2024-2025学年下学期高一数学人教A版同步经典题精练之圆锥

第18页（共18页）2024-2025学年下学期高中数学人教A版（2019）高一同步经典题精练之圆锥一．选择题（共4小题）1．（2024秋•河南校级月考）已知圆锥PO的母线长为3，表面积为10π，O为底面圆心，AB为底面圆直径，C为底面圆周上一点，∠BOC＝60°，M为PB中点，则△MOC的面积为（）A．1 B．3 C．2 D．22．（2024秋•袁州区校级月考）在圆锥SO中，轴截面△SAC为腰长为22的等腰直角三角形，B为底面圆上一点，且E为线段AB上一动点，△ABC为等腰三角形，则SE+CEA．25 B．2(3+1) C．333．（2024秋•山东月考）已知圆锥PO的母线长为2，表面积为3π，O为底面圆心，AB为底面圆直径，C为底面圆周上一点，∠BOC＝60°，M为PB中点，则△MOC的面积为（）A．158 B．154 C．154 4．（2023秋•雁峰区校级月考）如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为1km，峰底A到峰顶S的距离为4km，B是山坡SA的中点．为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（）A．2km B．3km C．25km D二．多选题（共5小题）（多选）5．（2024•沙依巴克区校级模拟）如图所示，AB是圆锥SO底面圆O的一条直径，点C在底面圆周上运动（异于A、B两点），以下说法正确的是（）A．∠CSO恒为定值 B．三棱锥S﹣ABC的体积存在最大值 C．圆锥SO的侧面积大于底面圆O的面积 D．△SAB的面积大于△SAC的面积（多选）6．（2024•甘井子区校级模拟）某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（）A．圆锥的体积是97B．圆锥侧面展开图的圆心角是3πC．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D．圆锥侧面积是12π（多选）7．（2024•荔湾区校级模拟）如图，圆锥VAB内有一个内切球O，球O与母线VA，VB分别切于点C，D．若△VAB是边长为2的等边三角形，O1为圆锥底面圆的中心，MN为圆O1的一条直径（MN与AB不重合），则下列说法正确的是（）A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为2：3 B．平面CMN截得圆锥侧面的交线形状为抛物线 C．四面体CDMN的体积的取值范围是(0，D．若P为球面和圆锥侧面的交线上一点，则PM+PN最大值为2（多选）8．（2024•长沙模拟）已知一圆锥的底面半径为3，该圆锥的母线长为2，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则下列说法正确的是（）A．其侧面展开图是圆心角为3π的扇形B．该圆锥的体积为π C．从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为23D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为2（多选）9．（2023秋•廊坊期末）已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面圆的一条直径AB长为23，C为底面圆周上不同于A，B的一个动点，MA．△PAC面积的最大值为3 B．三棱锥C﹣PAB体积的最大值为1 C．存在点C，M，使得BC⊥AM D．当C为AB的中点时，MA+MB的最小值为15三．填空题（共6小题）10．（2024秋•浦东新区校级期中）若一个圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则此圆锥的高为．11．（2024秋•徐汇区校级期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于．12．（2024秋•静安区校级期中）已知圆锥底面半径为3，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为．13．（2023•元阳县校级开学）若一个圆锥的底面圆半径为2，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是．14．（2024春•菏泽期末）已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为．15．（2024春•潮州期末）某圆锥的侧面展开图是面积为3π，圆心角为3π4的扇形，则该圆锥的底面半径为

2024-2025学年下学期高中数学人教A版（2019）高一同步经典题精练之圆锥参考答案与试题解析题号1234答案CBAD一．选择题（共4小题）1．（2024秋•河南校级月考）已知圆锥PO的母线长为3，表面积为10π，O为底面圆心，AB为底面圆直径，C为底面圆周上一点，∠BOC＝60°，M为PB中点，则△MOC的面积为（）A．1 B．3 C．2 D．2【考点】圆锥的结构特征．【专题】转化思想；综合法；解三角形；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】C【分析】根据题意，由圆锥的表面积公式算出底面圆的半径，结合勾股定理求出圆锥的高，然后根据线面垂直的性质、正三角形的性质与余弦定理，求出cos∠MOC，根据三角函数的平方关系求出sin∠MOC，进而求得△MOC的面积．【解答】解：设圆锥PO的底面圆半径为r，则圆锥的表面积为πr2+πr•3＝10π，结合r＞0，解得r＝2，所以圆锥的高PO=3取OB的中点N，连接MN、CN，可得MN为△POB的中位线，所以MN∥PO，且MN=12PO因为PO⊥平面BOC，所以MN⊥平面BOC，结合CN⊂平面BOC，可得MN⊥CN．又因为O为AB中点，可得OM是△PAB的中位线，所以OM=12PA由OB＝OC＝2，∠BOC＝60°，可得△BOC是边长为2的正三角形，N为OB中点，可得CN⊥OB，所以CN=32OB=3在△MOC中，由余弦定理得cos∠可得sin∠MOC=1-所以△MOC的面积S=1故选：C．【点评】本题主要考查圆锥的结构特征、线面垂直的性质、解三角形及其应用等知识，考查了空间想象能力、计算能力，属于中档题．2．（2024秋•袁州区校级月考）在圆锥SO中，轴截面△SAC为腰长为22的等腰直角三角形，B为底面圆上一点，且E为线段AB上一动点，△ABC为等腰三角形，则SE+CEA．25 B．2(3+1) C．33【考点】圆锥的结构特征．【专题】整体思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】B【分析】根据圆锥的几何性质，确定相应长度，再将△ABC和△ABS平铺成一个平面，利用余弦定理即可求解【解答】解：画出图象，如图所示：因为轴截面△SAC为腰长为22所以SA=SC=22，又因为△ABC为等腰三角形，所以AB=所以SA=将△ABC和△ABS平铺成一个平面，如下图，此时∠S'BC＝150°，当S'，E，C三点共线时，SE+CE最小，最小值为S'B2+故选：B．【点评】本题主要考查了圆锥的结构特征，考查了余弦定理的应用，属于中档题．3．（2024秋•山东月考）已知圆锥PO的母线长为2，表面积为3π，O为底面圆心，AB为底面圆直径，C为底面圆周上一点，∠BOC＝60°，M为PB中点，则△MOC的面积为（）A．158 B．154 C．154 【考点】圆锥的结构特征．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】A【分析】先由圆锥的表面积公式求出底面半径，在△OCN中由余弦定理求出CN，然后在Rt△MNC中，由勾股定理求出MC，最后由余弦定理和三角形的面积公式求出结果即可．【解答】解：设OB＝r，PB＝l，由题意可得πr2+πrl＝3π，即πr2+2πr＝3π，解得r＝1或r＝﹣3（舍），连接OM，∵M为PB中点，∴OM=12PB＝OB＝过M作MN⊥OB于N，连接CN，则MN=12PO在△OCN中，cos∠CON=OC2+O解得CN=3在Rt△MNC中，MC=M∴cos∠MOC=O∴sin∠MOC=1-∴△MOC的面积为12×OM×OC故选：A．【点评】本题考查圆锥的表面积公式、余弦定理、勾股定理、三角形的面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4．（2023秋•雁峰区校级月考）如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为1km，峰底A到峰顶S的距离为4km，B是山坡SA的中点．为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（）A．2km B．3km C．25km D【考点】圆锥的结构特征．【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．【答案】D【分析】根据圆锥的侧面展开图，即可根据弧长公式可得∠A【解答】解：以SA为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如图，则从点A到点B的最短路径为线段A′B，lA'B过S作SP⊥A′B，则公路距山顶的最近距离为SP，因为A'所以SP=故选：D．【点评】本题考查圆锥的侧面展开，以及弧长公式的应用，属于中档题．二．多选题（共5小题）（多选）5．（2024•沙依巴克区校级模拟）如图所示，AB是圆锥SO底面圆O的一条直径，点C在底面圆周上运动（异于A、B两点），以下说法正确的是（）A．∠CSO恒为定值 B．三棱锥S﹣ABC的体积存在最大值 C．圆锥SO的侧面积大于底面圆O的面积 D．△SAB的面积大于△SAC的面积【考点】圆锥的结构特征．【专题】计算题；立体几何；逻辑思维；直观想象．【答案】ABC【分析】设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，用r，h，l表示∠CSO的三角函数值，三棱锥S﹣ABC的体积，圆锥的侧面积和底面积，△SAB和△SAC的面积，再进行选项判断．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l．A选项，tan∠CSO=|B选项，设d为C点到平面SAB的距离，VS又0＜d≤r，所以当CO⊥平面SAB时，d有最大值r，则三棱锥的最大值为13C选项，圆锥SO的侧面积为12⋅2πr⋅l=πrl，底面圆O的面积为πr2，又l＞rD选项，S△SAB=12l2sin∠ASB，故选：ABC．【点评】本题考查圆锥的几何性质，属于基础题．（多选）6．（2024•甘井子区校级模拟）某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（）A．圆锥的体积是97B．圆锥侧面展开图的圆心角是3πC．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D．圆锥侧面积是12π【考点】圆锥的结构特征．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】BCD【分析】根据圆锥底面半径、高以及母线三者的关系求出圆锥的高，即可求出体积、侧面积；然后利用底面周长为侧面展开图扇形的弧长，算出圆心角弧度数；求出轴截面的顶角，结合三角形的面积公式，即可求出过两条母线截面三角形面积的最大值．【解答】解：圆锥的底面半径是r＝3，母线长l＝4，所以高h=l所以圆锥体积V=13×πr2×侧面展开图的圆心角弧度数为2πrl=圆锥轴截面顶角的余弦值为cosα=42所以过圆锥的两条母线的截面面积为S=12×4圆锥的侧面积为πrl＝π×3×4＝12π，D正确．故选：BCD．【点评】本题考查圆锥的表面积、体积的计算，以及圆锥的性质及应用，属于中档题．（多选）7．（2024•荔湾区校级模拟）如图，圆锥VAB内有一个内切球O，球O与母线VA，VB分别切于点C，D．若△VAB是边长为2的等边三角形，O1为圆锥底面圆的中心，MN为圆O1的一条直径（MN与AB不重合），则下列说法正确的是（）A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为2：3 B．平面CMN截得圆锥侧面的交线形状为抛物线 C．四面体CDMN的体积的取值范围是(0，D．若P为球面和圆锥侧面的交线上一点，则PM+PN最大值为2【考点】圆锥的结构特征．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】ABD【分析】利用空间几何体的性质，依据每个选项的条件逐项计算，可判断其正确性．【解答】解：依题意，动点P的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为E，连接VO1，如图，正△VAB内切圆即为球O的截面大圆，球心O在线段VO1上，VO1=3则球O的半径OO1=33，所以球O的表面积S＝4πr2＝4π圆锥的侧面积S′=12×2π×2＝2π，∴球的表面积与圆锥的侧面积之比为2：3由题意可得点C，D是边AV，BV的中点，∴CO1∥VB，∵CO1⊂平面CMN，VB⊄平面CMN，∴VB∥平面CMN，∴平面CMN截得圆锥侧面的交线形状为抛物线，故B正确；由题意可得四面体CDMN被平面VAB截成体积相等的两部分，设M到平面VAB的距离为d（0＜d≤1），即VCDMN＝2VM-CDO1=2×13S△CO1D×d由题意可得EP=12O1B=12，EO1=32，∴O1P2则有PO1＝MO1＝NO1＝1，即PM⊥PN，因此PM2+PN2＝MN2＝4，由均值不等式得：PM+PN2≤PM2+当且仅当PM＝PN时取“＝”，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查空间几何体的表面积与体积的计算，考查线段和的最大值，属中档题．（多选）8．（2024•长沙模拟）已知一圆锥的底面半径为3，该圆锥的母线长为2，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则下列说法正确的是（）A．其侧面展开图是圆心角为3π的扇形B．该圆锥的体积为π C．从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为23D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为2【考点】圆锥的结构特征．【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】ABD【分析】根据圆锥的性质，针对各个选项分别求解即可．【解答】解：对A选项，∵圆锥的底面半径为3，母线长为2，∴其侧面展开扇形的圆心角为2π×3对B选项，∵圆锥的底面半径为3，母线长为2，∴圆锥的高为22-∴该圆锥的体积为13×π×(对C选项，根据题意可得所求距离的最小值即为：半个侧面展开扇形的弦长，由A选项分析可知：该扇形的圆心角为32π，且该扇形所在圆的半径为∴所求距离的最小值为2×2×对D选项，由B选项可知圆锥的轴截面是顶角为2π3，腰为∴过该圆锥的顶点作圆锥的截面，当所得等腰三角形的顶角为π2截面面积取得最大值，且最大值为12×2×2=2，∴故选：ABD．【点评】本题考查圆锥的性质，圆锥的体积的求解，距离的最值的求解，圆锥的截面问题，属中档题．（多选）9．（2023秋•廊坊期末）已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面圆的一条直径AB长为23，C为底面圆周上不同于A，B的一个动点，MA．△PAC面积的最大值为3 B．三棱锥C﹣PAB体积的最大值为1 C．存在点C，M，使得BC⊥AM D．当C为AB的中点时，MA+MB的最小值为15【考点】圆锥的结构特征．【专题】数形结合；综合法；立体几何；直观想象．【答案】BD【分析】求出圆锥的轴截面的顶角大小，结合三角形面积公式，即可判断A；根据三棱锥的体积公式可判断B；假设存在点C，M，使得BC⊥AM，结合线面垂直推出矛盾，判断C；求出△PAC的边PC上的高，即可求得MA+MB的最小值，判断D．【解答】解：对于A，由题意知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面圆的直径AB长为23记圆锥底面圆心为O，则PO为圆锥的高，故sin∠APO=AOAP=32所以∠APB＝120°，设∠APC＝θ（0°∠θ≤120°），则S△当θ＝90°时，S△PAC的最大值为2，故A错误；对于B，因为点C到AB的距离的最大值为底面圆的半径3，圆锥的高PO=2所以三楼锥C﹣PAB体积的最大值为13×(1对于C，假设存在点C，M，使得BC⊥AM，因为BC⊥AC，AC∩AM＝A，AC，AM⊂平面PAC，则BC⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC，即∠PCB＝90°，又∠PBC＝∠PCB，显然在△PBC中，不可能有两个直角，故假设错误，故C错误；对于D，当C为AB的中点时，CO⊥AB，所以AC=由题意可得△PAC和△PBC全等，在△PAC中，PA＝PC＝2，AC=所以cos∠APC=进而sin∠APC=154，记PC则h=所以MA+当M与Q重合时取等号，故D正确．故选：BD．【点评】本题考查空间几何体的应用，属于中档题．三．填空题（共6小题）10．（2024秋•浦东新区校级期中）若一个圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则此圆锥的高为332【考点】圆锥的结构特征．【专题】方程思想；定义法；立体几何；运算求解．【答案】33【分析】根据侧面展开图是半径为3的半圆，得到母线长和底面半径求解．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，因为侧面展开图是半径为3的半圆，所以母线长为l＝3，2πr＝3π，解得r=3所以此圆锥的高为h=l故答案为：33【点评】本题考查了圆锥的结构特征应用问题，是基础题．11．（2024秋•徐汇区校级期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于60°．【考点】圆锥的结构特征．【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．【答案】60°．【分析】r和l分别表示底面圆半径和母线长，由题意得到等量关系，得到2r＝l，从而知道轴截面的顶角值．【解答】解：设圆锥底面半径为r，母线长为l，因为圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，所以2πr＝πl，即2r＝l，所以该圆锥轴截面的顶角等于60°，故答案为：60°．【点评】本题考查圆锥的结构特征，属于中档题．12．（2024秋•静安区校级期中）已知圆锥底面半径为3，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为2．【考点】圆锥的结构特征．【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】2．【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解．【解答】解：依题意，设圆锥的母线长为l，因为圆锥的底面半径为3，高为1，所以l=(3设圆锥的轴截面的两母线夹角为θ，则cosθ=因为0＜θ＜π，所以θ=2则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为α，故截面的面积为S=12故过圆锥的母线的截面面积的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查圆锥的结构特征，考查圆锥截面面积最值的求法，是基础题．13．（2023•元阳县校级开学）若一个圆锥的底面圆半径为2，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是6．【考点】圆锥的结构特征；圆锥的侧面积和表面积．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】6．【分析】根据题意，设圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2π×2=【解答】解：根据题意，设圆锥的母线长为l，圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，则有2π×2=120π即圆锥的母线长为6．故答案为：6．【点评】本题考查圆锥的结构特征，涉及圆锥的侧面展开图，属于基础题．14．（2024春•菏泽期末）已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为23【考点】圆锥的结构特征．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】23【分析】根据题意，设圆锥的母线长为l，由圆锥的结构特征可得πl＝2πr，变形可得答案．【解答】解：根据题意，设圆锥的母线长为l，其底面半径r=3由于其侧面展开图为一个半圆，则有πl＝2πr，变形可得l=23故答案为：23【点评】本题考查圆锥的结构特征，涉及圆锥的侧面展开图，属于基础题．15．（2024春•潮州期末）某圆锥的侧面展开图是面积为3π，圆心角为3π4的扇形，则该圆锥的底面半径为3【考点】圆锥的结构特征；扇形面积公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】32【分析】根据题意，设该圆锥的底面半径为r，母线长为l，分析可得πrl=3【解答】解：根据题意，设该圆锥的底面半径为r，母线长为l，则有πrl=3π2πr故答案