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人教2019A版必修第二册

6.2.4向量的数量积第1课时向量的数量积的物理背景和数量积第六章平面向量及其应用复习回顾：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？加法运算；减法运算；数乘运算；运算的结果都依然是向量。两个向量之间能进行乘法运算吗？物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？

向量的线性运算思考1：一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力

F所做的功应当怎样计算？功是一个标量，它的大小由力、位移确定。θsFF能否把“功”看成两个向量“相乘”的结果呢？合作探究一：向量的数量积思考2：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积所得结果是什么呢？力与位移的大小及其夹角余弦的乘积所得结果是功；

？=向量的夹角OABOABOAB已知两个非零向量

和，作，，则叫做向量和的夹角．OAB平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为0，即

已知非零向量与，我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，即规定夹角思考3：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？当0°≤θ＜

90°时为正；当90°＜θ≤180°时为负。当θ=90°时为零。数量积符号由cos

的符号所决定（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.说明：

（2）a·b中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不能写成a×b

，a×b

表示向量的另一种运算．例1.已知解：=-10

解：由得因为所以。

ABCDA1B1这种变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量

OMNM1叫做向量在向量上的投影向量

合作探究二：投影向量的定义

OMNM1探究1：如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与之间有怎样的关系？

所以，

所以，

即

所以

所以综上，对任意的都有

探究2：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出向量的数量积的特殊性质吗？

(3)当向量与共线同向时，；当向量与共线反向时，.特别地，或(4)θ=90ºθ=0ºθ=180º︱cosθ︱≤1设是非零向量，它们的夹角是，

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