陕西省西安电子科技大学附中2024-2025学年高三年级模拟考试（5月）数学试题含解析

陕西省西安电子科技大学附中2024-2025学年高三年级模拟考试（5月）数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，则（）A． B． C． D．2．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）A．月收入的极差为60 B．7月份的利润最大C．这12个月利润的中位数与众数均为30 D．这一年的总利润超过400万元3．若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．6．抛物线的焦点为，点是上一点，，则（）A． B． C． D．7．若复数满足（是虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．8．已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值是（）A． B． C． D．9．已知函数，则（）A． B． C． D．10．已知的值域为，当正数a，b满足时，则的最小值为（）A． B．5 C． D．911．若sin(α+3π2A．-12 B．-1312．圆心为且和轴相切的圆的方程是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设复数满足，其中是虚数单位，若是的共轭复数，则____________．14．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是_____；最长棱的长度是_____．15．已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，的夹角等于，且（）•（）＝0，则||的取值范围是_____．16．已知复数，其中为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值是__．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性并指出相应单调区间；（2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围．18．（12分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：.过点的直线：（为参数）与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若，求实数的值.19．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，分别为，的中点．（1）求证：．（2）若，求二面角的余弦值．20．（12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.（1）求B；（2）若，AD为BC边上的中线，当的面积取得最大值时，求AD的长.21．（12分）已知点、分别在轴、轴上运动，，．（1）求点的轨迹的方程；（2）过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点，，求的取值范围．22．（10分）设函数，．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）时，若，，求证：．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出,,,即可选出答案.【详解】由,即,又,即,,即,所以.故选:D.本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.2．D【解析】

直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由图可知月收入的极差为，故选项A正确；1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B正确；易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C正确，选项D错误.故选：.本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.3．A【解析】

化简复数，求得，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.【详解】由题意，复数z满足，可得，所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限故选：A.本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4．B【解析】

用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断.【详解】①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故③错误.④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误.故选：B本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.5．B【解析】

先求出直线l的方程为y（x﹣c），与y＝±x联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率．【详解】双曲线1（a＞b＞0）的渐近线方程为y＝±x，∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，∴kl，∴直线l的方程为y（x﹣c），与y＝±x联立，可得y或y，∵，∴2•，∴ab，∴c＝2b，∴e．故选B．本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．6．B【解析】

根据抛物线定义得，即可解得结果.【详解】因为，所以.故选B本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.7．A【解析】

由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.【详解】因为,所以,所以复数的虚部为.故选A.本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.8．B【解析】

由题意可得，且，故有①，再根据，求得②，由①②可得的最大值，检验的这个值满足条件．【详解】解：函数，，为的零点，为图象的对称轴，，且，、，，即为奇数①．在，单调，，②．由①②可得的最大值为1．当时，由为图象的对称轴，可得，，故有，，满足为的零点，同时也满足满足在上单调，故为的最大值，故选：B．本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题．9．A【解析】

根据分段函数解析式，先求得的值，再求得的值.【详解】依题意，.故选：A本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.10．A【解析】

利用的值域为,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出的最小值.【详解】解：∵的值域为,∴,∴,∴,当且仅当时取等号,∴的最小值为.故选：A.本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题.11．B【解析】

由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.【详解】因为sinα+3π2=3故选B本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.12．A【解析】

求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.【详解】圆心为且和轴相切的圆的半径为，因此，所求圆的方程为.故选：A.本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

由于，则．14．【解析】

由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，，，侧棱底面，由棱锥体积公式求棱锥体积，由勾股定理求最长棱的长度．【详解】由三视图还原原几何体如下图所示：该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，，，侧棱底面，则该几何体的体积为，，，因此，该棱锥的最长棱的长度为.故答案为：；.本题考查由三视图求体积、棱长，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．15．【解析】

计算得到||，||cosα﹣1，解得cosα，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.【详解】由（）•（）＝0可得（）•||•||cosα﹣1×2cos||•||cosα﹣1，α为与的夹角．再由2•1+4+2×1×2cos7可得||，∴||cosα﹣1，解得cosα．∵0≤α≤π，∴﹣1≤cosα≤1，∴1，即||+1≤0，解得||，故答案为．本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.16．2【解析】

由题，得，然后根据纯虚数的定义，即可得到本题答案.【详解】由题，得，又复数为纯虚数，所以，解得.故答案为：2本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）答案见解析（2）【解析】

（1）先对函数进行求导得，对分成和两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；（2）对函数求导得，从而有，，，三个方程中利用得到.将不等式的左边转化成关于的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到的取值范围.【详解】解：（1）由，，则，当时，则，故在上单调递减；当时，令，所以在上单调递减，在上单调递增．综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）∵，,由得，∴，，∴∵∴解得.∴.设，则,∴在上单调递减；当时，.∴，即所求的取值范围为.本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.18．（1），；（2）.【解析】

（1）将代入求解，由（为参数）消去即可.（2）将（为参数）与联立得，设，两点对应的参数为，，则，，再根据，即，利用韦达定理求解.【详解】（1）把代入，得，由（为参数），消去得，∴曲线的直角坐标方程和直线的普通方程分别是，.（2）将（为参数）代入得，设，两点对应的参数为，，则，，由得，所以，即，所以，而，解得.本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．（1）见解析（2）【解析】

（1）由已知可证明平面，从而得证面面垂直，再由，得线面垂直，从而得，由直角三角形得结论；（2）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法示二面角．【详解】（1）证明：连接，，．，，平面．平面，平面平面．，为的中点，．平面平面，平面．平面，．为斜边的中点，，（2），由（1）可知，为等腰直角三角形，则．以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，记平面的法向量为由得到，取，可得，则．易知平面的法向量为．记二面角的平面角为，且由图可知为锐角，则，所以二面角的余弦值为．本题考查用面面垂直的性质定理证明线面垂直，从而得线线垂直，考查用空间向量法求二面角．在立体几何中求异面直线成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角时，可以建立空间直角坐标系，用空间向量法求解空间角，可避免空间角的作证过程，通过计算求解．20．（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理及可得，从而得到；（2）在中，利用余弦定可得，，而，故当时，的面积取得最大值，此时，，在中，再利用余弦定理即可解决.【详解】（1）由正弦定理及已知得，结合，得，因为，所以，由，得.（2）在中，由余弦定得，因为，所以，当且仅当时，的面积取得最大值，此时.在中，由余弦定理得.即.本题考查正余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道容易题.21．（1）（2）【解析】

(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出，得到，所以，代入韦达定理即可求解.【详解】（1）设，，则，设，由得．又由于，化简得的轨迹的方程为．（2）设直线的方程为，与的方程联立，消去得，，设，，则，，由已知，，则，故直线．，令，则，由于，，．所以，的取值范围为．此题考查轨迹问题，椭圆和直线相交，注意坐标表示向量进行转化的处理技巧，属于较难题目.22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】

（1）首先对函数求导，再根据参数的取值，讨论的正负，即可求出关于的单调性即可；（2）首先通过构造新函数，讨论新函数的单调性，根据新函