2024-2025学年下学期高一数学北师大版同步经典题精练之从力的做功到向量的数量积

第24页（共24页）2024-2025学年下学期高中数学北师大版（2019）高一同步经典题精练之从力的做功到向量的数量积一．选择题（共5小题）1．（2024秋•湛江校级期末）已知非零向量a→、b→满足|a→|=|A．12 B．32 C．-122．（2024秋•浙江期末）已知平面向量m→，n→，满足|n→|=2且m→在n→上的投影向量为12nA．2 B．27 C．7 D．3．（2024秋•金沙县期末）已知向量a→，b→满足|a→|＝6，|b→|＝12，a→与b→的夹角为A．2a→ B．a→ C．124．（2024秋•扬州期末）已知正六边形ABCDEF的边长为2，点P为线段EC的中点，则AP→A．6 B．23 C．3 D．5．（2024秋•雷州市校级期末）已知向量a→=(1，-1)，bA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2二．多选题（共4小题）（多选）6．（2025•温州模拟）如图所示，“田”字型方格是由4个边长为1的正方形组成，A，B，C，D为其中的4个格点，在9个格点中依次取不同的两点P，Q，则概率等于14A．PQ→B．＜PQC．PQ→D．在|PQ→（多选）7．（2024秋•雷州市校级期末）已知a→和b→为单位向量，且A．a→B．a→C．a→与b→的夹角为60D．a→+b→（多选）8．（2024秋•威海期末）设向量a→=（x+4，x），b→=（A．x＝0是a→⊥b→B．x＝﹣6是a→⊥b→C．a→∥b→是x＝4D．a→∥b→是x＝﹣（多选）9．（2025•厦门模拟）已知平面向量a→=（2，sinθ），b→=（1A．a→，b→B．a→，b→C．|a→+b→D．若θ=π2，则a→在三．填空题（共3小题）10．（2025•江西一模）已知向量a→，b→满足|a→|＝2，|a→+2b→|＝|a→-b→|11．（2024秋•亳州期末）已知向量a→，b→为两个相互垂直的单位向量，则〈a→12．（2025•安顺模拟）若向量a→=（3，2）在向量b→=（4，0）方向上的投影向量为c→，则|c→|四．解答题（共3小题）13．（2024秋•牡丹江期末）已知a→=(2，（1）求向量a→（2）求向量a→，b→的夹角14．（2024秋•葫芦岛期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直线EF过点G，交BA于点E，交BC于点F．（1）求|BG（2）若BE→=λBA→，BF→=μ15．（2025•重庆校级模拟）已知向量a→=(cosx，sinx（1）若a→∥b→，且（2）设函数f(x)=2b→⋅(a→+c→

2024-2025学年下学期高中数学北师大版（2019）高一同步经典题精练之从力的做功到向量的数量积参考答案与试题解析题号12345答案BBBCB一．选择题（共5小题）1．（2024秋•湛江校级期末）已知非零向量a→、b→满足|a→|=|A．12 B．32 C．-12【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】由向量模的求法和数量积的运算律计算即可求得2a【解答】解：因为|a所以|a所以2a因为|a(a设a→+b→与a→故选：B．【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．2．（2024秋•浙江期末）已知平面向量m→，n→，满足|n→|=2且m→在n→上的投影向量为12nA．2 B．27 C．7 D．【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】利用投影向量的意义求出m→【解答】解：m→在n→上的投影向量为则m→在n→上的投影向量为m→则m→又n→⋅(n则cos〈解得|n由|n→+故选：B．【点评】本题主要考查平面向量的投影向量，属于基础题．3．（2024秋•金沙县期末）已知向量a→，b→满足|a→|＝6，|b→|＝12，a→与b→的夹角为A．2a→ B．a→ C．12【考点】平面向量的投影向量．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】利用数量积的定义求出a→⋅b→，再根据b→【解答】解：由题意可知，a→所以b→在a→方向上的投影向量为故选：B．【点评】本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．4．（2024秋•扬州期末）已知正六边形ABCDEF的边长为2，点P为线段EC的中点，则AP→A．6 B．23 C．3 D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】数形结合；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据平面向量数量积的计算公式计算求解即可．【解答】解：因为正六边形ABCDEF的边长为2，点P为线段EC的中点，所以∠BAP=1|AP所以AP→故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积的求法，属于基础题．5．（2024秋•雷州市校级期末）已知向量a→=(1，-1)，bA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【考点】平面向量数量积的坐标运算．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】求出向量b→-2a→【解答】解：因为a→=(1，所以b→因为a→所以a→⋅(b→故选：B．【点评】本题考查平面向量垂直的坐标表示，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）6．（2025•温州模拟）如图所示，“田”字型方格是由4个边长为1的正方形组成，A，B，C，D为其中的4个格点，在9个格点中依次取不同的两点P，Q，则概率等于14A．PQ→B．＜PQC．PQ→D．在|PQ→【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】BD【分析】由平面向量数量积的运算性质，结合古典概型概率公式求解即可．【解答】解：向量是矢量，有方向有长度，故有A9A项：PQ→故|PQ→|=2所以P只能在A，Q只能在B一种，所以P=即选项A不满足；B项：＜PQAF→，AC所以P=即选项B满足；C项：PQ→即PQ→与CD又PQ→可为：AH所以P=即选项C不满足；D项：在|PQ即PQ可为FB，BF，与CD→平行有CD所以P=即选项D满足．故选：BD．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算性质，重点考查了古典概型，属中档题．（多选）7．（2024秋•雷州市校级期末）已知a→和b→为单位向量，且A．a→B．a→C．a→与b→的夹角为60D．a→+b→【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】利用平面向量数量积的运算性质计算出a→⋅b→的值，可判断AC选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断【解答】解：已知a→和b→为单位向量，且则|a则a→故a→即A对，C错；又a→即B对；又(a所以a→+b→在即D对．故选：ABD．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算性质，重点考查了投影向量的定义，属中档题．（多选）8．（2024秋•威海期末）设向量a→=（x+4，x），b→=（A．x＝0是a→⊥b→B．x＝﹣6是a→⊥b→C．a→∥b→是x＝4D．a→∥b→是x＝﹣【考点】平面向量数量积的坐标运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】AC【分析】根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．【解答】解：向量a→=（x+4，x），b→=（若a→⊥b则（x+4）x+2x＝0，解得x＝0或x＝﹣6，故x＝0是a→⊥b→的充分条件，故A正确；x＝﹣6是a→⊥b若a→则2（x+4）＝x2，解得x＝4或x＝﹣2，故a→∥b→是x＝4的必要条件，故C正确；a→∥b故选：AC．【点评】本题主要考查向量垂直、平行的性质，属于基础题．（多选）9．（2025•厦门模拟）已知平面向量a→=（2，sinθ），b→=（1A．a→，b→B．a→，b→C．|a→+b→D．若θ=π2，则a→在【考点】平面向量的投影向量；平面向量的数量积运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】可求出a→⋅btanθ＝2时，a→与b→共线，得出可求出a→+b→的坐标，进而求出|a根据投影向量的计算公式即可判断D的正误．【解答】解：A．∵a→⋅b→=2+sinθcosθB．tanθ＝2时，sinθcosθ=21，此时a→C.a→∴|a→+b→|=9+2D.θ=π2时，a→=(2，1)，b故选：ACD．【点评】本题考查了向量共线和垂直的充要条件，向量坐标的加法运算，投影向量的计算公式，是基础题．三．填空题（共3小题）10．（2025•江西一模）已知向量a→，b→满足|a→|＝2，|a→+2b→|＝|a→-b→|【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的模．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】2．【分析】由|a→+2b→|＝|a→-b→|，利用向量的模的公式、平面向量数量积的运算性质，推导出2a→•b→+|b→|2＝0【解答】解：由|a→+2b→|＝|a→-b→|，可得（a→+即|a→|2+4a→•b→+4|b→|2＝|a→|2﹣2a→•b→+|b→|2，整理得2所以（a→+b→）2＝|a→|2+2a→•b→+|b→|2＝22+0故答案为：2．【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算性质、向量的模的公式等知识，考查了计算能力、概念的理解能力，属于基础题．11．（2024秋•亳州期末）已知向量a→，b→为两个相互垂直的单位向量，则〈a→【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】π4【分析】直接利用向量的夹角运算公式求出结果．【解答】解：向量a→，b由题意得：a→⋅b则cos〈由于〈a则〈a故答案为：π4【点评】本题考查的知识点：单位向量，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．12．（2025•安顺模拟）若向量a→=（3，2）在向量b→=（4，0）方向上的投影向量为c→，则|c→|【考点】平面向量的投影向量．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】3．【分析】根据投影向量公式和向量模的坐标表示即可得到答案．【解答】解：向量a→=（3，2），向量b→=（则a→⋅b向量a→=(3，2)在向量则|c故答案为：3．【点评】本题主要投影向量公式和向量模的坐标表示，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•牡丹江期末）已知a→=(2，（1）求向量a→（2）求向量a→，b→的夹角【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；平面向量数乘和线性运算的坐标运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）（﹣4，﹣3）；（2）π4【分析】运用向量的坐标运算，结合夹角公式进行计算即可．【解答】解：（1）因为a→=(2，-1)（2）a→=(2，则cosθ=因为θ∈[0，π]，所以向量a→，b→的夹角【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．14．（2024秋•葫芦岛期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直线EF过点G，交BA于点E，交BC于点F．（1）求|BG（2）若BE→=λBA→，BF→=μ【考点】平面向量的概念与平面向量的模；运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）203（2）6．【分析】（1）由重心性质可得BG→（2）由平面向量基本定理的推论得13【解答】解：（1）根据题意：BA→=(-4，由G是△ABC的重心，可得BG→所以|BG（2）由BE→可得BA→=1所以BG→因为E，F，G三点共线，所以13则2λ当且仅当8μ3λ=2λ3所以2λ+8μ的最小值为6．【点评】本题考查平面向量的模长公式及平面向量基本定理，考查基本不等式求最值，属中档题．15．（2025•重庆校级模拟）已知向量a→=(cosx，sinx（1）若a→∥b→，且（2）设函数f(x)=2b→⋅(a→+c→【考点】平面向量数量积的坐标运算；三角函数的最值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）x=（2）f（x）的最大值为﹣1，此时x=【分析】（1）根据向量共线满足的坐标关系，即可得cosx=（2）根据数量积的坐标运算，结合三角恒等变换可得f(【解答】解：（1）由题意，a→=(cosx由a→∥b因为x∈(0，π2)所以cosx=3sinx所以x=（2）由题意得：f=23=3=2sin因为x∈[0，故当2x-π6=π2时，即x所以f（x）的最大值为﹣1，此时x=【点评】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质，考查平面向量与三角的综合应用，属中档题．

考点卡片1．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1当且仅当a＝b=1故答案为：6．2．三角函数的最值【知识点的认识】三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．【解题方法点拨】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝32+22cos（2解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x=1-cos2x2-sin2x2=32+22cos故答案为：32+22cos（这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t=∴当t=1而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．【命题方向】求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．3．平面向量的概念与平面向量的模【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的几何表示用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小写字母a→、b→，…表示．有向向量的长度为模，表示为|AB→|、|向量的模AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0→，零向量的长度为0单位向量长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB→（与AB→共线的单位向量是相等向量长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．4．平面向量的模【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的模AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB【解题方法点拨】﹣计算模：也就是AB→﹣实际应用：用于求解平面几何中的距离问题，如两点间的距离等．【命题方向】﹣向量模的计算：考查如何计算向量的模，并应用于几何问题．﹣向量长度的应用：在问题中如何利用向量的长度解决实际问题，如物体的位移和距离计算．如图，在2×4的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有39解：如图，设小正方形的边长为1，则|AB→|=则长度为5的对角线有20个，分别为AB，DE，FG，HI，CD，BF，EH，GK，CO，EM，BP，GN，EQ，IO，AO，MF，NH，PD，OK，FQ，∴模与AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有20×2﹣1＝故答案为：39．5．平面向量的数量积运算平面向量的数量积运算6．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→（1）a→⋅e→=（2）a→⊥b→（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→特别地：a→⋅a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→⋅b→|≤|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a→（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅（3）分配律：（a→⋅b→）•平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“a→即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，即③错误；∵|a→⋅b→|≠|a→|∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴acbc=ab即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．7．平面向量的投影向量【知识点的认识】投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．设a→，b→是两个非零向量，AB=a→，CD=b→，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量a→向向量b→向量a→在向量b→上的投影向量是【解题方法点拨】投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把|a→|cosθ叫作向量（1）向量a→在向量b→上的投影向量为|a→|e→cosθ（其中e→为与b（2）注意：a→在b→方向上的投影向量与b→在a→方向上的投影向量不同，b→【命题方向】（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．（3）空间几何问题：求