2024年广东省深圳市中考数学试卷（含答案逐题解析）

2024年深圳市初中学业水平测试（中考）

数学学科试卷

说明：

1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定

的位置上，并将条形码粘贴好。

2.全卷共6页。考试时间90分钟，满分100分0

3.作答选择题1—8,选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信

息点框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。作答非选择题9—20,

用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内写在

本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。

4.考试结束后，请将答题卡交回。

第一部分选择题

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只

有一个是正确的）

1.下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是

A.

2.如图，实数小b,c,d在数轴上表示如下，则最小的实数为

A.aB.bC.cD.d

3.下列运算正确的是

A.（—TH3）2=-m5B.m2n-m=m3n

C.3mn-m-3nD.（m-l）2=m2—1

4.二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象

发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季

（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降）,

冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到

的节气在夏季的概率为

a

1234

0

第2题图第5题图

5.如图，一束平行光线照射平面镜后反射,若入射光线与平面镜夹角Nl=50°,则反射光

线与平面镜夹角N4的度数为

A.40°B.50°C.60°D.70°

6.在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分/BAC的是

7.在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房

七客多七客，一房九客一房空.诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每

一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.

设该店有客房x间，房客)，人，则可列方程组为

【1

(7x+7=y(7x+7=y

A,l9(x-l)=y(9a+i)=y

(7x-7=yr7X+7=y

〔9(%-1)=y(9(x+1)=y

8.如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8，〃的测量仪EF测得的仰角为45,,

小军在小明的前面处用高1.5〃?的测量仪CD测得的仰角为53°,则电子厂AB的

高度为().(参考数据：sin53°«^cos530=*,tQ几5、33°=》

A.22.ImB.22.4/〃C.21.2inD.23.0m

算

法

I

制

宗

第7趣图第8题图第10题图

第二部分非选择题

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

9.一元二次方程x2~3x+a=Q）的一个解为产1,则a=▲.

10.如图所示，四边形ABCD,DEFG,GH1J均为正方形，且S.S正方形ABCD=10,

S正方形GHLJ-1,则正方形DEFG的边长可以是▲.（写出一个答案即可）

11.如图，在矩形ABCD中，BC=gB,0为BC中点，OE=AB=4,则扇形EOF的面

积为▲.

4

12.如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，tQ九乙=?且点A落在反

比例函数_y=：上，点B落在反比例函数y=5（k/0）上，则公▲.

13.如图，在4ABC中，AB=乙B=^,D为BC上一点，且满足詈=刍过D

作DE1AD交AC延长线于点E,

三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8

分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）

14.（5分）计算：一2•cos45。+6-3.14）°+|1-&|+

15.（7分）先化简，再代入求值：（1一言）+"言％，其中。=四+1.

16.（8分）据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福

标杆”城巾过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健

身热情、促进体育消费等方面具有重大意义。按照符合条件的学校体育场馆和社会

体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动

的人找到场地，己有的体育场地得到有效利用”。

小明爸爸决定在周六上午预约一•所学校的操场锻炼身体，现有A,B两所学

校适合，小明收集了这两所学校过去10周周六上午的预约人数：

学校A:28,30,40,45,48,48,48,48,48,50,50

学校B:

⑴

学校平均数众数中位数方差

A①一▲.4883.299

B48.4②③354.04

(2)根据上述材料分析，小明爸爸应该预约哪所学校?请说明你的理由.

17.(8分)

【缤纷618,优惠送大家】

今年618各大电商平台促销火热，线下购

物中心也亮出大招，年中大促进入“白热

背景化”。深圳各大购物中心早在5月就开始推出

618活动，进入6月更是持续加码，如图，某

商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若

千辆购物车。

''【通为窠南场画出痴物车T0.2m

右图为购物车叠放在一起的示意

素材图，若一辆购物车车身长1〃7,

每增加一辆购物车，车身增加

p.2m.

问题解决

若某商场采购了〃辆购物车，求车身总长L与购物车辆数〃的表达

若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的

任务21直立电梯长为2.6〃?，旦一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次

性最多可以运输多少辆购物车？

若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆

任务3

购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？

18.(9分)如图，在4ABD中，AB二BD,。0为AABD的外接圆，BE为。O的切线,AC为

0O的直径，连接DC并延长交BE于点E..

(1)求证：DEJLBE;

(2)若4。=6底DE=5,求。0的半径.

第18题图

19.(12分)

为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以

水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x,y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择

不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x,CD读数为)，抛物线的顶点为C.

(1)

(I)列表:

①②③④⑤@

X023456

y012.2546.259

图I图2图3

(II)描点:请将表格中的(乂)，)描在图2中；

(川)连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出)，与x的关系式；

(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线丫=。(X-/1)2+左的顶点为C,该数学兴趣

小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB,竖直跨度为CD,且A8=rn,C0=几为了求出

该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程:

方案一:将二次函数丫=。氏一%)2+k平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式

为y=ax2.

①此时点B'的坐标为一4

②将点B'坐标代入y=a产中，解得Q=；(用含〃的式子表示)

方案二:设C点坐标为(h,k)

①此时点B的坐标为▲;

②将点B坐标代入,=。(％-九)2+土中解得。=；(用含〃7,〃的式子表示)

(3)【应用】如图4,已知平面直角坐标系.vQy中有A,B两点，48=4,且轴，二次

函数Ci：yi=2a+h)2+々和C2:y2=Q(x+九尸+b都经过A,B两点,且附和Q的顶点P,Q

距线段AB的距离之和为10,若AB〃工轴且AB=4,求。的值.

20.(12分)垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶

点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中

平行四边形”.

(1)如图所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形"，/1F=，^CE=2^J/4E=；/1B=；

(2)如图2,若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且.48=80”猜想AF与CD的关系,

并说明理由；

AD

BC

（3）①如图3所示，在A4BC中，BE=5交，CE=2AE=12,BE_LAC于点E,请画出以

BC为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图

工具）;

②若△4BC关于直线AC对称得到△AB。,连接CB',作射线（。夕交①中所画平行四边形的边

于点P，连接PE,请直接写出PE的值.

图3图3备用图

2024年深圳市初中学业水平测试

数学学科试卷

说明：

1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上,

并将条形码粘贴好.

2.全卷共6页.考试时间90分钟，满分100分.

3.作答选择题1・8,选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂

黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题9-20,用黑色字迹的钢笔

或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律

无效.

4.考试结束后，请将答题卡交回.

第一部分选择题

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是

正确的）

1.下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别.在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转

后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，

所以不是中心对称图形，

选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，

故选：C.

2.如图，实数a,b,c,d在数轴上表示如下，则最小的实数为（）

•a•b•♦c•d--A

0

A.aB.bC.cD.d

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小.根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断.

【详解】解：由数轴知，a<b<0<c<d,

则最小的实数为

故选：A.

3,下列运算正确的是（）

A.（一〃打=-nrB.nrn-m=nr1n

C.3/7?/?-m—3nD.（z/z-1）2=nr-1

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式.根据单项式乘以单项式，

积的乘方，完全平方公式法则进行计算即可求解•.

【详解】解：A、（一加3『=,〃6工_65,故该选项不符合题意；

B、故该选项符合题意；

C、3/77〃-〃7W3〃，故该选项不符合题意：

D、（/??—］）'=nr-2m+1m2-1»故该选项不符合题意；

故选：B.

4.二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二

十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小

暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大

寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（）

A.|B.—C.-D.-

21264

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了概率公式.根据概率公式直接得出答案.

【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个，

则抽到的节气在夏季的概率为9=!，

244

故选：D.

5.如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角N1=50。，则反射光线与平面镜夹角

C.60°D.70°

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了平行线的性质，根据CD_LA8,/5=/6,则/1=/2=50。，再结合平行线的性质,

得出同位角相等，即可作答.

【详解】解：如图：

•・•一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角Zl=50°,

ACD1AB,N5=N6,

・•・Nl+N5=N2+N6=90。，

则Nl=N2=50。，

•・•光线是平行的，

即DEGF,

・•・Z2=Z4=50°，

故选;B.

6.在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分/84C的是（）

①

A.①②B.①③C②③D.只有①

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质解决问题的关键是掌握角平分线的判定定理.利用

基本作图对三个图形的作法进行判断即可.在图①中，利用基本作图可判断AO平分N84C；在图③中，

利用作法得AE=4EAM=AN,可证明,。1月0g「.人硒，有NAMD=NAND,可得ME=NF,

进一步证明△MD%AM万得DW=ON,继而可证明八4。以二AAON,得NMAD=NNAD,得到

是/BAC的平分线；在图②中，利用基本作图得到。点为的中点，则AO为8C边上的中线.

【详解】在图①中，利用基本作图可判断A。平分NB4C：

在图③中，利用作法得AE=AEAM=AN,

在44/力/和△AEN中，

AE=AF

<ABAC=ABAC,

AM=AN

...AFM^,AEN(SASy

:“MD=AAND,

•：AM-AE=AN-AF

:.ME=NF

在，M/比和NDF中

ZAMD=ZAND

</MDE=NNDF,

ME=NF

,MDE乌M)F(AAS),

.♦.DM=DN,

-：AD=AD,AM=ANf

：..ADM^ADV(SSS),

••.ZMAD=ZNAD,

••.A。是/RAC的平分线；

在图②中，利用基本作图得到。点为8。的中点，则A。为3c边上的中线.

则①③可得出射线AO平分ZBAC.

故选：B.

7.在明朝程大位《算法统宗》中有苜住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九

客一房空.诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如

果每一间客房住9人，那么就空出一间房.设该店有客房4间，房客〉人，则可列方程组为()

7x+7=yj7x+7=y

A-（9（A-1）=JB，［9（x+l）=y

f7x-7=yf7x+7=y

C9（x-l）=y。（9（x+l）=y

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.设该店有客房x间，房客），人；每一间客房住7人,

那么有7人无房可住；如果每•间客房住9人，那么就空出一间客房得出力程组即可.

【详解】解：设该店有客房1间，房客），人：根据题意得：

故选:A.

8.如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪石户测得的仰角为45。，小军在小明的前面5m

4

处用高1.5m的测量仪C7）测得的仰角为53°,则电子厂A3的高度为（）（参考数据：sin53o«-,

cos53°«-,tan53°«—)

53

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形，与俯角有关的解直角三箝形，矩形的判定与性质，无证明四边形

EFDG、EFBM、CDBN是矩形，再设GM=.vm,表示EW=（x+5）m，然后在

RtzAEM,tanZAEM=—,以及R^ACN,tanN4CN二空，运用线段和差关系，即

EMCN

4

MN=AN-AM=-x-（x+5）=0.3,再求出x=15.9m,即可作答.

【详解】解：如图：延长。。交£”于一点G,

,/2LMEF=NEFB=ZCDF=90°

・•・四边形EFOG是矩形

•・•/MEF=AEFB=ZB=900

・•・四边形EFBM是矩形

同理得四边形CO8N是矩形

依题意，得£F=M8=1.8m,CD=1.5m,ZAEM=45°,ZACN=53°

・•・CG=(1.8-1.5)m=0.3m,FD=EG=5m

・・・CG=MV=().3m

・••设G7Vf=Am,则EM=(x+5)m

在RtaA£M,tanZAEM=—,

EM

.・・EMx[=AM

即AM=(x+5)m

AN

在Rt“CN,tanNACN=—,

CN

4

・・・CNtan530=-x=AN

3

4

即y4N=—xm

3

4

:.MN=AN-AM=-x-(x+5)=0.3

x=15.9m

J4〃=15.9+5=20.9(m)

AAB=AM+EF=AM+MB=20.9+1.8=22.7(m)

故选：A

第二部分非选择题

二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

9.已知一元二次方程f-3工+〃2=0的一个根为1，则用二.

【答案】2

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将戈=1代入原方程，列出关

的方程，然后解方程即可.

【详解】解：•,关于工的一元二次方程/一3工+〃2=0的一个根为1，

.\X=l满足一元二次方程X2-3x4-777=0>

1-3+〃?=0,

解得，m=2.

故答案为：2.

10.如图所示，四边形ABC。，DEFG,GH"均为正方形，且S正方形相^川。，S正方形=1,则正方

形OEFG的边长可以是.1写出一个答案即可）

【答案】2（答案不唯一）

【解析】

【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算.利用算术平方根的性质求得AB=CO=JI5,

GH=GJ=\,再根据无理数的估算结合GHvOEvCD,即可求解.

【详解】解：・・7正方形.8=1°，

・•・43=CD=而，

•*S正方形=1，

:・GH=GJ=1,

V3<V10<4,即3vCD<4,

工正方形DEFG的边长GH<DEvCD,即lvZ）E<3,

・•・正方形DEFG的边长可以是2,

故答案为：2（答案不唯一）.

11.如图，在矩形A8C。中，BC=4iAB，。为BC中点,OE=AB=4,则扇形EO/的面积为

【答案】4兀

【解析】

【分析】本题考查了扇形的面枳公式，解直角三角形.利用解直角三角形求得/5。E=45。，

ZCOF=45%得到/石。9=90°,再利用扇形的面积公式即可求解.

【详解】解：:8C=后48，AB=4,

工BC=4五,

•・•。为BC中点，

：.OB=OC=-BC=2y/2,

2

OE=4,

在RtaOBE中，cosZBOE=—.

OE42

・・・/5OE=45。，

同理NCOb=45。，

・•・ZEOF=180°-45°-45°=9()。，

90乃42

・•・扇形EOF的面积为=4不，

360

故答案为：4尸.

43

12.如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，tanZAOC=~,且点A落在反比例函数)，=三上,

3x

点B落在反比例函数)，=々人工0)上，则左=.

【答案】8

【解析】

【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点43作4轴的垂线，垂足分别为。、E,

f315

然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得4彳，2,04=；,再求得点3(4,2),利用待定系数法求解即

\272

可.

【详财】册：过点AJ?作％轴的垂线，垂足分别为D、E,如图,

3

,AD4

••---=一，

OD3

・•・设4。=4。，则OD=3a,

/.点4(3a,旬，

点A在反比例函数y=』上，

x

/.34•4。=3,

1(31

：.a=-(负值已舍)，则点4-,2,

212)

3

••・AD=2,OD=-

2t

：.OA=>JOD2+AD2=-,

2

•・•四边形A0C8为菱形，

AAB=0A=-AB//CO,

2t

・,•点8(4,2),

•・•点8落在反比例函数)，=々女工0)上，

X

・••左=4x2=8,

故答案为：8.

3BD8,,,,

13.如图，在。中，AB=BC,tanZ^=—,。为8c上一点，且满足一-，过。作。石工人。

12CD

CF

交4C延长线于点则一=.

AC

A

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设A3=BC=13x,根据

tanZB=^,AH1CB,得出A〃=5x,3H=12x,再分别用勾股定理4。=同r,AC=JW，故

cosZADC=—=^^~，再运用解直角三角形得出DM二迎至x，AM=2L也工，代入

AD414141

—CEMD»化简即可.-作/A-答zy-.

ACAM

【详解】解：如图，过点A作Aa_LC3垂足为H

设XB=BC=13x,

BD=8x,DC=5x,

VtanZB=—,AH上CB,

12

AH5

BH12

•・•AB=BC=\3x,

・•・AH2+BH2=AB2=\69x\

解得AH=5x,BH=12x,

DH=12x-Sx=4x,HC=5x-4x=x>

•**AD=yjAH2+DH2=AC=y/AH2-^CH2=V26x»

./八八rDH4河

•・cos/ADC=---=--------，

AD41

过点C作CM_LA。垂足为M,

・••DM=CD-cosZADC=商XAM=AD—DM=21历尤

4141

DE±AD.CMVAD,

:,MC〃DE,

2()历

x

.CEDM_41_20

“k一而一21向一天

x

41

故答案为：—.

21

三、解答题(本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，

第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分)

/1

14.计算：一2<os450+(〃—3.14)°+1—&+-.

【答案】4

【解折】

【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数累，绝对值以及负整数指数塞.先将各项化简，再算乘法,

最后从左往右计算即可得

【详解】解：一2.cos450+(;r—3.14)°十|一0|+1：

=-2x—+1+V2-1+4

2

=-X/2+1+V2-14-4

=4.

，、…__人,,(.2)cr-2.ci+14.r—

15.先化简，再求值：1------k-------------,其中〃=&+1

I4+1J4+1

【答案】—,叵

a-\2

【解析】

【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题关键.

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把4

的值代入计算即可求出值.

(四__2]：

(〃+1«+1J4+1

。・14+1

当。二枝+i时，原式一=-!==—.

V2+1-1V22

16.据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠

民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义.按照符合

条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运

动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”.

小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有4,B两所学校适合，小明收集了这两所学校

过去10周周六上午的预约人数：

学校A：28,30,40,45,48,48,48,48,48,50,50

学校&

学

平均数众数中位数方差

校

A0_____4883299

B48.4②__________③_________3_54.04

(2)根据上述材料分析，小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由.

【答案】(1)048.3；②25；(3)47.5

(2)小明爸爸应该预约学校A,理由见解析

【解析】

【分析】本题考查求平均数，中位数和众数，利用方差判断稳定性：

(1)根据平均数，中位数和众数的确定方法，进行求解即可；

(2)根据方差判断稳定性,进行判断即可.

【小问1详解】

解:①'(28+30+40+45+48+48+48+48+48+50+50)=48.3；

②数据中出现次数最多的是25,故众数为25：

③数据排序后，排在中间两位的数据为45,50,故中位数为：；(45+50)=47.5；

填表如下：

学校平均数众数中位数方差

A48.34883.299

B48.42547.5354.04

【小问2详解】小明爸爸应该预约学校A,理由如下：

学校4的方差小，预约人数相对稳定，大概率会有位置更好的进行锻炼.

17.

【缤纷618,优惠送大家】

今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”.深圳各大购

物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618

优惠节，采购了若干辆购物车.

0.2m

素如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在•起的示意图，若

材一辆购物车车身长1m,每增加一辆购物车，车身增加0.2m.

ooooooooo

问题解决

任

务若某商场采购了〃辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式；

1

任

若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为2.6m,且一次可以

务

运输两列购物车，求直立电禅一次性最多可以运输多少辆购物车？

2

任

若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输10()辆购物车，且最多只能使用电梯5次，

务

求：共有多少种运输方案？

3

【答案】任务k£=(0.8+0.271)/7?；任务2：一次性最多可以运输18台购物车；任务3：共有3种方案

【解析】

【分析】本题考查了列代数式表达式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

任务1：根据一辆购物车车身长1m,每增加一辆购物车，车身增加0.2m,且采购了〃辆购物车，L是车身

总长，即可作答.

任务2：结合“已知该商场的直立电梯长为2.6m,且一次可以运输两列购物车”，得出2.620.8+0.2〃，

再解不等式，即可作答.

任务3：根据“该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电

梯5次”，歹U式24x+18(5—x)N100,再解不等式，即可作答.

【详解】解：任务1：•・•一辆购物车车身长1m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m

・•.Z.=(().8+0.2,?)w

任务2：依题意，•・•已知该商场的直立电梯长为2.6m,目.一次可以运输两列购物车，

令2.620.8+0.2〃，

解得：n<9

・•・一次性最多可以运输18台购物左

任务3：设x次扶手电梯，则(5—x)次直梯

由题意♦・•该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次

可列方程为：24x+18(5-x)>l(X),

解得：X>—

3

方案一：直梯3次，扶梯2次；

方案二：直梯2次，扶梯3次：

方案三：直梯1次，扶梯4次

答：共有三种方案

18.如图，在△A3。中，AB=BD,OO为△A3。的外接圆，破为G。的切线，AC为。。的直径，连

接。。并延长交班:于点E.

（1）求证：DE±BE；

（2）若A8=5j^，BE=5,求。。的半径.

【答案】（1）见解析（2）3石

【解析】

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：

（1）连接50并延长，交AD于点、H,连接0。，易证30垂直平分A。，圆周角定理，切线的性质，推

山四边形。"力E为矩形，即可得证：

（2）由（1）可知DH=BE=5,勾股定理求出的长，设OO的半径为，在中，利用勾

股定理进行求解即可.

【小问1详解】

证明：连接8。并延长，交AD于点H,连接。。，

•：AB=BD,OA=OD,

・•・80垂直平分AO,

:,BHJ.AD，AH=DH,

，：BE为。的切线，

:・HB工BE，

•••47为OO的直径，

・•・ZAZ）C=90°,

・•・四边形笈印无:为矩形，

:,DEA.BE；

【小问2详解】

由（1）知四边形1为矩形，BH-LAD.AH-DH.

AH=DH=BE=5,

,BH=4AB?-AH?=5石,

设。。的半径为，则：OA=OB=r,OH=BH-OB=5小-r,

在RtZ\AO”中，由勾股定理，得：r2=（5）2+（5V5-r）\

解得：r=35/5;

即：。。的半径为3石.

19.为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直

尺和竖直放置的直尺为x,），轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所

示，设8。的读数为x,CO读数为户抛物线的顶点为C

(1)(I)列表:

©②③④⑤⑥

X023456

y012.2546.259

（II）描点：请将表格中的（乂）。描在图2中；

（III）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出），与x的关系式；

（2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=的顶点为C,该数学兴趣小组用水平和

竖直直尺测量其水平跨度为A3,竖直跨度为CD,且AB=〃2,CD=n,为了求出该抛物线的开口大小,

该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中i种方案，并完善过程:

方案一：将二次函数），=。（%-万『+左平移，使得顶点C与原点。重合，此时抛物线解析式为y=

①此时点夕的坐标为；

②将点8'坐标代入），=a?中，解得；（用含小，〃的式子表示）

方案二：设。点坐标为（〃,女）

①此时点B的坐标为；

②将点B坐标代入），=〃（工一/?）2+女中解得。=________：（用含"7,〃的式子表示）

（3）【应用】如图4,已知平面直角坐标系中有A,3两点，A8=4,且A8〃x轴，二次函数

G：y=2（x+/?）2+攵和G：%=a（x+/?）2+〃都经过A，R两点,且C1和C?的顶点p,Q蹉线段A3的

距离之和为10,若48〃x轴且AB=4,求〃的值.

【答案】（1）图见解析，y=-x2；

4

（2）方案一：①佶"▼];②士■:方案二：①"+②也；

12；nr\2Jnr

（3）〃的值为;或一，.

22

【解析】

【分析】（I）描点，连线，再利用待定系数法求解即可；

（2）根据图形写出点出或点8的坐标,再代入求解即可;

（3）先求得八（h2,8iA）,B（/?I2,8I«）,G顶点坐标为P（h,k）,再求得C1顶点距线段A3

的距离为|（8+Z）—4=8,得到G的顶点距线段A8的距离为10-8=2,得到。2的顶点坐标为

（2（-〃,10+2）或虱-〃,6+2）,再分类求解即可.

【小问1详解】

解：描点，连线，函数图象如图所示，

9

X

7

6

5

4

3

2

—

观察图象知，函数为二次函数，

设抛物线的解析式为y=of+法+《,

c=0

由题意得，4Q+2/?+C=1,

16。+4/7+c=4

1

a=—

4

解得%=0,

c=0

与x的关系式为y=-x2；

4

【小问2详解】

解：方案一：①•••A8=〃z,CD=n,

・•・

2

（1、

此时点8,的坐标为；

12/

故答案：

12）

②由题意得（；〃？〃=〃，

4〃

解得。二r

nV

4/7

故答案为：—

m

方案二：①,・・C点坐标为（力,左），AB=m,CD=n,

DB=—m,

2

此时点8的坐标为力+；〃2次+〃)；

(1、

故答案：h+-myk+n；

I2

(1\2

②由题意得2+〃=〃h-¥—tn-h+k,

I2)

4〃

解得〃二r,

故答案为：--；

〃「

【小问3详解】

解：根据题意和。2的对称轴为工=一人，

则力—2,8+k）,B（-1+2,8+〃）,&的顶点坐标为P（—/bk）,

・,・c,顶点距线段AB的距离为1（8+%）-从=8,

・•・C2的顶点距线段AB的距离为10-8=2,

・・・c2的顶点坐标为°（一/2,10+攵）或Q（-〃,6+左），

当G的顶点坐标为Q（-〃/°+攵）时，％=a（x+〃）‘+10+火，

将4（一〃-2,8+攵）代入得4。+10+%=8+左，解得。:一］；

2

当G的顶点坐标为Q（-〃6+Z）时，y2=6z（x+/?）+6+k,

将4（一〃一2,8+攵）代入得4a+6+A=8+A,解得。=5；

综上，”的值为:或

22

【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.

20.垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交

平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”.

图3图3备用图

（1）如图1所示，四边形A3CD为“垂中平行四边形"，AF=5CE=2,贝—；

AB=：

（2）如图2,若四边形48CQ为“垂中平行四边形"，且AB=BD,猜想AF与CO的关系，并说明理由;

（3）①如图3所示，在,ABC中，BE=5,CE=2AE=\2,8E_LAC交AC于点E，请画出以8c

为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；

②若一A3C关于直线AC对称得到VAB'C，连接C8',作射线C8'交①中所画平行四边形的边于点夕，连

接尸£，请直接写出P£的值.

【答案】（1）1,V17

(2)AF=y[iCD,理由见解析

(3)①见解析；②「七=3至或华画.

42

【解析】

【分析】(1)根据题意可推出/S/XCEB，得到x=k，从而推出AE，再根据勾股定理可求得

BCCE

BE,再求得A3；

ArAnnr

(2)根据题总可