7,

6t=4(300-—t),解得:t=60；

2

7

②当点Q在点R左侧，RN=-t-300,

2

ABC

•・・•・•・A

MONR

7

；.6t=4(-t-300),

2

解得t=150

故当时间为60秒或150秒时，恰好满足MR=4RN.

8.(2020•杭州市期末)如图，数轴上点A表示的数为-2,点8表示的数为8.点尸从点A出发，以每秒3个单位长

度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点。从点8出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为f

秒(/>0).

ABAB

-208-208^

备用图

(1)填空：①A、2两点间的距离,线段AB的中点表示的数为；

②用含f的代数式表示：f秒后，点P表示的数为；点。表示的数为；

(2)求当/为何值时，|PQ|=g|A3|；

3

(3)当点尸运动到点2的右侧时，线段外的中点为N为线段PB的三等分点且靠近于尸点，求1PMi—-|3N|

4

的值.

【答案】(1)@10；3；②-2+3t,8-2t；(2)1或3；(3)5.

【解析】解：(1)①答案为：10,3；

②由题可得，点P表示的数为-2+3t,点Q表示的数为8-2t；

故答案为：-2+3t,8-2t；

(2)t秒后，点P表示的数-2+33点Q表示的数为8-23

.,.|PQ|=|(-2+3t)-(8-2t)|=|5t-10|,

.*.|5t-10|=5,

解得：t=l或3.

(3)：PA的中点为M,N为PB的三等分点且靠近于P点，

113

二|MP|=-|AP|=-x3t=-1,

222

22220

|BN|=-|BP|=-(|AP|-|AB|)=-x(3t-10)=2t-——，

3333

33320

|PM|——|BN|=—t-—(2t—)=5.

4243

9.(2020•成都市期中)在数轴上，点A代表的数是—12，点3代表的数是2,AB代表点A与点3之间的距离，

(1)填空

①.

②若点P为数轴上点A与3之间的一个点，且4P=6,则8P=.

③若点尸为数轴上一点，且8尸=2，则AP=.

(2)若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点。到点3的距离的和是35,求C点表示的数；

(3)若P从点A出发，。从原点出发，M从点3出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，尸点的运动速

度是每秒6个单位长度，。点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，在尸、Q、

M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？

【答案】见解析.

【解析】解：(1)①;A点代表的数是-12,B3点代表的数是2

AAB=2-(-12)=14.

故答案为：14.

②：点P为数轴上AB之间的一点,且AP=6,

.\BP=AB-AP=8.

故答案为：8.

③；点P为数轴上一点，且BP=2,

；.AP=16或12.

故答案为：16或12.

(2);C点到点A的距离与C点到点B的距离之和为35.

①当C点在A点左侧时，AC+BC=2AC+AB=35

212145

AC=—,C点表不的数为-12-----=------

222

②当C点在B点右侧时，AC+BC=AB+2BC=35

；.BC=一21,C点表示的数为2+2—1=2」5.

222

(3)①当点Q到点P、M两个点距离相等时，

-12-6t+2-2t=2(-8t),解得t=*,

4

391

此时P点表示的数为-昼，Q点表示的数为-10,M点表示的数为-].

②当P点到Q、M两个点距离相等时,

8t+2-2t=2（-12-60,解得t=-13（舍）

③当P、Q重合时，-12-6t=-8t

解得t=6,

此时P点表示的数为-48,Q点表示的数为-48,M点表示的数为-10.

10.（2020・无锡市月考）阅读下面的材料：如图，在数轴上，点A表示-10,点B表示11,点C表示18.动点P从

点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个

单位的速度匀速运动，设运动时间为t秒.

（1）当1=时，P、Q两点相遇?

（2）若点P与点O之间距离记为PO,点B与点Q之间的距离记为BQ；在点Q出发后到达B点之前，求t为何

值时，BQ=2PO；

（3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN-PC的值.

281327

【答案】（1）—（秒）；（2）—秒或—秒；（3）28.

335

【解析】

解：（1）设运动时间为t秒，PQ相遇

VAC=18-（-10）=28,AP=2t,CQ=t

28

・・・2t+t=AC,即3t=28,解得：t=——（秒）

3

28

故答案为：—（秒）；

3

（2）①当点P运动到O点的左边时，有

13

2（10-2t）=7-t,解得:t=一（秒）；

3

②当点P运动到O点的右边时，有

27

2（2t-10）=7七解得:（秒）；

1327

即t为一秒或一秒时，BQ=2PO；

35

（3）VAP=2t,

・・.P点表示的数为：2t-10,

TN是AP的中点，

.\NP=t,

.•.点N表示的数为：t-10

.\2CN-PC=2[18-(t-10)]-[18-(2t-10))]=28.

11.(2020•丽水市期末)如图，已知/AO8=120。，射线OP从OA位置出发，以每秒2。的速度顺时针向射线OB旋

转；与此同时，射线OQ以每秒6。的速度，从位置出发逆时针向射线04旋转，到达射线。4后又以同样的速

度顺时针返回，当射线。。返回并与射线。P重合时，两条射线同时停止运动.设旋转时间为/秒.

(1)当仁2时，求的度数；

(2)当/POQ=40。时，求f的值；

(3)在旋转过程中，是否存在f的值，使得/尸。。=；/4。。？若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：当O。，OP第一次相遇时，2f+6/=120,U15

当。。刚到达OA时，6/=120,1=20

当。。，0P第二次相遇时，6z=120+2f,仁30；

(1)当仁2时，ZAOP=2t=4°,ZB0Q=6t=12o,

：.ZPOQ=ZAOB-ZAOP-ZBOQ=120°-4°-12°=104°.

(2)由题意得：

2t+6t=120+40或2t+6t=120-40,

解得：t=20或t=10

当/尸0。=40。时，t的值为10或20.

(3)由题意得：120-8r=y(120-60,120-8r=60-3z,U12；

或2t—(120-6f)=—(120-6t),r=]].

或2/—(6/-120)=—(6Z-120),.

27

..,180„180,.1

存在f=12或---或----，使得zNPOQ=u/A。。.

1172

12.(2020・长沙市期末)如图1,。为直线上一点，过点。作射线OC,NAOC=30。，将一直角三角板(/。=

30°)的直角顶点放在点。处，一边OE在射线OA上，另一边。。与OC都在直线AB的上方.

,D

X工

AEOBAO

图1图2

（1）将图1中的三角板绕点O以每秒5。的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2,经过/秒后，。。恰好平分/30C.

①此时f的值为；（直接填空）

②此时OE是否平分/AOC?请说明理由；

（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线0C也绕。点以每秒8。的速度沿顺时针方向旋转一周，如

图3,那么经过多长时间OC平分/OOE?请说明理由；

（3）在（2）问的基础上，经过多长时间0C平分请画图并说明理由.

【答案】（1）①3,②（2）（3）见解析.

【解析】解：

（1）①•.•/AOC=30°,ZAOB=180°,

AZBOC=ZAOB-ZAOC=150°,

1

:./BOD=—BOC=15°,

2

".t—3；

故答案为3；

②是，理由如下：

:转动3秒，AZAOE=15°,

：.ZCOE=ZAOC-ZAOE=15°,

：.ZCOE=ZAOE,

即OE平分NAOC.

（2）三角板旋转一周所需的时间为=迎=72（秒），射线OC绕。点旋转一周所需的时间为出=45（秒）,

58

设经过x秒时，OC平分/OOE,

由题意:①8x-5x=45-30,

解得：x=5,

②8x-5x=360-30+45,

解得：x=125>45,不合题意，

③•.•射线OC绕。点旋转一周所需的时间为理=45（秒），45秒后停止运动，

8

；.0E旋转345。时，OC平分NOOE,

345

—=69(秒)，

综上所述，f=5秒或69秒时，OC平分/QOE.

3

。。旋转到与。8重合时，需要90+5=18(秒)，0c旋转到与。2重合时，需要(180-30)+8=18二(秒),

4

设经过尤秒时，OC平分ND08,

由题意：8x-(180-30)=—(5x-90),

2

即经丁丁秒时，OC平分/。。艮

13.(2020•河北沧州市期中)如图1所示，将一副三角尺AOB与COD放置在直线MN上.

(1)将图1中的三角尺COD绕O点顺时针方向旋转至图2位置，使OC旋转至射线OM上，此时OD旋转的角度

为;

(2)将图2中的三角尺COD绕O点顺时针方向旋转180°,

①如图3,当OC在NAOB的内部时，求/AOD-/BOC的值；

②若旋转的速度为每秒15。，经过t秒，三角尺COD与三角尺AOB的重叠部分以O为顶点的角的度数为30。，求t

的值.

图1图2图3

【答案】(1)90°；(2)①30。；②t为4秒或10秒.

【解析】解：

(1)此时OD旋转的角度为90。；故答案为：90°；

(2)①在三角板AOB和三角板COD中，

B

VZBOA=60°,ZCOD=90°,

ZAOD=ZCOD-ZAOC=90°-ZAOC,

ZBOC=ZAOB-ZAOC=60°-ZAOC,

AZAOD-ZBOC=90°-ZAOC-(60°-ZAOC)=30°；

②如图，

ZDOB=180°-ZCOD-ZAOB=180o-90O-60o=30°,

ZCOB=ZCOD+ZDOB=90°+30°=120°,

分两种情况讨论：

当NBOD=30。时，

OD旋转过的角度为60。，则15t=60,；.t=4；

当NAOC=30。时，

OC旋转过的角度为150°,则15t=150,/.t=10,

综上所述，t为4秒或10秒.

14.（2020.山东青岛市期末）如图1,点。为线段跖V上一点，一副直角三角板的直角顶点与点。重合，直角边。0、

50在线段ACV上，ZCOD=ZAOB=90°.

c

(1)将图1中的三角板CO。绕着点。沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若NAOC=35。，则N3QD=