高考第三轮复习空间角与空间距离

高考数学三轮复习精选空间角与空间距离

窗隹）卷③③

高考预测

空间角与空间距离问题一直是高考数学必考点，在2023年的高考中依旧

是命题的热点方向。通常在多选题及解答题的第2小问考查，难度中等。

在高考复习过程中除了掌握空间向量法，还需多锻炼几何法的应用。

预测分值：15分

超必考指数：★★★★

满分技巧

一、几何法求异面直线夹角

1、求异面直线所成角一般步骤：

（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两

条成为相交直线.

（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角.

（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.

（4）取舍：因为异面直线所成角。的取值范围是（0,1],

I2」

所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.

2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：

（1）直接平移法（可利用图中已有的平行线）；

（2）中位线平移法；

（3）补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）.

二、几何法求直线与平面夹角

1、垂线法求线面角（也称直接法）：

（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A,

过点A向平面a做垂线，确定垂足0；

（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面。上的投影；投影B0与斜线AB之间的

夹角为线面角；

（3）把投影B0与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或

者直角三角形）。

3、公式法求线面角（也称等体积法）：

用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正

弦公式进行求解。

公式为：sE8=%其中6是斜线与平面所成的角，也是垂线段的长，I是

斜线段的长。

三、确定二面角的平面角的方法

1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律

（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作

垂直于棱的射线.

（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点。为端点，

在两个面内分别作垂直于a的两条射线如，OB,则N/1必为此二面角的平

面角

2、三垂线法（面上一点双垂线法）一一最常用

（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作

垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上•点的连线与斜足和垂足的连线所

夹的角，即为二面角的平面角

（2）具体演示：在平面Q内选一点力向另一个平面/?作垂线力8,垂足为8,再

过点'向棱a作垂线4a垂足为0,连接40,则N/1如就是二面角的平面角。

3、垂面法（空间一点垂面法）

（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射

线所成的角就是二面角的平面角。

（2）具体演示：过二面角内一点力作4Bla于氏作AC_L/?于C,

面力比'交棱a于点0,则N60C就是二面角的平面角。

4、射影面积法求二面角COS（7=今匕

方法：已知平面夕内一个多边形的面积为S,它在平面a内的射影图形的面积

为S射影，

平面。和平面夕所成的二面角的大小为。，则cose=华.这个方法对于无棱

二面角的求解很简便。

四、点面距的求解方法

1、定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线

段的长度；

2、等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；

3、转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直

线上的点到面的距离.

五、向量法求空间角与空间距离

1、异面直线所成箱：若勺%分别为直线44的方向向量，。为直线4,4的夹

角，

则cos9=cos<nvn2>

2、直线与平面所成角：设勺是直线/的方向向量，内是平面。的法向量，直

线与平面的夹角为。则sin。=cos＜勺,〃2〉

3、平面与平面的夹角：若勺,公分别为平面名夕的法向量，。为平面a,£的夹

角,

则cos0=cos<%.n2>

4、点到平面的距离：已知平面。的法向量为〃，A是平面a内的任一点，P

是平面a外一点,过点P作则平面a的垂线/,交平面a于点。，贝lj点P到平面

。的距离为PQ=半*（如图）.

\n

注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。

直线。与平面。之间的距离：d=竺",其中〃是平面。的

1«|

法向量。

两平行平面〃之间的距离：4=上上，其中AGa,8e/7,〃是平面。的

1九1

法向量。

一.选择题

1.（2022•甲卷）在长方体ABCO-AgCQ中，已知耳。与平面A4C£＞和平面A4,与8

所成的角均为30。，则1）

A.AB=2AD

B.A8与平面ABC。所成的角为30。

C.AC=CB.

D.片。与平面B同GC所成的角为45。

2.（2022•浙江）如图,己知正三棱柱ABC-AqG,AC=9,E,2分别是棱BC,

AG上的点.记所与伍所成的角为a，斯与平面ABC所成的角为夕，二面角

/-AC-4的平面角为？，则（）

A.a^/3yB.放h/C.颂aD.p

二,解答题

3.（2022•上海）如图所示三棱锥，底面为等边AABC,O为AC边中点，且PO_L

底面ABC,AP=AC=2.

（1）求三棱锥体积匕一处;

（2）若M为3c中点，求尸M与面1C所成角大小.

B

4.（2022•浙江）如图，已知486和CD所都是直角梯形，AB//DC,DC//EF.

AB=5,DC=3,EF=1,ZBAD=NCD石=60。，二面第产一DC—8的平面角为60。.设

M,N分别为AE,8。的中点.

（I）证明：FN上AD;

（II）求直线8M与平面ADE所成角的正弦值.

5.(2022•甲卷)在四棱锥P-ABCD中，PD工底面A3CD,CD//AB,

AD=DC=CB=T,AB=2,DP=y/3.

(1)证明：BDVPA\

(2)求PD与平面左〃所成的角的正弦值.

6.（2022•新高考H）如图，PO是三棱锥的高，PA=PB,A4_LAC,E

为相的中点.

（1）证明：OE//平面E4C;

（2）若ZABO=NCBO=30°,R7=3,PA=5,求二面角AE-8的正弦值.

7.（2022•新高考I）如图，直三棱柱ABC-AMG的体积为%△A8C的面积为

2上.

（1）求A到平面A8C的距离；

（2）设。为4。的中点，4>4,=AB,平面A8C1平面ABBJA，求二面角A—8O—C

的正弦值.

AiCi

丁

B

8.（2022•乙卷）如图，四面体A8s中，ADLCD.AD=CD,ZADR=/BDC,

石为AC的中点.

（1）证明：平面%D_L平面AC。；

（2）设A8=8Z）=2,ZAC3=60。，点/在友＞上，当AAAC的面积最小时，求b

与平面4^所成的角的正弦值.

9.（2023•上海）已知三棱锥尸-ABC中，而_1平面ABC,ABLAC,PA=AB=3,

AC=4,M为8C中点，过点M分别作平行于平面小B的直线交AC、PC于点E,

F.

（1）求直线PM与平面A4C所成角的大小；

（2）求直线ME到平面力仍的距离.

10.（2022•天津）直三棱柱ABC-ABg中，AA,=AB=AC=2，蝴_LAB,ACLAB,

。为A片中点，石为心中点，尸为CD中点.

（1）求证：所//平面ABC:

（2）求直线8E与平面CCQ的正弦值；

（3）求平面ACO与平面CCQ夹角的余弦值•

11.（2022•北京）如图，在三棱柱A8C-A4G中，侧面8CG4为正方形，平面

8CC4_L平面A84A，AB=BC=2,M,N分别为A£,AC的中点.

（I）求证：M/V//平面BCCM；

（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求直线与平面

曲所成角的正弦值.

条件①：AB上MN;

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

三.多选题

12.（2022•新高考I）已知正方体ABCD-AgCQ,则（）

A.直线3G与D4,所成的角为90。

B.直线8G与6所成的角为90°

C.直线BG与平面BBQ。所成的角为45。

D.直线g与平面A3CD所成的角为45。

四.填空题

13.（2022•全国）在正三棱柱ABC-ABC中，他=1，偌=孝，则异面直线的

与RG所成角的大小为.

区域模拟

1.（2023•青羊区模拟）如图，矩形A8CD中，AB=2AD=2y/2fE为边AB的中点,

将AADE沿直线0E翻折成△AOE.在翻折过程中，直线4C与平面A3C。所成角

的正弦值最大为（）

6445

2.（2023•商洛二模）在四棱锥P-A3CQ中，玄_1_底面A4CO,底面A4CD是边长

为1的正方形，AQ=2,则直线P5与平面改力所成角的正弦值为（）

A.巫B.2cTD.正

5533

3.（2023•保定一模）如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面A3CZ）为矩形，AB=2,

MAD是正三角形，平面平面A3CD,且％…与色，则PC与平面孙。所

成角的正切值为（

R

-----------YC

A.2B.-C.73D.近

22

4.（2023•五华区模拟）已知三棱锥Q-ABC中，底面ABC是边长为26的正三角

形，点尸在底面上的射影为底面的中心，且三棱锥外接球的表面积为184,

球心在三棱锥P-ABC内，则二面角尸-A3-C的平面角的余弦值为（）

A.-B.-C.—D.正

2323

5.（2023•安阳二模）如图所示圆锥的正视图是边长为2的正二角形，为底面

直径，C为AB的中点，则平面SAC与底面A8C所成的锐二面角的正切值为（）

B.V2C.8D.V6

2

6.（2023•乐山模拟）已知四棱柱ABC。-的底面是正方形，AB=2,

A4,=2上，点用在底面A8C。的射影为8C中点〃，则直线AR与平面A8CD所成

角的正弦值为（）

A・半B-5c-TD-T

7.（2023•浙江模拟）在正方体A4c£>-A3CQ中，平面a经过点4、/）,平面6

经过点A、0,当平面。、力分别截正方体所得截面面积最大时，平面。、夕所

成的锐二面角大小为（)

A.30°B.45°C.60°D.75°

8.（2023•河南模拟）壬方体，棱长为。，M为耳片中点，P为平

面A3CD内一动点,若平面MPC1与平面ABB.\和平面44cp所成锐二面角相等，

则点P到C的最短距离是（）

A.aB.—aC.aD.a

325

二.填空题

9.（2023•河南模拟）如图，已知圆柱OO1,A在圆O上，40=1,OQ=a,P,

。在圆口上，且满足。。=孚，则直线与平面OPQ所成角余弦的最小值

是

10.（2023•静安区二模）如图，正方体八中，石为4?的中点，尸为

正方形的中心，则直线所与侧面网GC所成角的正切值是.

II.（2022•三元区模拟）已知正方体中，AB=26,点石为平面

人3。内的动点，设直线AE与平面所成的角为a,若sina=5^,则点石的

轨迹所围成的面积为一.

12.（2022•浙江模拟）如图，在四棱锥尸-ABCD中，E,尸分别是AD,包）的中

点，PO_L底面ABC。，AD//BC,PD=AD=2BC,ZZMB=90°,若平面PECC平

面A3P=/,则二面角/-/-£的正弦值是

三.解答题

13.（2023•河北模拟）如图，在三棱锥尸-ABC中，平面以CJ_平面ABC,若

为等边三角形，A48C为等腰直角三角形，且AC=8C,点石为AC的中点，点。

在线段上，且45=44）.

（1）证明：AB上平面PDE;

（2）求平面H用与平面心。所成锐二面角的余弦值.

14.（2023•湛江二模）如图1,在五边形八笈。龙中，四边形人BCE为正方形,

CDIDE,CD=DE,如图2,将AABE沿BE折起，使得A至凡处，且

（1）证明：。七,平面吊座.

（2）求二面角的余弦值.

15.（2023•迁西县二模）如图，在三棱柱ABC-A山iG中，△ABC是等边三角

形，侧面ACGA」底面ABC,且A4i=AC,/A4iG=120°,M是CG的中

点.

（1）证明：AC_L6M；

（2）求二面角4-3C-M的正弦值.

16.（2023•张家口一模）如图，在四棱锥P-ABCZ）中，底面A政H）为直角梯形,

其中AO//8C,BC=2AD,ABLBC,〃为棱AP的中点，N是棱?3上一点，且

3PN=NB.

（1）证明：MN//平面尸DC;

⑵若BC=CP=PD=DC,直线QB与平面ABC。所成的角为45。，求平面8WD与

平面MCD夹角的余弦值.

17.（2023•绍兴二模）如图，在多面体A8C-A8c中，皿IBBJICC、,A4,，平

面AAC，△44G为等边三角形，AS=8始=2,A4,=3,CC,=1,点M是4c的

中I占八、、•

（1）若点G是△A4G的重心，证明；点G在平面8gM内;

求二面角BX-BM-C,的正弦值

18.（2023•贵州模拟）如图，已知正方体/WCD-A画GQ的棱长为2,E,〃分别

为4）,CG的中点.

（1）已知点G满足。2=4OG,求证4,E,G,产四点共面；

（2）求平面BAG与平面2所所成的锐二面角的余弦值.

考前押题

一.选择题

1.将边长为。的正三角形ABC沿8c边上的高线AD折成120°的二面角，则点A到8c

边的距离是（）

2.在二棱锥中，ABC,"=A8=3,AC=4,且N8AC=60',若G为公

陶B的重心，则CG与平面ABC所成角的正弦值为（)

y/34B.立C*V14

A.——D.一

6614

3.在直三棱柱ABC-4/1。中，NABC=90°,BC=2,AB=CC\=\,则直线4C与平面

AB\C\所成角的余弦值为)

V3V15Vio

A.一B.C.—D.匹

310103

二.填空题

4.已知△A8C为正三角形,其边长是2,空间中动点P满足：直线AP与平面ABC所成角

为60°,则△P3C面积的最小值为

三.解答题

5.如图，平面八BC。，CF//AE,AD//BC,ADLAB,AB=AD=hAE=BC=2.

（1）求证：B尸〃平面AOE；

（2）若二面角E-BD-E的余弦值为右求线段C/7的长.

一.选择题

1.【答案】D

【解答】解：如图所示，连接/叫，BD,不妨令M-l，

在长方体A4cO-AgGR中，34_L面ABC。,

所以N8Q3和NO线A分别为B、D与平面AAS和平面的与台所成的角,

即/4。8=/。用4=30。，

所以在RtABDB1中，=A4,=1,BD=®B、D=2,

在RtAADB］中，。4=2,AO=1,AB1=G，

所以A3=@C4=0,AC=&

故选项A,C错误，

由图易知，在平面ABC。上的射影在Ng上，

所以N8/B为AE?与平面人"£。所成的角，

在RtAABB]中，sinNB]AB=型~=3，

AB}G3

故选项3错误，

如图，连接MC,

则与。在平面BBCC上的射影为B.C,

所以ND4c为BQ与平面BB«C所成的角，

在心△。片C中，B、C=sli=DC,所以/。用。=45。，

所以选项。正确，

故选：D.

2.【答案】4

【解答】解：•.•正三棱柱ABC-A4G中，AC=AV

.••正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1，

如图，过户作FG_LAC,垂足点为G,连接GE,则4A/"G,

.•.EF与A4,所成的角为Z£FG=a,且tana=9^=G£,

FG

又GE€[O,11,tana=[0,1],

「JT*]

.•.£F与平面ABC所成的角为NFEG=£,且tan/=——=一e[l,+8),

GEGE

tanft..Ianiz,…①，

再过G点作G"_L8C,垂足点为“，连接〃尸，

乂易知FG_L底面ABC,BCu底面ABC,

:.BC上FG,XFG(\GH=G,/.4C_L平面G”尸,

，二面角I一的立面角为NG”-,且*埸=看'又84。，

/.tan/Gf+0°)'ta”..iana,…②,

又GE..GH,/.tan伙、tan/,…③,

由①②③得tan谡lan/?tany,又a,£,?©[(),—),)'=1印1m在[0,工)单调递增,

22

.•.碗？7,

故选：A.

B

二.解答题

3.【答案】（1）1；

（2）arcsin—.

4

【解答】解：（1）在三棱锥2-/WC中，因为QO_L底面入AC,所以PO_LAC,

又O为AC边中点，所以△尸AC为等腰三角形，

又A尸=AC=2.所以△/%<?是边长为2的为等边三角形，

:.PO=6三棱锥体积也sc=；SMBc，O=gx^4X6=1,

（2）以。为坐标原点，Ob为丫轴，OC为），轴，OP为7轴，建立空间直角坐标系,

则0（0,0,6），B（6，0,0）,C（0,1,0）,w（半，1,0）,

PM=吟,；,-x/3）,

平面HC的法向量05=（百,0,0）,

设直线PM与平面PAC所成角为0,

3

则直线PW与平面小c所成角的正弦值为sine=iPM°B|=Y-=走,

\PM\\OB\V3X24

所以PM与面PAC所成角大小为arcsin—.

4

4.【答案】（I）证明见解析；（II）包.

14

【解答】证明：（/）由于CO_LC3,CDA.CF,

平面ABCDC平面CD£F=8,C/u平面CD£尸，C3u平面A8CD,

所以为二面角八DC-4的平面角，

则NACfi=60°,CDJ_平面C4/L则S_L「W.

又CF=+1CD-EF）=2瓜CB=C（AB-CD）=2+,

则MC"是等边三角形，则C3_L/«7V,

因为DC_LEC,DCIBC,FCf|fiC=C,尸Cu平面FC8,8Cu平面尸C8,

所以DC_L平面/a,因为MVu平面”B,所以DC_L可V,

又因为QCnC5=C,DCu平面ABC。，C8u平面ABC。，

所以刊7_1平面月成7力，因为AOu平面A4S,故/W_LA。；

解：（H）由于FNJ■平面A皮7）,如图建系：

于是B(0,6,0),A(5,石,0)1(0,0,3),旦1,0,3),。(3,一百,0),则M(3,—,-),

22

BM=(3.--DA=(2.2x/3,0),DE=(-2,G,3),

22

设平面ADE的法向量”=（x,y,z）,

[/?-DA=0[2x+2>/3y=0人.j.,.

则，/，令x=Vr5，则>=-1，z=Vr5,

n-DE=()[-2x+x/3y+3z=0

.•・平面4龙的法向量〃=(x/51,G),

设BM与平面ADE所成角为0,

则加〃=侬辿=侦.

|BM||n|14

5.【答案】（1）证明过程见解答；（2）正.

5

【解答】解：（1）证明：•.底面人ACO,BDu而八BCD,

:.PDIBD,

取中点E,连接。E,

AD=DC=CB=\,AB=2,

「1

/.ZmB=60°,XvAE=-AB=AD=\,

2

：.DE=\,.\DE=-AB,

2

「.MBD为直角三角形,且AB为斜边，

...BDJLAD,

又尸。[]AO=。，H)u面必。，ADu面E4£),

..BDl^PAD,

又以u面以O,

：.BDLPA\

(2)由(1)知，PD,AD,⑺两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐

标系，

BD=SIAB2-AD2=yf3,

则D(0,0,0),A(l,0,0),B(0,V3,0),P(0,0.73),

PD=(0,0,-V3),PA=(1,0,-G),/IB=(-1,G,0),

设平面的的一个法向量为〃=(“z),则r*'-石丁，则可取〃=("口),

n-A8=-x+=0

设叨与平面皿所成的角为，，则sin0=|cos<PD,n>|=|"〃|=—，

\PD\\n\5

13

【解答】解：（1）证明：连接OA,04,依题意，OP,平面A4C,

又。Au平面A8C,OBu平面A4C,则QPJ_CM,OPU）B,

ZPOA=ZPOB=90°,

又PA=PB,OP=OP,则APOAMAPOB,

/.OA=OB，

延长80交AC于点尸，又A8_LAC,则在RtAABF中，O为BF中点,连接尸尸,

在AP8E中，O,E分别为8尸，8。的中点，贝UOE//PP,

•.,OEU平面以C,P/u平面以C,

.•.OE//平面%C;

（2）过点A作AM//OP,以A4,AC,AM分别为x轴，），轴，z轴建立如图所

示的空间直角坐标系，

由于20=3,%=5,由（1）知04=03=4,

又ZA6O=NCBO=30°,则48=46,

...0(262,3),/，(4"0,0),人(0,(),0),E(3"1,2)，

2

又AC=/Wtan600=12,即C(0,12,0),

设平面AEB的一个法向量为〃=(x,y,z),又AB=(4x/3,0,0),AE=(36,1卷),

n-AB=4>/3x=0

则、厂3，则可取〃=(。3,-2),

/?•AE=3J3x+>'+—z=0

、2

设平面AEC的一个法向量为加=（。力,。），又AC=（0.12,0）,AE=（36,1$,

m-AC=\2b=0

则a，贝lj可取〃?=(一6,。,6),

m-A.E=30a+b+—c=()

2

设锐二面角C-AE-/3的平面角为。，则cose=|cos<〃?,〃>|=|mn|=,

|m||n|13

二sin6=Jl-cos%，,即二面角C-AE-A正弦值为□.

1313

7.【答案】（1）夜.

⑵立.

2

【解答】解：（I）由直三棱柱ABC-A罔G的体积为4,可得匕1T依=；匕禺G.AHC=g，

设A到平面A8C的距离为d,由匕we，

-S.„•</=-,/.-X2>/2-6/=-,解得4=应.

33c333

（2）连接将交A超十点石，A4J=A4,.•.四边形A网A为正方形，

AB.又•.•平面4式」平面A网人，平面44CC平面4网4=9，

做!平面\BC,/.AB[±BC,

由直三棱柱A4C—4旦。知_L平面ARC,/.BB.1BC,又44。6片="，

/.8C_L平面ABB.A,/.BCrABt

以8为坐标原点，BC,BA,B片所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直向坐

M=A8,/.BCx42ABx-=2>f2,5L-ABxBC^^=4,解得A8=8C=A4,=2，

22

则8(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),A(0,2,2),。(1,1,1),

则ZM=(0,2,0),80=(1,1,1),4c=(2,0,0),

设平面的一个法向量为〃=(x,y,z),

则卜的=2y=0,令x=],则尸。，z=T,

[n-BD=x+y+z=0

.•・平面A3。的一个法向量为〃=(1,0,-1),

设平面88的一个法向量为加=（〃，b,c）,

m-I3C=2a=()入，,

,令。=],则lhla=0,c=—1

m-BD=a+b+c=()

平面BC/）的一个法向量为〃?=（0,1,-1）,

11

cos<n,m>=—；=；==-

>/2.x/22

二面角A-8D-。的正弦值为

8.【答案】（1）证明见解答；

⑵包.

7

【解答】（1）证明：•.AO=CD,E为AC的中点..•.O£_LAC,

又・AO=C。，ZADB=4DC,BD=BD,：2BD=ACBD,

.•.48=8C,又为AC的中点..•.E8J_4。，又4七「。七=七，BEu平面BED,DEu

平面庞：£）,

「.AC_L平面又4Cu平面A8,二平面庞DJ_平面A8;

（2）解：连接£F,由（1）知4C_L所，.\S^FC=-ACxEFf

故叮最小时，AA”■的面积最小，.•.EF_L8D时，AAFC的面积最小，

又4CJ•平面BED,AOu平面8£D,.•.AC_L4O,5LAC[}EF=E,ACu平面AAC,

Mu平面ART,

AFC,又BOu平面ABD,..平面平面AFC,

过。作CWJ_A/：于点M,则CW_L平面AAO,

故NCFM,即NCFX为直线C/与平面/WO所成的角，

由/W=%>=2,ZACT=60°,知AE4c是2为边长的等边三角形，

故AC=2,由已知可得£>E=1,BE=6又3/)=2,/.BDr=ED2+EB2,

.\ZB£D=90°,所以£)=正,

BD2

Z+Z-4,

在AAC尸中，由余弦定理得COSN4FC=-^4―产=一

2xq37

22

sinZAFC=—

7

故b与平面回。所成的角的正弦值为手.

9.

【解答】解：（1）连接AM,PM,

•.必_L平面ABC,

.•.ZPH4为直线PM与平面A3c所成的角,

在中，-ABLAC./.BC=V32+42=5,

M为BC中点,:.AM=-I3C=-,

22

/.tanNPMA=-,即直线PM与平面ABC所成角为arctan-;

55

(2)由A/E〃平面PM,叱//平面Q4B,,

平面M£F//平面的，•.MEu平面"斯，「.ME〃平面以5,

，以_L平面ABC,ACu平面ABC,

..PALAC,•.AB1AC.PAQAB=A,PA,A8u平面

AC_L平面PAB,AE为直线ME到平面PAB的距离，

例£//平面213,M£u平面A3C,平面^^^^平面^^:回,

:.MEI/AB,M为4c中点，.•.£：为AC中点，/.AE=2,

二直线ME到平面RS的距离为2.

p

10.【答案】(1)证明见解析,

⑵9

(3)叵

-fo"

【解答】解：(1)证明：取的中点G,连接尸G,EG,连接A。交EG于K,

再连接FK,

EK/M.4，且E是例的中点，则K是"＞的中点,

:.FK//ACtEG//AB,

又尸KU平面A3C,4Cu平面A3C,

.•.雁//平面ABC,

同理可得，EG//平面A/3C,

又FKCEG=K,

/.平面EFG//平面ABC,

.•.所//平面A8C,

(2)在直三棱柱ABC-A8c中，ACA.AB,则可建立如图所示的空间直角坐标

系，

又M=A3=AC=2,。为人蜴中点，E为A4,中点，产为。力中点.

故8(2,2,0),£(1,0,0),C(2,0,2),C,(0,0,2),0(0,1,0),

则跖=(-1,-2,0),Cq=(-2,0,0),CD=(-2,1,-2),

设〃=(x,y,z)是平面CCQ的法向量，贝I」有：nCC.=0,n-CD=0,即

-2x=0

令z=1,则x=0,y=2,

-2x+y-2z=0

所以“=(0,2,1),

设直线BE与平面CC.D的夹角为0，则sin0=|cos<BEji>|=|宗%\=1,

(3)v4(0,0,0),则AC=(2,0,2),4。=(0,L0),

设平面AC。的法向量为=,y,z),W*JWm\C=0,/n-D=0,

即12%+2z=0,令x=],贝lj),=0,z=-l,故〃?=(【,0L1),

y=0

设平面\CD与平面CCXD的夹角为/7,

11.【答案】（1）证明见解答;

⑵

3

【解答】解：（/）证明：取中点K,连接NK,MK,

M为A岗的中点.:.B}M//BK,且以M=8K,

四边形3KV出是平行四边形，故

MK仁平面BCCM；u平面BCCM,

.•.A7K〃平面8CC4，

•「K是中点，N是AC的点，

..NK//4C,,.NKU平面8CG4；BCu平面8CCE，

；.NK//平面BCC出,又可长「|"长=",

二.平面NMK//平面BCC因，

又MNu平面NMK,「.M/V//平面；

(〃)•・侧面BCC因为正方形，平面J.平面人网A，平面ACC圈C平面

ABB6=%，

.•.CB_L平面A34A，..CB工AB,又NKHBC,:.AB1NK,

若选①：AB工MN;又MNCNK=N,平面MNK,

又MKu平面MNK,..AB工MK,又MKI网,

：.AB1BB.,:.BC,BA,两两垂直，

若选②：・.C8_L平面A网A，NK/1BC,二NK_L平面八阴入，KMu平面ABB^A,，

;.MK工NK,又BM=MN,NK=-BC,BK=-AB,

22

MiKM三ANKM,/.ZBKM=ZNKM=90°,

,\AB±MKf又AB±,

BC,BA,6片两两垂直，

以3为坐标原点，BC,BA,为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则8(0,0,0),N(1,1,0),M(0,1,2),A(0,2,0),

BM=(0,1,2),BN=(\t1,0),

设平面8M/V的一个法向量为〃=(x,)，，z),

,

.in-BM=y+2z=0八,i-_

贝m叫，令z=1,贝miy=—2,x=2,

n-BN=x+y=0

平面3MV的一个法向量为〃=(2,-2,I),

又痴=(0,2,0),

设直线AB与平面8WV所成角为e,

二.sin0=cos<n,BA>|=------------=/:——=—

|〃|48A|74+4+1x23

二.直线AB与平面8W7V所成角的正弦值为2.

3

三.多选题

12.【答案】ABD

【解答】解：如图，

连接BC，由ABJ/OC,ABI=DC,得四边形。为平行四边形,

可得以〃用。，"G_4。，・・・直线2缶与。4所成的角为90。，故A正确;

A4_L3G,3G±B,C,6c=q,..AG_L平面而CAu平面0AAc,

/.BC,1CA,,即直线BG与04,所成的角为90。，故3正确；

设AGr|BQ=O,连接30,可得C0_L平面8BQQ,即NC；8O为直线8G与平面

8四口。所成的角，

sinNG80=^=g,.•.直线8G与平面8BQ。所成的升为30。，故。错误；

CG_L底面人取刀，.•・/。其为直线g与平面A灰力所成的角为45。，故Q正确.

故选：ABD.

四.填空题

13.【答案】90°.

【解答】解：如图所示，分别取oc、4G的中点。、由正三棱柱的性质可得

AO.BO、(乂小两两垂直，

建立空间直角坐标系.

则A(—,0>0),8(0»g,0),By(0»g,—^―),

G(o,与).

：.AB.=(--,-,—),BC=(0,-1,—),

'2221X2

cos<AB],BC、>=0,

.•・异面直线AB.与BCX所成角的大小为90。.

故答案为：90°.

」区域模拟

一.选择题

1.【答案】B

【解答】解：分别取小，DC的中点O,尸，点A的轨迹是以AF为直径的圆，

以。4,OE为x,y轴，过O与平面垂直的直线为z轴建立如图所示的空间

直角坐标系，

则C(-2,1,0),平面A庾力的其中一个法向量为〃=(0,0,1)，由,设A(cosa,

0,sina),ae[0»2乃)，

则C4,=(cosa+2,-1,sincr),记直线与平面ABCZ)所成角为夕,

Isina|_I1-cos2a

"扁=,4cosa+6Y4cosa+6

3x/5VlO-x/2

令r=cosa+'e[g,手，sin0—

444

所以直线AC与平面A3CO所成角的正弦值最大为注立

故选：13.

2.【答案】B

【解答】解：以AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角

I,0),0(0,1,0),P(0,0,2),

二尸。=(0,1,-2),DC=(1,0,0),PB=(\,0,-2),

设平面尸8的一个法向量为〃=(x,y,z),

ifPD-n=y-2z=0人4.

则mi，，令z=1,得a〃=(0,2,1),

[DC-//=x=0

设直线网与平面PCD折成角为e,

则直线依与平面PCD所成角的正弦值为：

.\PBn\|-2|2

sin。斗cos<PDBD,n>\=-----------=—=-==~.

\PB\\n|V5->/55

故选：B.

3.【答案】B

【解答】解：取4）的中点。，连接P。,

由已知A7%。为等边三角形，所以。O_LA。，

又平面以O_L平面ABCD,平面RV)C平面ABCD=AD,POu平面PAD,

所以POJ_平面八40

设叨=x,则P。=立大，AD=xt又AB=2,

2

所以矩形ABCD的面积SAHCI)=2x,

2

所以四棱锥P-ABCDMVP_Al}CD=xSABCDxPO=^-x2xx^-x=^-x,

所以立］2=凶，所以.4,

33

所以产。=4,

因为平面皿＞_L平面ABC。，CD±ADf

平面小。C平面ABCD=AD,COu平面ABCD,

所以COJ_平面ai£),又。Qu平面RU),

所以cr＞_L尸D,

所以ACDP为直角三角形，斜边为PC,

因为8_L平面/W),

所以尸C与平面PAD所成角的平面角为Z.CPD,

在RtACDP中，CD=AB=2,PD=4,

所以tanNC77：＞=W=LPC与平面PAO所成角的正切值为』.

PD22

故选：13.

4.【答案】B

【解答】解：设正AABC的中心为O,则。4=OB=OC,

又PO_L平面ABC,贝1」出=尸8=尸。，

延长CO交AB于点。，则点。为的中点，

:.PDLAB,CD±ABt

.•.NPDC为二面角P—A8—C的平面角,

由AB=26，得OC=2O£>=2,

显然三棱锥P-ABC为正三棱锥，其外接球的球心M在线段PO上,

•.•三棱锥P-ABC的外接球的表面积为18汗，.♦.该球半径MC=述，

2

由勾股定理得MC?=MO2+OC2,

2

-=W+4,/.MO=—fPO=2y/2,PD=3,

22

:.cosZ.PDC-...=—，

PD3

二面角P-A8-C的平面角的余弦值为;.

5.【答案】D

【解答】解：取钻的中点O,连接OC,易知。4_LOC,过。作。“垂直AC于〃,

连接S”，OS,

SO_L底面ABC，.=/SHO为平面SAC与底面ABC所成的锐二面角的平面角,

可求得0〃=更，so=6

2

tanZ.SHO=‘°=2^=屈.

OH亚

T

故选：D.

6.【答案】C

【解答】解：•.•点4在底面/WC/)的射影为4c中点“，则4〃_L平面/WO

又四边形A38为正方形，

.•・以点H为坐标原点，BA、HC、，用的方向分别为、)，、z轴正方向，建系如图,

,.旦平面448,fiCu平面A3CD,:.BXHLBC,

•AB=2,A4,=272,:.与”7瞬-822=瓜三=币,

.•.A(2,-1,0)>D(2,1,0)、B(0,-1,0)、B1(0,0诉，

二=AO+%=AO+叫=(0,2,0)+(0,1,后)=(0,3诉，

易知平面ABCD的一个法向量为〃=(0,0,1),

/A八.\ARFV7不

・・cos〈AO],〃)=------------=-----=——,

\AD.\-\n\4x14

二直线叫与平面ABCD所成角的正弦值为电.

4

【解答】解：平面a经过点3、。且截正方体所得截面面积最大时，平面a与面

8Q8Q重合，

证明：设平面a与面68所成的二面角为。，二面角C为y,

当06八当时，记平面a截正方体所得截面为面BDEF,

——=——=2,2w(0,\\AB=1,

C\D\C4

则品稗。=g(1+㈤〃2-2/+3=；yja2-i)2+2(1+A)2,

4^AU)=(A2-I)2+2(1+/I)2,

0^/fM)=422a+l)>0,所以〃(团四二川1)=2,(5印9),皿=58/叫料=0,

当。w(0,川时，显然平面a截正方体所得截面面积最大时，

截面为面C.BD.SG初=