浙教版中考数学复习：圆的综合（压轴题专项讲练）含答案及解析

同的综合

，典例精析

【典例1】如图1，直线匕！)于点M，以。上的点。为圆心画圆，交4于点/，B,交"于点C，D,0A=5,

0M=4,点E为加上的动点，CE交4B于点尸，2G，CE于点G,连接。G,AC,AD.

图1图2

(1)若NC4D=50。，求脑的长；

(2)如图2,过N作4"1DE交DE延长线于点H,连接4E、DE,是否存在常数上，使CE-DE=k-EG成

立？若存在，请求出发的值；若不存在，请说明理由.

(3)当点G在力。的右侧时，请直接写出△ACE面积的最大值.

【思路点拨】

(1)连接。D,根据垂径定理和三角形内角和定理求得N40D,利用弧长公式即可求得答案；

(2)连接力E,根据题意证明△4GC三△4WD,得4G=4"，CG=DH,再证明Rt△力EG三Rt△AEH,得

EG=EH,利用线段之间的关系即可求得答案；

(3)△4CE面积的最大则点£到4C距离最大即可，利用垂径定理求解即可，但需验证点G在4D的右侧，

当4G与4D重合时，作EN'IAC于N',连接DE,利用等面积求得CG和4G的长，再证明△ACG-△EDG,得

—=—,4ACG〜4ECN'得异=吟,结合第二问得GE,可求得EN'和CN',即可求得答案.

【解题过程】

(1)解：连接0D,如图1.

图1

・・,/B垂直平分线段CD,

•-AC=AD,

•：^CAD=50°

=乙DAB=25°,

'-'OA=OD,

."。4。=乙ODA=25°,

：.^AOD=180°-25°-25°=130°,

「130°XTTX565

•*•CA-F)——TC;

曲180°18

・••乙4GC=ZH=90°,

-2L.ACG=/LADH,AC=AD,

・••△/GCwZ\/”D(AAS),

.'.AG=AH,CG=DH,

^^AGE=AH=90°,AE=AE,

.•.RtAAEG=Rt

；,EG=EH,

・・・CE-DE=(CG+EG)-(DH-EH)=2EG,

••,CE-DE=k,EG,

•••fc=2；

(3)连接。C,过点。作ONIAC于N,延长N。交圆于点£,如图3,

图3

此时，E至IMC距离最大，△4CE面积最大,

■：oc=OA=5,OM=4,OM1CD,

■■.CM=3,

在Rt△ACM中，AC=yICM2+AM2=V32+92=3V10,

■.■ON1,AC,

：.CN=|V10,

.■.ON=70c2-CN2=^52-(|V10)2=乎，

:.EN=ON+OE=

2

°i1rrmlo+Vio15国+15

■S^ACE^2AC'NE=-X3V10x=---,

验证：当4G与AD重合时，作EN'IAC于NI连接DE,如图,

■■SAACD=^CD-AM=^AD-CG,

“CDAM6X9

•••CG=-------=酒

AD3V10

即4G=VXC2-CG2=yV10,

'-'Z.AGC=Z.EGD,Z-ACG=Z-ADE,

:AACG〜AEDG,

DE_AC_5

"GE-ZG-4’

又・：CE-DE=CG+GE-DE=2GE,

'.GE=^V1O，

：.CE=CG+GE=yVlO,

.:乙CN,E=2CGA,乙ACG=CECN',

••.△ACG〜AECN',

.CE_CA_5

・'N，E~GA~49

■.EN'=§VTo,CN'=|^V10>CW,

.•.当EN过点。时，G在力。右侧，

■■■S^ACE=1AC-N'E=lx3V10xgVlO=言.

e学霸必刷

1.（2023上•湖南长沙•九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校联考阶段练习）如图，O。的弦BC=6,

4为BC所对优弧上一动点，且tanNB"=三八48。的外角4以49的平分线”交。。于点P,直线4P与直线BC

4

交于点E.

备用图

c1）求证：PB=既；

（2）设PA=x,PE=y,求y关于久的函数解析式;

（3）若点4在点P的右侧，记△4BE、△ABC、△"E的面积分别为S、S1、S2,且+告=白

〜“4ss2Si

①求CE的值；

②求证：为直径.

2.（2023上•浙江温州•九年级温州市第八中学校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点、E

为射线AB上一点，过点N,E,。作圆交射线4C于点R连结DE,EF,且DE交力C于点G.

（备用图）

⑴求证：/-DEF=UCB；

(2)若4G=GF,求DG的长;

（3）当△EFG是以EF为腰的等腰三角形时，求△ADG的面积.

3.（2023上•黑龙江哈尔滨•九年级校考阶段练习）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两

条线段的乘积等于这个点到这边所对顶点连线段的平方，则称这个点为这个三角形该边的“好点”.如图1,

在△4BC中，点。是BC边上的一点，连接4D,若AD?=BD-CD,则称点。是△力BC中边BC的“好点”.

（1）如图1,在△4BC中，BC=4,若点。是边BC的“好点”，且BD=1,则线段4D的长是；

（2）如图2,。。是△力BC的外接圆，点£在4B边上，连接CE并延长，交。。于点。，连接OE、BD、AD,

若点£是△BCD中边CD的“好点”，OEWBD,求证：4D是。。的直径；

（3）在（2）的条件下，点P是。。上一点，连接CP交4D于点Q,连接DP、C。，若。E=V2,CE=2,C0LDP,

求PQ的长.

4.（2023上•江苏无锡•九年级校考阶段练习）问题提出：如图①，在中，ZC=9O°,CB=4,CA=6,

OC的半径为2,P为圆上一动点，连接2P、BP,求2P+；BP的最小值.

AA

图①图①备用图图②

（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP,在CB上取一点D,使CD=1,

则6W又乙PCD=LBCP,所以△PCOs&BCP.所以所以PD=|PB,所以4P+涉=

2P+PD.请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+^BP的最小值为」

（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求?aP+BP的最小值；

（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，ZCO£）=90°,0C=6,。4=3,。8=5,P是CD上一点,

求2P2+PB的最小值.

5.（2023上•黑龙江哈尔滨•九年级统考期末）已知△ABC内接于。0,AB=AC,连接0B.

EE

B

DD

BG

图1图2图3

(1)如图1,求证：2N0B4=NA

(2)如图2,当0BII4C时，连接CO并延长交。。于点0,过点D作。。的切线交0B的延长线于点E,求证:

DE=BC；

(3)如图3,在(2)的条件下，延长CB交0E于点尸，过F作FG||0B交。。于点G,交CD于点、H,连接4G、

AH,若EF=陋,2LAGF=45°,求△4F7G的面积.

6.(2023上•黑龙江哈尔滨•九年级校考期中)已知：4B是。。的直径，弦CD交48于点区且弧BC=弧8>

(1)如图1,求证：CE=DE；

(2)如图2,连接AC,点尸为4C上的一点，连接BF,过点C作垂足为点G,若点〃为弧48的

中点，求NCFB的度数;

(3)如图3,在(2)的条件下，连接FH交48于点N,若2F=4N,FG=4,求。。的半径.

7.(2023上•浙江金华•九年级统考阶段练习)如图，在圆内接四边形4BCD中，AD,BC的延长线交于点E,

-ir

连接BO并延长交4。于点G,连接BD.已知8。=28,乙CDE=3乙CBD,DE=—,力。=6,BG=9.

4

⑴求证：4GBD=乙CBD.

(2)求B。的长.

(3)点尸是8。中点，动点P在尸G上从点F向终点G匀速运动，同时动点Q在4E上从点E向终点4匀速运动.当

点Q在点。处时，点P在点。处，设QE=x,PG=y.

①求y关于x的函数表达式.

②连接PQ,当直线PQ与ABCD的某一边所在的直线垂直时，记垂足为点M,直接写出QM的长度.

8.(2023上•浙江•九年级校联考阶段练习)已知半径为5的。力与平面直角坐标系交于。，8两点，二次

函数y=ax?+/)久+c的图像顶点C在。4上并经过。，8两点，且。B=8,如图1所示.

图1图2图3

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图2,连结。C,若点。为上一点，当NBOD=30。时，求线段0D的长；

(3)如图3,连结。C,若上有一点N,连结BN使BNII0C,连结。N并与C2的延长线交于点",求。M:MN

的值.

9.(2023上•黑龙江哈尔滨•九年级统考期末)△4BC内接于G)0,点。为。。上一点，连接2D和。C,AD1BC

于点E.

(1)如图1,求证：NBAD=Z71C。；

(2)如图2,过点B作AC的垂线，垂足为点F,交4。于点G,若FG=DE,求证：CA=CB；

(3)如图3,在(2)的条件下，点K为此上一点，连接BK、CK^AK,2K与BC相交于点Q,延长KC到点

R,使CR=KC,过点R作2K的垂线，垂足为点H,延长BC交于点T,RT=BK,在的延长线上取一

点、P,连接CP,4更4BCP=4AKC+4BAK,若RT=4,AK=12,求CP的长.

10.(2023上•黑龙江哈尔滨•九年级校考期中)如图1,△48C为圆内接三角形，2513。于。、交。。于点

E,BF1AC^F,交ZE于点G.

(1)求证：DG=DE；

(2)如图2,连接BE,作CW_L8E于M,求证：AC=20M；

(3)在(2)的条件下，连接OG、CE,若。G=CE,BG=2FC+2FG,OM=25求CD长.

11.(2023上•浙江宁波•九年级校考期中)如图，四边形48C。为O。内接四边形，4C1BD交于点E,延

长AD、BC交于点凡ABAC=2ACAD.

(1)求证：AB=AC；

(2)若sinF==,AB=8,求CF的长;

(3)如图2,连接OC交BD于〃，若B”=4,DH=3,求三角形CDF的面积.

12.(2023上•湖南邵阳•九年级校联考期中)二次函数y^ax2+bx+c(a、b、c是常数)与％轴交于两个

不同的点4、B,与y轴交于点C,图象顶点为点D,OM经过点力、B、D三点，且4B=4D.

(1)求证：△ABD为等边三角形；

(2)若a=1,求△4MB的面积；

(3)若直线y=—式与。M相切.求咨组的值.

'△ABD

13.(2023上•黑龙江哈尔滨•九年级哈尔滨德强学校校考期中)已知，O。内弦2B、CD交于点E,AE=CE,

连接OE.

(1)如图1,求证：0E平分乙BED；

(2)如图2,连接4。交CD于点G,延长4。交。。于点F,连接DF,若NGFD+2AEAG=90°,求证:AE=OE；

(3)如图3,在(2)的条件下，延长E。交。尸于点X,若力EG=S展,求。4的长.

6

14.(2023上•广东广州•九年级铁一中学校考期中)已知：如图1,在平面直角坐标系中，4(2,-1),以”(-1,0)

为圆心，以AM为半径的圆交y轴于点B,连结并延长交OM于点C,动点P在线段BC上运动，长为|的线

段PQIIx轴（点Q在点P右侧），连接4Q.

（1）求OM的半径长和点B的坐标：

（2）如图2,连接4C,交线段PQ于点N,

①求4C所在直线的解析式：

②当PN=QN时，求点Q的坐标；

③点P在线段BC上运动的过程中，请直接写出4Q的最小值和最大值.

15.（2023上•北京东城•九年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，O。的半径为1,点/在O。上，点

尸在。。内，给出如下定义：连接AP并延长交。。于点8,若4P=kAB,则称点P是点/关于。。的左倍

特征点.

(1)如图，点N的坐标为(1,0).

①若点尸的坐标为(-3。)，则点尸是点4关于O。的一倍特征点；

②在G(0,»C2(|,0),心&一5这三个点中，点一是点/关于0。的消特征点；

③直线/经过点，，与y轴交于点。，NZM。=60。.点£在直线/上，且点£是点N关于。。的2倍特征点,

求点E的坐标；

(2)若当左取某个值时，对于函数y=—久+1(0<K<1)的图象上任意一点在。。上都存在点N,使

得点”是点N关于。。的左倍特征点，直接写出k的最大值和最小值.

16.(2023上•浙江温州•九年级萧江二中校考阶段练习)如图，直线丫=-5式+6经过点8(0,5),与x轴交

于/,。为x轴负半轴上的一点，且。4=。。，以4B为直径作0M,连结BD.

(1)求出6的值及直线BD的函数表达式.

(2)在线段8。上取点尸，连结P0并延长交OM于点C,连结BC交04于点E,

①若。PII4B,求证：BC=0D.

②当NP。。等于△08C中的某一个角时，求BP的长.

(3)点尸关于直线BC的对称点P恰好落在AMB上时，请直接写出四边形OAP'B的面积为

17.(2023上•北京东城•九年级汇文中学校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：

对于OC及OC外一点尸，M,N是OC上两点，当乙MPN最大,称NMPN为点P关于OC的“视角”.

直线/与OC相离，点0在直线/上运动，当点。关于OC的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线

/关于G)C的“视角”.

备用图

(1)如图，。。的半径为1,

①已知点4(1,1),直接写出点N关于。。的“视角”；

已知直线y=2,直接写出直线y=2关于。。的“视角”；

②若点B关于。。的“视角”为90。，直接写出一个符合条件的B点坐标；

(2)OC的半径为1,

①点C的坐标为(1,2),直线=kx+b[k>0)经过点D(-2旧+1,0),若直线关于。C的“视角”为60。，

求人的值；

②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=f％+1关于OC的“视角”大于120。，直接写出圆心C的横坐标

税的取值范围.

18.(2023上•全国•九年级专题练习)如图，AC.BD为圆。的两条弦，直线AC、BD垂直于点N,连接4D,

直线CE14D于点E,直线CE交直线BD于点F.

图1图2

(1)如图1,求证：AN平分NB4B；

(2)如图2,若点N在圆。内部，连接CF,求证：BC=CF；

(3)如图3,在(2)的条件下，延长CE,交圆。于点G,连接G。并延长，交BC于点H,交圆。于点K,GK与

AD交于点P,交BD于点M,交AC于点Q,若GK1BC,PD=5,QH=4,求圆。的半径.

19.(2023上•浙江宁波•九年级宁波市江北外国语学校校考阶段练习)如图，在△48C中，AB=AC.以AC

为直径的半圆交BC于点D,点E为弧CD上一动点，连结CE、EA.DE,已知tan乙DE4=三.点F为CE延长线

4

上一点，且CE=EF,在线段BC上取点G,使得BG=GF,连结FG、GA.

(1)求詈的值.

BA

-1

(2)求证：4GAE=3乙BAC.

(3)若4C=10,连结EG.

①若△EG4是以EG为腰的等腰三角形，求所有符合条件的EC的长.

②将线段CF绕点C逆时针旋转90。至CH,若G、4、”在同一条直线上，则手=

SCAH

20.(2023•江苏南京•南师附中新城初中校考二模)【概念认识】已知圆的两条互相垂直的对称轴m、",

我们把三个顶点分别在圆、m、〃上的等腰直角三角形叫作这个圆的“友好三角形”.如图①、图②，△ABC

都是。。的“友好三角形”.

【数学理解】若△4BC都是。。的“友好三角形”，且直角顶点C在O。上，。。的半径为2.

(1)。。上满足条件的直角顶点C的个数是个；

(2)△ABC的面积的最小值为；

(3)若。。与△ABC的一边相切，请直接写出相切的不同情况及对应的△ABC的面积；

【深入研究】若ayiBC都是。。的“友好三角形”，且直角顶点C在/或"上.。。的半径为2.

(4)△ABC的面积的最小值为,最大值为

同的综合

，典例精析

【典例1】如图1，直线匕！)于点M，以。上的点。为圆心画圆，交4于点/，B,交"于点C，D,0A=5,

0M=4,点E为加上的动点，CE交4B于点尸，2G，CE于点G,连接。G,AC,AD.

图1图2

(1)若NC4D=50。，求脑的长；

(2)如图2,过N作4"1DE交DE延长线于点H,连接4E、DE,是否存在常数上，使CE-DE=k-EG成

立？若存在，请求出发的值；若不存在，请说明理由.

(3)当点G在力。的右侧时，请直接写出△ACE面积的最大值.

【思路点拨】

(1)连接。D,根据垂径定理和三角形内角和定理求得N40D,利用弧长公式即可求得答案；

(2)连接力E,根据题意证明△4GC三△4WD,得4G=4"，CG=DH,再证明Rt△力EG三Rt△AEH,得

EG=EH,利用线段之间的关系即可求得答案；

(3)△4CE面积的最大则点£到4C距离最大即可，利用垂径定理求解即可，但需验证点G在4D的右侧，

当4G与4D重合时，作EN'IAC于N',连接DE,利用等面积求得CG和4G的长，再证明△ACG-△EDG,得

—=—,4ACG〜4ECN'得异=吟,结合第二问得GE,可求得EN'和CN',即可求得答案.

【解题过程】

(1)解：连接0D,如图1.

图1

・・,/B垂直平分线段CD,

•-AC=AD,

•：^CAD=50°

=乙DAB=25°,

'-'OA=OD,

."。4。=乙ODA=25°,

：.^AOD=180°-25°-25°=130°,

「130°XTTX565

•*•CA-F)——TC;

曲180°18

・••乙4GC=ZH=90°,

-2L.ACG=/LADH,AC=AD,

・••△/GCwZ\/”D(AAS),

.'.AG=AH,CG=DH,

^^AGE=AH=90°,AE=AE,

.•.RtAAEG=Rt

；,EG=EH,

・・・CE-DE=(CG+EG)-(DH-EH)=2EG,

••,CE-DE=k,EG,

•••fc=2；

(3)连接。C,过点。作ONIAC于N,延长N。交圆于点£,如图3,

图3

此时，E至IMC距离最大，△4CE面积最大,

■：oc=OA=5,OM=4,OM1CD,

■■.CM=3,

在Rt△ACM中，AC=yICM2+AM2=V32+92=3V10,

■.■ON1,AC,

：.CN=|V10,

.■.ON=70c2-CN2=^52-(|V10)2=乎，

:.EN=ON+OE=

2

°i1rrmlo+Vio15国+15

■S^ACE^2AC'NE=-X3V10x=---,

验证：当4G与AD重合时，作EN'IAC于NI连接DE,如图,

■■SAACD=^CD-AM=^AD-CG,

“CDAM6X9

•••CG=-------=酒

AD3V10

即4G=VXC2-CG2=yV10,

'-'Z.AGC=Z.EGD,Z-ACG=Z-ADE,

:AACG〜AEDG,

DE_AC_5

"GE-ZG-4’

又・：CE-DE=CG+GE-DE=2GE,

'.GE=^V1O，

：.CE=CG+GE=yVlO,

.:乙CN,E=2CGA,乙ACG=CECN',

••.△ACG〜AECN',

.CE_CA_5

・'N，E~GA~49

■.EN'=§VTo,CN'=|^V10>CW,

.•.当EN过点。时，G在力。右侧，

■■■S^ACE=1AC-N'E=lx3V10xgVlO=言.

e学霸必刷

1.（2023上•湖南长沙•九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校联考阶段练习）如图，O。的弦BC=6,

4为BC所对优弧上一动点，且tanNB"=三八48。的外角4以49的平分线”交。。于点P,直线4P与直线BC

4

交于点E.

备用图

c1）求证：PB=既；

（2）设PA=x,PE=y,求y关于久的函数解析式;

(3)若点4在点P的右侧，记△4BE、△ABC、△相£的面积分别为S、,S2,且+告=}.

〜“4ss2Si

①求CE的值；

②求证：为直径.

【思路点拨】

(1)根据圆的性质证明即可；

(2)根据圆的性质结合勾股定理计算出PC的长度，然后由△APCSACPE计算即可；

(3)CE=x,根据啜+?=白列出方程计算即可；

45323]

(4)根据题意证明乙4cB=90。即可.

【解题过程】

(1)解：如图，连接PC,

•.•四边形ACBP内接于O。，

•••Z.PBC+/-PAC=180°

•••/.PAF+"AC=180°

Z.PAF=Z.PBC

•・・外角乙3”的平分线4P交。。于点P,

・•・Z.PAF=Z.PAB

・•・Z.PBC=Z.PAB

Z.PCB=Z-PAB

••・乙PBC=乙PCB

・•.PB=PC

；#B=PC；

(2)如图，连接OB,过点。作。。1BC于点

p

F

由垂径定理得，。。垂直平分BC,且直线。。经过点尸

.・・BD=CD=3

・・・PB=PC

・•・乙BPD=乙CPD=乙PBO

・•・(BOD=乙BPD+Z-PBO=2((BPD=2BPC

•••Z-BOD=Z.BAC

・•・tanZ.BOD=tanZ-BAC=-

4

45

・•・OD=-BD=4,OB=-BD=5

33

・・・OP=OB=5

・•.PD=9,

・•.PB=PC=&+92=3V10

•・•乙PBC=乙PCB=Z.PAB

・.・(E=180°-Z.PBC-Z-BPE=180°-^PAB-乙BPE=Z.PBA

•・•Z.PCA=Z.PBA

・••/LPCA=Z.E

Z.APC=乙CPE

・•.△APCCPE

PC_PA

：,~PE=~PC

即，PC2=PA-PE

设P4=x,PE=y,

90=x-y

y关于x的函数解析式为：y=~

(3)①设=高为h,则BE=6+%

S=|x(6+%)-/i=|(6+x)-ft,

1

Si=-x6-h=3h

12

11

S=—•x'h=—xh

2722

1511

,•_i_

.4ss?_Si

1511

-----------------------1------=—

4xa(6+%),h2,xh

..15._2—__1

2(6+%)x3

•••2x2-45%-72=0

•••(2x+3)(%-24)=0

二=—I(不符合题意，舍去)，x2—24

•••CE=24；

②如图，

设"B4=NPC4=X,

由(2)得NBPC=2x,乙PCB=18O；2X=90。一支

•••Z-ACB—Z.PCA+Z.PCB—90°—%+%=90°

.­.48为直径.

2.（2023上•浙江温州•九年级温州市第八中学校考期中）如图，在矩形4BCD中，AB=8,BC=6,点、E

为射线4B上一点，过点/,E,。作圆交射线AC于点尸，连结DE,EF,且DE交4C于点G.

(1)求证：4DEF=UCB；

(2)若AG=GF,求DG的长；

(3)当aEPG是以EF为腰的等腰三角形时，求△ADG的面积.

【思路点拨】

本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的有关性质，圆周角定理了，垂径定理，

等腰三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键.

(1)利用矩形的性质，平行线的性质，圆周角定理解答即可；

(2)利用矩形的性质和圆周角定理的推论得到DE为圆的直径，再利用垂径定理的推论得到DE14F,最后

利用勾股定理和三角形的面积公式解答即可得出结论；

(3)利用等腰三角形的性质和分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当EF=EG时，过点。作

力G于点H,利用等腰三角形的性质，对顶角的性质，圆周角定理得到力D=4G=6,利用(2)的结论求得4G

边上的高，再利用三角形的面积公式解答即可；②当EF=FG时，过点D作。H14G于点利用①的方法

解答即可.

【解题过程】

(1)证明：•••四边形2BCD是矩形，

•••ADIIBC,

Z.DAC=Z.ACB.

■■■Z.DAC=乙DEF,

/.DEF=/-ACB；

(2)解：・.•四边形4BC0是矩形，

•••/.DAB=90°,

・•.DE为圆的直径，

vAG=GF,

■■DE1AF.

•.•矩形4BCD中，AB=8,BC=6,

•••AC=VXD2+CD2=10.

11

•••SAADC=-AD-DC=-AC^DG,

..AD,DC=AC-DG,

•••6x8=10DG,

・•・DG=4.8；

(3)解：①当EF=EG时，过点。作DH14G于点“，如图,

o~B/E

•・•EF=EG,

•••Z-EGF=Z.EFG,

.:乙DGA=LEGF,/LADG=^LEFG,

•••Z-ADG=Z.DGA,

•••AD=AG=6,

由(2)知：DH=4.8,

••△4DG的面积=^AG•DH=；x6x4.8=14.4；

②当EF=FG时，过点。作CH14G于点”,如图,

oB7E

・・•EF=FG,

•••Z-FGE=Z.FEG.

v/.FEG=/-DAG,Z-FGE=^DGA,

Z.DAG=Z-DGAf

•••DA=DG=6.

由(2)知:DH=4.8,

vDA=DG,DHLAG,

・•.AH=HG.

•・・AH=<AD2-DH2=3.6,

・•.AG=2AH=7.2.

11

.••△4DG的面积=^AG-DH=jx7.2x4.8=17.28.

综上，aADG的面积为14.4或17.28.

3.(2023上•黑龙江哈尔滨•九年级校考阶段练习)定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两

条线段的乘积等于这个点到这边所对顶点连线段的平方，则称这个点为这个三角形该边的“好点”.如图1,

在△ABC中，点。是BC边上的一点，连接2D,若AD?=BD-CD,则称点。是△4BC中边BC的“好点”.

(1)如图1,在△ABC中，BC=4,若点。是边BC的“好点”，且BD=1,则线段2D的长是；

(2)如图2,。。是△力BC的外接圆，点E在4B边上，连接CE并延长，交。。于点。，连接OE、BD、AD,

若点E是△BCD中边CD的“好点”，OEWBD,求证：4D是。。的直径；

(3)在(2)的条件下，点尸是。。上一点，连接CP交4D于点Q,连接DP、CO,若。E=V2,CE=2,CO1DP,

求PQ的长.

【思路点拨】

本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，圆周角定理

(1)根据“好点”定义可得出AD?=BD-CD,然后代入数据即可求解;

(2)根据“好点”定义可得出BE?=CE-DE,证明△ACEs/XDBE可得出力E-BE=CE-DE,则4E=BE,

由垂径定理可得OE14B进而得出力B1BD,最后根据90。的圆周角所对的弦是直径即可得证；

(3)由(2)知：BE2=CE-DE=2DE,利用三角形中位线定理求出8。=2&，在RtZkBDE中利用勾股

2

定理得出DE2=(2近)+2DE,则可求出DE=4,延长CO交DP于H,由垂径定理得出DH=PH,由线段

垂直平分线的判定得出CP=CD=6,禾！J用等腰三角形的性质可得NODC=NOCD=NOCP,证明△CQ。”

△DQC,得出CQ2=OQ-DQ,过点。作。M1CP于河,过点0作QN1CO于N,求出。M=1,证明△£1(?可”

ACOM,得出竿=竽=搐，设QN=x,贝UCN=3x,CQ=VlOx,OQ=Jx2+(V10-3x)\代入CQ?=

OQ-DQ可得出关于x的方程，然后求解即可.

【解题过程】

(1)解：•.•点。是边BC的“好点”，

■.AD2=BD-CD,

又BQ=1,BC=4,

■.AD2=1x(4—1)=3,

■-AD=V3(负数舍去)

(2)证明：•.•点E是△BCD中边CD的“好点”，

■■.BE2=CE•DE,

,-Z-ACE=乙DBE,Z-CAE=乙BDE,

ACEFDBE,

：即

■—BE=―DE,AE-BE=CE-DE,

■■.BE2^AE-BE,

-'-AE=BE,

■•■OE1AB,

■■OE\\BD,

■■.AB1BD,

.MD是O。的直径；

(3)解：由(2)知：BE2=CE-DE,

"CE—2,

：.BE2=2DE,

■■■OE=V2,AE=BE,AO=DO,

■■.BD=2OE=2V2,

■.•Z.EBD=90°,

2

■■■DE2=BD2+BE2,即冲=(2®+2DE,

解得DE=4（负值舍去），

■.BE=2V2=AE,CD=CE+DE=6,

■■.AO=7AE2+0E2=VTo,

延长C。交DP于H,

■■■CO1DP,

：.DH=PH,

■■.CP=CD=6,

•，-Z.OCP=Z-OCD,

•・・OC=OD,

•-Z-ODC=Z.OCD=Z.OCP,

又（CQO=乙DQC,

.*.△CQOFDQC,

喘=詈W=OQ-DQ,

过点0作。“1CP于M,过点Q作QN1C。于N,

1

；.CM=-CP=3,

2

••・OM=VfO12-CM2=1,

.:乙QCN=（OCM,Z.QNC=£.OMC=90°,

CQNCOM

QN_CN_CQ日nQN_CN_CQ

--==—,即==~^=,

OMCMCO13<10

设QN=x,贝|CN=3x,CQ=V10x,

在RtZ\OQN中，OQ="N2+ON2=J/+,

"CQ2=OQDQ,

•••(VlOx)2=lx2+(V1O—3%)2-lx2+(V1O—3%)2+

化简得6V1私-10=VTo-lx2+(V10-3x)2,

，26%2—6V10x=0,

•,•%!=%2=0(舍去)，

30

••.CQ=G

48

■.PQ=CP-CQ=^.

4.（2023匕・江苏无锡•九年级校考阶段练习）问题提出：如图①，在RtZXABC中，“=90。，CB=4,以=6,

OC的半径为2,P为圆上一动点，连接力P、BP,求力P+”P的最小值.

图①图①备用图图②

（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP,在CB上取一点D,使CD=1,

则6=If=1又乙PCD=LBCP,所以△P(?£)-ABCP.所以\="所以PD=所以4P+、BP=

2P+PD.请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+[BP的最小值为二

（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求^AP+BP的最小值；

（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形CQD中，ZCOD=90°,0C=6,04=3,0B=5,P是CD上一点,

求2P4+PB的最小值.

【思路点拨】

（1）利用勾股定理即可求得本题答案；

（2）连接CP,在C4上取点D,使CD=则有穿=）=；，可证△PCD-AACP,得到PD=^AP,即“P+

BP=BP+PD,从而+BP的最小值为BD；

(3)延长。4至U点E,使CE=6,连接PE,0P,可证△OAPOPE,得到EP=2PA,得到2P4+PB=EP+

PB,当E,P,B三点共线时，得到最小值.

【解题过程】

(1)解：如图连接力D,

■.■AP+^BP=AP+PD,要使力P+^BP最小，

・•・当ZP+an最小，当点4P,D在同一条直线时，4P+A。最小,

MP+”P的最小值为4D,

在中，CD=1,AC=6,

■■.AD=y/AC2+CD2=V37.

：.AP+jBP的最小值为何，

故答案为：V37;

(2)解：如图连接CP,在C4上取点。，使CO=彳

CD_CP_1

'CP~CA~

"CD=Z.ACP,

.*.△PCDs^ACP,

：.PD=-AP,

3

■■--AP+BP=BP+PD,

3

.■.^AP+BP的最小值为BD=y/BC2+CD2=等,

故答案为：誓;

(3)解：如图延长。力到点E,使CE=6,

■■-0E=0C+CE=12,

连接PE,OP,

'：0A=3,OB=5,

,.OA.-,OP---1

•,OP-OE-2’

'：Z-AOP=Z-AOP,

・•.△OAPOPE,

,AP_1

,,——9

EP2

:,EP=2P4

.'.2PA+PB=EP+PB,

二当E,P,B三点共线时，取得最小值：BE=VOB?+0E2=13,

故答案为：13.

5.（2023上•黑龙江哈尔滨•九年级统考期末）已知△ABC内接于。。，AB=AC,连接08.

(2)如图2,当OBIIac时，连接co并延长交O。于点D,过点。作0。的切线交。8的延长线于点E,求证:

DE=BC；

(3)如图3,在(2)的条件下，延长C8交DE于点尸，过F作FGII0B交。。于点G,交CD于点H,连接4G、

AH,若EF=痘,乙4GF=45。，求△AHG的面积.

【思路点拨】

(1)连接人。，co,可得aaoB三△aoc(sss),由等腰三角形的性质可得4。48=/.OAC,Z.OBA=4。48即

可求解.

(2)连接BD,AD,由48=4C,可得乙408=乙4。。，CD是直径，可得出NBCD=30。，即△B。。是等边

三角形，再证△EBD三△CW(ASA)即可求解.

(3)连接2。、BD,4。交FG于点K可得NCED=90°=^ODE,AD1AC,BD1CF通过EF=百及勾股定理

求得半径。D=3,AD=而，再由△HKDC4D可求解ZK=|后,"K==1最后通过乙4GF=45°

得HG即可求解△4HG的面积.

【解题过程】

(1)解：连接A。，C0,如图：

-.AA0B=AAOC(SSS),

•••Z-0AB=Z.OAC,

•・•乙OBA=乙OAB,

2,Z-OBA=Z-A.

(2)连接BO,4。如图:

・・•OB||AC,

•••乙BOD=Z.ACD,Z-ABC=乙BCO,乙ACB=Z-OBC,

•・•OB=OC,

•••Z-BCO=Z.OBC=Z,ACB=/.ABC,

・•・AB=DB,

・・•AB=AC,

•••Z-ADB=Z-ADC,

・・•CD是直径，

・•・乙CBD=90°,

・♦・乙ABD+4ADC+BCD=90°,

・•.Z.BCD=30°,

・•.△B。。是等边三角形，

・•・OE是。。的切线，

・•・乙EDB+乙ODB=90°,

又・・•乙ODB=Z.OBD=30°,

・•.Z.EBD=乙CAB=120°,

.-.AEBD=△CAB(ASA)

DE=BC

(3)连接40、BD,AD交FG于点K,如图：

由(2)可知：DE=BC,OB||AC,△BOO是等边三角形,

VCD是直径,

MED=90°=^ODE,AD1AC,BD1CF,

■：EF=V3,

DF=2BF,BF=EF=V3,

DF=2y[3,DE=3V3,

DE=y/OE2-OD2=dQODy-OD2=收OD,

・•・OD=3,CD=6

・•・AD=yJCD2+AC2=V33,

•・・OB||FG,AC||OB,

.*.△HKD-ACAD,

・A•K・一=CH一,

ADCD

AK=-V33)HK=-AC=1

33

•・・Z,AGF=45°,

•••AK=KG=-V33,

3

•••HG=KG-HK=|V33-1,

•••S^AHG=jXK-HG=|X|V33x(|V33-1)=宅更

6.(2023上•黑龙江哈尔滨•九年级校考期中)已知：4B是O。的直径，弦CD交4B于点£,且弧BC=弧3>

(2)如图2,连接4C,点尸为4C上的一点，连接BF,过点C作CH18F,垂足为点G,若点〃为弧48的

中点，求NCFB的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接交4B于点N,若4F=4N,FG=4,求。。的半径.

【思路点拨】

(1)连接BC、BD,可证AB是CD的垂直平分线，即可求证；

(2)连接BC,可求N4CH+NBCH=90。，由此可求乙4cH=45。，由NCGF=90。，即可求解；

(3)连接BC、BH,设N4=2a,可得ABHC==2a,从而可求N4NF=乙AFN=90°-a,乙CFH=90°+

a,进而可求NCHF=45o-a,可证NCHF=可得45。一a=2。，可求N4=30。，即可求解.

【解题过程】

(1)证明:如图，连接BC、BD,

图1

凯二能,

BC=BD,

OC=OD,

••.4B是CD的垂直平分线，

•••CE=DE；

(2)解：如图，连接BC,

--------\C

H

图2

・••4B是。。的直径，

•••ZACF=90°,

•••4ACH+乙BCH=90°,

•・•点X为弧4B的中点，

・•・乙ACH=乙BCH,

・•・"CH=45°,

・

••CH1BFf

・•・ACGF=90°,

・•・(CFB=90°-45°=45°,

故4的度数为45。；

(3)解：如图，连接BC、BH,

H

图3

设乙4=2a,

•・•凯=耻，

Z.BHC—Z.A—2a,

•・•AF=