数学 第二册（五年制高职）教案 2平面向量复习课

江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）教案课题平面向量复习课授课时间学习目标1.全面梳理、归纳本章知识点，初步形成本章知识的整体性；2.通过例题讲解、解题训练，进一步认识、归纳平面向量概念、性质、运算方法.3.通过训练掌握向量的表示方法，会进行向量的加、减、数乘和内积运算.教学重点归纳、梳理本章知识点，提高解题能力.教学难点在对本章知识体系进行整体建构的同时培养学生的核心素养.教学准备PPT教学过程教学内容一、知识框图二、内容要点（一）平面向量的概念教师活动一、知识框图二、内容要点（一）平面向量的概念(1)平面向量的定义①平面向量的定义：在数学中，把既有大小又有方向的量称为向量（也称为矢量）．②平面向量的表示法：一般地，用一条有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可以用小写黑体字母表示，如、、等，手写时写成带箭头的小写字母，如a,b,c③平面向量的模：向量的大小称作向量的长度（或称为模）．向量AB的长度，记作AB；向量的长度，记作，手写时可以写成|a|．向量的长度是一个是一个非负实数．④零向量与单位向量：长度为0的向量称为零向量，记作0．零向量的方向为任意方向；长度为1个单位长度的向量称为单位向量，记作.(2)相等向量、相反向量与平行向量①相等向量：在数学中，长度相等且方向相同的向量称为相等向量或同一向量．当向量与相等时，记作=.②相反向量：长度相等且方向相反的向量称为相反向量．当向量与相反时，记作=-．学生活动回忆本章的相关概念，注意归类、类比.理解记忆平面向量的概念、表示方法、向量的模、特殊向量以及向量间的关系.教学过程教学内容教师活动学生活动（二）平面向量的线性运算（三）向量的内积③平行向量：如果两个非零向量方向相同或相反，我们就说这两个向量互相平行，称为平行向量.相互平行的向量称为平行向量或共线向量.当向量与平行时，记作∥．（二）平面向量的线性运算(1)向量加法的三角形法则①向量加法的三角形法则：一般地，对已知向量和，在平面内任取一点A，作AB=，BC=，则向量AC叫作与的和（或“和向量”），记作．即AB+BC=AC，求两个向量和的运算称为向量的加法．根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．②特殊向量相加：对于任一向量，有,。③向量加法的交换律、结合律：+=，（2）向量加法的平行四边形法则①作平行四边形求两个不共线的非零向量，的和：以任意点O为起点分别作OA=，OC=，以为邻边作平行四边形，则以O为起点的向量OB就是向量与的和．把这种求两个向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则.②平行四边形法则不适用于共线向量.（3）向量的减法①已知向量，，在平面内任取一点O，作OA=，OB=，由向量求和的三角形法则，得+BA=.向量BA叫做向量与的差，记作-，即BA=-=OA-OB.②求两个向量差的运算，称为向量的减法.向量的减法是向量加法的逆运算：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.即-=+(-).(4)平面向量的数乘运算①向量的数乘运算:实数与向量的积是一个向量，记作.实数与向量的乘法运算，称为向量的数乘运算..当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，.②向量数乘运算法则：对于任意向量a、b及任意实数，）＝=)；＝＋；＝＋．③线性表示与线性运算：（均为实数）＋叫做向量a、b的一个线性组合.如果向量l=＋，则称向量l可以用向量a、b线性表示；向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算.④两个向量与（≠0）平行（或共线）的充要条件是存在实数，使=.即‖=.（三）向量的内积(1)向量的内积①向量的夹角及范围：已知两个非零向量和，作OA=，OB=，理解记忆向量加法、减法法则.注意平行四边形法则的使用限制条件.理解记忆向量数乘运算法则，熟练掌握向量共线定理.教学过程教学内容教师活动学生活动（四）向量的坐标表示则就叫做向量和的夹角，记作.我们规定，0≤≤π②向量的内积：把cos这个乘积叫做向量和的内积（或数量积），记作a∙b，即a∙b=cos.对于非零向量和，有cos=a⋅bab；③规定：零向量与任意向量的内积为0.即a∙0=0④向量和的内积是一个实数，它可以是正数、零或负数.(2)向量内积的性质与运算律①向量内积的性质：a⋅ⅇ=ⅇ⋅a=.当与同向时，a⋅b=；当与反向时，a⋅b=-.特别地，a⋅b=或a=a⋅a.当⊥时，a⋅b=0；a⋅b②向量内积运算律：对于向量和实数，有a⋅(a⋅b)=（）∙b=a∙()（+）∙c=a∙c+b∙c（四）向量的坐标表示（1）用坐标表示平面向量：在平面直角坐标系中，任一向量都可以表示成=+（）的形式.其中，称为向量在轴上的分向量，称为向量在轴上的分向量.有序实数对称为向量在直角坐标系中的坐标，记作=，其中称为向量的横坐标，称为向量的纵坐标.（2）向量坐标的线性运算①向量的和（差）的坐标表示:两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.设=，=，则=（，),=（，). ②向量的数乘运算的坐标表示:实数与向量乘积的坐标等于这个实数乘以原来向量的相应的坐标.设=，为任意实数，则=（+）=+即=③两向量平行的坐标表示：向量与（≠0）平行（或共线）的充要条件是.④已知两点,,则MN=.(3)向量内积的坐标运算①向量内积的坐标表示:两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的识记向量内积的定义、夹角公式、性质、运算律，理解向量内积和向量数乘的区别.掌握用坐标表示向量的方法，理解记忆向量坐标表示的线性运算法则.熟练掌握向量平行的坐标表示.教学过程教学内容教师活动学生活动三、例题讲析四、练习五、课堂小结和，即a⋅b=②当、是两个非零向量时，cos<a,b>=a⋅bab③⊥a⋅b.三、例题讲析例1已知向量a和b互成30°角，分别画出a例2已知向量a=1,2，例3已知a=3,−4，b=−12,−5例4已知a=3,−5，b=15,m，当m为何