高中数学函数知识点

高中数学(文科)知识点

整理：袁小林

一'函数

1、函数的单调性

(1)定义：对于函数f(x)的某个区间D上的任意两个自变量的值XI,X2,

①若X1<X2，都有f(Xl)<f(X2),则f(x)在这个区间上是增函数；

②若X1<X2,都有f(Xl)>f(X2),则f(X)在这个区间上是减函数

等价定义

对于V%,％e0大2那么

(1)(菁—%)"(%)—/(无2)]>0O"f2)〉0=/(x)在卜用上是增函数；

⑵(%―—/(冬)]<00也匕，^<0=/0)在上是减函数.

Xj-X2

对于函数单调性的理解从三个方面入手：从图象上看、从X与y的关系看、数学定义上看

(2)判断函数的单调性的方法及其步骤

①定义法步骤：设值一作差一化简一差与0比较大小一下结论

②图像法先画出函数图像再观察上升或下降如：y=x+-(k>0)

x

③X与y的变化关系(xTd为增)(MyJ为减)

④导数法设函数y=/(x)在某个区间内可导，若/'(x)>0,则为增函数;

若则/(x)为减函数.

(3)注意点：在描述函数单调性时，不能简单地说函数是增还是减，一定要连同注明

其单调区间。比如，y=,是减函数(表述错误)

X

(4)若y=/(x)在区间D上为增函数，则称y=-f(x)在区间D上为

若y=/(x)在区间D上为减函数，则称y=-/(x)在区间D上为

(5).若丁=/(x),y=g(x)在区间D上为增函数则y=/(x)+g(x)在区间D上为.

若丁=/(%)，y=g(x)在区间D上为减函数则y=/(%)+g(x)在区间D上为.

简言之：(1)增函数+增函数=增函数；(2)、减函数+减函数=减函数;

(3)、增函数一减函数=增函数；(4)、减函数一增函数=减函数;

(6)复合函数的单调性：“同增异减”(复习时再细讲)

(7)常见函数的单调性(要求会画函数图，从图像上来理解并记忆)

一次函数〉=丘+》二次函数y=ar2+foc+c指数函数〉=优

对数函数y=logaX幕函数y=x"(n=-l』,2,3)勾型函数、=尤+，

X

(8)几个常见的抽象函数方程

(1)若/(x+y)=/(x)+/(y)则猜想f(x)为正比例函数f{x)=cx.

⑵若/(x+y)=/(x)"(y)则猜想f(x)为指数函数/(x)=4，

⑶若/(『y)=/(x)+/(y)则猜想f(X)为对数函数/(x)=log。X,

(4)若/Oy)=/(x)"(y)则猜想f(x)为基函数/(x)=x°,

2函数的奇偶性

(1)定义:

偶函数：对于定义域内任意的X,都有/(—x)=/(x),则/(%)是偶函数;

奇函数：对于定义域内任意的X,都有/(—%)=—/(X),则/(X)是奇函数。

(2)判断函数奇偶性的步骤

①定义域关于原点对称

②判断了(—x)与/(x)的关系

若/(-%)=/(%)则函数y=/(%)为偶函数

若/(-%)=-/(%)则函数y=/(%)为奇函数

(3)奇函数的性质

①奇函数定义域关于原点对称，换言之：若定义域为[a,b],贝。a+b=0

②奇函数的图像关于原点对称

③y=/(x)在％=0有意义，贝4/(0)=

④奇函数在其关于原点对称的区间上单调性

⑤若函数图象上有一点P(a,b)则必有点Q(-a,-b)

换言之：若/(a)=■则必有f(-d)=-b

(4)偶函数的性质

①偶函数定义域关于原点对称，换言之：若定义域为[a,b],则a+b=O

②偶函数的图像关于y轴对称

③偶函数在其关于原点对称的区间上单调性

④若函数图象上有一点P(a,b)则必有点Q(-a,b)

换言之：若/(a)=b则必有/'(—a)=b

(5)常见的奇偶函数

忘a*+1„x+1„„

@y=~~-，②y=logfl——③y=x,®y=sinx@y=cosx

a-1x-1

…-2x,(x>0)ax+bx

⑥y=〈,®y=x+-@y=

-2x-x2,(x<0)xax-bx

(6)几个结论:

①一次函数y=左x+)为奇函数ob=0

②二次函数y=ax2+/?x+c为偶函数ob=0

3、函数的周期性

⑴定义:对于定义域内的任意X,都有/(x+T)=/(x),则T为y=/(x)的周期(TWO)

(2)结论对于定义域内的任意x,都有

①f{x+2a)=f{x},贝112a为y=/(x)的周期

②f{x+a)=f(x-a),贝!J

③于(x+a)=-f(x),贝！j

④f(x+a)=l/f(x),则

4、函数的对称性

1.对于定义域内的任意x,都有/(a+x)=/(a-%),则直线x=a为y=/(x)的对称

轴特别的。=0时,=70)为偶函数

5.分数指数幕与根式的性质：

(1)6=值

--11

(2)an-——=.—

(3)

当〃为奇数时，疗=a；当〃为偶数时，=\a\=\a，a~0

(4)

[-a,a<0

6指数式与对数式的互化式：ab=Nolog.N=b(a>0,awl,N>0).

指数性质：

⑴、a-p=—；(2)、«°=1(a20)；⑶、am-an=am+n

ap

(4)、amIa"=a""；(5)、(6)(")'"=a"7r；

对数性质：

M

⑴、logaM+logaN=loga(MN)；(2)、logflM-logflN=logfl—；

(3)、logbm^m-logb；(4)、logbn=—•log，；(5)、log1=0

aaamfl

(6)、logaa=1⑺、4=b

指数函数、对数函数的图象和性质

x

指数函数y=a(a>0且中1)对数函数y=logax(a>0且存1)

图a>l0<a<la>l0<a<l

象

定义域

值域

过定点过点()过点()

单调性

特别说明:

⑴、log。x>0oa,xe(0,1)或a,xe(l,+oo)

⑵、1080%<004^(0,1)贝卜6(1,+(»)或ae(1,+oo)贝ke(0,1)

7对数的换底公式：log,,N=一log^^N

a

yyi

m

推论：©log.b=-loSab

n

③.logflZ?-logftc=logflc,

8.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有

y=N(l+p-

9.零点与根的关系

零点：对于函数/(x),我们把使/(x)=0的实数叫做函数y=/(x)的零点

零点定理：如果函数y=/(x)在区间口，切上的图像是连续的，并且有/(。)"(6)<0,

那么函数y=/(x)在区间[a,切内有零点。即存在cw(a,6),使得/(c)=。，这个c

也是方程/(x)=0的根。

关系：方程/(x)=0的根。函数y=/(x)有零点oy=/(x)图像与x轴有交点

10.函数图象

1.水平平移(特别强调:如何平移要看x如何变，

(1)y=/(x)------------------------y=f(x-a)

(2)y=/(x)----------------------y=f(x+a)

2竖直平移：

⑴y=/(x)-----------------------y=f(x)+a

(2)y=/(x)-----------------------------^y=f(x)-a

3.对称变换：(先了解点有线的对称关系)

点P(a,b)关于x轴对称的点Q坐标为

点P(a,b)关于y轴对称的点Q坐标为

点P(a,b)关于原点对称的点Q坐标为

点P(a,b)关于直线y=x对称的点Q坐标为

点P(a,b)关于y=-x对称的点Q坐标为

(1)函数y=/(—无)的图像与函数y=/(x)的图像关于轴对称；

(2)函数y=—/(x)的图像与函数y=/(x)的图像关于轴对称；

(3)函数y=—/(—x)的图像与函数y=/(无)的图像关于对称；

4.翻折变换：(1)函数y=|/(x)|的图像可以将函数y=/(x)的图像的x轴下方部分沿x

轴翻折到X轴上方，去掉原X轴下方部分，并保留y=/(x)的X轴上

方部分即可得到；

(2)函数y=/(|x|)的图像可以将函数y=/(%)的图像右边沿y轴翻折到

y轴左边替代原y轴左边部分并保留y=/(x)在y轴右边部分即可得

至1].

2

如：画、=沙"，y=|loga,y=log“W，y=\x-2x-3|,)=卜亩％|的图像

34.不等式的性质

(1)a>b^>a+c>b-\-c

(2)a>b,c>d^a+c>b+d(同向不等式相加不等号不变)

入、a>b,c>60ac>bc

(3)

a>b,c<0=>ac<bc

(4)a>b>0,c>d>O^ac>bd

(5)a>b>Qna">b哺》嘱

(6)a>b>()——<一,b>a>b—y——<—a>0>/7———>一

ababab

(7)|x|<a(a>0)<^>—a<x<a,\x\>ax<—a^x:>a

a<\j^<ba<x<b或-b<x<-tz(a>0)

35.均值不等式及相关结论

12+

(1)a+b>14aba+b>2at{afb&R)>ab

2

(2)^±^>(£1±)>^(0,beR+)当且仅当a=b时等号成立。

(3)a2+b2+c2>ab+be+ca(a,beR)当且仅当a=b=c时取等号。

分式不等式的解法

>0o/(%)-g(x)>0忠之。。尸"叱°

g(%)g(%)U(x)w0

38.高次不等式解法一一用“标根穿轴法”“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

等差数列等比数列

定义

{a}^jA-Pa-a=d（常数）

nn+1na}为6•Po=如常数）

an

通项公n—\n—k

%=%+（n-l）d=Qk+（n-k）d=d〃+Qi-da、a

式n=aq=kQ

求和公

四丁）利+硬F1