2025年高考数学必刷题分类：第54讲、空间向量及其应用（学生版）

第54讲空间向量及其应用

知识梳理

知识点一：空间向量及其加减运算

（1）空间向量

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空

间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a的起点是A，终点是

B，则向量a也可以记作AB，其模记为a或AB．

（2）零向量与单位向量

规定长度为0的向量叫做零向量，记作0．当有向线段的起点A与终点B重合时，AB0．

模为1的向量称为单位向量．

（3）相等向量与相反向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量

或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为a．

（4）空间向量的加法和减法运算

①OCOAOBab，BAOAOBab．如图所示．

②空间向量的加法运算满足交换律及结合律

abba，abcabc

知识点二：空间向量的数乘运算

（1）数乘运算

实数与空间向量a的乘积a称为向量的数乘运算．当0时，a与向量a方向相

同；当0时，向量a与向量a方向相反．a的长度是a的长度的倍．

（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

abab，aa．

（3）共线向量与平行向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或

平行向量，a平行于b，记作a//b．

（4）共线向量定理

对空间中任意两个向量a，bb0，a//b的充要条件是存在实数，使ab．

（5）直线的方向向量

如图8-153所示，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线．对空间任意一点O，

点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OPOAta①，其中向量a叫做直线l的方向

向量，在l上取ABa，则式①可化为OPOAtABOAtOBOA1tOAtOB②

1

①和②都称为空间直线的向量表达式，当t，即点P是线段AB的中点时，

2

1

OPOAOB，此式叫做线段AB的中点公式．

2

（6）共面向量

如图8-154所示，已知平面与向量a，作OAa，如果直线OA平行于平面或在平

面内，则说明向量a平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

a

OA

a

（7）共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有

序实数对x,y，使pxayb．

推论：①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y，使

APxAByAC；或对空间任意一点O，有OPOAxAByAC，该式称为空间平面ABC

的向量表达式．

②已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式

OPxOAyOBzOC（其中xyz1）的点P与点A，B，C共面；反之也成立．

知识点三：空间向量的数量积运算

（1）两向量夹角

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则AOB叫做向

量a，b的夹角，记作a,b，通常规定0a,b，如果a,b，那么向量a，b互

2

相垂直，记作ab．

（2）数量积定义

已知两个非零向量a，b，则abcosa,b叫做a，b的数量积，记作ab，即

2

ababcosa,b．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，aaa．

（3）空间向量的数量积满足的运算律：

abab，abba（交换律）；

abcabac（分配律）．

知识点四：空间向量的坐标运算及应用

（）设，，则；

1aa1,a2,a3bb1,b2,b3aba1b1,a2b2,a3b3

；

aba1b1,a2b2,a3b3

；

aa1,a2,a3

；

aba1b1a2b2a3b3

；

a//bb0a1b1,a2b2,a3b3

．

aba1b1a2b2a3b30

（）设，，则．

2Ax1,y1,z1Bx2,y2,z2ABOBOAx2x1,y2y1,z2z1

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减

起点的坐标．

（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．

2

①已知，，则222；

aa1,a2,a3bb1,b2,b3aaa1a2a3

2

222；

bbb1b2b3

；

aba1b1a2b2a3b3

ababab

cosa,b112233；

222222

a1a2a3b1b2b3

②已知，，则222，

Ax1,y1,z1Bx2,y2,z2ABx1x2y1y2z1z2

或者dA,BAB．其中dA,B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公

式．

ab

（4）向量a在向量b上的投影为acosa,b．

b

知识点五：法向量的求解与简单应用

（1）平面的法向量：

如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作

n，如果n，那么向量n叫做平面的法向量．

几点注意：

①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量n是平面的法

向量，向量m是与平面平行或在平面内，则有mn0．

第一步：写出平面内两个不平行的向，，，，，；

ax1y1z1bx2y2z2

na0xx1yy1zz10

第二步：那么平面法向量nx，y，z，满足．

nb0xx2yy2zz20

（2）判定直线、平面间的位置关系

①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为a，b．

若a∥b，即ab，则a∥b；

若a⊥b，即ab0，则a⊥b．

②直线与平面的位置关系：直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，且l⊥．

若a∥n，即an，则l⊥；

若a⊥n，即an0，则a∥．

（3）平面与平面的位置关系

平面的法向量为，平面的法向量为．

n1n2

若n1∥n2，即n1n2，则∥；若n1⊥n2，即n1n20，则⊥．

知识点六：空间角公式．

（1）异面直线所成角公式：设a，b分别为异面直线l1，l2上的方向向量，为异面

ab

直线所成角的大小，则coscosa,b．

ab

（2）线面角公式：设l为平面的斜线，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为

an

l与所成角的大小，则sincosa,n．

an

（3）二面角公式：

设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或

n1n2n1,n2n1,n2

n1n2

（需要根据具体情况判断相等或互补），其中cos．

n1n2

知识点七：空间中的距离

求解空间中的距离

（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量

的正射影性质直接计算．

如图，设两条异面直线a，b的公垂线的方向向量为n，这时分别在a，b上任取A，B两

n|ABn|

点，则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a，b的距离．则d|AB|即两

|n||n|

异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝

对值与公垂线的方向向量模的比值．

（2）点到平面的距离

A为平面外一点（如图），n为平面的法向量，过A作平面的斜线AB及垂线AH．

|ABn||ABn|

|AH||AB|sin|AB||cosAB,n|=|AB|

ABnn

|ABn|

d

|n|

【解题方法总结】

用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直

的问题，也可以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求

解，且其解法一般都比较简单．

用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些

点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除

要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基

底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底

向量表示，并进行向量运算．

必考题型全归纳

题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算

例1．（2024·全国·高三专题练习）下列命题中是假命题的是（）

A．任意向量与它的相反向量不相等

B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小

C．如果a0，则a0

D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

例2．（2024·全国·高三对口高考）如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1

与B1D1的交点，若AB=a，ADb，AA1c，则BM（）

1111

A．abcB．abc

2222

1111

C．abcD．abc

2222

例3．（2024·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）在三棱锥P-ABC中，点O为ABC

的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若aAF，bCE，cBD，则△OP=

（）

111111212222

A．abcB．abcC．abcD．abc

333333333333

变式1．（2024·高三课时练习）如图.空间四边形OABC中，OAa,OBb,OCc，点M

在OA上，且满足OM2MA，点N为BC的中点，则MN（）

121221

A．abcB．abc

232332

111211

C．abcD．abc

222322

变式2．（2024·湖南长沙·高三校联考期中）如图，M在四面体OABC的棱BC的中点，

1

点N在线段OM上，且MNOM，设，OBb，，则下列向量与AN相等

3OAaOCc

的向量是（）

1111

A．abcB．abc

3333

1111

C．abcD．abc

6666

变式3．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四面体OABC中，G1是ABC的重心，G

是OG1上的一点，且OG2GG1，若OGxOAyOBzOC，则(x,y,z)为（）

111222

A．(,,)B．(,,)

222333

111222

C．(,,)D．(,,)

333999

变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知在空间单位正交基底下，a,b,c是空间的一组

单位正交基底，ab,ab,c是空间的另一组基底.若向量p在基底a,b,c下的坐标为

4,2,3，则向量p在基底ab,ab,c下的坐标为（）

A．4,0,3B．1,2,3C．3,1,3D．2,1,3

【解题方法总结】

空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可

以类比平面向量的运算法则．

题型二：空间共线向量定理的应用

例4．（2024·全国·高三专题练习）若空间中任意四点O，A，B，P满足OPmOAnOB，

其中m＋n＝1，则（）

A．P∈ABB．PAB

C．点P可能在直线AB上D．以∉上都不对

例5．（2024·全国·高三专题练习）已知a2,3,1，则下列向量中与a平行的是（）

A．1,1,1B．4,6,2C．2,3,1D．2,3,1

例6．（2024·全国·高三专题练习）向量a，b分别是直线l1，l2的方向向量，且a1,3,5，

bx,y,2，若l1∥l2，则（）

13

A．x，yB．x3，y15

55

26315

C．x，yD．x，y

5522

变式5．（2024·全国·高三专题练习）若点A(2,5,1)，B(1,4,2)，C(m3,3,n)在同

一条直线上，则mn（）

A．21B．4C．4D．10

变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知a(2x,1,3)，b(1,3,9)，如果a与b为共

线向量，则x（）

111

A．1B．C．D．

236

变式7．（2024·浙江·高三专题练习）若A(m1，n1，3)、B(2m，n，m2n)、C(m3，n3，9)

三点共线，则mn（）．

A．0

B．1

C．2

D．3

【解题方法总结】

空间共线向量定理：a//bb0ab．

利用此定理可解决立体几何中的平行问题．

题型三：空间向量的数量积运算

例7．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知向量a1,1,1，b1,0,2，则下列

正确的是（）

A．ab0,1,3B．a3C．a×b=2

π

D．a,b

4

例8．（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）如图，在平行六面

体ABCDA1B1C1D1中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是60，下列

说法中不正确的是（）

A．AC166

B．AC1BD

C．向量B1C与AA1夹角是60

6

D．向量BD1与AC所成角的余弦值为

3

例9．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）四面体ABCD中，ABBD，CDBD，AB3，

π

BD2，CD4，平面ABD与平面BCD的夹角为，则AC的值可能为（）

3

A．17B．23C．35D．41

变式8．（多选题）（2024·校考模拟预测）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知

ABADAA11，A1ABA1ADBAD60，则（）

A．直线A1C与BD所成的角为90

B．线段A1C的长度为3

C．直线A1C与BB1所成的角为90

6

D．直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为

3

变式9．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）空间直角坐标系中，已知O0,0,0，

OA1,2,1，OB1,2,1，OC2,3,1，则（）

A．AB2

B．ABC是等腰直角三角形

666666

C．与OA平行的单位向量的坐标为,,或,,

636636

242

D．OA在OB方向上的投影向量的坐标为,,

333

变式10．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知空间向量a2,1,3，b4,2,x，

下列说法正确的是（）

10

A．若ab，则x

3

B．若3ab2,1,10，则x1

1

C．若a在b上的投影向量为b，则x4

3

10

D．若a与b夹角为锐角，则x,

3

变式11．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1

中，ADBDAA11，ADBD，A1AB45，A1AD60，则线段BD1的长为.

变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知空间向量a1,1,0，b1,0,2，则a在b方

向上的投影向量为.

变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知MN是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1内

切球的一条直径，则AMAN．

变式14．（2024·全国·高三对口高考）已知向量a1,2,3,b2,4,6,c14，若

abc7，则a,c．

变式15．（2024·上海·高三专题练习）已知空间向量a(1,2,3)，b(2,2,0)，c(1,1,)，

若c(2ab)，则．

变式16．（2024·上海·高三专题练习）已知向量a0,1,0，向量b1,1,0，则a与b的

夹角的大小为.

【解题方法总结】

；

ababcosa,bx1x2y1y2z1z2

2

求模长时，可根据222；

aax1y1z1

ab

求空间向量夹角时，可先求其余弦值cosa,b．要判断空间两向量垂直时，可

ab

以求两向量的数量积是否为0，即ab0ab．

a,b为锐角ab0；a,b为钝角ab0．由此，通常通过计算ab的值来判

断两向量夹角是锐角还是钝角．

题型四：证明三点共线

例10．（2024·全国·高三专题练习）在四面体OABC中，点M，N分别为OA、BC的中点，

1

若OGOAxOByOC，且G、M、N三点共线，则xy．

3

例11．（2024·全国·高三专题练习）已知点A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），

若A，B，C三点共线，则．

例12．（2024·全国·高三专题练习）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，C1C2EC，

A1C3FC．

(1)求证：A、F、E三点共线；

(2)若点G是平行四边形B1BCC1的中心，求证：D、F、G三点共线．

变式17．（2024·全国·高三专题练习）在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，N

在AC上，且AN:NC2:1，E为BM的中点.求证：A1，E，N三点共线.

【解题方法总结】

先构造共起点的向量AB，AC，然后证明存在非零实数，使得ABAC．

题型五：证明多点共面的方法

例13．（2024·全国·高三专题练习）下面关于空间向量的说法正确的是（）

A．若向量a,b平行，则a,b所在直线平行

B．若向量a,b所在直线是异面直线，则a,b不共面

C．若A，B，C，D四点不共面，则向量AB，CD不共面

D．若A，B，C，D四点不共面，则向量AB，AC，AD不共面

例14．（2024·江苏常州·高三校考阶段练习）以下四组向量在同一平面的是（）

A．1,1,0、0,1,1、1,0,1B．3,0,0、1,1,2、2,2,4

C．1,2,3、1,3,2、2,3,1D．1,0,0、0,0,2、0,3,0

例15．（2024·全国·高三对口高考）已知a2,1,3,b1,4,2,c7,5,，若a,b,c

三向量共面，则等于（）

626465

A．B．9C．D．

777

变式18．（2024·江西·校联考二模）在四棱锥PABCD中，棱长为2的侧棱PD垂直底面

边长为2的正方形ABCD，M为棱PD的中点，过直线BM的平面分别与侧棱PA、PC相

交于点E、F，当PEPF时，截面MEBF的面积为（）

A．22B．2C．33D．3

31

变式19．（2024·全国·高三专题练习）O为空间任意一点，若OPOAOBtOC，若

48

A,B,C,P四点共面，则t（）

111

A．1B．C．D．

284

变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三

点均不共线，设P为空间中任意一点，若BD5PA4PBPC，则（）

A．2B．2C．1D．1

变式21．（2024·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）如图所示的木质正四棱锥模型

PE3PF1PG

PABCD，过点A作一个平面分别交PB,PC,PD于点E，F，G，若,，则

PB5PC2PD

的值为（）

1233

A．B．C．D．

4345

变式22．（2024·甘肃平凉·高三统考期中）对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C，

111

有如下关系：OPOAOBOC，则（）

632

A．O,A,B,C四点必共面B．P,A,B,C四点必共面

C．O,P,B,C四点必共面D．O,P,A,B,C五点必共面

变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一

点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）

111

A．OMOAOBOCB．OMOAOBOC

333

11

C．OMOAOBOCD．OM2OAOBOC

23

变式24．（2024·全国·高三专题练习）如图，正四棱锥PABCD的底面边长和高均为2，

E，F分别为PD，PB的中点．

1

(1)若点M是线段PC上的点，且PMPC，判断点M是否在平面AEF内，并证明你的

3

结论；

(2)求直线PB与平面AEF所成角的正弦值．

变式25．（2024·全国·高三专题练习）如图，在几何体ABCDE中，ABC，BCD，CDE

均为边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求证：A，B，

D，E四点共面；

变式26．（2024·全国·高三专题练习）如图，四边形ABEF为正方形，若平面ABCD平

面ABEF，AD∥BC，ADDC，AD2DC2BC.

(1)求二面角A－CF－D的余弦值；

(2)判断点D与平面CEF的位置关系，并说明理由.

变式27．（2024·全国·高三专题练习）如图，在边长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，

点P，Q，R分别在棱AB，B1C1，D1D上，且APB1QD1R1.

（1）求点D到平面PQR的距离；

AN

（2）若平面PQR与线段AC1的交点为N，求的值.

AC1

变式28．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图四棱锥

1

PABCD,ABC90,AD∥BC，且ADABBC2，平面PCD平面ABCD，且

2

△PDC是以DPC为直角的等腰直角三角形，其中E为棱PC的中点，点F在棱PD上，且

PF2FD.

(1)求证：A,B,E,F四点共面；

【解题方法总结】

要证明多点（如A，B，C，D）共面，可使用以下方法解题．

先作出从同一点出发的三个向量（如AB，AC，AD），然后证明存在两个实数x,y，

使得ADxAByAC．

题型六：证明直线和直线平行

例16．（2024·高二课时练习）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD

1

平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DMDB,DADP1,CD2，求证：

4

MN//AP．

例17．（2024·高二课时练习）已知棱长为1的正方体OABC-O1A1B1C1在空间直角坐标系中

的位置如图所示，D,E,F,G分别为棱O1A1,A1B1,BC,OC的中点，求证：DE//GF.

例18．（2024·高二课时练习）如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，

M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE//MN.

变式29．（2024·全国·高三专题练习）在四棱锥PABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，

底面ABCD为梯形．AB//CD，ADDC，且AB1，ADDCDP2，PDC120．若

M是棱PA的中点，则对于棱BC上是否存在一点F，使得MF与PC平行．

【解题方法总结】

将证线线平行转化为证两向量共线．设a,b是两条不重合的直线，它们的方向向量分别

为a,b，则a//babR,0．

题型七：证明直线和平面平行

例19．（2024·全国·高三专题练习）在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于

采光，其中一角如图所示，为多面体ABCDEA1B1C1D1E1，ABAE，AE∥BC，AB∥ED，

∥

AA1底面ABCDE，四边形A1B1C1D1是边长为2的正方形且平行于底面，ABA1B1，D1E，

B1B的中点分别为F，G，ABAE2DE2BC4，AA11．

(1)证明：FG∥平面C1CD；

例20．（2024·广东潮州·高三校考阶段练习）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为

矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点．

(1)证明：PB//平面AEC

例21．（2024·天津滨海新·高三校考期中）如图，AD//BC且AD2BC，ADCD，EG//AD

且EGAD，CD//FG且CD2FG，DG平面ABCD，DADCDG2.

(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN//平面CDE；

变式30．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，

平面PAD平面ABCD，ADMN，AB2，ADAP4，M，N分别是BC，PD的

中点．

(1)求证：MN//平面PAB；

变式31．（2024·陕西汉中·校联考模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD

为正方形，PA平面ABCD，E为PD的中点，PAAB2.

(1)求证：PB//平面AEC；

变式32．（2024·全国·高三对口高考）如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，

ABCD，DAB60，FC平面ABCD，AEBD，CBCDCF.

(1)求二面角DBFC的余弦值；

AP

(2)在线段AB（含端点）上，是否存在一点P，使得FP∥平面AED.若存在，求出的值；

AB

若不存在，请说明理由.

【解题方法总结】

（1）利用共面向量定理．设a,b为平面内不共线的两个向量，证明存在两个实数x,y，

使得lxayb，则l//．

（2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行．

（3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）．

题型八：证明平面与平面平行

例22．（2024·全国·高一专题练习）如图所示，正四棱ABCDA1B1C1D1的底面边长1，侧

棱长4，AA1中点为E，CC1中点为F．求证：平面BDE//平面B1D1F.

例23．（2024·高二课时练习）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰

梯形，AB//CD，AB4，BCCD2，AA12，F是棱AB的中点．求证：平面AA1D1D//

平面FCC1.

例24．（2024·高二课时练习）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，

△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：

平面EFG∥平面PBC．

变式33．（2024·高二课时练习）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1

的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面MNP//平面A1BD.

【解题方法总结】

（1）证明两平面内有两条相交直线分别平行．

（2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）．

题型九：证明直线与直线垂直

例25．（2024·山西太原·高二统考期中）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，

ABAD4,AA15,DABDAA1BAA160.

(1)求AC1的长；

(2)求证：AC1BD.

例26．（2024·北京海淀·高二校考期中）已知三棱锥PABC（如图1）的平面展开图（如

图2）中，四边形ABCD为边长为2的正方形，ABE和△BCF均为正三角形.在三棱锥

PABC中：

(1)求点A到平面BCP的距离；

CM12BN

(2)若点M在棱PC上，满足,,，点N在棱BP上，且BMAN，求的

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