2024-2025学年高中数学 第3章 三角恒等变换 阶段综合提升 第4课 三角恒等变换（教师用书）教学实录 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第3章三角恒等变换阶段综合提升第4课三角恒等变换（教师用书）教学实录新人教A版必修4授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容教材：新人教A版必修4

章节：第3章三角恒等变换

内容：本节课将重点讲解三角恒等变换的基本公式，包括正弦、余弦、正切等三角函数的平方和关系、倍角公式、半角公式等，并通过实例分析和练习，帮助学生掌握三角恒等变换的应用方法。核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。通过三角恒等变换的学习，学生能够理解数学符号的抽象意义，发展严密的逻辑推理能力，并能将实际问题转化为数学模型进行求解。此外，通过解决实际问题，提升学生的数学应用意识和创新意识。学情分析针对本节课的教学内容，学生的学情分析如下：

1.学生层次：本节课面向的是高中一年级的学生，他们在初中阶段已经学习了三角函数的基本概念和性质，具备一定的数学基础。然而，由于个体差异，学生在数学思维能力、逻辑推理能力和解决问题的能力上存在一定差异。

2.知识基础：学生在初中阶段已经学习了正弦、余弦、正切等三角函数的基本概念和性质，对三角函数的图像和性质有一定的了解。但在高中阶段，三角恒等变换的学习要求学生具备更强的抽象思维能力和逻辑推理能力。

3.能力素质：部分学生在面对抽象的数学概念时，可能存在理解困难，需要教师引导和启发。此外，学生在解决实际问题时，可能缺乏对数学模型的构建和应用能力，需要通过本节课的学习得到提升。

4.行为习惯：学生在课堂上的参与度、自主学习能力和合作学习意识等方面存在差异。部分学生可能对数学学习缺乏兴趣，容易产生厌学情绪；而部分学生则能够积极参与课堂讨论，勇于提出问题。

5.对课程学习的影响：鉴于以上学情，本节课的教学设计应注重以下方面：首先，通过实例分析和练习，帮助学生理解三角恒等变换的基本公式；其次，通过分组讨论和合作学习，培养学生的团队协作能力；最后，通过实际问题解决，提高学生的数学应用意识和创新意识。同时，教师应关注学生的个体差异，因材施教，确保每位学生都能在课程学习中有所收获。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，即新人教A版必修4教材。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如三角函数图像的动态展示、三角恒等变换的动画演示等。

3.教学工具：准备计算器、三角板等教学工具，以便学生在课堂上进行实际操作和练习。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，包括设置分组讨论区，以便学生进行小组合作学习，并在需要时提供实验操作台。教学流程一、导入新课（5分钟）

1.提问：回顾初中阶段学习的三角函数知识，如正弦、余弦、正切等函数的定义和图像。

2.引导学生思考：在初中阶段我们已经学习了三角函数的一些性质，那么如何将它们进行变换和运用呢？

3.提出本节课的主题：今天我们将学习三角恒等变换，掌握三角函数之间的关系和变换规律。

二、新课讲授（15分钟）

1.讲解三角恒等变换的基本公式：

-以正弦函数的平方和关系为例，讲解$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$。

-通过公式推导，帮助学生理解三角恒等变换的原理。

2.讲解倍角公式和半角公式：

-以倍角公式$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$和$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$为例，讲解如何应用这些公式进行三角函数的化简。

-结合实例，演示倍角公式和半角公式的应用。

3.讲解三角函数的和差化积公式：

-以$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$和$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$为例，讲解和差化积公式的应用。

-通过实例分析，让学生掌握和差化积公式的推导和应用。

三、实践活动（15分钟）

1.学生独立完成练习题，巩固对三角恒等变换的理解和应用。

2.教师选取典型题目，在黑板上展示解题过程，引导学生注意解题步骤和技巧。

3.学生分组讨论，互相检查练习题的答案，并分享解题心得。

四、学生小组讨论（15分钟）

1.讨论内容一：如何运用三角恒等变换将复杂的三角函数表达式化简？

-例如：$\sin^3\theta+\cos^3\theta$可以化简为$\sin\theta+\cos\theta$。

2.讨论内容二：如何运用三角恒等变换将三角函数的表达式转化为另一种形式？

-例如：将$\cos\theta$表达式转化为$\sin$表达式，可以运用$\cos\theta=\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)$。

3.讨论内容三：如何运用三角恒等变换解决实际问题？

-例如：已知$\sin\theta=\frac{1}{2}$，求$\cos\theta$的值。

五、总结回顾（5分钟）

1.总结本节课学习的三角恒等变换公式和变换方法。

2.强调三角恒等变换在解决数学问题和实际问题中的应用。

3.提出课后作业，巩固所学知识，包括练习题和思考题。学生学习效果学生学习效果

1.理解并掌握了三角恒等变换的基本公式，如正弦、余弦、正切等三角函数的平方和关系、倍角公式、半角公式等。学生能够熟练运用这些公式进行三角函数的化简和变换，提高了数学运算的准确性和效率。

2.在解决实际问题时，学生能够灵活运用三角恒等变换的方法。例如，在处理几何问题、物理问题或工程问题时，学生能够将实际问题转化为数学模型，运用三角恒等变换进行求解，提高了问题解决的能力。

3.学生在小组讨论和实践活动中的表现显示出他们在数学思维和逻辑推理方面的进步。通过小组合作，学生学会了如何与他人沟通、分享和合作，提高了团队协作能力。同时，学生在讨论中积极思考，提出问题并寻找解决方案，培养了创新意识和批判性思维。

4.学生对三角恒等变换的学习不仅提高了他们的数学知识水平，还增强了他们的数学应用意识。通过实例分析和练习，学生认识到数学与实际生活的紧密联系，激发了他们对数学学习的兴趣。

5.学生在课堂上的积极参与和主动提问，表明他们对三角恒等变换的学习有较高的热情。他们在课堂上能够主动思考，提出问题，并尝试用自己的方式解决问题，这有助于培养他们的自主学习能力。

6.学生在课后作业和复习过程中，能够巩固所学知识，并通过练习题的反复练习，提高了对三角恒等变换的理解和应用能力。这有助于他们在后续的学习中更好地掌握更高难度的数学知识。

7.学生在课堂上的表现和作业完成情况显示出他们在数学素养方面的提升。他们能够运用数学知识解决实际问题，具备一定的数学思维能力，为未来的学习和发展奠定了基础。典型例题讲解例题1：已知$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosA>0$，求$\cosA$和$\sin2A$的值。

解答：由$\sin^2A+\cos^2A=1$，得$\cos^2A=1-\sin^2A=1-\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{16}{25}$。因为$\cosA>0$，所以$\cosA=\frac{4}{5}$。由二倍角公式$\sin2A=2\sinA\cosA$，代入$\sinA$和$\cosA$的值，得$\sin2A=2\times\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$。

例题2：化简表达式$\sin^2x+\cos^2x+2\sinx\cosx$。

解答：利用三角恒等变换公式$\sin^2x+\cos^2x=1$和$\sin2x=2\sinx\cosx$，得$\sin^2x+\cos^2x+2\sinx\cosx=1+\sin2x$。

例题3：求$\cos75^\circ$的值。

解答：利用和差化积公式$\cos(A\pmB)=\cosA\cosB\mp\sinA\sinB$，得$\cos75^\circ=\cos(45^\circ+30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ$。代入$\cos45^\circ=\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin30^\circ=\frac{1}{2}$，得$\cos75^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$。

例题4：证明$\sin^4x+\cos^4x=\frac{1}{2}(1+\cos2x)$。

解答：利用三角恒等变换公式$\sin^2x+\cos^2x=1$，得$\sin^4x+\cos^4x=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x$。由二倍角公式$\sin^22x=2\sin^2x\cos^2x$，得$\sin^4x+\cos^4x=1-\sin^22x$。由二倍角公式$\cos2x=1-2\sin^2x$，得$\sin^4x+\cos^4x=1-(1-2\sin^2x)=2\sin^2x=1+\cos2x$。

例题5：已知$\tanA=3$，求$\tan2A$的值。

解答：利用二倍角公式$\tan2A=\frac{2\tanA}{1-\tan^2A}$，代入$\tanA=3$，得$\tan2A=\frac{2\times3}{1-3^2}=\frac{6}{1-9}=\frac{6}{-8}=-\frac{3}{4}$。板书设计①三角恒等变换公式

-正弦、余弦、正切的基本平方关系：$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

-倍角公式：$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$

-半角公式：$\sin\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$，$\cos\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$

-和差化积公式：$\sin(A\pmB)=\sinA\cosB\pm\cosA\sinB$，$\cos(A\pmB)=\cosA\cosB\mp\sinA\sinB$

②公式推导步骤

-从已知条件出发，逐步推导出目标公式

-注意公式的应用条件和范围

-熟练掌握公式推导过程中的运算技巧

③应用实例

-几何问题中的角度和边长求解

-物理问题中的运动学方程

-工程问题中的三角函数应用

④注意事项

-正确区分不同公式之间的应用条件

-在解题过程中注意正负号和绝对值的使用

-培养良好的数学思维和逻辑推理能力教学反思与改进今天这节课，我主要讲解了三角恒等变换的内容，包括基本公式、推导步骤和应用实例。在回顾教学过程时，我有一些反思和改进的想法。

首先，我发现学生在理解三角恒等变换的基本公式时，存在一些困难。尤其是对于倍角公式和半角公式的推导过程，有的学生觉得比较抽象，不容易理解。因此，我考虑在未来的教学中，可以通过更多的实例和图示来帮助学生更好地理解这些公式。比如，可以用几何图形来直观展示倍角公式，用数值例子来演示半角公式的应用。

其次，我发现学生在应用三角恒等变换解决实际问题时，往往不够灵活。有些学生在面对复杂问题时，不知道如何选择合适的公式进行变换。为了提高学生的应用能力，我计划在课后布置一些实际应用题，让学生在解决实际问题的过程中，逐步提高自己的应用技巧。

此外，我在课堂上发现，部