2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版八年级同步经典题精练之菱形

第21页（共21页）2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版八年级同步经典题精练之菱形一．选择题（共5小题）1．（2024秋•电白区期末）已知如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于E，交AC于点F，若∠BAD＝α，则∠DFO一定等于（）A．2α B．45°+α C．90°-12α2．（2024秋•禅城区期末）以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．若最外层菱形的对角线长度分别为16cm、12cm，则它的两条对边的距离应为（）A．9.6cm B．10.8cm C．12cm D．4.8cm3．（2024秋•源城区期末）如图，已知菱形ABCD的周长为8，∠A＝60°，则对角线BD的长是（）A．1 B．3 C．2 D．234．（2024秋•丰顺县期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，∠EDF＝60°，BF=6，BE＝1，则A．6 B．3+1 C．6+1 D5．（2024秋•莱西市期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥BC于点H，连接OH，∠BAD＝56°，则∠DHO的度数是（）A．38° B．34° C．28° D．24°二．填空题（共5小题）6．（2024秋•兰州期末）菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，则对角线AC＝．7．（2024秋•清新区期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为．8．（2024秋•市北区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6．AE⊥CD于点E，则AE的长是．9．（2024秋•青白江区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，E是边BC上一点，在AE的右侧作EF＝AE，且∠AEF＝∠ABC＝120°，连接CF，连接AF交CD于点G．若G为边CD的三等分点，则BE的长为．10．（2024秋•红古区期末）如图，已知菱形ABCD，∠B＝60°，AC＝3，则AB的长为．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•平远县期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于点P，连接OP．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC＝12，BD＝16，求OP的长．12．（2024秋•白银期末）如图，点F在△ABC的边AC上，且AB＝AF，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF．求证：四边形ABEF是菱形．13．（2024秋•钢城区期末）如图，在菱形ABCD中，CE＝CF．求证：AE＝AF．14．（2024秋•贵阳期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？15．（2024秋•揭西县期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，O是边AC上的中点，延长BO至点D，使得OB＝OD，DE⊥BC于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若CD＝5，DE＝4，求AC的长．

2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版八年级同步经典题精练之菱形参考答案与试题解析题号12345答案CACCC一．选择题（共5小题）1．（2024秋•电白区期末）已知如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于E，交AC于点F，若∠BAD＝α，则∠DFO一定等于（）A．2α B．45°+α C．90°-12α【考点】菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】C【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，进而利用互余解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BAO=12∠BAD∴∠DFO+∠FDO＝90°，∵DE⊥AB，∴∠FDO+∠ABO＝90°，∴∠DFO＝∠ABO，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠DFO＝90°﹣∠BAO＝90°-1故选：C．【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对角线互相垂直解答．2．（2024秋•禅城区期末）以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．若最外层菱形的对角线长度分别为16cm、12cm，则它的两条对边的距离应为（）A．9.6cm B．10.8cm C．12cm D．4.8cm【考点】菱形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】设最外层菱形为菱形ABCD，它的对角线AC、BD相交于点E，AC＝16cm，BD＝12cm，由AC⊥BD，得∠AEB＝90°，而AE＝CE＝8cm，BE＝DE＝6cm，所以AB=AE2+BE2=10cm，设菱形ABCD两条对边的距离hcm，则10【解答】解：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，AC＝16cm，BD＝12cm，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∵AE＝CE=12AC＝8cm，BE＝DE=12BD∴AB=AE2+设菱形ABCD两条对边的距离hcm，∵S菱形ABCD＝AB•h=12AC•∴10h=12×16解得h＝9.6，∴它的两条对边的距离应为9.6cm，故选：A．【点评】此题重点考查菱形有性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出菱形的边长是解题的关键．3．（2024秋•源城区期末）如图，已知菱形ABCD的周长为8，∠A＝60°，则对角线BD的长是（）A．1 B．3 C．2 D．23【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】C【分析】由菱形的性质可证△ABD是等边三角形，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，又∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB=8故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题的关键．4．（2024秋•丰顺县期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，∠EDF＝60°，BF=6，BE＝1，则A．6 B．3+1 C．6+1 D【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】C【分析】先证明△ABD是等边三角形，再根据ASA证明△ADE≌△BDF，得到AE＝BF=6，进而可求解AB【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°，∴AD＝BD，∠ABD＝∠A＝∠ADB＝∠DBC＝60°，∵∠EDF＝60°，∴∠ADE＝∠BDF，在△ADE和△BDF中，∠A∴△ADE≌△BDF（ASA），∴AE＝BF=6∵BE＝1，∴BD＝AB＝AE+BE=6+故选：C．【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明△ADE≌△BDF是解题的关键．5．（2024秋•莱西市期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥BC于点H，连接OH，∠BAD＝56°，则∠DHO的度数是（）A．38° B．34° C．28° D．24°【考点】菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形；运算能力．【答案】C【分析】首先根据菱形的一组邻角互补可以求出∠ABC＝124°，再根据菱形的对角线互相平分且每组对角线平分一组对角可得∠DBH=∠ABD=12∠ABC=62°、OB＝OD，所以可得∠BDH＝28°，根据直角三角形的斜边等于斜边的一半可得HO＝【解答】解：如下图所示，由菱形性质可得∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠BAD＝56°，∵∠ABC＝124°，∴∠DBH∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，在Rt△DBH中，∠BDH＝90°﹣∠DBH＝90°﹣62°＝28°，∵OB＝OD，∴点O是BD的中点，∴HO＝DO，∴∠DHO＝∠BDO＝28°．故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质．熟练掌握以上知识点是关键．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•兰州期末）菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，则对角线AC＝23．【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】23．【分析】利用菱形的性质求得△ABD是等边三角形，连接AC交BD于O，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝2，连接AC交BD于O，∴∠AOB＝90°，OB=12BD＝1，AO=∴OA=A∴AC＝2OA＝23，故答案为：23．【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．7．（2024秋•清新区期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为24．【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；几何直观；推理能力．【答案】24．【分析】由菱形可得AB＝BC＝CD＝AD，进而得到△ABC为等边三角形，得到AB＝BC＝AC＝6，即可求出菱形的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，∴菱形ABCD的周长为6×4＝24，故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的周长，掌握菱形的性质是解题的关键．8．（2024秋•市北区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6．AE⊥CD于点E，则AE的长是245【考点】菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】245【分析】根据菱形的性质得到AO=12AC＝3，OB=12BD，AC⊥BD，根据勾股定理得到BO＝4，求得【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=12AC=12×6＝3，OB=1∵AB＝5，∴BO=AB∴BD＝8，S菱形ABCD=12AC•BD＝CD•∴12×6×8＝5∴AE=24故答案为：245【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确利用菱形的面积求出AE的长是解题关键．9．（2024秋•青白江区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，E是边BC上一点，在AE的右侧作EF＝AE，且∠AEF＝∠ABC＝120°，连接CF，连接AF交CD于点G．若G为边CD的三等分点，则BE的长为125或67【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】125或6【分析】如图，在BC的延长线上取点G，使得∠FGE＝∠ABC＝120°，证明△EFG≌△AEB（AAS），得出BE＝CG，则FG＝CG，证明∠DCF＝90°，作AH⊥CD于点H，则AH∥CF，DH＝3，证明△AHG∽△FCG，进而根据相似三角形的性质，求出CF，在AB上截取AN＝EC，连接EN，证明△AEN≌△EFC（SAS），得CF＝EN，过B作BM⊥EN于点M，根据等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质即可解决问题．【解答】解：如图，在BC的延长线上取点G，使得∠FGE＝∠ABC＝120°，则∠FEG＝∠AEC﹣∠AEF＝∠ABC+∠BAE﹣∠AEF＝∠BAE，又∵EF＝AE，∴△EFG≌△AEB（AAS），∴FG＝BE，EG＝AB，由EG＝AB＝BC，得BE＝CG，∴FG＝CG，∠FCG=12（180°﹣∠FGE）＝在菱形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠DCG＝∠ABC＝120°，∴∠DCF＝∠DCG﹣∠FCG＝90°，如图所示，连接AC，BD交于点O，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠BAO＝30°，∴BO=12∴AO=3BO=3∴AC＝2AO=3AB如图，作AH⊥CD于点H，∴∠AHD＝∠DCF＝90°，∴AH∥CF，∴△AHG∽△FCG，∴AHCF∵∠ADH＝60°，∴DH=12AD＝∴AH=3DH＝33∴CF=AH在AB上截取AN＝EC，连接EN，∵AB＝BC，∴BN＝BE，∵∠AEF＝∠ABC＝120°，∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝∠ABC+∠BAE，∴∠FEC＝∠BAE，∵AE＝EF，∴△AEN≌△EFC（SAS），∴CF＝EN，过B作BM⊥EN于点M，∵BN＝BE，∴EM＝MN，∵∠NBE＝120°，∴∠BEM＝30°，∴BE=13当DG＝2，CG＝4时，CF=3∴BE=13CF当DG＝4，CG＝2时，CF=3∴BE=13CF综上所述，BE的长为125或6故答案为：125或6【点评】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键．10．（2024秋•红古区期末）如图，已知菱形ABCD，∠B＝60°，AC＝3，则AB的长为3．【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】3．【分析】根据菱形的性质得出AB＝BC，而∠B＝60°，则可判定△ABC是等边三角形，从而得出AC＝AB＝3．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定△ABC是等边三角形是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•平远县期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于点P，连接OP．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC＝12，BD＝16，求OP的长．【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OB＝OD，根据角平分线的性质得到AC⊥BD，根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形；（2）根据已知条件得到CD＝10，根据菱形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，OD=12BD=8，OC=∴CD=OD∵DP∥AC，CP∥BD，∴四边形OCPD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形OCPD是矩形，∴OP＝CD＝10．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．12．（2024秋•白银期末）如图，点F在△ABC的边AC上，且AB＝AF，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF．求证：四边形ABEF是菱形．【考点】菱形的判定．【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】证明见解析．【分析】先证得四边形ABEF是平行四边形，再由AB＝AF可得▱ABEF是菱形．【解答】证明：∵EF∥AB，BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴▱ABEF是菱形．【点评】本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定定理是解决问题的关键．13．（2024秋•钢城区期末）如图，在菱形ABCD中，CE＝CF．求证：AE＝AF．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】证明过程请看解答．【分析】利用菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：如图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCA＝∠DCA，∵CE＝CF，AC＝AC，∴△ECA≌△FCA（SAS），∴AE＝AF．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．14．（2024秋•贵阳期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（1）证明见解答；（2）平行四边形ABCD是菱形，理由见解答．【分析】（1）由平行四边形的性质得∠B＝∠D，由AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，得∠AEB＝∠AFD＝90°，而BE＝DF，即可根据“ASA”证明△ABE≌△ADF；（2）由全等三角形的性质得AB＝AD，而四边形ABCD是平行四边形，即可根据菱形的定义证明平行四边形ABCD是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，在△ABE和△ADF中，∠B∴△ABE≌△ADF（ASA）．（2）解：平行四边形ABCD是菱形，理由：由（1）得△ABE≌△ADF，∴AB＝AD，∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形．【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的定义等知识，推导出∠B＝∠D，∠AEB＝∠AFD，进而证明△ABE≌△ADF是解题的关键．15．（2024秋•揭西县期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，O是边AC上的中点，延长BO至点D，使得OB＝OD，DE⊥BC于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若CD＝5，DE＝4，求AC的长．【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可；（2）根据勾股定理得出CE，进而利用菱形面积公式解答即可．【解答】（1）证明：∵O是边AC上的中点，∴AO＝OC，∵OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，由勾股定理可知，CE=由（1），可得BC＝CD＝5，∴BE＝BC+CE＝8，在Rt△DBE中，BD=∵S菱形∴AC=2【点评】本题主要考查菱形的判定与性质，利用对角线求面积的方法，在求菱形的面积中用得较多，需要熟练掌握．

考点卡片1．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．2．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．3．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角