2024年中考数学真题专题分类汇编专题22 图形的相似(含位似)（解析版）

2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）

专题22图形的相似(含位似)

一、选择题

1.（2024江苏连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、

丁，其中是相似形的为（）

A.甲和乙B.乙和丁C.甲和丙D.甲和丁

【答案】D

【解析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性

质，进行判断即可．

由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是

相似形．

故选D．

2.（2024四川内江）已知ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1:3，则ABC与△A1B1C1的周长

比为（）

A.1:1B.1:3C.1:6D.1:9

【答案】B

【解析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键．

∵ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1:3，

∴ABC与△A1B1C1的周长比为1:3，

故选B．

3.（2024重庆市B）若两个相似三角形的相似比为1:4，则这两个三角形面积的比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

【答案】D

【解析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解

即可．

∵两个相似三角形的相似比为1:4，

∴这两个三角形面积的比是12:421:16，

故选：D．

4.（2024黑龙江绥化）如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O0,0，A3,0，B3,2，C0,2，

1

以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（）

3

32

A.9,4B.4,9C.1,D.1,

23

【答案】D

1

【解析】本题考查了位似图形的性质，根据题意B横纵的坐标乘以，即可求解．

3

1

依题意，B3,2，以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点

3

2

的坐标是1,

3

故选：D．

5.（2024湖南省）如图，在ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的

是（）

1

ADE∥BCB.△ADE∽△ABCC.BC2DED.SS

.ADE2ABC

【答案】D

【解析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断

A、C；由相似三角形的判定和性质可判断B、D，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和

性质是解题的关键．

【详解】∵点D，E分别为边AB，AC的中点，

∴DE∥BC，BC2DE，故A、C正确；

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，故B正确；

∵△ADE∽△ABC，

22

S△DE11

∴ADE，

S△ABCBC24

1

∴SS，故D错误；

ADE4ABC

故选：D．

6.（2024山东威海）如图，在YABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD

上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G．下列结论错误的是（）

CEAD

A.若，则EF∥BD

CFAB

B.若AEBC，AFCD，AEAF，则EF∥BD

C.若EF∥BD，CECF，则EACFAC

D.若ABAD，AEAF，则EF∥BD

【答案】D

【解析】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形

的性质与判定；根据相似三角形的性质与判定即可判断A，根据题意可得四边形CA是BCD的角

平分线，进而判断四边形ABCD是菱形，证明RtACE≌RtAFC可得CECF则AC垂直平分

EF，即可判断B选项，证明四边形ABCD是菱形，即可判断C选项，D选项给的条件，若加上

BEDF，则成立，据此，即可求解．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ADBC,ABCD

CEADCEBC

A.若，即，又ECFBCD，

CFABCFCD

∴△CEF∽△CBD

∴CEFCBD

∴EF∥BD，故A选项正确，

B.若AEBC，AFCD，AEAF，

∴CA是BCD的角平分线，

∴ACBACD

∵AD∥BC

∴DACACB

∴DACDCA

∴ADDC

∴四边形ABCD是菱形，

∴ACBD

在RtACE,RtAFC中，

AEAF

ACAC

∴RtACE≌RtAFC

∴CECF

又∵AEAF

∴ACEF

∴EF∥BD，故B选项正确，

C.∵CECF，

∴CFECEF

∵EF∥BD，

∴CBDCEF,CDBCFE

∴CBDCDB

∴CBCD

∴四边形ABCD是菱形，

∴ACBD，

又∵EF∥BD

∴ACEF，

∵CECF，

∴AC垂直平分EF，

∴AEAF

∴EACFAC，故C选项正确；

D.若ABAD，则四边形ABCD是菱形，

由AEAF，且BEDF时，

可得AC垂直平分EF，

∵ACBD

∴EF∥BD，故D选项不正确

故选：D．

二、填空题

1.（2024江苏盐城）两个相似多边形的相似比为1∶2，则它们的周长的比为______．

1

【答案】1∶2##

2

【解析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多

边形的性质是解题的关键．

∵两个相似多边形的相似比为1∶2，

∴它们的周长的比为1∶2，

故答案为：1∶2．

OAOCAC1

2.（2024云南省）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若，则

OBODBD2

AC

__________．

BD

1

【答案】##0.5

2

【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明△ACO∽△BDO，根据相似三角形周长之比等

于相似比，即可解题．

AC∥BD，

ACO∽BDO，

ACOAOCAC1

，

BDOBODBD2

故答案为：1．

2

3.（2024四川成都市）如图，在Rt△ABC中，C90，AD是ABC的一条角平分线，E为AD

中点，连接BE．若BEBC，CD2，则BD______．

【答案】171

2

【解析】连接CE，过E作EFCD于F，设BDx，EFm，根据直角三角形斜边上的中线性

1

质和等腰三角形的性质证得CFDFCD1，EACECA，ECDEDCBEC，

2

进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到CED2CAE，AC2EF2m，证

明CBE∽CED，利用相似三角形的性质和勾股定理得到m232x；根据角平分线的定义和相

2

似三角形的判定与性质证明CAB∽FBE得到2mx1x2，进而得到关于x的一元二次

方程，进而求解即可．

【详解】连接CE，过E作EFCD于F，设BDx，EFm，

∵ACB90，E为AD中点，

∴CEAEDE，又CD2，

1

∴CFDFCD1，EACECA，ECDEDC，

2

∴CED2CAE，AC2EF2m，

∵BEBC，

∴BECECB，则BECEDC，又BCEECD，

∴CBE∽CED，

CECB

∴，CBECED2CAE，

CDCE

∴CE2CDCB22x42x，

则m2EF2CE2CF232x；

∵AD是ABC的一条角平分线，

∴CAB2CAECBE，又ACBBFE90，

∴CAB∽FBE，

ACBC

∴

BFEF

2mx2

∴，则2m2x1x2，

x1m

∴232xx1x2，即x2-x-4=0，

171

解得x（负值已舍去），

2

故答案为：171．

2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中

位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有

一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键．

4.（2024湖北省）DEF为等边三角形，分别延长FD，DE，EF，到点A，B，C，使

DAEBFC，连接AB，AC，BC，连接BF并延长交AC于点G．若ADDF2，则

DBF______，FG______．

443

【答案】①.30##30度②.3##

55

【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理．利用三角形的外角性

质结合EBEF可求得DBF30；作CHBG交BG的延长线于点H，利用直角三角形的性

质求得CH1，FH3，证明AGF∽CGH，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．

【详解】解：∵DEF为等边三角形，DAEBFC，

∴ADDFEBEF2，DEFDFE60，

1

∴DBFEFBDEF30，AFBEFBDFE90，EFBGFC30，

2

作CHBG交BG的延长线于点H，

1

∴CHCF1，FH22123，

2

∵AFBH90，

∴AF∥CH，

∴AGF∽CGH，

AFFG4FG

∴，即，

CHGH13FG

4

解得FG3，

5

4

故答案为：30，3．

5

S△ABD1

5.（2024四川乐山）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若，

S△BCD3

S△AOD

则______．

S△BOC

1

【答案】

9

【解析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，

相似三角形的判定与性质是解题的关键．

1

ADd

S△ABD21AD1

设AD，BC的距离为d，则，即，证明AOD∽COB，则

S13

△BCDBCdBC3

2

2

S△AD

AOD，计算求解即可．

S△BOCBC

【详解】解：设AD，BC的距离为d，

1

ADd

S1AD1

∴△ABD2，即，

S13

△BCDBCdBC3

2

∵AD∥BC，

∴ADOCBO，DAOBCO，

∴AOD∽COB，

22

SVAD11

∴AOD，

SVBOCBC39

1

故答案为：．

9

6.（2024河北省）如图，ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4

的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点．

△

（1）AC1D1的面积为______；

△

（2）B1C4D3的面积为______．

【答案】①.1②.7

1

【解析】【分析】（1）根据三角形中线的性质得S△=S△=S△=1，证明

ABDACD2ABC

AC1D1≌ACDSAS，根据全等三角形的性质可得结论；

（）证明≌，得SS1，推出C、、三点共线，得

2AB1D1ABDSAS△AB1D1△ABD1D1B1

S=S+S=2，继而得出S=4S=8，S3S3，证明

△AB1C1△AB1D1△AC1D1△AB1C4△AB1C1△AB1D3△AB1D1

4

△CAD∽△CAD，得S△CAD9S△CAD9，推出S△S△12，最后代入

3333AC4D33C3AD3

SSSS即可．

△B1C4D3△AC4D3△AB1D3△AB1C4

【详解】解：（1）连接B1D1、B1D2、B1C2、B1C3、C3D3，

∵ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，

11

∴S△=S△=S△=´2=1，

ABDACD2ABC2

∵点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，

1

∴ACACCCCCCCCC，

112233454

∵点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，

1

∴ADADDDDDDD，

1122343

∵点A是线段BB1的中点，

1

∴ABABBB，

121

△

在AC1D1和ACD中，

AC1AC

C1AD1CAD，

AD1AD

∴AC1D1≌ACDSAS，

∴SS1，，

△AC1D1△ACDC1D1ACDA

△

∴AC1D1的面积为1，

故答案为：1；

（2）在AB1D1和△ABD中，

AB1AB

B1AD1BAD，

AD1AD

∴AB1D1≌ABDSAS，

∴SS1，，

△AB1D1△ABDB1D1ABDA

∵BDACDA180，

∴B1D1AC1D1A180，

∴C1、D1、B1三点共线，

∴S=S+S=1+1=2，

△AB1C1△AB1D1△AC1D1

∵AC1C1C2C2C3C3C4，

∴S=4S=4´2=8，

△AB1C4△AB1C1

∵，S1，

AD1D1D2D2D3△AB1D1

∴S3S313，

△AB1D3△AB1D1

△

在AC3D3和ACD中，

ACAD

∵333，CADCAD，

ACAD33

△∽△

∴C3AD3CAD，

S2

C3AD3AC32

∴39，

SCADAC

∴S9S919，

△C3AD3△CAD

∵AC1C1C2C2C3C3C4，

44

∴S△S△912，

AC4D33C3AD33

∴SSSS12387，

△B1C4D3△AC4D3△AB1D3△AB1C4

△

∴B1C4D3的面积为7，

故答案为：7．

【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点

的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．

7.（2024武汉市）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由

四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形

ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2．若

S1

BEkAE(k1)，则用含k的式子表示的值是___________．

S2

k21

【答案】

(k1)2

【解析】作EGAN交AN于点G，不妨设MNa，设EG1，通过四边形MNPQ是正方形，

推出EMGPMN45，得到EGMG1，然后证明AEG∽ABN，利用相似三角形对

AE1AG1

应边成比例，得到，从而表示出AG，MN的长度，最后利用

ABBNANk1

S

222和22表示出正方形和的面积，从而得到1．

S1ABBNANS2MNaABCDMNPQ

S2

【详解】解：作EGAN交AN于点G，不妨设MNa，设EG1

四边形MNPQ是正方形

PMN45

EMGPMN45

EGMG1

在△AEG和ABN中，EAGBAN，AGEANB90

AEG∽ABN

AEEGAG

ABBNAN

BEkAE(k1)

ABAEBEAE(k1)

AE1AG1

ABBNANk1

BN1k

由题意可知，△ABN≌△DAM

BNAM1k

AGAMGM1k1k

AGAGk1

ANAMMNk1ak1

ak21

ANAGGMMNk1k21k2k

正方形的面积22222222，

ABCDS1ABBNAN(k1)(kk)(k1)(k1)

正方形的面积222222

MNPQS2MNa(k1)(k1)(k1)

S(k1)2(k21)

1

22

S2(k1)(k1)

k1

(k1)20

Sk21

1；

2

S2(k1)

k21

故答案为：2.

k1

【点睛】本题考查了弦图，正方形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的

面积，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能画出合适的辅助线构造相似三角形是解题的关键．

三、解答题

1.（2024湖北省）小明为了测量树AB的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：

方案一：如图（1），测得C地与树AB相距10米，眼睛D处观测树AB的顶端A的仰角为32：

方案二：如图（2），测得C地与树AB相距10米，在C处放一面镜子，后退2米到达点E，眼睛D

在镜子C中恰好看到树AB的顶端A．

已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树AB的高度．（结果保留整数，tan320.64）

【答案】树AB的高度为8米

【解析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题．

方案一：作DEAB，在Rt△ADE中，解直角三角形即可求解；

方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可．

【详解】解：方案一：作DEAB，垂足为E，

则四边形BCDE是矩形，

∴DEBC10米，

在Rt△ADE中，ADE32，

∴AEDEtan32100.646.4（米），

树AB的高度为6.41.68米．

方案二：根据题意可得ACBDCE，

∵BE90，

∴ACB∽DCE

ABBCAB10

∴，即

DECE1.62

解得：AB8米，

答：树AB的高度为8米．

2.（2024武汉市）问题背景：如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，

连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE．

问题探究：如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，BCD90，点E是AB的中点，点F

在边BC上，AD2CF，EF与BD交于点G，求证：BGFG．

EG

问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，ADCD，AGFG，直接写出

GF

的值．

【答案】问题背景：见解析；问题探究：见解析；问题拓展：5

5

【解析】【分析】问题背景：根据矩形的性质可得ABCD，EBFC90，根据点E，F分

BEBF1

别是AB，BC的中点，可得，即可得证；

ABBC2

问题探究：取BD的中点H，连接EH,HC，得EH是△ABD的中位线，根据已知条件可得EH平

行且等于FC，进而可得EFCH是平行四边形，得EF∥HC，则GFBHCB，根据直角三角

形中斜边上的中线等于斜边的一半得出HBHC，进而可得HBCHCB，等量代换可得

GBFGFB，等角对等边，即可得证；

问题拓展：过点F作FMAD，则四边形MFCD是矩形，连接AF，根据已知以及勾股定理得

AM5

出；根据（2）的结论结合已知可得GAGFGB，证明EF垂直平分AB，进而得出

AF5

FAFB，证明AFG≌BFG，进而证明BEG∽FMA，进而根据相似三角形的性质，即可

求解．

【详解】问题背景：∵四边形ABCD是矩形，

∴ABCD，EBFC90，

∵E，F分别是AB，BC的中点

BEBF1

∴，

ABBC2

BEBF1

即，

CDBC2

∴△BCD∽△FBE；

问题探究：如图所示，取BD的中点H，连接EH,HC，

∵E是AB的中点，H是BD的中点，

1

∴EHAD，EH∥AD

2

又∵AD2CF，

∴EHCF，

∵AD∥BC，

∴EH∥FC

∴四边形EHCF是平行四边形，

∴EF∥CH

∴GFBHCB

又∵BCD90，H是BD的中点，

1

∴HCBDBH

2

∴HBCHCB

∴GBFGFB，

∴GBGF；

问题拓展：如图所示，过点F作FMAD，则四边形MFCD是矩形，连接AF，

∵AD2CFCD，

1

∴AMMDFCAD，

2

设AD2a，则MFCD2a，AMa

2

在RtAMF中，AFa22a5a，

∵AGFG，由（2）BGFG

∴AGBG，

又∵E是AB的中点，

∴EF垂直平分AB

∴AFBF，BEG90，

在AFG,BFG中，

AGBG

GFGF

FAFB

∴AFG≌BFGSSS

设GBFGFB，则GAFGFA

∴BGEGBFGFB2，

又∵AD∥BC

∴MAFAFBGFAGFB2

∴MAFEGB

又∵BEGAFM90

∴BEG∽FMA

EGEGAMa5

∴．

GFBGAF5a5

【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形

中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解

题的关键．

3.（2024四川广元）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培

养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基

本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．

在ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．

（1）初步探究

如图2，若ACDB，求证：AC2ADAB；

（2）尝试应用

如图3，在（1）的条件下，若点D为AB中点，BC4，求CD的长；

（3）创新提升

如图4，点E为CD中点，连接BE，若CDBCBD30，ACDEBD，