2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级同步经典题精练之切线长定理

第23页（共23页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级同步经典题精练之切线长定理一．选择题（共5小题）1．（2024秋•西山区校级期末）如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C．若AD＝6，则△ABC的周长是（）A．6 B．12 C．8 D．162．（2024•城中区校级一模）如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（）A．60 B．55 C．45 D．503．（2023秋•绥化期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（）A．8 B．12 C．16 D．204．（2023秋•邻水县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（）A．44 B．42 C．46 D．475．（2023秋•鄂伦春自治旗校级月考）如图，PA，PB为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．F为⊙O上的点，连接AF，BF，若PA＝5，∠P＝40°，则△PCD的周长和∠AFB的度数分别为（）A．10，40° B．10，80° C．15，70° D．10，70°二．填空题（共5小题）6．（2024秋•林州市期中）如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB＝10，CD＝8，则四边形的周长为．7．（2024秋•西城区校级期中）如图，过圆外一点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接BC．过BC上一点D作⊙O的切线，分别交AB，AC于点E，F．若∠A＝90°，△AEF的周长为4，则BC的长为．8．（2024•凉州区三模）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为cm．9．（2024秋•大连期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝8，AC＝5，则BD的长为．10．（2024秋•莒县期中）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•东胜区期中）如图，AB为⊙O的直径，过圆外一点E作⊙O的两条切线EC，EB，切点分别为点D，B，EC交BA的延长线于点C，连接OE，AD．（1）AD与OE有怎样的位置关系？并说明理由；（2）若EB＝6，CD＝4，求⊙O的半径．12．（2022秋•任城区校级月考）如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长．13．（2022•惠水县模拟）如图，AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与圆O相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，若AD＝2，BC＝6．（1）求CD的长度．（2）求EG的长度．（3）求FB的长度．14．（2021秋•高安市期末）如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．（1）如果△PCD的周长为10，求PA的长；（2）如果∠P＝40°，①求∠COD；②连AE，BE，求∠AEB．15．（2021•滨海县一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数．

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级同步经典题精练之切线长定理参考答案与试题解析题号12345答案BDCAD一．选择题（共5小题）1．（2024秋•西山区校级期末）如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C．若AD＝6，则△ABC的周长是（）A．6 B．12 C．8 D．16【考点】切线长定理．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】B【分析】先利用切线长定理AD＝AE，BD＝BF，CF＝CE，然后利用等线段代换得到△ABC的周长＝2AD．【解答】解：∵AD，AE分别是⊙O的切线，∴AE＝AD，∵BD、BC分别为⊙O的切线，∴BD＝BF，∵CF、CE分别为⊙O的切线，∴CE＝CF，∴三角形ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BF+CF+AC＝AB+BD+AC+CE＝AD+AE＝2AD＝12．故选：B．【点评】本题考查了切线长的性质：灵活运用切线长定理和等线段代换是解决问题的关键．2．（2024•城中区校级一模）如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（）A．60 B．55 C．45 D．50【考点】切线长定理．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】D【分析】根据切线长定理得到AE＝AF，BE＝BG，CG＝CH，DH＝DF，进而求出AD+BC，再根据四边形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、G、H、F，∴AE＝AF，BE＝BG，CG＝CH，DH＝DF，∴AD+BC＝AF+DF+BG+CG＝AE+DH+BE+CG＝AB+CD＝10+15＝25，∴四边形ABCD的周长为：AD+BC+AB+CD＝25+25＝50，故选：D．【点评】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．3．（2023秋•绥化期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（）A．8 B．12 C．16 D．20【考点】切线长定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，即△PCD的周长为16．故选：C．【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．4．（2023秋•邻水县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（）A．44 B．42 C．46 D．47【考点】切线长定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】A【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等求出AD+BC，根据四边形的周长公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故选：A．【点评】本题考查的是切线长定理，掌握圆外切四边形的对边之和相等是解题的关键．5．（2023秋•鄂伦春自治旗校级月考）如图，PA，PB为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．F为⊙O上的点，连接AF，BF，若PA＝5，∠P＝40°，则△PCD的周长和∠AFB的度数分别为（）A．10，40° B．10，80° C．15，70° D．10，70°【考点】切线长定理；圆周角定理；切线的性质．【专题】与圆有关的计算；几何直观；推理能力．【答案】D【分析】连接OA，OB，可得∠OAP＝∠OBP＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB；据此即可求解．【解答】解：连接OA，OB，如图所示：由切线的性质以及切线长定理得：∠OAP＝∠OBP＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB，∵∠P＝40°，∴∠AOB＝360°﹣∠P﹣∠OAP﹣∠OBP＝140°，∴∠AFB△PCD的周长＝PC+CE+DE+PD＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝2PA＝10，故选：D．【点评】本题考查了切线长定理，圆周角定理，切线的性质，解答本题的关键是熟练运用圆周角定理解决问题．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•林州市期中）如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB＝10，CD＝8，则四边形的周长为36．【考点】切线长定理．【专题】一次函数及其应用；图形的全等；应用意识．【答案】36．【分析】如图，设AB与⊙O相切于点E，BC与⊙O相切于点F，CD与⊙O相切于点G，AD与⊙O相切于点H，根据切线长定理得到AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，进而得到AB+CD＝AD+BC＝18，由此即可求出四边形的周长．【解答】解：∵一圆内切于四边形ABCD，且AB＝10，CD＝8，如图，设AB与⊙O相切于点E，BC与⊙O相切于点F，CD与⊙O相切于点G，AD与⊙O相切于点H，∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，∴AE+BE+CG+DG＝AH+BF+CF+DH，∴AB+CD＝AD+BC，∴AB+CD+AD+BC＝2（AB+CD）＝2×（10+8）＝36，即四边形的周长为36，故答案为：36．【点评】本题考查了切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角全等．7．（2024秋•西城区校级期中）如图，过圆外一点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接BC．过BC上一点D作⊙O的切线，分别交AB，AC于点E，F．若∠A＝90°，△AEF的周长为4，则BC的长为22【考点】切线长定理；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】22【分析】先根据切线长定理得AB＝AC，EB＝ED，DF＝CF，再根据△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+DE+AF+DF＝AE+BE+AF+CF＝AB+AC，可求AB，AC，然后根据勾股定理求出答案．【解答】解：∵AB，AC，EF是⊙O的切线，∴AB＝AC，EB＝ED，DF＝CF．∵△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+DE+AF+DF＝AE+BE+AF+CF＝AB+AC，∴AB+AC＝4，∴AB＝AC＝2．∵BC2＝AB2+AC2，∴BC=故答案为：22【点评】本题主要考查了切线长定理，勾股定理，掌握切线长定理是解题的关键．8．（2024•凉州区三模）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为20cm．【考点】切线长定理．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】利用切线长定理，可以得到：PA＝PB，AE＝EC，FC＝FB，据此即可求解【解答】解：∵PA，PB是圆的切线．∴PA＝PB同理，AE＝EC，FC＝FB．三角形PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+PF+CF+EC＝PE+AE+PF+FB＝PA+PB＝2PA＝20cm．故答案是20．【点评】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．9．（2024秋•大连期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝8，AC＝5，则BD的长为3．【考点】切线长定理．【专题】计算题；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】由AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝8﹣5＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．10．（2024秋•莒县期中）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为14．【考点】切线长定理；正方形的性质．【答案】见试题解答内容【分析】根据切线的性质知：AE＝EF，BC＝CF；根据△CDE的周长可求出正方形ABCD的边长；在Rt△CDE中，利用勾股定理可将AE的长求出，进而可求出直角梯形ABCE的周长．【解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，∵CE与半圆O相切于点F，∴AE＝EF，BC＝CF，∵EF+FC+CD+ED＝12，∴AE+ED+CD+BC＝12，∵AD＝CD＝BC＝AB，∴正方形ABCD的边长为4；在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，∴AE+EF+FC+BC+AB＝14，∴直角梯形ABCE周长为14．故答案为：14．【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•东胜区期中）如图，AB为⊙O的直径，过圆外一点E作⊙O的两条切线EC，EB，切点分别为点D，B，EC交BA的延长线于点C，连接OE，AD．（1）AD与OE有怎样的位置关系？并说明理由；（2）若EB＝6，CD＝4，求⊙O的半径．【考点】切线长定理；平行线的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【答案】（1）AD∥OE，理由见解析；（2）3．【分析】（1）连接OD，根据切线的定义可得∠ODE＝∠OBE＝90°，再证明Rt△DOE≌Rt△BOE（HL），再由等腰三角形性质可得∠ODA＝∠OAD，最后由平行线的判定证明即可；（2）根据切线长定理先求得ED长，再根据勾股定理求得BC长，再设OB＝OD＝r，则OC＝8﹣r，利用勾股定理解求解即可．【解答】解：（1）AD∥OE，理由：∵CE，BE是⊙O的切线，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，在Rt△DOE和Rt△BOE中，OD=∴Rt△DOE≌Rt△BOE（HL），∴∠DOE＝∠BOE，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵∠DOB＝∠DOE+∠BOE＝∠ODA+∠OAD，∵∠DOE＝∠ODA，∴AD∥OE；（2）∵CE，BE是⊙O的切线，∴DE＝BE＝6，∴CE＝DE+CE＝6+4＝10，∴BC=CE设OB＝OD＝r，则OC＝8﹣r，∵CD2+OD2＝OC2，∴42+r2＝（8﹣r）2，解得r＝3，即⊙O半径的长为3．【点评】本题考查切线的性质，切线长定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的判定等：掌握切线的性质，切线长定理是解题的关键．12．（2022秋•任城区校级月考）如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长．【考点】切线长定理．【答案】见试题解答内容【分析】设⊙O切AB于M，切BC于N，连接OM、ON，求出四边形BMON是正方形，求出BM＝BN＝3，根据切线长定理求出EM＝EP，FP＝FN，最后求出△BEF的周长＝BM+BN，代入求出即可．【解答】解：设⊙O切AB于M，切BC于N，连接OM、ON，则∠OMB＝∠ONB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∵ON＝OM，∴四边形MBNO是正方形，∵圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，∴BM＝BN＝OM＝ON=12AB=12由切线长定理得：EM＝EP，PF＝FN，∴△BEF的周长为BF+EF+BE＝BF+PF+PE+BE＝BF+FN+EM+BE＝BN+BM＝3+3＝6．【点评】本题考查了切线长定理，正方形的性质和判定，正方形的内切圆的应用，解此题的关键是求出△BEF的周长＝BN+BM和求出BM的长，注意：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．13．（2022•惠水县模拟）如图，AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与圆O相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，若AD＝2，BC＝6．（1）求CD的长度．（2）求EG的长度．（3）求FB的长度．【考点】切线长定理；圆周角定理；切线的性质．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）8；（2）32（3）33．【分析】（1）根据切线的判定定理得到DA、CB都是圆O的切线，根据求写出定理分别求出DE、CE，进而求出CD；（2）证明△DEG∽△DCB，根据相似三角形的性质求出EG；（3）证明AD∥EG∥BC，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【解答】解：（1）∵AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴DA、CB都是圆O的切线，∵CD与圆O相切于点E，∴DE＝DA＝2，CE＝CB＝6，∴CD＝DE+CE＝8；（2）∵∠ABC＝90°，EF⊥AB，∴EG∥BC，∴△DEG∽△DCB，∴EGBC=ED解得：EG=3（3）过点D作DH⊥BC于H，则四边形DABH为矩形，∴BH＝AD＝2，∴CH＝BC﹣BH＝4，∴DH=CD2∴AB＝DH＝43，∵∠DAB＝∠ABC＝90°，EF⊥AB，∴AD∥EG∥BC，∴BFAB=CE解得：BF＝33．【点评】本题考查的是切线长定理、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用切线长定理是解题的关键．14．（2021秋•高安市期末）如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．（1）如果△PCD的周长为10，求PA的长；（2）如果∠P＝40°，①求∠COD；②连AE，BE，求∠AEB．【考点】切线长定理．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）5；（2）①70°；②110°．【分析】（1）根据切线长定理和三角形的周长可解答；（2）①先根据三角形内角和定理可得∠PCD+∠PDC＝140°，由平角的定义得∠ACD+∠BDE＝220°，由切线长定理：圆外一点与圆心的连线平分切线所成的夹角可得∠ACO＝∠DCO=12∠ACD，∠BDO＝∠EDO=1②根据平角的定义和三角形的内角和定理可解答．【解答】解：（1）∵PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点，∴PA＝PB，AC＝CE，ED＝BD，∵△PCD的周长为10，∴PC+CD+PD＝10，∴PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+BD＝PA+PB＝2PA＝10，∴PA＝5；（2）①∵∠P＝40°，∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣40°＝140°，∴∠ACD+∠BDE＝360°﹣140°＝220°，∵PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点，∴∠ACO＝∠DCO=12∠ACD，∠BDO＝∠EDO=1∴∠OCD+∠ODC=12×220∴∠COD＝180°﹣110°＝70°；②∠AEB＝180°﹣∠AEC﹣∠BED＝180°-＝180°﹣90°+12∠ACD﹣90°+=12＝110°．【点评】本题考查的是切线长定理，三角形内角和定理，掌握切线长定理是解题的关键．15．（2021•滨海县一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数．【考点】切线长定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PCD的周长等于PA+PB的结论，即可求出PA的长；（2）根据三角形的内角和求出∠ACD和∠BDC的度数和，然后根据切线长定理，得出∠DCO和∠ODE的度数和，再根据三角形的内角和求出∠COD的度数．【解答】解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，∴CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB，∴三角形PCD的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，即PA的长为6；（2）∵∠P＝60°，∴∠PCE+∠PDE＝120°，∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，∵CA，CE是圆O的切线，∴∠OCE＝∠OCA=12∠同理：∠ODE=12∠∴∠OCE+∠ODE=12（∠ACD+∠CDB）＝∴∠COD＝180﹣120°＝60°．【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．

考点卡片1．平行线的判定（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．（3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．2．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．3．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．4．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜