云南省腾冲市第八中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

腾冲市第八中学高二数学检测卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由双曲线的方程可知，即可直接写出其渐近线的方程.【详解】由双曲线的方程可知，根据渐近线方程公式，得到渐近线方程为.故选：D.2.记等差数列的前n项和为.若，，则（）A.49 B.63 C.70 D.126【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的项的“等和性”得到，再运用等差数列的前n项和公式计算即得.【详解】因是等差数列，故，于是故选：B3.若直线与平行，则实数的值为（）A.0 B.2 C.3 D.2或3【答案】B【解析】【分析】根据直线平行可得，运算求解并代入检验即可.【详解】若直线与平行，则，整理可得，解得或，若，则与平行，符合题意；若，则与重合，不合题意；综上所述：.故选：B.4.的展开式中的常数项为（）A. B.20 C. D.30【答案】A【解析】【分析】首项写出展开式的通项，再令的指数为1，从而计算可得；【详解】解：二项式展开式的通项为，令，解得，所以故选：A【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.下列导数运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数的导数即可得解.详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C.6.已知圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由两圆圆心距与半径和差得关系即可求解；【详解】由题意可得：，即：，解得：，且，所以的取值范围为，故选：C7.2025年的寒假就要到了，甲、乙、丙、丁四个同学都计划去旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，延边打卡也火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个同学恰好选择三个城市旅游的方法种数共有（）A.1800 B.1080 C.720 D.360【答案】C【解析】【分析】先求出恰有个同学所选的旅游地相同，再应用分步计数及排列、组合数求得结果.【详解】第一步，先选恰有个同学所选的旅游地相同，有种；第二步，从个旅游地中选出个排序，有种，根据分步计数原理可得，方法有种.故选：C8.已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知结合椭圆定义得出，再结合余弦定理得出，进而得出离心率.【详解】因为，又因为，所以，因为，则，，在中，，所以，所以，所以，所以.故选：D.二､多选题本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.为等比数列的前三项，则的可能值为（）A.4 B.5 C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据给定条件，利用等比数列定义列式求解即得.【详解】由为等比数列的前三项，得，所以或.故选：AC10.下列结论正确的是（）A.过、两点的直线方程为B.点关于直线的对称点为C.若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则的方程为D.直线的倾斜角为【答案】BD【解析】【分析】利用直线的两点式方程可判断A选项；利用点关于直线的对称性可判断B选项；利用直线的截距式方程可判断C选项；利用直线倾斜角与斜率的关系可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，过、两点的直线方程不能用表示，A错；对于B选项，设点关于直线的对称点为，由题意可知，直线与直线垂直，且线段的中点在直线上，所以，，解得，所以，点关于直线的对称点为，B对；对于C选项，若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，当直线过原点时，设直线的方程为，可得，解得，此时，直线的方程为，即，当直线不过原点时，设直线方程为，即，所以，，解得，此时，直线的方程为，综上所述，直线的方程为或，C错；对于D选项，直线的斜率为，其倾斜角为，D对.故选：BD.11.已知点是抛物线上一点，是抛物线的焦点，直线与抛物线相交于不同于的点，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可判断A选项；利用抛物线的焦半径公式可判断B选项；将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，结合抛物线的焦点弦长公式可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断D选项.【详解】将点坐标代入抛物线的方程，可得，可得，A对；所以，抛物线方程为，其准线方程为，故，B对；易知点，直线的斜率为，直线的方程为，联立，解得或，即点，所以，，C对；，故、不垂直，D错.故选：ABC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.用数字0､2､5､7四个数可以组成__________个无重复数字的三位数．【答案】18【解析】【分析】先根据三位数是否含0分为两类，利用排列数列式，再由分类加法计数原理计算即得.【详解】依题意，由数字0､2､5､7组成无重复数字的三位数可分为两类：第一类：不含0，有个；第二类：包含0，有个，由分类加法计数原理，可得所求三位数有个.故答案为：18.13.数列是以2为首项，3为公差的等差数列，则__________．【答案】【解析】【分析】利用等差数列通项公式计算推理即得.【详解】依题意，，故得.故答案为：.14.已知正方体的棱长为2，为侧面内（含边界）的一个动点，是线段的中点，若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为__________．【答案】【解析】【分析】根据线面角得出的轨迹，结合边长得出角进而应用弧长公式求出侧面内的劣弧；【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立坐标系，易知平面的一个法向量为，设，当直线与平面所成的角为时，，所以，则点的轨迹是以为球心，为半径的球，为侧面内的一个动点，则点的轨迹在侧面内是以为圆心，为半径的劣弧，设轨迹分别交于点，，可得，则，则，劣弧的长为，故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.某校高二年级举行了“学宪法、讲宪法”知识竞赛，为了了解本次竞赛的学生答题情况，从中抽取了200名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中x的值，并估计该200名学生成绩的中位数和平均数；（2）若在和的样本成绩对应的学生中按分层抽样的方法抽取7人进行访谈，再从这七人中随机抽取两人进行学习跟踪，求抽取的两人都来自组的概率.【答案】（1）0.016，71，70.6（2）【解析】【分析】（1）运用频率相加等于1即可求出x的值，并利用中点值以及占比计算出平均值，面积法得到中位数；（2）使用排列组合公式结合古典概型，即可求解.【小问1详解】由图知，，因为，所以学生成绩的中位数在内，设200名学生成绩的中位数为m，因为，解得，所以200名学生成绩的中位数是.因为，所以200名学生成绩的平均数为【小问2详解】由题意，在和的样本成绩对应的学生的人数为现要按分层抽样抽取7人，则在和成绩分组中各抽取3人，4人；则所以从这7名学生中随机抽取2人，2人成绩都在抽取的两人都来自组的概率为.16.已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为．（1）求的方程和焦点坐标；（2）设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求．【答案】（1）方程为，左、右焦点坐标分别为（2）【解析】【分析】（1）根据双曲线虚轴长以及离心率联立方程组即可得出的方程；（2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理以及弦长公式计算可得.【小问1详解】因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以，又，联立解得，，所以的方程为，左、右焦点坐标分别为．【小问2详解】由（1）知，根据题意易得过的直线斜率存在，设的直线方程为，如下图所示：联立，化简得，所以，因为中点横坐标为3，所以，解得，所以，则，则．17.如图，在四棱锥中，平面，，，且．（1）求直线与直线所成角的大小；（2）求直线PD与平面PAC所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与直线所成角的大小.（2）利用向量法来求得直线PD与平面PAC所成角的正弦值．【小问1详解】由于平面，平面，所以，由于，所以两两相互垂直.以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，设直线与直线所成角为，则，由于，所以.【小问2详解】，，设平面的法向量为，则，故可设，设直线PD与平面PAC所成角为，则.18.在中，内角所对的边分别为，，.已知.（1）求角的大小；（2）设，（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值.【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）由正弦定理计算可得，即；（2）（ⅰ）利用余弦定理代入计算可得；（ⅱ）由余弦定理得推论计算可得，再根据同角三角函数基本关系以及三角恒等变换计算可得结果.【小问1详解】依题意根据由正弦定理可得；又，所以可