中考数学总复习专题06 中考相似三角形重点六大模型-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（全国）（原卷版）

专题06中考相似三角形重点六大模型模型一:A字型A型模型反A型模型在△ABC中，DE∥BC在△ABC中，∠AED＝∠B模型二:母抱子型反A型模型双垂直型在△ABC中，∠ACD＝∠B如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠ACB＝90模型三:一线三等角模型在Rt△ABC与Rt△CDE中，A，C，D三点共线，∠A＝∠BCE＝∠D＝90在△ABC与△CDE中，B，C，D三点共线，∠B＝∠ACE＝∠D模型四:半角模型正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，连接AC，EF，GH，CH，CF模型五:手拉手模型（1）有公共顶点的直角三角形（2）有公共顶点的任意三角形模型六：8字模型模型一:A字型1．（2023•无锡）如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E．DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD．（1）求∠F的度数；（2）若DE•DC＝8，求⊙O的半径．2．（2023•南通）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，则＝．3．（2023•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（）A． B． C． D．4．（2023•南京）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD（不计折射），AB∥CD．（1）在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变．（2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度为60cm．在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大．①画出此时AB所在位置的示意图；②CD的长度的最大值为cm．5．（2022•上海）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，α的代数式表示）（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．模型二:母抱子型6．（2023•海曙区模拟）如图，∠DCB＝∠A，CD＝4，BD＝2，∠CDB＝120°，则△ABC的面积为．7．（2022•长宁区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝8，那么CD的长是．8．（2023•杨浦区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论中，错误的是（）A． B． C． D．9．（2022•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．模型三:一线三等角模型10．（2023•武汉模拟）点C在AB的延长线上，且∠DAB＝∠DBE．（1）如图（1），若∠C＝∠A，求证：△DAB∽△BCE；（2）如图（2），若CE∥AD，∠C＝45°，若，则的值为；（直接写出）（3）如图（3），连接AE，若△DAB∽△DBE，，求证：AE＝2BD．11．（2023•广水市模拟）如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝x（x＞1），（1）若点F恰为CD边的中点，则x＝．（2）设＝y，则y关于x的函数表达式是．12．（2022•太原二模）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过CB的中点D作DE⊥AD，交AB于点E，则EB的长为．13．（2022•郑州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为4的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为时，△CDE与△ACE相似．14．（2023•武汉模拟）【问题背景】（1）如图1，点B，C，D在同一直线上，∠B＝∠ACE＝∠D，求证：△ABC∽△CDE；【问题探究】（2）在（1）条件下，若点C为BD的中点，求证：AC2＝AB•AE；【拓展运用】（3）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，点O是△ABC的内心、若OA＝2，OB＝OC，则BC的长为．模型四:半角模型15.（2023秋•江津区校级月考）已知正方形ABCD边长为5，点M、N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，AN，若∠MAN＝45°，BM＝2，则线段NC的长为（）A．2 B．3 C． D．16．（2020•河北区模拟）如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为．17．（2023•增城区二模）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF．（1）如图1，若BE＝2，DF＝3，求EF的长度；（2）如图2，连接BD，BD与AF、AE分别相交于点M、N，若正方形ABCD的边长为6，BE＝2，求DF的长；（3）判断线段BN、MN、DM三者之间的数量关系并证明你的结论．18．（2022•绥化三模）已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．模型五:手拉手模型19．（2023•获嘉县模拟）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝nBC，P为AB上的一点（不与端点重合），过点P作PM⊥AB交AG于点M，得到△APM．（1）【问题发现】如图1，当n＝1时，P为AB的中点时，CM与BP的数量关系为CM＝BP；（2）【类比探究】如图2，当n＝2时，△APM绕点A顺时针旋转，连接CM，BP，则在旋转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变化？请说明理由；（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知AB＝4，AP＝2，当△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段BM的长．20．（2023•平遥县二模）（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．请判断BD与CE的数量关系：．（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请写出BD与CE的数量关系：．（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．21．（2023•市中区校级四模）[问题提出]如图1，在等边△ABC内部有一点P，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．[数学思考]当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分数的条件集中起来解决问题．[尝试解决]将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接P′P，则△APP′为等边三角形．∴PP′＝PA＝3，又∵PB＝4，PC＝5，PP′2+PB2＝PC2．∴△BP′P为三角形，∴∠APB的度数为．[类比探究]如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，其内部有一点P，若PA＝2，PB＝1，PC＝3，求∠APB的度数．[联想拓展]如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，其内部有一点P，若PA＝3，PB＝2，PC＝4，求∠APB的度数．22.（2023•虎林市校级二模）已知△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE，G，F分别是BC，DE的中点，连接FG．（1）如图1，当点D在△ABC内部时，求证；（2）如图2、图3，当点D在△ABC外部时，请直接写出EC与FG的数量关系，不需要证明．23．（2023•亳州二模）如图1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE．（1）①求证：△ABC∽△ADE；②若AB＝AC，试判断△ADE的形状，并说明理由；（2）如图2，旋转△ADE，使点D落在边BC上，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE．求证：CE⊥BC．模型六：8字模型24．（2023•哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（）A．2 B．4 C．6 D．825．（2023•包河区二模）如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE交AC于点F，则的值是（）A． B． C． D．26．（2023•丰南区一模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（12，9），B（9，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（）A．（﹣3，﹣3） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣6，﹣3）27．（2023•山西模拟）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度AB为1.5cm时，所成的像A'B'的高度为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm28．（2023•静安区校级一模）如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，连接DE．下列结论成立的是（）A． B． C． D．29．（2023•太原一模）如图，正方形ABCD的边长为6，点F是BC边上一点