高考物理考前特训：电学计算大题（解析版）

电学计算大题【原卷】

1.（2021•天津高三一模）如图所示，上、下水平放置的两带电金属板相距为2/,

板间有竖直向下的匀强电场距上板3/处有一带电荷量为+，/的小球B,在小球

3上方有一带电荷量为的小球A,两小球的大小不计、质量均为,小用长度

为/的绝缘轻杆相连。已知£=等，现让两小球从静止释放，小球可以通过上板

的小孔进入电场中（空气阻力g不计，重力加速度为g）。求：

（1）5球刚进入电场时速度的大小；

（2）设等二黑，当〃球刚进入电场内，杆对A球作用力为重力的多少倍？方

向指向哪里？

（3）B球是否能碰到下板？如能，求8球刚碰到下板时的速度大小；如不能，

请通过计算说明理由。

A

-6gQ-r-

B

E21

2.（2021•山东枣庄市高三二模）如图所示，在平面直角坐标系入④中，直线A8距

x轴为d,直线距X轴为2d,直线A3下方区域存在沿y轴正方向的匀强电场,

A&C。之间存在垂直于坐标系平面向外的匀强磁场。从r=0时刻,一个质量为“

带电荷量为+q的粒子以初速度%由坐标原点。处，沿x轴正方向射入电场，在AB

上的尸点进入磁场，尸点坐标为（2d,。）.不计粒子受到的重力。求:

（1）电场强度E的大小；

（2）若粒子恰好不从直线C。处离开磁场，则磁感应强度8。的大小;

（3）在第（2）问条件下，粒子经过x轴的时刻。

A-

~5才*

3.（2021•福建福州市高三二模）如图所示，在X。），平面直角坐标系中的第一、二

象限内有一个矩形区域"NQP内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强

磁场，MN在x轴上，MO=ON=3d,MP=NQ=d。在第四象限正方形ON*。内存在

沿+工方向、大小兰笆的匀强电场，沿PM第三象限放置一平面足够大的荧光

m

屏，屏与y轴平行。一个电子A从坐标原点沿+）方向射入磁场，恰好不从PQ边

射出磁场。已知电子的质量为机，电荷量为试求：

（1）电子射入磁场时的速度大小片

（2）电子在电场中运动的时间4；

（3）若另一电子。从X坐标轴上某点J。。）以相同的速度射入磁场。4、C打在

荧光屏上同一点，电子射入磁场时的坐标X。

y

4.（2021•浙江温州市高三二模）如图甲所示，倾角为3伊的光滑斜面固定在粗糙

程度较大的水平地面上，斜面底部MNPQ区域内及PQ右侧区域分布着竖直向上的

匀强磁场，磁感应强度大小为圆边界MN、PQ间的距离为L,为斜面最低

处。将质量为机、电阻为R、边长为L的正方形匀质金属框而〃（表面涂有绝缘

漆）从〃边距MN边界的距离为L处静止释放，当〃边到达PQ处时刚好速度为

零，接着用外力使框做“翻跟头”运动，即框以s边为轴顺时针翻转150。，然后以

外边为轴顺时针翻转⑻。，再以〃边为轴顺时针翻转18。。，…，如此不断重复，

每转到竖直和水平时位置记为I、II、IH、IV、V、VI、…。翻转过程中，金属

框不打滑，并保持角速度大小恒为明空气阻力不计，重力加速度为g,以位置

I作为计时起点即7=。。

（1）求金属框进入mVPQ区域的过程中，流过而边的电量；

（2）写出金属框从位置I到位置H的过程中，〃、〃两点的电势差心随时间变化

的函数式；

（3）求金属框从位置I到位置D的过程中，外力对框做的功；

（4）在图示坐标系内画出金属框从位置I到位置V的过程中，电势差（随时间

①已知喷头单位时间喷出水的体积为0,写出喷头单独存在时，距离喷头为「

处水流速大小vi的表达式；

②如图丙所示，水面下的A点有一大小可以忽略的球形喷头，当喷头单独存在时

可以向空间各方向均匀喷水，单位时间喷出水的体积为0;水面下的6点有一

大小可以忽略的球形吸收器，当吸收器单独存在时可以均匀吸收空间各方向的

水，单位时间吸收水的体积为0。同时开启喷头和吸收器，水的“流速线”的形

状与图乙中电场线相似。若〃间的距离为2处。为A、3连线的中点。喷头

和吸收器对水的作用是独立的，空间水的流速和电场的场强一样都为矢量，遵循

矢量叠加原理，类比图乙中C处电场强度的计算方法，求图丙中。点处水流速

大小也的表达式。

6.(2021•北京海淀区高三一模)电动汽车具有零排放、噪声低、低速阶段提速

快等优点。随着储电技术的不断提高，电池成本的不断下降，电动汽车逐渐普及。

(1)电动机是电动汽车的核心动力部件，其原理可以简化为如图甲所示的装置:

无限长平行光滑金属导轨相距L,导轨平面水平，电源电动势为E,内阻不计。

垂直于导轨放置一根质量为7/1的导体棒MN,导体棒在两导轨之间的电阻为R,

导轨电阻可忽略不计。导轨平面与匀强磁场垂直，磁场的磁感应强度大小为反

导体棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好。闭合开关S,导体棒由静止开

始运动，运动过程中切割磁感线产生动生电动势，该电动势总要削弱电源电动势

的作用，我们把这个电动势称为反电动势£反，此时闭合回路的电流大小可用

/二千来计算。

①在图乙中定性画出导体棒运动的修图像，并通过公式推导分析说明电动汽车

低速比高速行驶阶段提速更快的原因；

②求导体棒从开始运动到稳定的过程中流过的总电荷量q0

（2）电动汽车行驶过程中会受到阻力作用，阻力/与车速u的关系可认为六八2,

其中A为未知常数。某品牌电动汽车的电动机最大输出功率Pm=180kW,最高车

速，m=180km/h,车载电池最大输出电能A=60kW.h。若该车以速度u=60km/h在

平直公路上匀速行驶时，电能转化为机械能的总转化率为90%,求该电动汽车

在此条件下的最大行驶里程So

xMxXXXXX广

S1:xxxxBxX

XXXXXX

£TxXXXXXX

xxxxxxQ-------------------------------A

t

甲乙

7.（2021•天津高三模拟）我国的东方超环（EAST）是研究可控核聚变反应的超

大型科学实验装置。装置中的中性化室将加速到很高能量的离子束变成中性粒子

束，注人到发生聚变反应的等离子体中，将等离子体加热到发生聚变反应所需点

火温度。没有被中性化的高能带电离子对实验装置有很大的破坏作用，因此需要

利用“剩余离子偏转系统”将所有带电离子从粒子束剥离出来。

剩余离子电偏转系统的原理如图所示，让混合粒子束经过偏转电场，未被中性化

的带电离子发生偏转被极板吞噬，中性粒子继续沿原有方向运动被注人到等离子

体中。若粒子束中的带电离子主要由动能为4、淖、：岛的三种正离子组成。

所有离子的电荷量均为小质量均为机，两极板间电压为U,间距为d。

（1）若离子的动能EA由电场加速获得，其初动能为零，求加速电压Uo；

（2）要使三种带电离子都被极板吞噬，求：

a.离子在电场中运动的最长时间

b.偏转极板的最短长度

（3）剩余离子偏转系统还可以利用磁偏转进行带电离子的剥离。如图所示，粒

子束宽度为d,吞噬板MN长度为2d。要使三种能量的离子都能打到吞噬板上,

求磁感应强度大小的取值范围。

混合粒|二二二二：・°•°

子束d........••••

I......

极板tn

混.......।/—中・•••

合二二二二■带电离子—性••••

粒—......■'、r、d........粒吞噬板24•••.

子二二二二........子■■•,

束.......I―.....束・

极板N

8.（2021•北京西城区高三一模）如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度

为B。纸面内有一正方形均匀金属线框Hcd,其边长为L总电阻为A,必边与

磁场边界平行。线框在向右的拉力作用下以速度口匀速进入磁场。从时边刚进

入磁场直至cd边刚要进入磁场的过程中，求:

(1)金属线框中的感应电流/的大小和方向;

(2)金属线框产生的焦耳热Q；

(3)安培力的冲量大小/安。

**次潴微落芯

9.(2021•北京东城区高三一模)如图所示，宽为/的光滑固定导轨与水平面成〃

角，质量为机的金属杆必(电阻不计)水平放置在导轨上，空间存在竖直向上

的匀强磁场，磁感应强度为电源的内阻为，，当变阻器接入电路的阻值为R

时，金属杆恰好能静止在导轨上。重力加速度用g表示。求：

(1)金属杆静止时受到的安培力的大小产安；

(2)电源的电动势E；

(3)若保持其它条件不变，仅改变匀强磁场的方向，求由静止释放的瞬间，金

属杆可能具有的沿导轨向上的最大加速度

10.（2021•广东高三模拟）电视机中的显像管、喷墨打印机等电子仪器都是利用

了粒子在电磁场中的偏转，因此研究粒子在电磁场中的偏转是非常有意义的。如

图所示，在xOy平面坐标系第一、四象限内存在一个圆心为坐标原点的圆环状的

均匀辐向电场，圆环在y轴上的截面长度为R,电场中各点电势方-彳，式中C

为正的已知常量，/为该点到圆心。的距离。在y轴左侧，圆心为JR,0）、半

径为R的虚线圆内分布着方向垂直于圆面向里的匀强磁场，在x=-3K处有一竖

直放置的足够长的荧光屏。今在％=27?处圆弧上的一点放置一个粒子源，能不

断释放初速度为0,质量为m、电荷量为+夕的粒子，粒子穿出磁场后偏转了60°,

不计粒子重力及粒子间相互作用力，不考虑空气阻力。求：

（1）粒子进入磁场时速度大小；

（2）粒子打在荧光屏上的坐标；

（3）磁场的磁感应强度仇。

1L（2021•天津高三模拟）质谱仪是以离子源、质量分析器和离子检测器为核心

的电子仪器。离子源是使试样分子在高真空条件下离子化的装置。电离后的分子

因接受了过多的能量会进一步碎裂成较小质量的多种碎片离子和中性粒子。它们

在加速电场作用下获取具有相同能量的平均动能而进入质量分析器。质量分析器

是将同时进入其中的不同质量的离子，按质荷比£的大小分离的装置。质谱仪的

部分原理图可简化为如图甲所示，离子源（在狭缝上方，图中未画出）产生的带

电离子经狭缝之间的电场加速后，匀速并垂直射入偏转磁场区域，加速电场的电

压随时间变化如图乙所示。离子进入匀强磁场区域后，在洛伦兹力的作用下打到

照相底片上并被接收，形成一细条纹。若从离子源产生的离子初速度为零、电荷

量为+4（夕＞0）、质量为"2,加速电压为4时，离子恰好打在尸点，PN为放置照

相底片的离子检测区域，"为P。的中点。已知==（不计离子的重

力以及离子在电场内加速时电压的变化与加速时间）。求：

（1）加速电压为4时，离子经加速电场加速后的速度匕；

（2）偏转磁场的磁感应强度大小6;

（3）若偏转磁场区域为圆形，且与尸。相切于。点，如图丙所示，其他条件不变,

当加速电压为〃时，要保证离子进入偏转磁场后不能打到PQ边界上（P。足够

长），求磁场区域的半径R应满足的条件。

加速电场

甲乙丙

12.（2021•天津高三模拟）科学仪器常常利用磁场将带电粒子“约束”在一定区域

内，使其不能射出。某同学为探究带电粒子“约束”问题，构想了如图所示的磁场

区域：匀强磁场的磁感应强度大小为仄垂直于纸面，其边界分别是半径为K和

2K的同心圆，。为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，尸为OA的中点。若有一

粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为幺的带负电粒子，粒子速度连续分布，

m

且无相互作用。不计粒子的重力，取§加37。=0.6,cos37°=0.8,求:

(1)粒子源在A点时，被磁场约束的粒子速度的最大值为M；

(2)粒子源在。时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间的最大值小;

(3)粒子源在尸点时，被磁场约束的粒子速度的最大值加P。

13.(2021•湖南邵阳市高三一模)如图所示，竖直平面内直角坐标系x”中，x

轴沿水平方向，J轴沿竖直方向，在x<0的区域内存在垂直坐标平面向外的匀强

磁场，在x>0的区域内存在竖直向下的匀强电场。其他区域无电场和磁场。某

时刻一带正电粒子从A(-L,0)点沿与X轴负方向成族53。角以初速度为斜向

上射出，恰好垂直y轴射出磁场区域，进入电场强度大小为E的匀强电场区域。

(已知带电粒子质量为处所带电荷为均+q,且带电粒子重力不计，不计空气阻

力,sin53°=0.8,53°-0.3TT)求：

(1)磁场的磁感应强度大小修

(2)带电粒子运动至x轴正半轴时的坐标；

(3)带电粒子在磁场和电场中的运动时间。

14.(2021•浙江衢州市高三二模)如图所示，由直三棱柱45G・42/。2构成的

斜面体固定置于水平面上，△4WG为直角三角形，其中G=53。，

4G=4A2=0.4m,厚度不计的矩形荧光屏3必2。2nl竖直安置在斜面底端，

5iOi=0.2m。空间中有一竖直向下的匀强电场，场强E=2xl()5N/C,在A处可发

射水平各方向，速度大小不同的带正电粒子，粒子的电量4=2x10」。。质量

m=5xl017kg,当粒子击中荧光屏时能使其发光。不考虑重力、空气阻力、粒子

间相互作用力及粒子反弹后的运动。

(1)求带电粒子在电场中运动的加速度；

(2)求能使荧光屏发光的粒子的初速度大小范围；

(3)取(2)问中打到荧光屏上初速度最小的粒子，当其运动到离斜面的距离最

远时，突然撤去电场，并加一个垂直于斜面的匀强磁场，要使粒子能击中荧光屏,

求所加磁场的方向及磁感应强度的范围。

4

15.（2021•福建高三二模）如图所示，质量为M的可移动，匕，，型导轨MNPQ位于

光滑水平桌面上，两条平行轨道间的距离为人质量为，〃的金属杆可垂直于导轨

滑动，与轨道之间存在摩擦力，金属杆接入回路中的电阻为R。初始时金属杆位

于图中的虚线处，的左侧有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小为

B。在时，用一平行于导轨的恒力/作用于金属杆，使之由静止开始沿导轨

向左运动。％时刻回路中的电流为3此过程中导轨向左移动的距离为％

（杆与轨道始终保持相对运动，NP尚未进入磁场）。不考虑导轨的电阻与回路的

自感，求：

（1）时刻金属杆的速度大小上

（2）金属杆与，匕”型导轨间的滑动摩擦因数

（3）该过程中金属杆移动的距离3

16.（2021•福建漳州市高三二模）如图，光滑绝缘水平桌面上存在相邻的两个矩

形区域CDMN与NMHG,其中CD=NM=CH=2d、CN=NG=d,两区域分别存在

竖直向下和竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小相等。有一足够长的光滑绝缘

弧形轨道的末端固定在。）边的中点P,轨道末端切线水平。现有一带电量为+",

质量为小的小球从距离桌面高为〃的轨道上静止释放，从尸点垂直CD边进入磁场

区域后，由C点射出。已知小球的电量始终保持不变，重力加速度大小为

（1）求磁感应强度B的大小；

（2）若要使小球能从右边区域的G点射出，求小球释放高度H;

（3）若将右边区域的磁场换为匀强电场，电场方向平行于桌面且与MN夹角为53。

指向边，仍将小球从（2）问中的高度〃释放，最终小球从GH边上距G点《处

离开电场区域，求小球从进入磁场到离开电场所用的总时间建

MH

电学计算大题

1.（2021•天津高三一模）如图所示，上、下水平放置的两带电金属板相距为2/,

板间有竖直向下的匀强电场距上板3/处有一带电荷量为”的小球B,在小球

8上方有一带电荷量为Yg的小球A,两小球的大小不计、质量均为机，用长度

为，的绝缘轻杆相连。已知石=浊，现让两小球从静止释放，小球可以通过上板

q

的小孔进入电场中（空气阻力g不计，重力加速度为g）。求：

（1）5球刚进入电场时速度的大小；

（2）设竿二裁，当5球刚进入电场内，杆对4球作用力为重力的多少倍？方

向指向哪里？

（3）B球是否能碰到下板？如能，求〃球刚碰到下板时的速度大小；如不能，

请通过计算说明理由。

【答案】（1）廊；（2）0.8,沿杆竖直向下；（3）能，廊

【解析】（1）〃球刚进入电场前，两小球与杆整体只受重力作用，做自由落体运

动，有匕2=2g.3/

解得匕=府

（2）当〃球刚进入电场（4球未进入电场），系统受到重力2,咫、电场力Eq,

由牛顿第二定律得

qE+2mg=2ina

设杆对A球作用力为尸，A球受到重力、杆的作用力尸以及3对A的库仑力。

由牛顿第二定律得

F+小耳*

又卓嘲

解得/=0.8叫

方向沿杆竖直向下

（3）设8球碰到下板时速度为以，从最初释放到落到下板，有

2mg（3/+2l）+qE2l-GqEl=；2机片-0

解得片=2g/>0

所以〃球能碰到下板，〃球刚碰到下板时的速度大小匕=国

2.（2021•山东枣庄市高三二模）如图所示，在平面直角坐标系my中，直线A3距

X轴为d,直线。。距工轴为2d,直线A8下方区域存在沿y轴正方向的匀强电场,

AB、8之间存在垂直于坐标系平面向外的匀强磁场。从U0时刻,一个质量为处

带电荷量为+q的粒子以初速度%由坐标原点。处，沿x轴正方向射入电场，在AB

上的尸点进入磁场，尸点坐标为（2d"）,不计粒子受到的重力。求：

（1）电场强度E的大小；

（2）若粒子恰好不从直线CD处离开磁场，则磁感应强度综的大小；

（3）在第（2）问条件下，粒子经过x轴的时刻。

y

-D

A--B

Ox

2

【答案】⑴翳⑵（血-l）m%8+（加+1）4

;（3），吟+，2）=nd（n=1,2,3…）

qd2%

【解析】（1）粒子第一次在电场中运动，所用时间为介，则有

qE=ma

2d=vor,

联立解得

2d

%

（2）设粒子到达AB边界沿电场方向的速度为力，粒子速度V与AB边界的夹角

为仇则

v.

tan0=—

%

COS。

联立解得

0=45°

v=V2v0

粒子在磁场中运动，若恰好不从上边界CD飞出，轨迹如图所示

设粒子在磁场中运动的半径为K,由几何关系可得火-RcosO=d

由牛顿第二定律得外叫=〃匕

IX

联立解得用）=（拉

qd

（3）设粒子在磁场中运动的周期为T,每次在磁场中运动的时间为打，则

丁2兀m

/=-------

qB。

71

联立解得户座普

设粒子第一次到达x轴的时间为则「2…二吗也〃

8+(&+1)〃

故粒子到达x轴的时刻f为，=〃（24+幻=nd(n=1,2,3…)

2%

3.（2021•福建福州市高三二模）如图所示，在X。），平面直角坐标系中的第一、二

象限内有一个矩形区域MNQP内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强

磁场，MN在x轴上，MO=ON=3d,MP=NQ=d。在第四象限正方形ON尸。内存在

沿+x方向、大小后=”的匀强电场，沿PM第三象限放置一平面足够大的荧光

m

屏，屏与y轴平行。一个电子4从坐标原点沿+），方向射入磁场，恰好不从P。边

射出磁场。已知电子的质量为机，电荷量为一。。试求：

（1）电子射入磁场时的速度大小打

（2）电子在电场中运动的时间％；

（3）若另一电子C从x坐标轴上某点*。0）以相同的速度射入磁场。A、C打在

荧光屏上同一点，电子射入磁场时的坐标人

!"xxx

sXXX

”:XXXXXX

Dr

Bed

【答案】（1）

【解析】（1）电子恰好不从PQ边射出磁场，则电子运动轨迹与P。边相切，设电

子运动半径为K,则由几何知识可得R=d

电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得

（2）由几何知识可知，电子进入电场的横坐标为X=M

电子沿竖直向下的方向进入电场，电场力水平向左，电子做类平抛运动。

电子若从。b间离开电场，则电子在电场中运动的时间为折=刎=群

vBe

电子若从。。间离开电场，设电子在电场中运动的时间为由牛顿第二定律得

电子的加速度为

EeB2e2d

“FK

根据运动学规律有x=

解得‘。。=警

由于电子从0。间离开磁场时的水平位移比从DF间离开磁场时的水平位移大，

所以应有出）＞£”，但计算所得秘〈版，不符合实际，由此可以判断电子是从。。

间离开电场的。

即电子在电场运动的时间为”

Be

（3）电子A、。通过x轴后沿y轴方向的分运动是匀速运动，且它们沿y轴方

向的分速度相等，所以两个电子打在荧光屏的同一点，意味着两个电子在第三、

第四象限运动的总时间相等。设电子A在第四象限运动时间为4、在第三象限运

动时间为公电子C在第四象限运动时间为不、在第三象限运动时间为，

电子A离开电场时平行于x轴方向的分速度为w=叫

在第四象限有2d

在第三象限有加二卬2

电子。从X=处进入电场，则有与W*2

离开电场时平行于*轴方向的分速度为V/=码’

在第三象限有3d=*；

由前面分析有t}+t2=/：+t；

由以上各式联立解得飞=?（另一解/=2"不合题意舍去）

电子C射入磁场的位置在X。左侧2d处，所以工=-?

4.（2021,浙江温州市高三二模）如图甲所示，倾角为3（尸的光滑斜面固定在粗糙

程度较大的水平地面上，斜面底部MNPQ区域内及PQ右侧区域分布着竖直向上的

匀强磁场，磁感应强度大小为5,边界MN、PQ间的距离为LPQ为斜面最低

处。将质量为机、电阻为R、边长为L的正方形匀质金属框时〃（表面涂有绝缘

漆）从〃边距MN边界的距离为L处静止释放，当〃边到达PQ处时刚好速度为

零，接着用外力使框做“翻跟头”运动，即框以S边为轴顺时针翻转150。，然后以

她边为轴顺时针翻转⑻。，再以〃边为轴顺时针翻转⑶。，…，如此不断重复，

每转到竖直和水平时位置记为I、II、III、IV、V、VI、…。翻转过程中，金属

框不打滑，并保持角速度大小恒为①，空气阻力不计，重力加速度为g,以位置

I作为计时起点即，=0。

（1）求金属框进入MNPQ区域的过程中，流过而边的电量；

（2）写出金属框从位置I到位置H的过程中，纵〜两点的电势差力，随时间变化

的函数式；

（3）求金属框从位置I到位置H的过程中，外力对框做的功；

（4）在图示坐标系内画出金属框从位置I到位置V的过程中，电势差加随时间

变化的函数图像（标出相应的纵横坐标）。

B

图甲图乙

【答案】（1）（1=噜~、（2）=%（3）W=型竽《-卜的；（4）见

解析

【解析】（1）流过他边的电量

丝x

ez=7xAr=—xAz=

R△lRR

由于△①=8Scos30°=

所以q=T

2A

（2）从位置I到位置n的过程中，，必边以cd边为中心匀速转动，附边上产生

的电动势为

2

e=BLvahcos3=BLxLeoxcos(ot=BL69coscot

其中。为边与竖直方向的夹角；所以。、。两点的电势差为

TT137

Uin=e——e=—BLrcucoscot

如44

（3）从位置i到位置n的过程中，安培力做的功在数量上等于导体产生的热量,

即

2

兀a）B，e

WA=XRx-=

2(04A

由动能定理得W+—弘-%=0

解得卬="嘘2■-；mgL

（4）在位置I及位置V,而边切割磁感线，且速度方向与磁感线垂直，所以电

势差

『'Bibo

在位置记为ii、ni、iv,而边静止不动，cd切割磁感线，所以电势差

Ua；=^BI：co

由于线框匀速转动，所以曲线为正弦曲线，图形如下图所示:

5.（2021•北京海淀区高三一模）类比是一种重要的科学思想方法。在物理学史

上，法拉第通过类比不可压缩流体中的流速线提出用电场线来描述电场。

（1）静电场的分布可以用电场线来形象描述，已知静电力常量为鼠

①真空中有一电荷量为Q的正点电荷，其周围电场的电场线分布如图甲所示。

距离点电荷「处有一点P，请根据库仑定律和电场强度的定义，推导出尸点场强

大小E的表达式；

②如图甲所示，若在4两点放置的是电荷量分别为+矶和・仪的点电荷，已知

A、6间的距离为C为A、5连线的中点，求C点的电场强度的大小£c的

表达式，并根据电场线的分布情况比较切和会的大小关系。

（2）有一足够大的静止水域，在水面下足够深的地方放置一大小可以忽略的球

形喷头，其向各方向均匀喷射水流。稳定后水在空间各处流动速度大小和方向是

不同的，为了形象地描述空间中水的速度的分布，可引入水的“流速线,水不可

压缩，该情景下水的“流速线”的形状与图甲中的电场线相似，箭头方向为速度方

向，“流速线”分布的疏密反映水流速的大小。

①已知喷头单位时间喷出水的体积为小,写出喷头单独存在时，距离喷头为，

处水流速大小V1的表达式；

②如图丙所示，水面下的A点有一大小可以忽略的球形喷头，当喷头单独存在时

可以向空间各方向均匀喷水，单位时间喷出水的体积为。1；水面下的区点有一

大小可以忽略的球形吸收器，当吸收器单独存在时可以均匀吸收空间各方向的

水，单位时间吸收水的体积为。2。同时开启喷头和吸收器，水的“流速线”的形

状与图乙中电场线相似。若4、B间的距离为2%。为A、B连线的中点。喷头

和吸收器对水的作用是独立的，空间水的流速和电场的场强一样都为矢量，遵循

矢量叠加原理，类比图乙中C处电场强度的计算方法，求图丙中。点处水流速

大小吃的表达式。

【答案】⑴①〜*②Q侬；⑵①。广昌；②堂警

【解析】

(1)①在距该正点电荷「处放置试探电荷+0其所受电场力大小为尸乂多

电场强度大小E的定义为E

联立以上两式得E=

r

②根据电场的叠加C点的电场强度的大小E的表达式为金=耳+E?=k0

Ca~

如图所示，过。作A、3连线的中垂线，交某条电场线于。点，由图可知该点

场强屏斜向上方，

因此矶＞«2

（2）①当喷头单独存在时，喷头向空间各方向均匀喷水，设单位时间喷头喷出

水的体积为。，在距喷头，处水流速度大小为也考察极短的一段时间4则

vAr•47/=Q•

因此，在距喷头r处的流速大小为口=冬

4"

②喷头在C点引起的流速为=3

吸收器在。点引起的流速为%=生

4%仁

当喷头和吸收器都存在时，类似于电场的叠加，。点处的实际流速为

,,Qi+Q、

6.（2021•北京海淀区高三一模）电动汽车具有零排放、噪声低、低速阶段提速

快等优点。随着储电技术的不断提高，电池成本的不断下降，电动汽车逐渐普及。

（1）电动机是电动汽车的核心动力部件，其原理可以简化为如图甲所示的装置:

无限长平行光滑金属导轨相距L导轨平面水平，电源电动势为瓦内阻不计。

垂直于导轨放置一根质量为帆的导体棒MN,导体棒在两导轨之间的电阻为R,

导轨电阻可忽略不计。导轨平面与匀强磁场垂直，磁场的磁感应强度大小为员

导体棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好。闭合开关S,导体棒由静止开

始运动，运动过程中切割磁感线产生动生电动势，该电动势总要削弱电源电动势

的作用，我们把这个电动势称为反电动势£反，此时闭合回路的电流大小可用

心与普来计算。

K

①在图乙中定性画出导体棒运动的v-t图像，并通过公式推导分析说明电动汽车

低速比高速行驶阶段提速更快的原因；

②求导体棒从开始运动到稳定的过程中流过的总电荷量qo

（2）电动汽车行驶过程中会受到阻力作用，阻力/与车速u的关系可认为六心2,

其中女为未知常数。某品牌电动汽车的电动机最大输出功率Pm=180kW,最高车

速％n=180km/h,车载电池最大输出电能A=60kW・h。若该车以速度u=60km/h在

平直公路上匀速行驶时，电能转化为机械能的总转化率为90%,求该电动汽车

在此条件下的最大行驶里程s。

XXXXXXX

XXXXXnXX

XXXXXXX

XXXXXXX

xN'xxxxx

【答案】（1）①见解析；见解析；②q=常、（2）486km

15L

【解析】（1）①导体棒运动的羽"图像如右图所示

O

设导体棒运动速度为V,根据反电动势的作用及闭合电路欧姆定律有导体棒中的

电流，=号竺

IX

由牛顿第二定律有BiL=ma

联立解得导体棒运动的加速度。—

mR

由此可知，导体棒做加速度减小的加速运动，直至匀速运动。所以电动汽车在低

速行驶时，电动机产生的反电动势较小，车辆加速度较大，提速更快。

②当。=0时，导体棒达到最大速度小,根据法拉第电磁感应定律有七二%匕.

由动量定理有^BiL\t=mv,n

根据电流的定义有q=工加

联立解得流过导体棒的总电荷量q=*

15L

（2）车匀速运动时，有F=f

由题意，电动机功率有==

力

所以车以速度V行驶时电动机的功率Pv=—Pm

由题意可知90%A="s

v

解得该电动汽车的最大行驶里程s=486km

7.（2021•天津高三模拟）我国的东方超环（EAST）是研究可控核聚变反应的超

大型科学实验装置。装置中的中性化室将加速到很高能量的离子束变成中性粒子

束，注人到发生聚变反应的等离子体中，将等离子体加热到发生聚变反应所需点

火温度。没有被中性化的高能带电离子对实验装置有很大的破坏作用，因此需要

利用“剩余离子偏转系统，,将所有带电离子从粒子束剥离出来。

剩余离子电偏转系统的原理如图所示，让混合粒子束经过偏转电场，未被中性化

的带电离子发生偏转被极板吞噬，中性粒子继续沿原有方向运动被注人到等离子

体中。若粒子束中的带电离子主要由动能为々、*八;七的三种正离子组成。

所有离子的电荷量均为夕，质量均为机，两极板间电压为U,间距为4

(1)若离子的动能EA由电场加速获得，其初动能为零，求加速电压Uo；

(2)要使三种带电离子都被极板吞噬，求：

a.离子在电场中运动的最长时间

b.偏转极板的最短长度

(3)剩余离子偏转系统还可以利用磁偏转进行带电离子的剥离。如图所示，粒

子束宽度为d,吞噬板长度为2d。要使三种能量的离子都能打到吞噬板上，

求磁感应强度大小的取值范围。

混合粒I

子束q

混中

合带电离子性

吞噬板

粒粒2d

子子

束束

【答案】⑴4=今；⑵=产；b,L=2d怜；(3)二师o

q'UqNqUqdqdV3

【解析】(1)根据动能定理根4=4-0

解得U。吟

(2)q所有打在极板上的离子中，运动时间最长的离子偏转距离为由

则最长时间,二傍

瓦要使所有高子都能被极板吞噬，上极板左边缘进入的全能量离子要恰好打到下

极板的右边缘。此过程离子水平飞行的距离即为极板最短长度，根据£=%

(3)由分析可知，粒子束上边缘进入的三分之一能量离子到达吞噬板上边缘时,

半径最小，磁感应强度最大，根据：汰成;q%B,=m*R,=3,可得：

JZA,2

4=2阵

qd\3

粒子束下边缘进入的全能量离子到达吞噬板下边缘时，半径最大，磁感应强度最

小，此时：

片=:〃吃段=d,得：\)2呜

z/<2qu

所以，磁感应强度的取值范围为：二乒<B〈巳阵

qdqdV3

8.(2021•北京西城区高三一模)如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度

为B。纸面内有一正方形均匀金属线框Hcd,其边长为L,总电阻为艮必边与

磁场边界平行。线框在向右的拉力作用下以速度u匀速进入磁场。从时边刚进

入磁场直至cd边刚要进入磁场的过程中，求：

(1)金属线框中的感应电流/的大小和方向；

(2)金属线框产生的焦耳热0;

(3)安培力的冲量大小，安。

【答案】（1）等，电流方向沿adM。（或逆时针方向）；（2）彗上；（3）哗

/〈AA

【解析】（1）"边切割磁感线产生电动势E=BLv

根据闭合电路欧姆定律

K

解得/=萼

根据右手定则可判断，电流方向沿〃dcM（或逆时针方向）

（2）根据焦耳定律Q=〃用

其中t=~

v

代入解得（2=华

IX

（3）劭边受安培力%=B1L

安培力的冲量大小/安

代入解得/安=与

9.（2021•北京东城区高三一模）如图所示，宽为/的光滑固定导轨与水平面成a

角，质量为m的金属杆时（电阻不计）水平放置在导轨上，空间存在竖直向上

的匀强磁场，磁感应强度为瓦电源的内阻为，，当变阻器接入电路的阻值为R

时，金属杆恰好能静止在导轨上。重力加速度用g表示。求：

（1）金属杆静止时受到的安培力的大小厂安；

（2）电源的电动势号

（3）若保持其它条件不变，仅改变匀强磁场的方向，求由静止释放的瞬间，金

属杆可能具有的沿导轨向上的最大加速度以

【答案】(1)F,.=mgtana.(2)(3)〃=glana-gsina

{lli

【解析】（1）由题意可知，金属杆所受安培力的方向水平向右，因为金属杆静止,

所以合力为零，得到

F,£=mgtana

（2）因为G=〃B

且丁上

4R+r

得七=稣畛（R+r）

（3）仅改变匀强磁场的方向时安培力大小不变，因此当安培力沿导轨向上的分

量最大，即安培力沿导轨向上时，金属杆具有沿导轨向上的最大加速度，由

sina-ma

得最大加速度a=gtana-gsina

10.（2021•广东高三模拟）电视机中的显像管、喷墨打印机等电子仪器都是利用

了粒子在电磁场中的偏转，因此研究粒子在电磁场中的偏转是非常有意义的。如

图所示，在xOy平面坐标系第一、四象限内存在一个圆心为坐标原点的圆环状的

均匀辐向电场，圆环在y轴上的截面长度为电场中各点电势方-彳，式中C

为正的已知常量，/为该点到圆心。的距离。在y轴左侧，圆心为（-R,。）、半

径为R的虚线圆内分布着方向垂直于圆面向里的匀强磁场，在x=-3R处有一竖

直放置的足够长的荧光屏。今在x=2A处圆弧上的一点放置一个粒子源，能不

断释放初速度为0,质量为m、电荷量为+g的粒子，粒子穿出磁场后偏转了60。,

不计粒子重力及粒子间相互作用力，不考虑空气阻力。求：

(1)粒子进入磁场时速度大小；

(2)粒子打在荧光屏上的坐标；

(3)磁场的磁感应强度Bo.

【答案】(1)吁詹；(2)(―3A,-273/?);(3)B『笥常

【解析】⑴辐向电场的电势差为。=嚏-(专=看

Z/<KL1\

粒子在电场中的加速过程，根据动能定理有

解得速率「席

(2)画出粒子运动轨迹如图所示，则Na=60。，由几何关系可知，打到荧光屏上

的竖直高度为

y=2/?tan600=2>/3/?

因此粒子打在荧光屏上的坐标为(-3K,—2&R)

(3)粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径—=—^=6火

tan30°

由刎=叱

r

解得%=噂^

1L(2021•天津高三模拟)质谱仪是以离子源、质量分析器和离子检测器为核心

的电子仪器。离子源是使试样分子在高真空条件下离子化的装置。电离后的分子

因接受了过多的能量会进一步碎裂成较小质量的多种碎片离子和中性粒子。它们

在加速电场作用下获取具有相同能量的平均动能而进入质量分析器。质量分析器

是将同时进入其中的不同质量的离子，按质荷比亍的大小分离的装置。质谱仪的

部分原理图可简化为如图甲所示，离子源(在狭缝上方，图中未画出)产生的带

电离子经狭缝之间的电场加速后，匀速并垂直射入偏转磁场区域，加速电场的电

压随时间变化如图乙所示。离子进入匀强磁场区域后，在洛伦兹力的作用下打到

照相底片上并被接收，形成一细条纹。若从离子源产生的离子初速度为零、电荷

量为+式4＞。)、质量为山，加速电压为小时，离子恰好打在P点，PN为放置照

相底片的离子检测区域，M为。。的中点。已知加==(不计离子的重

力以及离子在电场内加速时电压的变化与加速时间)。求：

(1)加速电压为4时，离子经加速电场加速后的速度叫；

(2)偏转磁场的磁感应强度大小研

(3)若偏转磁场区域为圆形，且与PQ相切于。点，如图丙所示，其他条件不变,

当加速电压为4时，要保证离子进入偏转磁场后不能打到边界上(PQ足够

长)，求磁场区域的半径R应满足的条件。

加速电场

【答案】（1）恃;⑵（3）7

【解析】（1）加速电压为U。时，对离子经加速电场加速过程应用动能定理有

rI1，

qUQ=-mv；

解得％=同£

Vm

（2）由题意可知，加速电压为4时，离子在偏转磁场中做匀速圆周运动的轨迹

半径为r=心

在偏转磁场中，离子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有的/:加或

r

解得=评署♦厚

（3）离子不能打到PQ边界，则磁场区域的半径应小于等于离子在偏转磁场中做

匀速圆周运动的轨迹半径，又当加速电压为4时，离子在磁场中的轨迹半径为L,

根据以上分析可知，磁场区域的半径应满足

12.（2021•天津高三模拟）科学仪器常常利用磁场将带电粒子"约束”在一定区域

内，使其不能射出。某同学为探究带电粒子“约束”问题，构想了如图所示的磁场

区域：匀强磁场的磁感应强度大小为仄垂直于纸面，其边界分别是半径为A和

2K的同心圆，。为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一

粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为g的带负电粒子，粒子速度连续分布,

m

且无相互作用。不计粒子的重力，取§加37。=06cos37°=0.8,求：

（1）粒子源在A点时，被磁场约束的粒子速度的最大值

（2）粒子源在。时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间的最大值之；

（3）粒子源在尸点时，被磁场约束的粒子速度的最大值加?。

【答案】（1）竿；（2）舞；（3）返

2rnm

【解析】（1）如图1所示，若粒子源在A点时，被磁场约束的粒子在磁场中最大

运动半径为

由运动半径*二薪

解得:、=等

2ni

(2)如图2所示，当粒子源在。时，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相

切时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间为最大值，设粒子运动半径为，0。在

口OAC中，OA2+AC2=OC2

'___••一

(图2)

2

即R+^=(2R-r(y

解得

由几何知识求得NACO=106。，故被磁场约束的粒子每次经过磁场时间的最大值

为

(360°—106°)丁2542万川127乃川

"L3600-360qB~90qB

(3)如图3所示，当粒子源在P点时，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界

相切时，被磁场约束的粒子的半径最大，速度为最大值，设粒子运动半径为。

在AOGE中，由几何知识得OG2+GE2=OE2,OG釜R,EG=rP-^R9OE=2R-rP

求得rp=R

由运动半径

qB

解得：3幽

m

13.(2021•湖南邵阳市高三一模)如图所示，竖直平面内直角坐标系my中，x

轴沿水平方向，J轴沿竖直方向，在xVO的区域内存在垂直坐标平面向外的匀强

磁场，在x>0的区域内存在竖直向下的匀强电场。其他区域无电场和磁场。某

时刻一带正电粒子从A(-L,0)点沿与x轴负方向成，=53。角以初速度为斜向

上射出，恰好垂直y轴射出磁场区域，进入电场强度大小为£的匀强电场区域。

(已知带电粒子质量为处所带电荷为均+/且带电粒子重力不计，不计空气阻

力，sin53°=0.8,530ko・3加)求:

(1)磁场的磁感应强度大小修

(2)带电粒子运动至*轴正半轴时的坐标;

(3)带电粒子在磁场和电场中的运动时间。

【解析】(1)由小球在磁场中，小球在磁场中做匀速圆周运动有/。8

A

分析可知小球的运动半径口=刍=江

sin34

联立解得八鬻

⑵小球出磁场区域后在电场力作用下第一象限内做类平抛运动，如图

根据平抛运动规律，有

yf彳

qE=ma

几何关系可知

y=R4———=2L

land

联立解得

即小球运动至X轴正半轴时的坐标为(2%詈，0)。

VEq

(3)带电粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为0=127°,约为V7万

运动周期为了=乎

运动时间为

17CL

=----

~8%

则运动的总时间为，=2榨+答

14.(2021•浙江衢州市高三二模)如图所示，由直三棱柱45G・42/。2构成的

斜面体固定置于水平面上，△AMiG为直角三角形，其中a=53。，

4^1=4142=0.401,厚度不计的矩形荧光屏於&。22竖直安置在斜面底端，

&Dk0.2m。空间中有一竖直向下的匀强电场，场强E=2X1()5N/C,在A处可发

射水平各方向，速度大小不同的带正电粒子，粒子的电量产2x10“。。质量

m=5xl0»7kg,当粒子击中荧光屏时能使其发光。不考虑重力、空气阻力、粒子

间相互作用力及粒子反弹后的运动。

(1)求带电粒子在电场中运动的加速度；

(2)求能使荧光屏发光的粒子的初速度大小范围；

(3)取(2)问中打到荧光屏上初速度最小的粒子，当其运动到离斜面的距离最

远时，突然撤去电场，并加一个垂直于斜面的匀强磁场，要使粒子能击中荧光屏,

求所加磁场的方向及磁感应强度的范围。

4

H2