《高考备考指南 文科数学》课件-第9章 第4讲

第九章第4讲[A级基础达标]1．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)()A．在圆上 B．在圆外C．在圆内 D．以上都有可能【答案】B【解析】由eq\f(1,\r(a2＋b2))<1，得eq\r(a2＋b2)>1，∴点P在圆外．2．(2016年黄山一模)设圆C：x2＋y2－2x－2y－m＝0与直线y＝x－4相切，则圆C的半径为()A．2eq\r(2)－2 B．10C．6 D．2eq\r(2)【答案】D【解析】∵圆C：x2＋y2－2x－2y－m＝0与直线y＝x－4相切，圆C的圆心C(1,1)，∴圆C的半径r＝eq\f(|1－1－4|,\r(1＋1))＝2eq\r(2).故选D．3．圆C1：x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的公切线有()A．1条 B．2条C．3条 D．4条【答案】C【解析】圆C1：x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0化成标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝4，圆心坐标为(－1，－2)，半径为2，圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0化成标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝9，圆心坐标为(2,2)，半径为3，所以eq\r([2－－1]2＋[2－－2]2)＝5＝2＋3，故两圆的圆心距等于两圆的半径的和，所以两圆外切，所以两圆的公切线有3条．4．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点且△ABC为等边三角形，则实数a的值为()A．4＋eq\r(15) B．4＋eq\r(5)C．4±eq\r(15) D．4±eq\r(5)【答案】C【解析】易知△ABC是边长为2的等边三角形．故圆心C(1，a)到直线AB的距离为eq\r(3).即eq\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))＝eq\r(3)，解得a＝4±eq\r(15).5．(2017年重庆校级模拟)已知C，D是圆A：(x＋1)2＋y2＝1与圆B：x2＋(y－2)2＝4的公共点，则△BCD的面积为()A．eq\f(4,5) B．eq\f(8,5)C．eq\f(4\r(5),5) D．eq\f(8\r(5),5)【答案】B【解析】C，D是圆A：(x＋1)2＋y2＝1与圆B：x2＋(y－2)2＝4的公共点，两方程相减可得CD的方程为2x＋4y＝0，即x＋2y＝0.圆B：x2＋(y－2)2＝4的圆心为B(0,2)，半径为2，B到CD的距离为eq\f(4,\r(12＋22))＝eq\f(4,\r(5))，|CD|＝2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,\r(5))))2)＝eq\f(4,\r(5)).△BCD的面积为eq\f(1,2)×eq\f(4,\r(5))×eq\f(4,\r(5))＝eq\f(8,5).故选B．6．(2016年贵阳二模)过点M(2,0)作圆x2＋y2＝1的两条切线MA，MB(A，B为切点)，则eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝()A．eq\f(5\r(3),2) B．eq\f(5,2)C．eq\f(3\r(3),2) D．eq\f(3,2)【答案】D【解析】由圆的切线性质可得，OA⊥MA，OB⊥MB.直角三角形OAM，OBM中，由sin∠AMO＝sin∠BMO＝eq\f(r,|OM|)＝eq\f(1,2)，可得∠AMO＝∠BMO＝eq\f(π,6)，|MA|＝|MB|＝eq\r(|OM|2－r2)＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，∴eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\r(3)×eq\r(3)×coseq\f(π,3)＝eq\f(3,2).故选D．7．(2016年陕西校级模拟)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．【答案】eq\r(2)＋1【解析】把圆的方程化为标准方程得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心的坐标为(1,1)，圆的半径r＝1.所以圆心到直线x－y＝2的距离d＝eq\f(|1－1－2|,\r(2))＝eq\r(2)，则圆上的点到直线x－y＝2的距离最大值为d＋r＝eq\r(2)＋1.8．过圆x2＋y2＋4x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的相交弦端点的圆中，周长最小的圆的方程是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(6,5)))2＝eq\f(4,5)【解析】联立圆的方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋4x＋y＋1＝0，,x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,5)，,y＝－\f(2,5)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))∴两圆的两个交点分别为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，－\f(2,5)))，B(－1，－2)．过两交点的圆中，以AB为直径的圆的周长最小，∴该圆的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(6,5)))，半径为eq\f(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)＋1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)＋2))2),2)＝eq\f(2\r(5),5).∴所求圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(6,5)))2＝eq\f(4,5)9．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)求公共弦所在直线的方程；(2)求公共弦的长．【解析】(1)两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程x－2y＋4＝0.(2)圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0的圆心坐标为(1，－5)，半径为5eq\r(2)，圆心到公共弦所在直线的距离d＝eq\f(|1＋10＋4|,\r(1＋4))＝3eq\r(5)，∴公共弦的长＝2eq\r(5\r(2)2－3\r(5)2)＝2eq\r(5).10．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点且|AB|＝2eq\r(2)时，求直线l的方程．【解析】将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有eq\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))＝2，解得a＝－eq\f(3,4).(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|CD|＝\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))，,|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＝22，,|DA|＝\f(1,2)|AB|＝\r(2)，))解得a＝－7或a＝－1.故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.[B级能力提升]11．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．不确定【答案】A【解析】因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为eq\r(2)，因为直线l与圆C相切，所以eq\f(|－2k－1＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，解得k＝±1.因为k<0，所以k＝－1.所以直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2,0)到直线l的距离d＝eq\f(|2＋0－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)<eq\r(3)，所以直线l与圆D相交．12．过点(eq\r(2)，0)引直线l与曲线y＝eq\r(1－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A．eq\f(\r(3),3) B．－eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(\r(3),3) D．－eq\r(3)【答案】B【解析】如图所示，∵S△AOB＝eq\f(1,2)|OA||OB|·sin∠AOB＝eq\f(1,2)sin∠AOB≤eq\f(1,2).当∠AOB＝eq\f(π,2)时，△AOB面积最大．此时点O到AB的距离d＝eq\f(\r(2),2).设AB的方程为y＝k(x－eq\r(2))(k<0)，即kx－y－eq\r(2)k＝0.由d＝eq\f(|\r(2)k|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(2),2)，得k＝－eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(也可k＝－tan∠OPH＝－\f(\r(3),3))).13．(2016年抚顺一模)已知直线l：kx＋y－2＝0(k∈R)是圆C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0的对称轴，过点A(0，k)作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为()A．2 B．2eq\r(2)C．3 D．2eq\r(3)【答案】D【解析】由圆C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0得(x－3)2＋(y＋1)2＝1，表示以C(3，－1)为圆心、半径等于1的圆．由题意可得，直线l：kx＋y－2＝0经过圆C的圆心(3，－1)，故有3k－1－2＝0，得k＝1，则点A(0,1)，即|AC|＝eq\r(0－32＋1＋12)＝eq\r(13).则线段|AB|＝eq\r(|AC|2－r2)＝eq\r(\r(13)2－1)＝2eq\r(3).故选D．14．(2017年四川模拟)已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，圆C3：x2＋y2－2x－2y－eq\f(14,5)＝0，则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线被圆C3所截得的弦长为________．【答案】4【解析】∵圆C1：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，两式相减得公共弦方程为4x－2y＋2＝0，即2x－y＋1＝0.由C3：x2＋y2－2x－2y－eq\f(14,5)＝0得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝eq\f(24,5)，则圆心C3坐标为(1,1)，半径R＝eq\r(\f(24,5))，∴圆心C3到2x－y＋1＝0的距离d＝eq\f(|2－1＋1|,\r(22＋1))＝eq\f(2,\r(5))，则公共弦所在的直线被圆C3所截得的弦长为2eq\r(R2－d2)＝2eq\r(\f(24,5)－\f(4,5))＝2eq\r(4)＝2×2＝4.15．设A(1,0)，B(0,1)，直线l：y＝ax，圆C：(x－a)2＋y2＝1.若圆C既与线段AB有公共点，又与直线l有公共点，则实数a的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\r(2)，\r(\f(1＋\r(5),2))))【解析】由于圆与直线l有交点，则圆心到直线的距离小于等于半径，即有eq\f(a2,\r(1＋a2))≤1，∴a2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1＋\r(5),2)))；由于圆C与线段AB相交，则a≤2且eq\f(|a－1|,\r(2))≤1，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\r(2)≤a≤\r(2)＋1，,a≤2，))即1－eq\r(2)≤a≤2，因此可得实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\r(2)，\r(\f(1＋\r(5),2)))).16．(2016年商丘三模)过点A(0，a)作直线与圆E：(x－2)2＋y2＝1交于B，C两点，在线段BC上取满足BP∶PC＝AB∶AC的点P.(1)求P点的轨迹方程；(2)设直线2x－ay－3＝0与圆E交于M，N两点，求△EMN(E为圆心)面积的最大值．【解析】(1)设AB方程为y＝kx＋a，与圆的方程联立得(1＋k2)x2＋(2ak－4)x＋a2＋3＝0.设B，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(2ak－4,1＋k2)，x1x2＝eq\f(a2＋3,1＋k2).设P点坐标为(x，y)，∵eq\f(BP,PC)＝eq\f(AB,AC)，∴eq\f(x－x1,x2－x)＝eq\f(x1,x2).∴x＝eq\f(2x1x2,x1＋x2)＝eq\f(a2＋3,2－ak)，∴y＝kx＋a＝eq\f(2a＋3k,2－ak).消去k，得2x－ay－3＝0