直角三角形的边角关系（单元重点综合测试）解析版-2024-2025学年北师大版九年级数学下册

直角三角形的边角关系（单元重点综合测试）

考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分

一、单选题

1.在RtZ\/3C中，ZC=90°,若△48C的三边都扩大5倍，贝”sinN的值（）

A.放大5倍B.缩小5倍C.不能确定D.不变

【答案】D

【分析】直接利用锐角的正弦的定义——“锐角A的对边a与斜边c的比叫做//的正弦，记作sin/”求解.

【解析】解：•.-ZC=90°,

sin/=//的对边与斜边的比，

•••△4BC的三边都扩大5倍，

・•・一/的对边与斜边的比不变，

•1.sinA的值不变.

故选：D.

2.若tan4=3,则锐角4的度数是（）

3

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】A

【分析】因为tan/=也，/为锐角，由特殊角的三角函数值即可解答.

3

【解析】解：tan/=",/为锐角，

3

由特殊角的三角函数值知：4=30。，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答关键.

3.如图，在RtZXZBC中，CD是斜边48上的高，4w45。，则下列比值中等于cos力的是（）

ACBCCBAB

【答案】C

【分析】根据cosZ=得匚，分别写出RtZ^ACD.Rt拗CD中，关于cos，的比值.

斜边

rr々刀土匚yA邻边

【解析】cosA=——,

斜边

AQ

在RtZ\48C中，cosA=---,

AB

4D

在RtZkACZ）中，cosA=---,

AC

NA+NB=90°,ZB+/BCD=90°,

N/=/BCD,

CD

在中，cosA=——.

CB

故选：C

【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握三角函数的比值是解题的关键.

4.下列不等式，成立的是（）

A.sin60°<sin45°<sin30°B.cos60°>cos45°>cos30°

C.tan60°<tan450<tan30°D.cot30°>cot45°>cot60°

【答案】D

【分析】根据特殊角三角函数值比较即可.

【解析】解：特殊角的三角函数值如下表所示：

30°45°60°

度三角函数名

j_V2V3

sin

2~T~T

V3V2j_

cos

2~T2

百

tan1G

"T

V3

cotV31

~T

由表格可知：

选项A错误，正确应为：sin60。>sin45。>sin30。；

选项B错误，正确应为：cos60°<cos45°<cos30°；

选项C错误，正确应为：tan60°>tan45°>tan30°；

选项D正确，

故选D.

【点睛】本题考查特殊角三角函数值和比较它们的大小，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.也可以

利用结论来判断，判断依据：一个锐角的正弦值和正切值随着角度的增大而增大，一个锐角的余弦值和余

切值随着角度的增大而减小.

5.如图：小军要测量河内小岛B到河岸/的距离，在A点测得NR4O=30。，在C点测得/BCD=60。，又

测得ZC=10米，则小岛8到河岸L的距离为（）

C20―

A.5百D.5+56

,3

【答案】A

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点为：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的

和；等角对等边；一个角的正弦值等于这个角所在的直角三角形中对边与斜边之比.根据三角形外角的性

质和等角对等边易得ZC=5C.那么利用60。的正弦函数可求得AD长，也就是小岛3到河岸上的距离.

【解析】解：TNBAD=30°,/BCD=60°,

45。=30°,

8C=/C=10米，

由题意得/8DC=90°

.1BD=3Cxsin60°=5百米.

故选：A.

6.如图，在8x4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1,若△/BC的三个顶点在图中相应的格点上，

则tan4c3的值为（）

A.1B.-C.-D.—

322

【答案】B

【分析】在直角A/CD中利用正切函数的定义即可求解.

【解析】解：过N作4D28C于。，

N厂;

在直角A/C。中，40=2,CD=6,

则tanNNC8=9=2=’.

CD63

故选：B.

【点睛】本题考查了正切函数的定义，掌握三角函数就是直角三角形中边的比是关键.

2

7.如图，在等腰中，AB=AC,SC=10cm,SAABC=60cm,贝UtanB的值为（）

【答案】A

【分析】过点工作4。2BC于点。，根据三角形的面积公式求出12cm,根据等腰三角形三线合一,

求出8D=；BC=5cm,最后根据正切的定义即可求解.

【解析】解：过点N作4D人8c于点。，

1,

2

•：-BC-AD=S^ABC,BC=10cm,S^ABC=60cm,

.-.-xl0AD=60

2f

/.AD=12cm,

VAB=AC,AD,LBC,BC=10cm,

BD=—BC=5cm,

2

n4D12

tanB=----

BD~5

故选：A.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，求角的正切值，解题的关键是掌握等腰三角形“三线合一”，正

确作出辅助线，构造直角三角形求解.

8.如图，已知一次函数歹=履+△的图象与x轴交于点/(-2,0),且经过点3(6,6),。为坐标原点，贝|

sinZBAO=()

【答案】C

【分析】过点8作轴于点C,根据点8(6,6),得出2C=6,OC=6,求出NC=2+6=8,根据勾

股定理求出”=/+叱=10,根据三角函数定义求出结果即可.

【解析】解：过点8作3c_Lx轴于点C,如图所示：

贝|JN/C5=9O。，

■:点B（6,6）,

/.BC=6,OC=6,

-2,0）,

OA-2,

，/C=2+6=8,

■■■AB=ylBC2+AC2=10）

.-.sinZBAO=-=—=故C正确.

AB105

故选：C.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，求三角函数值，解题的关键是熟练掌握三角函数定义.

9.如图，在中，4B=AC,区D_LZC于。，BE平分NABD交AC于E,sinA=~,BC=2屈.则

NE的值为（）

A.4B.5C.8D.10

【答案】B

【分析】根据正弦的定义得出空=3,设3x,则48=/C=5x,勾股定理求得48=10,40=8,80=6,

AB5

过点A作阴〃BD,交班的延长线于点尸，证明△/£尸6△。仍，根据相似三角形的性质即可求解.

【解析】于。，

AADB=90°,

,、BD3

sinA==—

AB5

设BD=3x,则AB=AC=5x,

在Rt~4AD中，由勾股定理可得：AD=4x,

CD=AC—AD=%,

•・•在RM5QC中，BD2+CD2=BC2,

222

9X+X=（2V10）,解得再=2,X2=-2（不合题意，舍去）,

/.AB=10,AD=8,BD=6,

过点A作矛〃BD、交成的延长线于点尸，

•・.BE平分ZABD,

•••/ABE=/DBE

・・•/IF〃BD,

••・ZF=ZDBE

・•・ZF=/ABE

AB=AF

v/F//BD

•••小AEFs小DEB

AE_AFAB_5

••访―访—访

/.AE=5.

故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正弦的定义，熟练掌握是解题的关键.

10.如图，大正方形48。。是由四个全等的直角三角形（A4BE,KBCF,&CDG,和中间一小

正方形拼成，连接DE.设NBAE=a,ACDE=/3,若tan1=g,贝Utan#的值是（）

【答案】c

RF1

【分析】设CG,DE交于点p,过点尸作根据tana=F=z，不妨设3E=1,则/石=2,勾股

AE2

定理求出48的长，证明AOGPSADHE,求出G尸的长，进而求出C尸的长，三角函数求出CM,的长,

再求出。”的长，利用正切的定义求解即可.

【解析】解：设CG,OE交于点p,过点P作尸

A.__________n

避

BC

大正方形/5CD是由四个全等的直角三角形（△45E,△BCF,ACDG,^DAH）和中间一小正方形用

拼成，ZBAE=a,/CDE=。,

・•.AB=CD,CG=AE=DH,DG=BE=HE/GCD=a,ZAEB=ZDHE=ZDGC=90°,GF//HE,

PMBE1

tana=------=-----=—,

CMAE2

；.CM=2PM,

设BE=1,贝lJ/E=2,

DH=CG=2,DG=BE=HE=1,

/.AB=CD=yJ\2+22=45，

-GF//HE,

ADGPSADHE,

PGDG1

：.PG=一,

2

/.CP=2--=-,

22

.­.CP=y/PM2+CM2=45PM=-,

2

.-.PAf,CM

1010

2R

-DM=CD-CM=^^,

5

DM4

故选：c.

【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性

质，综合性强，难度较大，属于选择题中的压轴题,熟练掌握相关知识点，是解题的关键.

二、填空题

11.在Rta/BC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,则N2的正切值为

3

【答案叱

【分析】本题考查了正切的定义，勾股定理的含义,熟练掌握定义是解题的关键.利用勾股定理先求解

AC,再根据tanN=］标计算即可.

AC/

【解析】解:如图,

B

VZC=90°,AB=5,BC=3,

•••AC=yjAB2-BC2=4，

/BC

tanA=-----

AC

,BC3

.♦.tanA-=—

AC4

3

故答案为：—.

4

12.如图，在必中，ZACB=90°,AB=13,AC-12,则cos/=

【分析】本题主要考查了余弦函数的定义，熟练掌握余弦函数的定义是解题的关键.根据余弦函数的应以

即可解答.在直角三角形中，余弦为邻边比斜边.

【解析】解：在R△48。中，

,4c12

cos/=----=——.

AB13

故答案为：，12

19

13.已知方均为锐角，S|sin6Z--|+(tan/?-l)=0,则a+"_.

【答案】75。/75度

【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，特殊角的三角函数值.

根据绝对值和平方的非负性求出sine,tanp的值，进而根据特殊角的三角函数值得到。，夕，进而即可解

答.

1

【解析】解：•・,sma—220,(tan^-1)9>0,

且sina-；+(tan(3-\^-0,

.1

/.sin——=0,(tan/7-1)2=0,

sina=—,tanZ?=1,

2

・•・a-30°,B-45°,

・・・。+尸=30。+45。=75。.

故答案为：75°

14.如图，在A48C中，点。是的中点，DALAC,tan^BAD^,AB=4」L则2c的长度为.

A

【答案】8拒

【分析】作DE||AC交AB于E,如图，根据平行线的性质得NADE=90。，由点D是BC的中点得到DE为

△ABC的中位线，贝ljDE=：AC,AE=BE=；AB=2百，在Rt^ADE中，根据正切的定义得tan/EAD=

1

—,设DE=x,贝!!AD=2x,根据勾股定理得(2x)2+x2=(275)解得x=2,则DE=2,AD=

AD2

4,所以AC=4,然后根据勾股定理计算出CD=4&,再利用BC=2CD计算即可.

【解析】作DEIIAC交AB于E,如图，

•••DEIAD,

.・zADE=90。，

•・•点D是BC的中点，

.-.DE^JAABC的中位线，

11厂

••.DE=—AC,AE=BE=—AB=2S

22

..DE1

在RtAADE中，tan4EAD==—,

AD2

设DE=x,则AD=2x,

VAD2+DE2=AE2,

・•・(2x)2+x2=(2A/5)2,解得x=2,

••.DE=2,AD=4,

・・・AC=2DE=4,

•'-CD=^AC2+AD2=4A/2，

；.BC=2CD=8及

故答案为：872.

【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形，

解题的关键的根据题意作出辅助线，利用中位线的性质求解.

15.如图，建筑物3c上有一旗杆从与3c相距40m的。处观测旗杆顶部/的仰角为50。，观测旗杆

底部2的仰角为45。，旗杆的高度为m.(结果保留小数点后一位，sin50°«0.766,cos50°«0.643,

【答案】7.7

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键.

根据正切的定义，得出NC=47.68m,再根据三角形的内角和定理，结合等腰三角形的定义，得出△BCD

是等腰直角三角形，进而得出BC=CD=40m,再根据线段之间的数量关系，计算即可得出答案.

【解析】解：由题意得：ZACD=9Q°,ZADC=50°,ZBDC=45°,CD=40m,

在（中，

Ar

tanNADC==tan50°,

CD

.■.AC=CD-tan50。»40x1.192=47.68m,

在RtZXSCD中，ZBDC=45°,

...△BCD是等腰直角三角形，

BC=CD=40m,

:.AB=AC-BC=47.6S-40=7.68x7.7m.

•••旗杆的高度为7.7m.

故答案为：7.7.

16.如图，在矩形/BCD中，对角线BO的垂直平分线分别交边48、CD于点£、F.若2。=4,BE=5,

则tan//8O=.

【答案】1/0.5

【分析】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，求正切，连接/E,勾股定理求得

AE,进而根据正切的定义，即可求解.

【解析】解：连接/E,如图所示，

•••3。的垂直平分线分别交边43、CD于点从F.

DE=BE=5,

•.•四边形ABCD是矩形,

：.ADAB=90°,

在RG4DE中，AE=YDE2-AD2=3,

/.AB-AE+BE=3+5=8,

AIJ4

tmZABD=—=-

AB82

故答案为：—.

17.如图，在平面直角坐标系中，菱形4goe的顶点。在坐标原点，边50在％轴的负半轴上,

k

ZBOC=60°顶点C的坐标为（加，3百），反比例函数＞=£的图象与菱形对角线交于点。，连接2。,

X

当ADJ.x轴时，k的值是

【答案】-12月

【分析】本题考查了反比例函数的性质、菱形的性质、直角三角形的性质，延长NC交了轴于E,由菱形的

性质得到/C〃。瓦数”轴，再由NBOC=60。得到NCOE=30。，根据含30。角的直角三角形的三边的

关系得到CE=3,OC=6,计算出点。的坐标，再代入解析式即可求出左的值，熟练掌握菱形的性质以及

含30。角的直角三角形的三边的关系是解此题的关键.

【解析】解：延长/C交V轴于E,如图,

•.・菱形/80C的顶点O在坐标原点，边30在x轴的负半轴上,

ACHOB,

■，•/E_L>轴,

•••NBOC=60°,

/COE=30°,

•・・顶点C的坐标为（冽，36），

.e.OE=3^/3,

:.CE=O£tan30°=—OE=3,

3

OC=2CE=6,

•・•四边形ZBOC为菱形，

：.OB=OC=6,N3CM=30。，

在RtZXBOO中，•.•8。=。3匕1130。=口08=26，

3

.：D点坐标为卜6,2百）,

k

・♦•反比例函数y=—的图象经过点。，

.,.左=-6x2石=-12石，

故答案为：-12也.

18.如图，在RtZ\/8C中，NBAC=90°,工5c于点D,E为/C边上的中点，连接AE1交4D于尸,将△/尸E

沿着/C翻折到ANGE,恰好有G£IIND,贝!ItanN4BG=.

【答案】农

6

【分析】过点G作交及4延长线于〃，设NE=x,则/C=2x,证明四边形/EEG为菱形，得

到/尸=8尸=E尸和△员4£SAC/B,求出4g=J^x，BE=底,AF=EF=—x,然后由菱形性质得

2

AG=BE,证ABAESAAHG,求出/H=YZX,HG==,最后由锐角三角函数定义即可得出结果.

22

【解析】解：过点G作交区4延长线于4,如图所示：

设4£=x,贝！JZC=2x,

由翻折可得：EG=EF,AG=AF,/AEG=/AEF,

GE\\AD,

；./AEG=/EAF,

・•.ZAEF=ZEAF,

AF=EF,即AF=EF=AG=GE,

・•・四边形ZFEG为菱形，

•••NBAE=90。,

・•・/FAE+/FAB=ZFEA+NFBA=90°,

・••/FAB=ZFBA,

・•.AF=BF,

・•.AF=BF=EF,

•；/FBA+/AEB=90°,/FAB+ZABD=90°,

/ABD=ZAEB,

又•・•ZBAE=ABAC=90°,

:ABAES八CAB,

.AB_AC

,•花一益’

/.AB2=AEAC=xx2x=2x2,

AB=y/2x，

:.BE=^AB2+AE2=y/2x2+x2=y/3x，

h

AF=EF=-x,

2

・・,四边形ZFEG是菱形，

NG||BE,AG=AF=BF=EF,

/HAG=/ABE,AG=-BE,

2

又•；NH=NBAE=900,

:ABAESAAHG,

,AG_HGAH

,BE~AE~AB

AH=-AB=—X,HG=-AE=-,

2222

:.BH=AH+AB=—X+42X=^!^,

22

【点睛】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数

等知识，作辅助线并证明△BNESA/HG是解题的关键.

三、解答题

19.计算：

(1)A/8-2sin450+2cos60°+|1-V2|-cos230°tan45°；

⑵(sin600-cos45。)(cos300+sin45。)

cos245°+tan600sin60°

【答案】（1）2行］

【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可；

（2）先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可；

【解析】（1）解：V8-2sin45°+2cos600+11-V21-cos230°tan45°

2

=2V2-2x—+2x-+V2-lxl

22

=2V2-V2+1+V2-1--

4

=2^/2--

4

(2)(sin60°-cos45°)(cos30°+sin45°)

cos245°+tan60°sin60°

44

13

—+—

22

=r2

11

=—X—

42

1

8

【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，熟练的记忆特殊角的三角函数值是解本题的关键.

3

20.在放△/吕。中，ZC=90°,AB=8,cosA=-,求5C的长.

4

【答案】2s

Ar3

【分析】由cos4=*=：,求解/C,再利用勾股定理求解3C即可得到答案.

AB4

3

【解析】解：=ZC=90°,AB=8,cosA=-

4f

AC3

-----——,

AB4

3

/.AC=8x—=6,

4

.­.BC=yjAB2-AC2=V82-62=277.

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键.

21.已知A48C中的乙4与乙8满足（1—taib4）2+sin5-=0.

2

（1）试判断以42。的形状；

（2）求（1+sin^y-2y/cosB-（3+tan。）。的值.

【答案】（1）/»8。是锐角三角形；（2）g.

【分析】（1）根据绝对值的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出NA及NB的度数,

进而可得出结论；

（2）根据（1）中NA及NB的值求出NC的数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可.

【解析】（D叩-tanA）2+|sinB-^-1=0,

n

.,•tanA=1,sinB=——,

2

・・ZA=45。,ZB=6O°,ZC=180°-450-600=75°,

・•.△ABC是锐角三角形；

（2）・.ZA=45。，ZB=6O°,zC=180o-45°-60o=75°,

・•・原式=（1+—）2-2JI-1

2\2

\_

12

22.如图，△4BC中，AB=AC=13,2DL4c于点D,sirU=—

（1）求BD的长；

（2）求tanC的值.

3

【答案】（1）12；（2）,

【分析】（1）根据三角函数得出BD=12即可；

（2）利用勾股定理得出AD=5,进而得出DC=8,利用三角函数解答即可.

12

【解析】解：（1）・.・A45C中，48=/。=13,BDL4c于点D,sinA

13

BD12

N2113'

BP—=—,

1313

解得：50=12；

(2)-AC=AB=13fBD=12,BDLAC,

••DC=8,

BD123

.,•tanzC=

DC82

【点睛】此题考查解直角三角形问题，关键是根据三角函数得出BD的值.

23.在正方形网格中，仅用无刻度直尺按下列要求作图.

（1）如图①中，在48上找点C,使得NC：BC=2：3；

（2）在图②中作ZZ）4B,使得tan〃AB=；.（保留作图痕迹）

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）取格点M，N,连接MN交于点C,点C即为所求作；

（2）利用网格的特点，勾股定理构造直角三角形，根据正切的定义即可求解.

【解析】（1）如图，点C即为所求作.

①

理由，AM〃BN,AM=2,BN=3,

“AMCSABNC,

,ACAM

一就一而一§'

(2)如图，即为所求作.

②

理由，AB=yll2+32=710，

BD=Vl2+12=也，AD=@+22=2A/2，

/笈=10,协+必=2+8=10,

,是直角三角形，且乙450=90°,

1

・..tan皿'嗡一关一天

【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形与网格问题，正切的定义，掌握以上知识是解题的

关键.

24.如图，四边形4BCO中，45=1,AD=CD=4,ZA=ZD=90°,E为40的中点，连接或、

EC.

⑴求证：^ABEs△DEC

(2)求tan-8CE的值

【答案】⑴见解析

⑵tanZBCE=；

【分析】本题主要考查了相似三角形与正切.熟练掌握相似三角形的判断和性质，勾股定理解直角三角形,

正切定义，是解决问题的关键.

1AnAp1

(1)根据中点性质得到/£=。£=彳/。=2,根据/8=1,得到====彳，根据NN=ND=90。，即

2DEZJC2

得△ABES^DEC；

(2)根据相似三角形性质，得至功="CE,得到NZ班+ZMC=90。，得到N5£C=90。，根据勾股定

理得到5£=后，CE=275,即得tan/BCEu].

【解析】(1)・；AD=CD=4,E为4。的中点，

...AE=DE=-AD=2,

2

•・•AB=1,

丝」AE_2_1

・•瓦一2，五一15，

AB_AE

''~DE~~DC"

•・•N4=ND=90°,

・•.△ABES^DEC

(2)•；LABEsdDEC,

・•・乙4EB=ADCE,

・•.AAEB+ZDEC=ZDCE+/DEC=90°,

ZBEC=180°-(ZAEB+/DEC)=90°,

•；BE7AB2+AE2=逐，CE=dDE、CD2=2退，

tanZBCE=—=与=

CE2752

25.如图，在一笔直的海岸线/上有48两个观测站，/在3的正东方向，AB=2（单位：km）.有一艘小船

在点P处，从/测得小船在北偏西60。的方向，从2测得小船在北偏东45。的方向.

⑴求点尸到海岸线/的距离；

（2）小船从点尸处沿射线NP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从2测得小船在北偏西15。的方

向.求点C与点8之间的距离.（上述两小题的结果都保留根号）

【答案】（1）点尸到海岸线/的距离为（遍-1）km；

（2）点C与点B之间的距离为例m.

【分析】（1）过点尸作PD1/8于点。，设PD=xkm,先解RtAPB。，用含x的代数式表示瓦），再解

RIAPAD,用含x的代数式表示然后根据列出关于x的方程，解方程即可；

（2）过点B作8F1/C于点尸，先解RtA48凡得出3尸=lkm,再解RtZ^CF,得出即可.

（1）

解：如图，过点P作尸于点。.

在Rt△尸8D中，4BDP=90°,ZP5£>=90°-450=45°,

-'-BD=PD=xkm.

在Rt△尸/。中，AADP=90°,乙口。=90。-60。=30。,

.•・/£)=行尸Z)=V^xkm.

,；BD+AD=AB,

••・x+V^v=2,

x=V3-l，

•••点P到海岸线I的距离为(8-1)km；

(2)

解：如图，过点2作8FL4C于点尸.

根据题意得：乙13C=105。,

在RtZXABF中，UFB=90°,乙BAF=3Q°,

■.BF=-AB=\km.

2

在中，ZC=18O°-Z5^C-Z^5C=45°.

在RtABCF中，ZBFC=9O°,4c=45°,

•1.SC=V2577=V2km,

二点C与点B之间的距离为V^km.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键.

(1)求直线N2的解析式；

(2)如图2,直线y=gx交直线48于点C,。是48上一点，过点。分别作x轴，y轴的垂线交直线了=gx

于点£,F,求妥的值；

DE

⑶在(2)条件下，尸在直线OC上，且4PO=45。，求点尸的坐标.

【答案】⑴P=-x+4

⑵3

【分析】本题是一次函数综合题，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形等等.

(1)由勾股定理可求。/=08=4,即点/(4,0),点3(0,4),用待定系数法可求直线N8解析式；

(2)设D(d,-d+4),则可求出尸(一3d+12,-d+4),进而得至ljDE=-</+4-/d=+4

DF=\d+3d-12\=\4d-12\,据此可得答案；

(3)过点A作/"1。尸，过点尸作PT，x轴，设点尸，，卜)，解直角三角形得到tanZAOH=tanAPOT=1,

设4F/=x,则OH=3x,用勾股定理建立方程求出x的值，进而求出。尸的长，再利用勾股定理求出。的值

即可求解.

【解析】⑴解：W：\'OA=OB,AB=4亚,ZAOB=90°-

OA=OB=4,

.•.4(4,0),3(0,4),

设直线解析式为：y=kx+4,

••・0=4左+4,

k——1,

・•・直线解析式为：丁=一%+4.

(2)解：设。(d,-d+4),

在y=中，当y=；x=-d+4时，x=-3d+12,当x=d时,

y=}d,

.'.Eyd^dj,尸(-3d+12,-d+4),

—gd+4,DF=\d+3d-12\=\4d-12\,

DE=—d+4—d—

3

DF_|4^-12|

=3

；•DE

--d+4

3

(3)解：过点A作4H，。尸于"，过点尸作轴于T,

在RSOTP中,tan々。厂里=^」

OTa3

i4H

在RtA^O//中，tanZAOH=tanZPOT=-=——,

3OH

设AH=x,贝!jOH=3x，

在中，由勾股定理得力“2+。〃2=。42

.-.X2+（3X）2=42,

,X一+2亚

5

x>0,

2屈

••・X=-------，

5

.“2屈M6M

55

在RtZVP/加中，ZOPA=45°,

PH=AH,

5

：.OP=PH+OH*„,

555

.•.在RtAP07中，由勾股定理得

解得：。=±2三4，

•・,Q>0,

27.已知，在矩形48。中，连接NC,过点。作。FI/C,交4c于点E,交于点尸.

ADAD

图1图2

⑴如图1,若tan/4CD=5-.

①求证：AF=BF；

②连接BE,求证：CD=41BE

(2)如图2,若AF?=AB-BF,求cos/EDC的值.

【答案】(1)①见详解②见详解

2/5-]

2

【分析】(1)①根据图形特征及已知证得/4CO=/4DE,再由=tan44CD的值，推导

AF=^CD,从而得到/斤=AF；

②延长C8,。尸交于点G,由全等三角形推得8是CG的中点，在RtaGEC中，BE=^CG=BC,再由

||=孝即可得出结论；

APAT7

⑵根据条件推出△"尸sA/BC,得到小尸.由*"=而=1rcosSC及

AF2AB-BF_BF之竺=1-黑.建立关于名=人的方程，求解左的值即可.

AB2~AB2~ABABBFAB

本题综合考查了解直角三角形、矩形的性质、相似三角形、实数的运算等知识，综合性较强，灵活运用知

识才能很好解决问题.

【解析】(1)解：在矩形/BCD中,

/ADC=/BAD=9。。.

ZADE+ZEDC=90°.

•：AC1DF,

.\ZACD+ZEDC=90°

ZACD=/ADE.

,tan//CD_——,

DC2

/.tanZADE=,

AD2

_1

'~CD~2'

・•・AB=CD,

：.AF=-AB,

2

即AF=BF.

②如图，延长C5,DF交于点G.

在矩形NBC。中，AD//BC.

NG=/ADE.

在力厂G和中,

ZG=/ADE

</BFG=ZAFD,

AF=BF

:ABFG/小AFD.

BG=AD=BC.

Rtz^GEC中，

BE=-CG=BC.

2

..BCV2

•—,

CD2

,BE_41

••-----=------•

CD2

•••CD=4IBE.

(2)解：在矩形/5CQ中,

ACLDF,

:.AAFD+ZADF=^Q,

:.ZAFD+ZBAC=90°,

ZAFD=ZDAC,

•・•AD\\BCf

ZDAC=ZACB,

/.ZAFE=ZACB，

ZFAD=ZABC=90°,

且ZAFD=NFDC,

.•.△Ws△应，

._AF_

,,~—_,

ABBC

且BC=ND,AD1=AB-AF,

AD2+AF2=DF2=AB-AF+ABBF=AB(AF+BF)=AB2,

ApAp

...cosZAFD=——=——=cosZFDC.

DFAB

,AF2ABBF_B