2025年高考数学必刷题分类：第40讲、数列的基本知识与概念（学生版）

第40讲数列的基本知识与概念

知识梳理

知识点一、数列的概念

（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个

数列的项．

（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N（或它的有限子

集，，，）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应

{12n}anf(n)

的一列函数值．

（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．

知识点二、数列的分类

（1）按照项数有限和无限分：

递增数列：

an1an

递减数列：aa

（2）按单调性来分：n1n，

常数列：常数

an1anC()

摆动数列

知识点三、数列的两种常用的表示方法

（）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，

1{an}nn

那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

（）递推公式：如果已知数列的第项（或前几项），且从第二项（或某一项）开

2{an}1

始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫

做这个数列的递推公式．

【解题方法总结】

，

S1n1

（1）若数列{a}的前n项和为S，通项公式为a，则a

nnnn，，

SnSn1n2nN

注意：根据求时，不要忽视对的验证．

Snann1

anan1anan1

（2）在数列{a}中，若a最大，则，若a最小，则.

nnn

anan1anan1

必考题型全归纳

题型一：数列的周期性

1

例1．（2024·全国·高三专题练习）在数列an中，已知an0，a11，an2，且a100a96，

an1

则a2022a3（）

51515

A．B．C．5D．

2222

例2．（2024·全国·高三专题练习）在数列an中，a17,a224，对所有的正整数n都有

an1anan2，则a2024（）

A．7B．24C．13D．25

例3．（2024·江西赣州·高三校联考阶段练习）斐波那契数列an可以用如下方法定义：

an2an1an，且a1a21，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列bn，则数

列bn的第100项为（）

A．0B．1C．2D．3

11

变式1．（2024·全国·高三对口高考）已知数列an中，a1,an11(n2)，则a2014（）

2an

1

A．B．1C．2D．1

2

变式2．（2024·全国·高三对口高考）设函数f定义如下，数列xn满足x05，且对任意自

然数均有xn1fxn，则x2005的值为（）

x12345

fx41352

A．1B．2C．4D．5

变式3．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）在数列an中，已知a12,a23，

当n2时，an1是anan1的个位数，则a2023（）

A．4B．3C．2D．1

，，

变式4．（2024·北京通州·统考三模）数列an中，a12a24an1an1an(n2)，则a2023

（）

11

A．B．C．2D．4

42

【解题方法总结】

解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．

题型二：数列的单调性

*

例4．（2024·北京密云·统考三模）设数列an的前n项和为Sn，则“对任意nN，an0”

是“数列Sn为递增数列”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不是充分也不是

必要条件

2*

例5．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an满足a1a0,an1antannN，若

存在实数t，使an单调递增，则a的取值范围是（）

A．0,1B．1,2C．2,3D．3,4

例6．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an满足

a1a2an*2

nnN,bnan1n4n，若数列bn为单调递增数列，则的取

2222n

值范围是（）

3131

A．,B．,C．,D．,

8282

变式5．（2024·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考开学考试）数列an的通项公

1

式为akn2n1，则“k”是“a为递增数列”的（）

n3n

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件D．充要条件

2

变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an的通项公式为ann3n，则“1”是

“数列an为递增数列”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3tn8,n6

变式．（江苏南通高三期末）已知数列是递增数列，且，

72024··{an}ann6

t,n6

则实数t的取值范围是（）

10

A．2,3B．2,3C．,3D．1,3

7

变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an满足an1log2an1，若an是递增数

列，则a1的取值范围是（）

A．0,1B．0,2C．1,0D．1,

变式9．（2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列an为递减数列，其前n

2

项和Snn2nm，则实数m的取值范围是（）．

A．2,B．,2C．2,D．,2

【解题方法总结】

解决数列的单调性问题的3种方法

根据－的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列

作差比较法an＋1anan

a

根据n1或与的大小关系进行判断

作商比较法(an>0an<0)1

an

数形结合法结合相应函数的图象直观判断

题型三：数列的最大（小）项

例7．（2024·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）数列2n1和数列3n2的公共项

an

从小到大构成一个新数列a，数列b满足：bn，则数列b的最大项等于______.

nn2nn

n1

例8．（2024·全国·高三专题练习）记Sn为数列an的前n项和，若an2，则

2

n3nlog2Sn1的最小值为______．

an

例9．（2024·全国·高三专题练习）已知数列a满足a18，aa3n，则的最小值

n1n1nn

为_________

2

变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知正项数列an满足a11，a264，anan2kan1，

若a5是an唯一的最大项，则k的取值范围为______．

2n1,n4,

变式．（高三课时练习）数列的通项公式为若是

112024·anan2a5an

n(a1)n,n5,

中的最大项，则a的取值范围是______．

2*

变式12．（2024·北京·高三北京八中校考阶段练习）数列an中，ann11nnN，则

此数列最大项的值是__________．

2

变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知anntn2022nN,tR，若数列an中

最小项为第3项，则t______．

变式．（全国高三专题练习）已知数列的通项公式为2，则a的

142024··anannn2n

最小值为___________.

【解题方法总结】

求数列的最大项与最小项的常用方法

（1）将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相

应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大（小）

项．

aa

（）通过通项公式研究数列的单调性，利用nn1，确定最大项，利用

2an(n2)

anan1

anan1

，(n2)确定最小项．

anan1

a

（）比较法：若有或时n1，则＞，则数

3an＋1anf(n1)f(n)0an01an＋1an

an

anan

列是递增数列，所以数列的最小项为a1f(1)；若有an＋1anf(n1)f(n)0

an1

或时，则，则数列an是递减数列，所以数列an的最大项为

an01an＋1an

an

．

a1f(1)

题型四：数列中的规律问题

例10．（2024·全国·高三专题练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何

学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示

的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为an，则a7（）

A．110B．128C．144D．89

例11．（2024·云南保山·统考二模）我国南宋数学家杨辉126l年所著的《详解九章算法》一

书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看

做是二项式系数在三角形中的一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数列

2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的第56项为（）

A．11B．12C．13D．14

例12．（2024·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如

n(n1)11

三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为n2n.记第n个k边形数为

222

11

Nn,k(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数：N(n,3)n2n；

22

31

正方形数：N(n,4)n2；五边形数：N(n,5)n2n；六边形数：N(n,6)2n2n，可

22

以推测Nn,k的表达式，由此计算N20,23（）

A．4020B．4010C．4210D．4120

变式15．（2024·全国·高三专题练习）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，

若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，

如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三角形数，把三

角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列an类似地，数1，4，9，16，…叫做

正方形数，则在三角数列an中，第二个正方形数是（）

A．28B．36C．45D．55

变式16．（2024·全国·高三专题练习）早在3000年前，中华民族的祖先就已经开始用数字来

表达这个世界．在《乾坤谱》中，作者对易传“大衍之数五十”进行了一系列推论，用来解释

中国传统文化中的太极衍生原理，如图．该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，

24，32，40，50，60，72，…，若记该数列为an，则a2021a2020（）

A．2018B．2020C．2022D．2024

变式17．（2024·全国·高三专题练习）观察下列各式：

ab1；

a2b23；

a3b34；

a4b47；

a5b511；

L

则a10b10（）

A．28B．76C．123D．10

变式18．（2024·全国·高三专题练习）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，

若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，

如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三角形数，把三

角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列an．类似地，数1，4，9，16，…叫

做正方形数，则在三角数列an中，第二个正方形数是（）

A．36B．25C．49D．64

【解题方法总结】

特殊值法、列举法找规律

题型五：数列的恒成立问题

n

例13．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an的通项公式an10n2，前n项和是Sn，

*

对于nN，都有SnSk，则k＝______．

111

例14．（2024·全国·高三专题练习）已知数列a满足a，若ka恒成

nnnn12nn

立，则实数k的最小值为______．

1

例15．（2024·河南郑州·高三校联考阶段练习）数列an满足anan1(n2，且

n(n1)

**

nN)，a12，对于任意nN有an恒成立，则的取值范围是___________.

2

变式19．（2024·全国·高三专题练习）数列an满足annkn2，若不等式ana4恒成立，

则实数k的取值范围是（）

A．9,8B．9,7C．9,8D．9,7

1

1

变式20．（2024·河北唐山·高三唐山一中校考阶段练习）数列{an}满足a1，an1，

444an

aaa

若不等式23n2n，对任何正整数n恒成立，则实数的最小值为

a1a2an1

7373