2024-2025学年四川省内江市资中县球溪高级中学普通班高三（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省资中县球溪高级中学普通班高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|1x<2}，集合B={−2,−1,0,6}，则A∩B=A.{6} B.{−2,−1} C.{−2,−1,6} D.{−2,−1,0,6}2.已知复数z1=1+2i，z2=1−A.|z1|<|z2| B.|3.已知向量a=(3+λ,4λ)，b=(−1,1)若a//b，则A.−245 B.245 C.−4.设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=2A.8 B.4 C.14 D.5.已知sin(α−π5)+cosA.0 B.12 C.226.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了(

)A.108−722 B.81−542 C.7.已知函数f(x)=ex−1,x≥0,2x,x<0,，g(x)=kx−1，若关于x的方程f(x)=g(x)有2A.(e} B.[e,+∞) C.(−18,0)∪{e}二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。8.已知函数f(x)(x∈[−3,5])的导函数为f′(x)，若f′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是(

)A.f(x)在(−2,1)上单调递增 B.f(x)在(−12,83)上单调递减

C.f(x)在x=−2处取得极小值9.已知抛物线y2=2x的焦点为F，准线为l且与x轴交于点Q，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若PF=3MFA.|MF|=23 B.|MN|=83 C.10.已知函数f(x)=sin(2ωx+π3A.函数y=f(x)的初相位为π3

B.若函数f(x)的最小正周期为π，则ω=2

C.若ω=1，则函数y=f(x)的图象关于直线x=π12对称

D.若函数y=f(x)的图象关于直线x=π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。11.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线D：x2−y212.已知函数f(x)=4sinπx,0<x≤12x−1+x,x>1，若关于x的方程[f(x)]2−(2−m)f(x)+1−m=013.某市政府决定派遣8名干部(5男3女)分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有______种．(用数字作答)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题13分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足3bcosC−3a=csinB．

(1)求B；

(2)若b=15.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx−ax，g(x)=axlnx，其中a≠0．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若F(x)=f(x)+g(x)在(0,+∞)上单调递增，求a的取值范围．16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且∠PAD=π2，F为棱PC上的点(异于端点)，平面ADF与棱PB交于点E．

(1)求证：EF//平面ABCD．

(2)若PEEB=45，且平面PAD⊥平面ABCD17.(本小题17分)

已知F1、F2是双曲线x2−y23=1的左、右焦点，直线l经过双曲线的左焦点F1，与双曲线左、右两支分别相交于A、B两点．

(1)求直线l斜率的取值范围；18.(本小题17分)

定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，2，3经过第一次“和扩充”后得到数列1，3，2，5，3；第二次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3.设数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为Pn，所有项的和为Sn．

(1)若a=2，b=3，c=4，求P2，S2；

(2)求不等式Pn≥2024的解集；

(3)是否存在数列a，b，c(a,b,c∈R)参考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.A

6.A

7.C

8.ACD

9.ABC

10.ACD

11.6

12.(−3,−1)

13.180

14.解：(1)因为3bcosC−3a=csinB，

所以由正弦定理得3sinBcosC−3sinA=sinCsinB，

所以3sinBcosC−3sin(B+C)=sinCsinB，

3sinBcosC−3sinBcosC−3cosBsinC=sinCsinB，

即sinCsinB=−3sinCcosB，

因为sinC≠0，所以tanB=−3，

由于0<B<π，所以B=2π3；

15.解：(1)f′(x)=1x−a=1−axx(a≠0)，x>0，

当a<0时，所以f′(x)>0恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当a>0时，若0<x<1a，f′(x)>0，f(x)单调递增；若x>1a，则f′(x)<0，f(x)单调递减，

综上所述：当a<0时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，没有单调递减区间；

当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,1a)，单调递减区间为(1a,+∞)．

(2)因为F(x)=f(x)+g(x)=lnx−ax+axlnx，x>0，

则F′(x)=alnx+ax+1x−a=axlnx+1x，

若F(x)=f(x)+g(x)在(0,+∞)上单调递增，可知F′(x)=axlnx+1x≥0在x∈(0,+∞)上恒成立，

即axlnx+1≥0在x∈(0,+∞)上恒成立，

令ℎ(x)=axlnx+1，则ℎ′(x)=a(1+lnx)，

若a<0，当x趋近于+∞，可知ℎ(x)趋近于−∞，此时不符合题意；

若a>0，当0<x<1e时，ℎ′(x)<0，当x>1e16.解：(1)证明：根据题意可知，侧面PAD为等腰直角三角形，且∠PAD=π2，

因为底面ABCD是正方形，所以AD//BC，

因为BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，所以AD/​/平面PBC．

又因为AD⊂平面ADFE，平面ADFE∩平面PBC=EF，所以EF/​/AD，

因为AD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，所以EF/​/平面ABCD．

(2)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊥AD，PA⊂平面PAD，

所以PA⊥平面ABCD，又由四边形ABCD为正方形，得AB⊥AD．

以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，AP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)．

由PEEB=45，可得PE=AE−AP=45EB=45(AB−AE)⇒95AE=45AB+AP，

又AB=(2,0,0),AP=(0,0,2)，则AE=(89,0,109)，即E(89,0,1017.解：(1)在双曲线x2−y23=1中，a=1，b=3，则c=a2+b2=1+3=2，

该双曲线的左焦点为F1(−2,0)，若直线l的斜率不存在，则直线l与双曲线交于左支上的两点，不合乎题意，

设直线l的方程为y=k(x+2)，设点A(x1,y1)、B(x2,y2)，

联立y=k(x+2)3x2−y2=3可得(k2−3)x2+4k2x+(4k2+3)=0，

因为直线l与双曲线左、右两支分别相交于A、B两点，

所以，k2−3≠0Δ=16k4−4(k2−3)(4k2+3)=36(k2+1)>0x1x2=4k2+3k2−3<0，解得−3<k<18.解：(1)a=2，b=3，c=4，第一次“和扩充”后得到数列2，5，3，7，4，

第二次“和扩充”后得到数列2，7，5，8，3，10，7，11，4，

P2=9，S2=2+7+5+8+3+10+7+11+4=57；

(2)数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，

数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为Pn，