一次函数应用及方案选择问题含阶梯计费问题

一次函数应用及方案选择问题含阶梯计费问题一、引言一次函数在实际生活中有着广泛的应用，尤其是在方案选择和阶梯计费等问题上。通过建立一次函数模型，我们可以对不同的方案进行分析和比较，从而做出最优的决策。本文将详细探讨一次函数在这些问题中的应用，帮助读者更好地理解和掌握相关知识。

二、一次函数的基本概念1.定义：形如$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$）的函数叫做一次函数。其中$x$是自变量，$y$是因变量。2.图象：一次函数的图象是一条直线。当$k>0$时，直线从左到右上升；当$k<0$时，直线从左到右下降。3.性质：当$k>0$，$b>0$时，图象经过一、二、三象限；当$k>0$，$b<0$时，图象经过一、三、四象限；当$k<0$，$b>0$时，图象经过一、二、四象限；当$k<0$，$b<0$时，图象经过二、三、四象限。

三、一次函数在方案选择问题中的应用1.例题1：某公司有两种手机话费计费方式，方式一：每月固定月租费30元，每分钟通话费0.3元；方式二：无月租费，每分钟通话费0.4元。设每月通话时间为$x$分钟，月话费为$y$元。分别写出两种计费方式的函数关系式：方式一：$y_1=0.3x+30$；方式二：$y_2=0.4x$。当通话时间为多少分钟时，两种计费方式费用相同？令$y_1=y_2$，即$0.3x+30=0.4x$，移项可得$0.4x0.3x=30$，$0.1x=30$，解得$x=300$。所以当通话时间为300分钟时，两种计费方式费用相同。若每月通话时间为400分钟，选择哪种计费方式更省钱？当$x=400$时，$y_1=0.3×400+30=120+30=150$（元），$y_2=0.4×400=160$（元）。因为$150<160$，所以选择方式一更省钱。2.总结：对于方案选择问题，我们先根据题目条件建立一次函数模型，然后通过比较函数值的大小来确定最优方案。一般步骤为：设出自变量和因变量；根据不同方案列出函数关系式；令函数值相等，求出两种方案费用相同时自变量的值；根据自变量的取值范围，比较不同方案的费用，做出选择。

四、一次函数在阶梯计费问题中的应用1.例题2：为了鼓励居民节约用水，某市决定实行两级收费制度。若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价$m$元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价$n$元收费。小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元。求$m$，$n$的值：根据题意可列方程组：$\begin{cases}14m+(2014)n=49\\14m+(1814)n=42\end{cases}$由第二个方程$14m+4n=42$可得$14m=424n$，代入第一个方程：$424n+6n=49$，$2n=4942$，$2n=7$，解得$n=3.5$。将$n=3.5$代入$14m=424n$，可得$14m=424×3.5=4214=28$，解得$m=2$。设每月用水量为$x$吨，应交水费为$y$元，写出$y$与$x$之间的函数关系式：当$0\leqx\leq14$时，$y=2x$；当$x>14$时，$y=14×2+(x14)×3.5=28+3.5x49=3.5x21$。所以$y$与$x$之间的函数关系式为$y=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq14\\3.5x21,&x>14\end{cases}$。若小明家5月份用水26吨，则应交水费多少元？当$x=26$时，因为$26>14$，所以$y=3.5×2621=9121=70$（元）。所以小明家5月份应交水费70元。2.总结：对于阶梯计费问题，我们要根据不同的收费标准分段建立函数关系式。解题时，先根据已知条件求出各段的单价，然后根据用水量的范围代入相应的函数关系式计算水费。一般步骤为：根据已知条件列出方程组，求出各段的单价；分情况写出函数关系式；根据用水量代入相应的函数关系式计算水费。

五、综合应用1.例题3：某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机。已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案：设购进甲种电视机$x$台，乙种电视机$y$台，丙种电视机$z$台。方案一：购进甲、乙两种型号。则可列方程组$\begin{cases}x+y=50\\1500x+2100y=90000\end{cases}$由第一个方程可得$x=50y$，代入第二个方程：$1500(50y)+2100y=90000$，$750001500y+2100y=90000$，$600y=9000075000$，$600y=15000$，解得$y=25$，则$x=5025=25$。方案二：购进甲、丙两种型号。则可列方程组$\begin{cases}x+z=50\\1500x+2500z=90000\end{cases}$由第一个方程可得$x=50z$，代入第二个方程：$1500(50z)+2500z=90000$，$750001500z+2500z=90000$，$1000z=9000075000$，$1000z=15000$，解得$z=15$，则$x=5015=35$。方案三：购进乙、丙两种型号。则可列方程组$\begin{cases}y+z=50\\2100y+2500z=90000\end{cases}$由第一个方程可得$y=50z$，代入第二个方程：$2100(50z)+2500z=90000$，$1050002100z+2500z=90000$，$400z=90000105000$，$400z=15000$，解得$z=37.5$（舍去），因为电视机台数不能为负数。所以商场的进货方案有两种：方案一，购进甲种电视机25台，乙种电视机25台；方案二，购进甲种电视机35台，丙种电视机15台。若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元。在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？方案一的获利为：$150×25+200×25=3750+5000=8750$（元）。方案二的获利为：$150×35+250×15=5250+3750=9000$（元）。因为$9000>8750$，所以选择方案二，即购进甲种电视机35台，丙种电视机15台获利最多。2.总结：这类综合应用问题需要我们综合运用一次函数和方程的知识。首先根据题目条件列出方程或方程组，求出相关的数量关系，然后建立一次函数模型，通过比较函数值来确定最优方案。在解题过程中，要仔细分析题目中的各种条件，理清思路，逐步求解。

六、练习与巩固1.某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须交月租费50元，另外，每通话1分钟交费0.4元。B类收费标准如下：没有月租费，但每通话1分钟收费0.6元。分别写出A、B两类收费标准每月应缴费用$y$（元）与通话时间$x$（分钟）之间的函数关系式；若每月平均通话时间为300分钟，你选择哪类收费方式？每月通话时间多长时，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等？2.为了合理利用电力资源，缓解用电紧张状况，某市电力部门出台了使用"峰谷电"的政策及收费标准（见下表）。已知王老师家4月份使用"峰谷电"95千瓦时，缴电费43.40元，问王老师家4月份"峰电"和"谷电"各用了多少千瓦时？

|用电时间段|收费标准|||||峰电|0.56元/千瓦时||谷电|0.28元/千瓦时|

3.某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售。该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨。现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？

七、结论一次函数在方案选择和阶梯计费等实际问题中有着重要的应用。通过建立一次