云南省西双版纳傣族自治州景洪市第三中学2024-2025学年高二下学期开学考 数学试题（含解析）

景洪市第三中学2024-2025学年下学期开学考试高二数学考试卷考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答题前请在答题卡上写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示计算可得.【详解】因为，，所以.故选：D2.已知平行六面体（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的加法运算，结合平行六面体计算即得.【详解】在平行六面体中，==.故选：C3.已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程.【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又直线过点，所以直线的方程为.故选：D4.已知直线与垂直，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用一般式方程下两直线垂直的公式代入求解即可得到结果.【详解】若直线与垂直，则，解得.故选：B.5.双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接根据双曲线的方程和几何性质可得答案．【详解】∵双曲线∴双曲线渐近线为即故选：D6.抛物线的焦点到准线的距离为（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】先把抛物线转化为标准方程进而得出焦点坐标及准线，最后求出距离.【详解】抛物线转化为，则焦点为，准线为，焦点到准线的距离为4.故选：B.7.已知等比数列，，，则公比等于（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的通项公式计算可得.【详解】因为，，所以，解得.故选：C8.在等差数列中，，则公差（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】应用等差数列通项公式基本量运算即可求解.【详解】因为等差数列，所以所以.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.已知向量，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标公式计算即可.【详解】因为向量，，，所以，解得或.故选：BD.10.在平行六面体中与向量相等的向量有（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】直接利用相等向量的定义,结合平行六面体的几何特征即可求解．【详解】如图，在平行六面体中，与相等的向量有3个，分别是，，．故选：BC．11.已知曲线，则下列正确的有（）A.若，则曲线的离心率为B.若，则是椭圆，其焦点在轴上C.若，则为双曲线，其渐近线方程为D.若，则是圆，其半径为【答案】ACD【解析】【分析】根据圆、椭圆、双曲线的标准方程和几何性质即可逐项判断.【详解】对于选项A：若，则C为双曲线，，故A正确；对于选项B：若，则是椭圆，其焦点在x轴上，故B错误；对于选项C：若，则为双曲线，其渐近线方程为，即，故C正确；对于选项D：若，则是圆,半径为，故D正确.故选：ACD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列的前n项和满足，则______.【答案】8【解析】【分析】根据给定条件，利用第n项与前n项和的关系求得答案.【详解】数列中，由，得故答案为：813.以为圆心，为半径的圆的标准方程是_______.【答案】【解析】【分析】直接根据已知写出圆的标准方程得解.【详解】由题得圆的标准方程为.故答案为：.14.一种卫星接收天线（如下图左所示）曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如下图右所示）.已知接收天线的口径（直径）为4米，深度为0.5米，则该抛物线的焦点到顶点的距离为_____米.【答案】2【解析】【分析】由题意建系，设抛物线的方程为，由抛物线经过的点求出的值，则易得焦点到顶点的距离.【详解】如图建系，设抛物线的方程为，由题意抛物线过点，代入解得，故拋物线的焦点到顶点的距离为米.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知空间三点，设（1）求；（2）若向量与互相垂直，求实数k的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先求出的坐标，再利用向量数量积的坐标公式计算即得；（2）先求出和，再利用向量垂直充要条件列出方程，代入化简计算即得k值.【小问1详解】由题意，，则；【小问2详解】由（1）可得因向量与互相垂直，则得：，解得，或.16.已知点，线段是圆的一条直径.（1）求圆的标准方程；（2）点是圆上任意一点，求点到直线的最大距离.【答案】（1）（2）【解析】【分析】由直径的两个端点，求出圆心和半径即可；先判断直线与圆的位置关系，再通过位置关系，求出圆上任意一点到直线距离的最大.【小问1详解】因为，线段是为圆的直径，所以圆心为线段的中点，圆心坐标为，所以圆的半径，所以圆的标准方程为：【小问2详解】圆心到直线的距离，所以圆与直线相离所以圆上任意一点到直线的距离的最大值为：17.已知数列的通项公式为．（1）计算的值；（2）是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．【答案】（1）（2）是数列的第10项．【解析】【分析】（1）利用给定的递推公式，代值计算即可.（2）利用方程的正整数解即可得解.【小问1详解】数列中，，，所以.【小问2详解】若为数列中的项，则，即，整理得，而，解得，所以是数列的第10项.18.如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值；（2）利用向量法可求出点到平面的距离．【小问1详解】依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，又分别是棱，，的中点，，．所以,所以有：，设平面的法向量为，则有所以，令，有，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.【小问2详解】因为，由（1）有平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为：.19.已知椭圆（）长轴长为8，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）以的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为，求的方程及其渐近线方程.【答案】