中考数学几何专项冲刺复习：正方形存在性问题巩固练习（基础）含答案及解析

正方形存在性问题巩固练习

1.如图，抛物线y=--+法+5过点（1,2）、（4,5）,交y轴于点3,直线

经过抛物线顶点A,交x轴于点C,请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）点。在平面内，在第一象限内是否存在点P,使以A,B,P,。为顶点的四边形是正方形？若存在,

直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图，在矩形ABC。中，AB^16cm,AD=6cm,动点尸，。分别从点A,C同时出发，点尸以每秒3c加

的速度向点2移动，点Q以每秒2c机测得速度向点。移动，当点尸到达点B处时，两点均停止移动

（1）P,Q两点出发多长时间，线段尸。的长度为1057?

（2）是否存在某一时刻，使四边形PBC。为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由.

3.如图，在国ABC。中，AB=4,8C=8,NB=60°,点P以每秒2个单位速度，从点8出发沿射线BA

方向运动，同时直线/以每秒1个单位速度，从。出发沿射线方向运动，分别交BC,AC于点G,

H,连结PG,设运动的时间为3当G与B重合时，运动停止.

（1）当f为何值时，以尸，G,H,A为顶点的四边形是平行四边形；

（2）在运动过程中，是否存在以P,G,H,A为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出/的值；若不

存在，请说明理由.

4.如图，在平面直角坐标系中，点A、点8分别在y轴、x轴的正半轴上，且满足多。4一30+（08-40）

2=0,若点尸从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段4?运动，同时点。从B点出发，以每秒

5个单位长度的速度沿线段BA运动，连接尸。，点尸，。的运动时间为f秒.

(1)求直线的解析式；

(2)设△APQ的面积为S,当t为何值时，5=64?

(3)点N在无轴上，在坐标平面上是否存在点使以点P,Q,N为顶点的四边形在某一时刻为

正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

5.如图，在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点A的坐标是(1,3),点P的坐标是(0,6)(6W0).直

线AP交x轴于点2,记点尸关于无轴的对称点为P,点。为x轴上一动点.

(1)当b=l时，求03的长；

(2)当0<6<3时，用含。的代数式表示的长；

(3)是否存在四边形P8P,。，使四边形P8P'。为正方形？若存在，请求出所有满足条件的6和点。

的坐标；若不存在，请说明理由.

6.如图，在平面直角坐标系中，四边形0ABe为矩形，点4、点C分别在y轴、x轴的正半轴上，OA,OC

的长分别是方程，-7x+12=0的两根(OA<OC).尸为直线AB上一动点，直线尸。,。尸交直线BC于

点Q-

(1)求点B的坐标；

(2)当点尸在线段AB上运动(不与A,8重合)时，设点P的横坐标为机，线段C。的长度为/.求出

/关于根的函数解析式；

(3)在坐标平面内是否存在点Z),使以0、P、。、。为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出。

点的坐标；若不存在，请说明理由.

7.在平面直角坐标系中，直线的解析式为y=-2x+12,点C是线段的中点.

(1)如图，求直线OC的解析式；

(2)点。从点。出发，沿射线0C方向运动，速度为每秒近个单位，过点。作无轴的垂线，交直线48

于点E,设△EOC的面积为S,点。的运动时间为f,写出S与/的函数关系式，并写出自变量t的取值

范围；

(3)在(2)的条件下，当点。运动时间恰好为2秒时，点尸为直线上的动点，在平面内，是否存

在点。使以点。，A,P,。为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出。点的坐标；若不存在，请说

明理由.

8.如图，平面直角坐标系中，直线48分别交无轴正半轴于点A,交y轴正半轴于点8,且。4、OB(OA

<0B)的长是方程/-12x+32=0的两个根.

⑴求sinZABO的值；

(2)已知点C是02的中点，当点尸在射线3A上运动到SAAOC=SAAOP时，求经过点P的反比例函数

解析式；

(3)若点。在线段A8上，平移直线。。交x轴于点。，交y轴于点E.当M(a,4)时，是否存在点

N使得以点。、E、M、N为顶点的四边形是正方形？若存在直接写出点N的坐标；若不存在请说明理由.

9.如图，抛物线尸#+3-2,经过点C(-3,h),CDLc轴，垂足为。点，RtAAOB^RtACDA,A、

8分别在x轴，y轴上，在对称轴右侧的抛物线上是否存在两点P、Q,使四边形A8P。是正方形？若存

在，求出点P、。的坐标；若不存在，请说明理由.

10.如图，已知直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点3,线段。4的长是方程7-7x-18=0的一个根，

08另。A.请解答下列问题：

(1)求点A,B的坐标；

(2)直线环交x轴负半轴于点交y轴正半轴于点R交直线于点C.若C是跖的中点，OE

=6,反比例函数y=（图象的一支经过点C,求上的值；

（3）在（2）的条件下，过点C作CZ）_LOE,垂足为。，点M在直线AB上，点N在直线CZ）上.坐标

平面内是否存在点尸，使以。，M,N,尸为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点尸的个数，并直

（1）求A点坐标；

（2）若点尸是该直线上的一个动点，过点P分别作尸M垂直x轴于点PN垂直y轴于点N,在四边

形PMON上分别截取：PC=^MP,MB=^OM,OE=^ON,ND=^NP,试证：四边形BCDE是平行四

边形；

（3）在（2）的条件下，在直线y=fcv+b上是否存在这样的点P,使四边形8CDE为正方形？若存在，

直接写出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

12.在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与两坐标轴分别交于A,B两点.

（1）若一次函数y=-%+根与直线AB的交点在第二象限，求机的取值范围;

（2）若M是y轴上一点，N是x轴上一点，直线上是否存在两点尸，Q,使得以N,P,。四点

为顶点的四边形是正方形.若存在，求出M,N两点的坐标，若不存在，请说明理由.

正方形存在性问题巩固练习

1.如图，抛物线y=--+法+5过点(1,2)、(4,5),交y轴于点3,直线

经过抛物线顶点A,交x轴于点C,请解答下列问题：

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。在平面内，在第一象限内是否存在点P,使以A,B,P,。为顶点的四边形是正方形？若存在,

直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)把已知点的坐标代入抛物线解析式即可求得。、b的值，可求得抛物线解析式；

(2)可先求得A、2两点的坐标，可求得长度，分别过A、B两点作的垂线，则点尸可以在这两

条直线上，且或尸2=42,分别求得两垂线的解析式，设出点P的坐标，再根据线段相等可列出

方程，可求得点P的坐标.

【解答】解：

(1)：抛物线y=-a/+6x+5过点(1,2)、(4,5),

•(—a+b+5=2版彳曰fa——1

7-16口+4匕+5=5，解侍18=-4，

.•.抛物线解析式为＞=7-4尤+5；

(2)在y=/-4x+5中，令x=0可得y=5,

：.B(0,5),

*/y=x2-4x+5=(x-2)2+l,

"(2,1),

：.AB=J22+(1_5尸=2底

设直线AB解析式为尸区+%则有｛对5n=L解得｛:二］2,

直线AB解析式为y=-2无+5,

①当R1_LAB时，如图1,

图1

1

可设直线B4解析式为y=>+加，把A(2,1)代入可得1+根=1,解得根=0,

直线PA解析式为y=^x,

1

・••可设点尸坐标为(％,-%),

：.PA=J(x-2)2+(1x-l)2,

•..四边形为正方形，

：.PA^AB,即J(x—2)2+&乂-1)2=2近，解得了=-2或x=6

•..点尸在第一象限内，

；.尤=-2不符合题意，舍去，故x=6,此时尸点坐标为(6,3)；

②当时，如图2,

图2

1

可设直线PB解析式为尸分+s,把8(0,5)代入可得s=5,

直线PB解析式为尸抖5,

一1

・••可设"点坐标为(x,-X+5),

PB=+弓》+5-5/，

同理可得J%2+8%+5-5)2=2遥，解得x=-4(舍去)或x=4,此时尸点坐标为(4,7),

当4B是正方形的对角线时，因为等P在第一象限，可得P（3,4）,

综上可知存在满足条件的点尸，其坐标为（6,3）或（4,7）或（3,4）.

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理、正方形的性质、

方程思想及分类讨论思想等知识点.在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出产点的位

置是解题的关键，注意利用正方形的性质列方程.本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大.

2.如图，在矩形ABC。中，AB^16cm,AD=6cm,动点尸，。分别从点A,C同时出发，点尸以每秒3。相

的速度向点8移动，点。以每秒2c机测得速度向点。移动，当点P到达点8处时，两点均停止移动

（1）P,。两点出发多长时间，线段PQ的长度为10。%？

（2）是否存在某一时刻，使四边形P8C。为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）过点P作尸利用勾股定理解答即可;

（2）利用正方形的性质进行解答即可.

：.HQ=16-5t,

:.PC=PH2+H也,

即1。2=（16-5力2+62,

解得：方=[,「2=9,

824

答：P,。两点出发g或事秒，线段尸。的长度为l（kvn；

（2）・・,四边形尸3CQ是正方形，

：.BP=CQ,即16-3/=2/,

解得：u等,

"：CQ=2t=着32力6,

...不成立.

【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据利用正方形的性质进行解答.

3.如图，在回ABC。中，AB=4,BC=8,NB=60°,点尸以每秒2个单位速度，从点8出发沿射线A4

方向运动，同时直线I以每秒1个单位速度，从CD出发沿射线CB方向运动，分别交BC,AC于点G,

H,连结PG,设运动的时间为f,当G与B重合时，运动停止.

（1）当f为何值时，以P,G,H,A为顶点的四边形是平行四边形；

（2）在运动过程中，是否存在以尸，G,H,A为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出/的值；若不

存在，请说明理由.

【分析】（1）当B4=GH时，以尸，G,H,A为顶点的四边形是平行四边形，列出方程即可解决.

（2）不存在，根据（1）中的两种情形进行证明.

【解答】解：（1）当B4=GH时，以尸，G,H,A为顶点的四边形是平行四边形，

如图取中点连接AM,

BAf=MC=4,ZABC=60°,

.•.△ABM是等边三角形，

：.AM^MC=4,ZAMB=60°,

：.ZMAC=ZMCA,

,/NAMB=ZMAC+ZMCA,

.,.N2C4=30°,

：.ZBAC=90°,

\'AB//GH,

：.ZGHC=ZBAC=90°

：以=4-2f或2L4,GH=*G=今

11

由题意：4-2U才或2「4=53

8T8

t=E或一，

53

(2)不存在.理由如下：

由(1)可知①U5时四边形APGH是平行四边形,

"：ZPAH=90°,

四边形APGH是矩形,

，GHWPG,

二四边形APGH不是正方形.

②U加寸，点尸在BA的延长线上，四边形B4G8显然不是正方形.

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、正方形的判定和性质，解决问题的关键是用方程的思想思

考问题，属于中考常考题型.

4.如图，在平面直角坐标系中，点A、点3分别在y轴、x轴的正半轴上，且满足VQ4-30+（02-40）

2=0,若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段4?运动，同时点。从B点出发，以每秒

5个单位长度的速度沿线段54运动，连接尸。，点、P,。的运动时间为f秒.

（1）求直线的解析式；

（2）设△AP。的面积为S,当f为何值时，5=64?

（3）点N在x轴上，在坐标平面上是否存在点使以点P,Q,N为顶点的四边形在某一时刻为

正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）先求出方程的根，得出4、8两点的坐标，然后根据待定系数法求得即可;

（2）根据题意得出AP=2t,AQ=50-53作。必。4于M,根据三角形相似等边成比例求得QM=150

-f）,根据三角形面积公式即可求得△AP。的面积S与r的函数关系，把5=64代入即可求得f的值；

（3）分另ij作QG_LO8,QHLOA,轴，轴，根据题意得四边形OGQH是正方形，NG=PH

,QGOA303BGOB4,,

=MK=ML,根据三角函数得出—二—=—=一，—=—二即可求得QG=3t,BG=4t,得出

QBAB505QBAB5

3f=40-4f,求得r=与，求得AP,O尸的值，即可求得PH的值，从而求得NG=PH=MK=ML=等,

即可得出M点的坐标.

【解答】解：(1)JOA—30+(OB-40)2=0,

・・・。4=30,05=40,

AA(0,30),B(40,0),

设直线AB的解析式为y=kx+b,

・••｛：孩K0,解得卜=T

140k+b=0b=30

直线AB的解析式为y=-%+30；

(2)由题意得，AP=2t,AQ=50-5t

作QMLO4于M,如图1,

AANQ^AAOB,

.QMAQQM50-5t

•.—,,

OBAB4050

4

：.QM=1(50-5r),

：.S=装尸・QM=1x2r|(50-5z)=-4?+40r；

把S=64代入得，64=-4?+40r,解得/=2或8,

•・・0WW15,

故当/=2或8时，S=64；

(3)如图2,分别作QG_L08,QH±OA,MK_Ly轴，轴,

由四边形尸QVM是正方形，则四边形OG。”是正方形，

NG=PH=MK=ML,

•・•QGLOB,

.QGOA303BGOB4

QB~AB~50~5QB~AB~5

9：QB=5t,

：.QG=3t,5G=4/,

JOG=40-4/,

.*.3r=40-46

.40

••t~~y~,

：.AP=2r=孚，QG=苧，

.””二30一学一苧=竽

10

NG=PH=MK=ML=~

【点评】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似的判定和性质,

直角三角函数的应用，正方形的性质，三角形全等的性质等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.

5.如图，在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点A的坐标是（1,3）,点尸的坐标是（0,b）（6W0）.直

线A尸交x轴于点记点P关于x轴的对称点为P',点。为x轴上一动点.

（1）当b=l时，求的长;

（2）当0<6<3时;用含6的代数式表示的长;

（3）是否存在四边形P2PQ,使四边形P2P'。为正方形？若存在，请求出所有满足条件的b和点。

【分析】（1）根据6的值表示出直线AP解析式，把A坐标代入求出％的值，确定出AP解析式，进而得

出8坐标，确定出。8的长;

(2)设出AP解析式为y=fcr+6,把A坐标代入表不出鼠即可表示出。8的长；

(3)存在四边形P2P。，使四边形P2P。为正方形，若四边形尸8〃。为正方形，则有。2=。尸=

OP1=OQ,列出关于6的方程，求出方程的解得到6的值，即可确定出。坐标.

【解答】解：(1)由6=1,得到尸(0,1),

设直线AP解析式为〉=依+1,

把A(1,3)代入得：3=4+1,

解得：k=2,

直线OP解析式为y=2x+l,

令y=0,得到x=一：,

11

•*.B(—2，0),即OB=2；

(2)根据题意得：直线AP解析式为〉=h+匕，

把(1,3)代入得：3=k+b,即4=3-6,

二直线解析式为y=(3-6)x+b,

hh

令y=0,得到x=~T，即OB=­T_g；

'b—3b—3

(3)存在四边形尸BP'。，使四边形PBP'。为正方形，理由为：

若四边形P2P。为正方形，则有02=0P=0P=OQ,即—3=b,

解得：b=2,

则b=2,Q(2,0).

【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，

正方形的性质，以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

6.如图，在平面直角坐标系中，四边形0A2C为矩形，点A、点C分别在y轴、x轴的正半轴上，OA,OC

的长分别是方程/-7x+12=0的两根(OA<OC).P为直线A8上一动点，直线尸。，。/5交直线于

点Q.

(1)求点B的坐标；

(2)当点尸在线段48上运动(不与A,8重合)时，设点P的横坐标为祖，线段C0的长度为/.求出

/关于根的函数解析式；

(3)在坐标平面内是否存在点D使以。、尸、。、。为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出。

点的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)通过解方程求出线段的长度，利用矩形的性质得到AB=4,BC=3,求得B(4,3)；

(2)因为点尸在线段AB上，点尸的横坐标为他，用m表示出AP的长度，利用相似三角形的性质列出

比例式求出/关于m的函数解析式；

(3)如图，过点。作于E,由以。、尸、。、。为顶点的四边形为正方形，得到。尸=尸。=。。，

通过三角形全等，对应边相等求得AP=m=l,再根据另一对三角形全等得到点。的坐标.

【解答】解：(1)解方程--7x+12=0得：xi=3,%2=4,

：.0A=3,0C=4,

.\A(0,3),C(4,0),

•••四边形OABC为矩形，

：.AB=4,BC=3,

：.B(4,3)；

(2)点尸在线段AB上，点P的横坐标为

.\AP=m,

,:CQ=l,

：.BQ=3-/,

VZOAP=ZB=ZOPQ=90°,

/.ZAPO+ZBPQ=ZAPO+ZAOP=90°,

Z.NAPO=NBPQ,

：./\APO^/\BPQ,

.APAO

•・BQ~PB'

„m3

即---=-----，

3—14—771

.J124

..1=@机+3；

(3)存在,

如图，过点。作。E_LOC于E,

,/四边形ODQP是正方形，

OP=PQ=OD,

在△AOP与中，

(^AOP=/BPQ

JZ.OAP-乙B，

(P0=PQ

.♦.△AOPWABPQ(AAS),

：.PB=0A=3,

：.AP^BP=1,

在△AOP与△0£D中，

(ZAOP=/EOD

JZ.OAP=乙OED，

LOP=OD

:.△AOP注AOEP(AAS),

：.OE=AO=3,DE=AP=1,

：.D(3,-1).

若点尸在点8的右边，同理可得。(-3,7)

【点评】本题考查了在平面直角坐标系中求点的坐标，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与

性质，特别是（3）正确的画出图形是解题的关键.

7.在平面直角坐标系中，直线的解析式为y=-2x+12,点C是线段的中点.

（1）如图，求直线OC的解析式；

（2）点。从点O出发，沿射线OC方向运动，速度为每秒遥个单位，过点。作x轴的垂线，交直线A8

于点E,设AEDC的面积为S,点。的运动时间为3写出S与r的函数关系式，并写出自变量r的取值

范围；

（3）在（2）的条件下，当点。运动时间恰好为2秒时，点P为直线上的动点，在平面内，是否存

在点。，使以点。，A,P,。为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出。点的坐标；若不存在，请说

明理由.

【分析】（1）先由直线的解析式为y=-2x+12,求出A（6,0）,B（0,12）,再根据中点坐标公式

得到线段的中点C的坐标为（3,6）.然后利用待定系数法即可求出直线OC的解析式；

（2）先求出点。运动到点C所需时间为：3有+花=3秒，设EOLx轴于点根据直角三角形的性

质得出OC=AC,那么解直角△OOM,求出OM=OD-cosND0M=t,DM=OD'sin

ZDOM=2t,即D（62f）,E（3-2r+12）.再分两种情况进行讨论：①0<f<3；@03.根据三角

形的面积公式求解即可；

（3）当点。运动时间为2秒时，OD=2瓜D（2,4）.利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=-

x+6.再分两种情况进行讨论：@OA为正方形的边，根据正方形的性质求出0点的坐标为（6,6）；@OA

为正方形的对角线，易求。2点的坐标为（3,-3）.

【解答】解：（1）•••直线的解析式为y=-2尤+12,

.,.当y=0时，-2x+12=0,解得尤=6,即A（6,0）,

当尤=0时，y=12,即8（0,12）,

.点C是线段的中点，

.•.点C坐标为（3,6）.

设直线OC的解析式为

则3左=6,解得k—2,

故直线OC的解析式为y=2x；

（2）-：OC=V32+62=3V5,点。从点O出发，沿射线OC方向运动，速度为每秒遥个单位,

.••点。运动到点C所需时间为：3V5-V5=3（秒）.

设轴于点

,?OC为直角△A8C斜边的中线，

：.OC=AC,

：./DOM=/OAB.

:在直角△DOM中，OD=小3

L6

OM=OD•cosZDOM=OD•cosZOAB=—y=3

6V5

l12

DM=OD-sinZDOM=OD-sinZOAB=倔•一尸=2t,

6V5

.'.D(32t),

E(t,-2r+12).

如图，分两种情况：

①当0<f<3时，。在线段。C上，

'：DE=-2t+U-2t=-4/+12,C到DE的距离为:3-t,

：-SACDE=I(-4什12)(3-z)=2?-12r+18,

即S=2?-12r+18；

②当f>3时，。线段OC的延长线上，

'：DE=2t-(-2r+12)=4t-12,C到。£的距离为：t-3,

/.SACD£=1(4r-12)G-3)=2r-12Z+18,

即S=2r-12Z+18；

综上所述，S与r的函数关系式为S=2»-12什18G>0且f/3)；

(3)当点。运动时间为2秒时，OD=2V5,D(2,4).

设直线AD的解析式为y=mx+n,

■：A(6,0),D(2,4),

=l解得｛巾=11，

127n+ri=4in=6

，直线AD的解析式为y=-x+6,

，直线AO与y轴交点为(0,6).

以点O,A,P,。为顶点的四边形为正方形时，分两种情况：

①如果OA为正方形的边，如图，作正方形OPQ1A,则Pi为直线AD与y轴交点,

；0A=0Pi=6,ZOAQi^90°,

点的坐标为(6,6)；

②如果OA为正方形的对角线，设。4中点为N,则N(3,0),

当x=3时，＞=-3+6=3.

作OA的垂直平分线I,交直线AD于点尸2,

则尸2点的坐标为(3,3),在/上截取N02=NP2,

则四边形OP2AQ是正方形，此时02点的坐标为(3,-3).

综上所述，所求。点的坐标为Q1(6,6),。2(3,-3).

【点评】本题是一次函数综合题，涉及到利用待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特

征，中点坐标公式，三角形的面积，勾股定理，直角三角形的性质，正方形的判定与性质，综合性较强，

难度适中.利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键.

8.如图，平面直角坐标系中，直线A8分别交x轴正半轴于点A,交y轴正半轴于点8,且OA、OB(OA

〈OB)的长是方程x2-12x+32=0的两个根.

(1)求sin/ABO的值;

(2)已知点C是。8的中点，当点P在射线8A上运动到SAAOC=SAAOP时，求经过点P的反比例函数

解析式；

（3）若点。在线段A8上，平移直线。。交x轴于点。，交y轴于点E.当M（a,4）时，是否存在点

N使得以点。、E、M、N为顶点的四边形是正方形？若存在直接写出点N的坐标；若不存在请说明理由.

【分析】（1）可求得方程的两根分别为4和8,且OA<OB,所以求得OA=4,OB=8,再根据勾股定理，

求得的长，即可解答；

（2）先求出直线A3的解析式，再根据SAAOC=&AOP时，求出点P的纵坐标，把点P的纵坐标代入直

线AB的解析式求点P的横坐标，即可解答；

（3）画出图形，根据正方形的性质，即可解答.

【解答】解：（1）/-12x+32=0

解得：尤1=4,X2=8,

"：OA<OB,

；.0A=4,08=8,

：.AB=>JOA2+OB2=V42+82=4西,

A0

•■/Aon4V5

..sin/A20=而=何=中

（2）如图，连接AC,OP,过点尸作尸DLO4于点

把A(4,0),B(0,8)代入得:

C4fc+6=0

[b=8

解得:£：82

直线AB的解析式为：y=-2x+8,

・・・。3=8,点。是。3的中点,

・・・。。=4,

当点尸在射线BA上运动到S^AOC=S^AOP时，

：.0A-OCx^=OA-PD

ii

即4X4X)=4・PDX2，

・・・尸。=4,

・・・设尸(x,4),

把尸(工，4)代入y=-2x+8得：-2x+8=4,

解得：％=2,

：.P(2,4),

设经过点尸的函数解析式为：y=p

・•・4,=-2-'

・•・左=8,

...经过点P的函数解析式为：y=l.

①当直线。。向下平移时，DENM为正方形,

当点M在y轴上时，此时点M的坐标为(0,4),此时点M与点E关于x轴对称，点。与点N关y轴

对称，

根据正方形的性质，OM=OE=OD=ON=4,

所以N(-4,0)；

②当直线。。向上平移时，平移到与y轴的交点为(0,4),与x轴交点为(-4,0),DENM为正方形,

：.O(D)=4,O(E)=4,

根据中点的性质，此时N的坐标为(-4,8)

:.N(-4,0)或N(-4,8).

【点评】本题是一次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数的解析式，正

方形的性质，综合性较强，难度适中.运用数形结合、分类讨论是解题的关键.

9.如图，抛物线产疗+3-2,经过点C(-3,h),CDLc轴，垂足为。点，RtAAOB^RtACDA,A、

8分别在无轴，y轴上，在对称轴右侧的抛物线上是否存在两点尸、Q,使四边形ABPQ是正方形？若存

在，求出点P、0的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】将点C(-3,储代入抛物线产吴+分-2,可求点C的坐标，根据全等三角形的性质可得

OA=CD=1,。8=4。=3-1=2,以AB为边在抛物线的右侧作正方形A0P2,过尸作轴，过。

作。G垂直x轴于G,不难得出三角形ABO和三角形8PE和三角形。AG都全等，据此可求出P,。的

坐标，然后将两点坐标代入抛物线的解析式中即可判断出P、。是否在抛物线上.

【解答】解：在抛物线(对称轴的右侧)上存在点P、。，使四边形ABP。是正方形.

把点C(-3,h)代入抛物线y="+}-2,

贝I]/7=*x(-3)2+卜(-3)-2=1,

则C点坐标为(-3,1),

VRtAAOB^RtACDA,

：.OA=CD=1,

：.OB=AD=3-1=2,

以AB为边在AB的右侧作正方形A2PQ,过尸作PE_LOB于E,QG_Lx轴于G,可证△PBEZ/XAQGg

△R4。,

：.PE=AG=BO=2,BE=QG=AO=1,

；.尸点坐标为（2,1）,。点坐标为（1,-1）.

y=#+*x-2,当x=2时，y=l；当x=l时，y=-1.

二尸、。在抛物线上.

故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点尸（2,1）、Q（1,-1）,使四边形是正方形.

【点评】本题主要考查了二次函数解析式的应用、正方形的判定、全等三角形的判定和性质等知识点.综

合性强，涉及的知识点多，难度较大.

10.如图，已知直线A2与x轴交于点A,与y轴交于点3,线段。4的长是方程7x-18=0的一个根，

1

OB=jOA.请解答下列问题：

（1）求点A,B的坐标；

（2）直线跖交x轴负半轴于点E,交y轴正半轴于点F，交直线42于点C.若C是EP的中点，OE

=6,反比例函数y=5图象的一支经过点C,求上的值；

（3）在（2）的条件下，过点C作CDJ_OE,垂足为Z）,点M在直线AB上，点N在直线CD上.坐标

平面内是否存在点尸，使以。，M,N,P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点尸的个数，并直

【分析】（1）解一元二次方程，得到点A的坐标，再根据。8=*。4可得点B坐标;

（2）利用待定系数法求出直线的表达式，根据点C是所的中点，得到点C横坐标，代入可得点C

坐标，根据点c在反比例函数图象上求出左值；

(3)画出图形，可得点尸共有5个位置，分别求解即可.

【解答】解：(1):线段的长是方程x2-7x-18=0的一个根,

解得：x=9或-2(舍)，而点A在x轴正半轴上，

Z.A(9,0),

1

'：OB=^OA,

9

：.B(0,

2

(2)VOE=6,

：.E(-6,0),

设直线AB的表达式为y=kx+b,将点A和B的坐标代入，

(0=9k+bk=—77

得：,解得：9,

(2—b=不

V，

1Q

的表达式为：y=—5%+5,

•.•点C是EF的中点,

...点C的横坐标为-3,代入AB中，y=6,

则C(-3,6),

•反比例函数y=［经过点C,

则k=-3X6=-18；

(3)存在点尸，使以。，M,N,尸为顶点的四边形是正方形，

如图，共有5种情况，

在四边形DW1PM中，

Mi和点A重合，

：.M\(9,0),

此时Pi(9,12)；

在四边形DP3M3N3中，可知M在直线)，=x+3上，

ry=%+3

联立：［19，

(y=-2x+2

解得:::，

：.M(1,4),

：.P3(1,0),

同理可得：P2(9,-12),P4(-7,4),P5(-15,0).

故存在点尸使以。，M,N,P为顶点的四边形是正方形，

点P的坐标为Pl(9,12),P2(9,-12),尸3(1,0),P4(-7,4),P5(-15,0).

【点评】本题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难度较大，

解题的关键是根据图象画出符合条件的正方形.

11.如图，已知直线y=fcr+6与直线y=-g-9平行，且>=履+6还过点（2,3）,与y轴交于A点.

（1）求A点坐标；

（2）若点尸是该直线上的一个动点，过点P分别作垂直x轴于点M,PN垂直y轴于点N,在四边

形PMON上分别截取：PC=^MP,MB=^OM,OE=^ON,ND=^NP,试证：四边形BCDE是平行四

边形；

（3）在（2）的条件下，在直线上是否存在这样的点P,使四边形8CDE为正方形？若存在，

直接写出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】⑴直线尸质+6与y=—1x-9平行，且过点A(2,3),则卜=一2,即可求解;

(2k+b=3

(2)证明△08EgZ\P£)C(SAS)、AMBC^ANDE(SAS),即可求解；

(3)证明△。尸(AAS),则CM=P。，即可求解.

【解答】解：(1):直线尸质+b与产-扣-9平行，且过点A(2,3),

则卜=一2，解得卜=一2,

3+b=33=4

一次函数解析式为产-1x+4,

当x=0时，y=4,

•'•A点坐标是(0,4)；

(2)证明：,.・PM_L%轴，尸N_Ly轴，

：.ZM=ZN=ZO=90°,

J四边形PMON是矩形，

；.PM=ON,OM=PN,NM=NO=NN=NP=90°.

1111

9：PC=MB=^OM,OE=^ON,ND=

：.PC=OE,CM=NE,ND=BM,PD=OB,

在△03E和△PDC中，OB=PD,/O=/CPD,OE=PC,

:•△OBE/LPDC(SAS),

：.DC=BE,

同理可证△M8C名△NDE(SAS),

：.DE=BC.

・・・四边形BCDE是平行四边形;

（3）存在这样的点尸，理由：

、1

设点P（m,一m加+4）,

…221812

贝!JCA/=亍尸。=亍|（4—•加）|=|一一一词，PD=im,

3312333

当四边形8c1）石为正方形时，则NDCB=90°,DC=BC,

而NC3M+NMC3=90°,ZMCB+ZDCP=90°,

：.ZCBM=ZDCP,

而N0PC=NCA/8=9O°,

:•丛DPCQ丛CMB（A4S）,

；.CM=PD,

2C~）

即=专一71|二铲1,解得：m=可或-8,

88

故P点坐标是（-,-）或（-8,8）.

33

【点评】本题考查的是一函数综合运用，涉及到一次函数的性质、正方形的性质、平行四边形的性质、

三角形全