高中数学苏教版必修2讲义第二章2．3空间直角坐标系

(2.3空间直育生标系

第1课时空间直角坐标系

预

习

导入门答辩——辨析问题解疑惑

引

区新知自解——自读教材找关键

自主学习梳理主干2izhuK.ueK.ishulizhugan

〃〃//N口各界'〃〃/

(1)如图所示，数轴上两点A、B；

.4一..p

-6i23&

(2)如图在平面直角坐标系中，尸、。两点的位置_________

y

nb__..p

\oax

4---------m

Q

(3)下图是一个房间的示意图，我们如何表示板凳和气球的位置?

问题1：上述(1)中如何确定A、3两点的位置？

提示：利用A、8两点的坐标3和一2.

问题2：上述(2)中如何确定尸、。两点的位置？

提示：利用P、。两点的坐标(°,6)和(机，ri).

问题3：对于上述(3)中，空间中如何表示板凳和气球的位置？

提示：可借助于平面坐标系的思想建立空间直南坐标系，如图所示.

//////6解，//〃

1.空间直角坐标系及相关概念

(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间

直角坐标系O-xyz.

(2)相关概念：点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.通过每两条坐标轴的平面叫做坐标

平面，分别称为尤Oy平面、yOz平面、zOx平面.

2.右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向迸t的正方向，若中指指向z轴的正

方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

3.空间直角坐标系中点的坐标

空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角

坐标系中的坐标，记作y,z).其中工叫点M的横坐标，上叫点M的纵坐标，工叫点加的竖坐标.

［归纳•升华•领悟］------

1.课本中的空间直角坐标系是右手直角坐标系，即伸出右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的

正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系.

2.将空间直角坐标系画在纸上时

(l)x轴与〉轴成135°(或45°),x轴与z轴成135°(或45°).

(2)y轴垂直于z轴、y轴和z轴的单位长相等，x轴上的单位长则等于y轴单位长的;.

课

堂

突破考点总结规律

互

II动

高考为标提炼技法

把握热点考向贵在学有所悟区

考点1■已知点的位置写出它的坐标

［例1］在正方体ABCD-AECTy中，E,尸分别是2夕，D'B'的中点，棱长为1,求E,尸点的坐标.

［思路点拨］一般找出要求的点在xOy面上射影的坐标，再找该点与射影间的距离以确定竖坐标.

［精解详析］建立如图空间直角坐标系，

E点在屹v面上的射影为B,B(l,1,0),竖坐标为J

.,.£(1,1,I).

厂在面上的射影为2D的中点G,竖坐标为1,

［一点通］已知点M的位置，求其坐标的方法：过M作垂直于平面xOy,垂足为跖，求出必

的X坐标和y坐标，再由射线M\M的指向和线段M\M的长度定z坐标.

〃〃,履俶杂钝〃

1.在空间直角坐标系中，点尸的坐标为(1,黄，5)，过点P作;yOz平面的垂线PQ,则垂足。的坐

标是•

解析：yOz平面上点的横坐标为0,故。点坐标是(0,巾,布).

答案：(0,.)

2.已知正方体ABCD-A1BC1A的棱长为2也，点QO分别为两底面的中心，将此正方体放到如图所

示的空间直角坐标系中，试写出这个正方体各顶点的坐标.

解：由已知，得|0*=2,|。。1|=2限,

所以点A(2,0,0),BQ,2,0),C(-2,0,0),D(Q,-2,0),4(2,0,2g,Bi(0,2,2柩,Ci(-

2,0,2例,Di(0,-2,2^2).

3.如图，在三棱柱ABC-AiBCi中，侧棱原底面ABC,所有的棱长都是1,建立适当的坐标系，

并写出各点的坐标.

解：取AC的中点。和4G的中点Q,可得OiO_L平面ABC,BO-LAC,所以QO_LAC,

OiO±BO,分别以OB,OC,OOi所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

•••三棱柱各棱长均为1,OA=OC=01Cl=OlAi=2,OB=^~,

,：A,B,C均在坐标轴上，

；.A(0,-1,0),B停,0,Oj,《0,0

点Ai与C在yOz平面内,

点Bi在面内射影为B,

各点的坐标为A(0,

,2-1)

空间中点的对称问题

［例2］求点尸(1,2,3)关于坐标平面尤Oy的对称点的坐标.

［思路点拨］给出点的坐标，求其关于某平面的对称点的坐标，可以找到对称点与尸点在各轴上的射

影的关系，通过这种关系求对称点的坐标.

［精解详析］设点P关于坐标平面xOy的对称点为P',

连结PP交坐标平面xOy于Q,

则PP垂直于坐标平面xOy,且PQ=P'Q,

：.P'在x轴、y轴上的射影分别与尸在x轴、y轴上的射影重合，P在z轴上的射影与尸在z轴上

的射影关于原点对称，•••P'与尸的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，

...点P(l,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(1,2,-3).

［一点通］关于坐标轴和坐标平面的对称，其口诀为“关于谁对称，谁不变，其余量相反”.

4.在空间直角坐标系中，点尸(一2,4,4)关于x轴的对称点的坐标是.

解析：点尸关于x轴对称，x坐标不变，其他变为相反数，故点P关于x轴的对称点的坐标为(一2,

—4,-4).

答案：(一2,-4,—4)

5.在空间直角坐标系中，点尸(3,1,5)关于yOz平面对称的点的坐标为.

解析：由于点关于yOz平面对称，故其纵坐标、竖坐标不变，横坐标互为相反数，即对称点坐标是(一

3,1,5).

答案：(一3,1,5)

6.在空间直角坐标系中，点/(—2,4,—3)在尤Oz平面上的射影(正投影)为则M关于原点的对

称点是.

解析：点M在xOz平面上的射影Af(—2,0,-3),则政关于原点的对称点坐标是(2,0,3).

答案：(2,0,3)

［方法・规律•小结］

1.求空间直角坐标系中的点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的坐

标.

2.空间直角坐标系的建立要选取好原点，以各点的坐标比较好求为原则，另外要建立右手直角坐标

系.

3.关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点：

训

练

达标练一能力练

提II

能学业水平小测，让学课下能力提升，提速

区生趁热打铁消化所学,提能,每课一检测，步

既练速度又练准度步为营步步赢

分层练习固本提能fenccnglian^igubentineng

课下能力提升(二十五)

1.点P(—1,0,4)位于平面内.

解析：点P(—1,0,4)的y坐标为0,...点P(-l,0,4)在xOz平面内.

答案：xOz

2.点P(l,2,一1)在yOz平面内的垂足为2(x,»z),则x+y+z=.

解析：点尸(1,2,一1)在yOz平面内的垂足2(0,2,-1),故x+y+z=L

答案：1

3.在空间直角坐标系中，点/(—2,1,0)关于原点的对称点AT的坐标是.

解析：点M和Af的中点是原点，所以点AT的坐标是(2,-1,0).

答案：(2,-1,0)

4.已知点P在x轴正半轴上，OP'=2,PP'在xOz平面上，且垂直于x轴，PP'=1,则点P和尸

的坐标分别为,.

解析：由于P在x轴的正半轴上，故点P的坐标为(2,0,0),又PP在xOz平面上，且垂直于x轴，

故P点坐标为(2,0,±1).

答案：(2,0,0)(2,0,±1)

5.正方体A3CD-A®。。的棱长为1,且|8尸|=(•|2»|,建立如图所示的空间直角坐标系，则尸点

的坐标为.

解析：如图所示，过P分别作平面xOy和z轴的垂线，垂足分别为瓦H,过E分别作x轴和y轴的

垂线，垂足分别为尸，G,

由于|8尸|=；|3。'|,

所以|OH|=；|OZX|=；,

（221、

所以尸点的坐标为（J,-j）-

221

答案:3'3'3

6.如图，在长方体OA2C-0A0C中，OA=1,0C=3,OD'=2,点E在线段AO的延长线上，且

O£=|,写出"，C,E的坐标.

解：点C在y轴上，尤坐标，z坐标均为0,且OC=3,

故点C的坐标为（0,3,0）.

因为垂直于xOy平面，垂足为3,

所以点2'与8的x坐标和y坐标都相同，丸BB'=OD'=2,且点方在尤Oy平面的上方，

所以点以的坐标为（1,3,2）.

点E在x轴负半轴上，且OE=g,

所以点E1的坐标为（一/0,0）.

7.如图所示，四棱锥P-ABCO的底面ABC。是边长为1的菱形，/BCD=60°,E是CO的中点,

底面ABC。，B4=2.试建立适当的空间直角坐标系，求出A,B,C,D,P,E的坐标.

解：如图所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，A尸所在直线为z轴，与过点A与AB垂直的直

线AG所在直线为y轴，建立空间直角坐标系.

，吗,坐。）/（。，。，2）,

8.如图所示，AF,OE分别是圆O,圆Q的直径，AO与两圆所在的平面均垂直，AD=8,BC是圆

。的直径，AB=AC=6,OE//AD,试建立适当的空间直角坐标系，求出点A,B,C,D,E,尸的坐标.

解：因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE〃A。,

所以OE_L平面ABC,

又AF?平面ABC,BC?平面ABC,

所以OE_LAF,OE-LBC,

又BC是圆O的直径，

所以OB=OC,

又A3=AC=6,

所以OA_LBC,BC=6^2.

所以OA=OB=OC=OF=3yf2.

如图所示，以。为原点，以OB,OF,OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

所以A（0,—3吸，0）,8（3媳，0,0）,C（一3小,0,0）,0（0,一3明，8）,

£（0,0,8）,F（0,3陋，0）.

第2课时空间两点间的距离

预

习

入门答辩——辨析问题解疑惑

导

引*

区新知自解——自读教材找关键

自主学习梳理主干zizfiuK.ucK.ishutizfiugan

〃人口答辨

(1)已知数轴上A点的坐标2,3点的坐标一2.

(2)已知平面直角坐标系中尸(〃，b),Q(m,ri).

问题1：如何求数轴上两点间的距离？

提示：AB=|xi—X2\=|x2—X11.

问题2：如何求平面直角坐标系中，尸、Q两点间距离?

提示：d=PQ=y12+(Z?-n)2.

问题3：若在空间中已知P1O，yi，Z1)P2(%2，＞2，Z2)如何求尸1尸2.

提示：与平面直角坐标系中两点间距离求法类似.

//////由解〃〃/

空间两点间的距离公式

(1)空间中两点P1Q1，)1，Z1),尸2。2,)2,Z2)之间的

是巨离尸1尸2=V(冗2一即)2+(丫2丫1)2+(Z2—Z1户.

(2)特别地，空间任一点A(x,y,z)到坐标原点。的距离为OA=、/x2+y2+z2.

⑶空间中有两点A(xi,yi,Z1),8(X2,y2,Z2),则线段AB的中点C的坐标为气气”辛一马壬.

［归纳•升华•领悟］

1.空间两点间距离公式是平面内两点间距离公式的延伸、推广，而平面内两点间距离公式又是空间

两点间距离公式的特例.

2.应用空间两点间距离公式解决空间问题的关键是建立合适的空间直角坐标系，并准确写出相应点

的坐标.

I、二

课

堂

突破考点总结规律

互

II助

高考为标提炼技法

把握热点考向贵在学有所悟区

shishenggongi/antupozfiongnan师生共研突破重难

1考点1”空间中两点间距离的计算

［例1］如图，已知正方体ABCZX4'B'CD'的棱长为a,M为8。的中点，点N在4c上，且4N

=3NC,试求MN的长.

［思路点拨］解答本题关键是先建立适当坐标系，把V、N两点坐标表示出来，再利用公式求长度.

［精解详析］以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为正方体棱长为a,所以B(a,a,0),A'(a,0,a),C(0,a,a),D'(0,0,a).

由于M为BD的中点，取AC的中点O,

因为4N=3M7,

所以N为4c的四等分点，

从而N为。，。的中点，故心，华，a),根据空间两点距离公式，可得

［一点通J利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤:

(1)建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标；

(2)代入空间两点间的距离公式求值.

万”题做集钟小“

1.在△ABC中，若4(一1,2,3),2(2,—2,3),C&3),则边上的中线CD的长是.

解析：由题意，D点坐标是6，0,3),

+(1—。)+(3—3)2.

答案：|

2.如图长方体ABCD-AiBCid中，已知AB=3,BC=2,AAi=2,用空间两点间的距离公式求对角

线的长.

解：由图可知£>(0,0,0),B(2,3,0),

；BBi=2,ABi(2,3,2),

由空间两点间的距离公式得

BID=A/22+32+22=V17.

对角线的长为行.

空间两点间距离公式的应用

［例2］已知A(无，5—尤，2x-l),B(l,尤+2,2-x),求AB取最小值时A,2两点的坐标，并求此时

的的长度.

［思路点拨］解答本题可由空间两点间的距离公式建立AB关于x的函数，由函数的性质求x,再确定

坐标.

［精解详析］由空间两点间的距离公式得

=\］(I-x)2+［(x+2)—(5-x)］2+［(2-x)—(2%-1)］2

=A/14X2—32x+19=噂14(%—1)2+y

当x4时，A2有最小值\£=雪^,

„工<8279、(226、

此时4(J,―,刃，8(1,―,力.

［一点通］解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知

的关系，再结合已知条勺确定点的坐标.

•&物•集例/一^

3.在空间直角坐标系中，已知点A(l,0,2),5(1,-3,1),点M在y轴上，且M到A与到B的距

离相等，则M的坐标是.____________________________

解析：设M(0,a,0),由已知得即迎^了转=迎下7T解得〃=一1,

故M(0,-1,0).

答案：(0,—1,0)

4.在xOy平面内的直线x+y=l上确定一点M,使M到点N(6,5,1)的距离最小，则M点坐标为

解析：设M点坐标为(x,1-x,0),则(x~6)2+(1-A—5)2+(0-1)2=y］2(A—1)2+51

》病(当x=l时取“.".Md,0,0).

答案：(1,0,0)

5.已知4(1,-2,11),2(4,2,3),C(6,一1,4)为三角形的三个顶点，求证：三角形A3C为直角

三角形.

证明：由空间两点间的距离公式得

AB=4(4-1)2+(2+2)2+(3—11)2=啊,

BC^\］(6-4)2+(-1-2)-+(4-3)2=714,

AC=\I(6-1)2+(-1+2)2+(4-11)2=/,

'：AB2=BC2+AC2,

.•.△ABC为直角三角形，NC为直角.

6.在三棱锥。-ABC中，BC=4,。是BC的中点，ZBDC=90°,ZDCB=30°,建立如图所示的空间

一S1一

直角坐标系，点A的坐标为(¥，2f0%如果点。正好在坐标平面yOz上，求

解：如图所示，过。分别作y轴和z轴的垂线，垂足分别为E、F,

又点D正好在坐标平面yOz上，

所以DE_L平面ABC,

又|BC|=4,NftDC=90°,ZDCB=30°,

所以|BE|=1,\DE\=y[3,\OB\=2,

所以|0E|=|02|一|8E|=l,

所以£）（0,-1,小）.

又A（坐,I，0）,

所以|A£）|=A/（坐-0）2+（；+l）2+（0—小）2=祈.

[方法•规律•小结]

1.用空间两点间距离公式时要注意坐标差是对应的XI—X2,9一＞2,Zl—Z2,因为有平方，故减数和被

减数的位置可互换.

2.方程尤2+产+22=，表示的几何图形

(1)当厂=0时，方程N+y2+z2=0,即x=y=z=0,即坐标原点.

(2)当rWO时，方程尤2+y2+z2=/表示以原点为球心W为半径的球面.

I、

训

练

达标练一能力练

提II

能学业水平小测，让学课下能力提升，提速

区生趁热打铁消化所学,提能，每课一检测，步

既练速度又练准度步为营步步赢

课下能力提升(二十六)_

1.在空间直角坐标系中，设4(1,2,G，3(2,3,4),若则实数a的值是.

解析：由一均=](1-2)2+(2—3)2+(a—4)2=4,

.,.a=3或5.

答案：3或5

2.在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距手都是2,那么该定点到原点的距离是______.

[—-+62=2,卜2+抉=4,

222

解析：设原点为。，该定点为P{a,b,c),则有,甘。2+理=2,所以＜“2+C2=4,整理得a+/7+c

口一+-=2,[b2+c2=4,

=6,所以\PO\=yla2+b2+c2—y[6.

答案：乖

3.已知点A(2,1,1),2(1,1,2),C(x,0,1),且NBAC=90°,贝I]x=.

解析：由题意知，BC2=AB2+AC2,即。-1)?+1+(1—2尸=(2—1/+(1—1＞+(1—2)2+仪-2)2+(0—

1)2+(1-1)2,解得x=2.

套口木案；-.乙2

4.三棱锥各顶点的坐标分别为：(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3),则三棱锥的体积为

解析：,^=3X2X1X2X3=1.

答案：1

5.在空间直角坐标系中,方程NN+y2+z2=6所表示的几何意义为.

解析：Nx2+y2+z2=6可以变形为

q(X-0)：+(厂0)2+(Z-0)2=6,表示的是到原点0(0,0,0)的距离等于6的点的集合，即为

一个球面.

答案：以原点为球心，6为半径的球面

6.已知点A(3,1,2),8(4,-2,—2),C(0,5,1),点尸在yOz平面上，且点P与点A,B,C的

距离相等，求点尸的坐标.

解：由于点尸在yOz平面上，则可设P(0,y,z),

\PA\=\PC\

由题意得—,所以

\PB\=\PC\

\1(0-3)2+1)2+(z-2)2—yl(0-0)2+(j-5)2+(z-1)2,二所以点P

1.----------------------------------------------------------------------------------解得•

N(0—4)2+(y+2)2+<+2)2=7(0—0)?+(厂5)2+1)2,/——2,

的坐标是(0,1,-2).

7.如图所示，在河的一侧有一塔另一侧有点A,AB=4m,求点A与塔

顶D的距离AD.

解：首先建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，再利用公式，注意BC垂直于河岸.以塔底C为坐

标原点建立如图所示的空间直角坐标系.则D(0,0,5),4(3,~4,0).

：.AD=y/32+42+52=5y[2.

即A与塔顶D的距离AD为5啦m.

8.直三棱柱ABC—AiBiCi中，AC=2,CB=CCi=4,E,F,M,N分别是43，AB,GS，CB的

中点，

如图建立空间直角坐标系.

(1)在平面ABBiAi中找一点P,使为正三角形；

(2)能否在上求得一点Q,使△AQ2为直角三角形？若能，请求出点。的坐标，若不能，请予以

证明.

解：(1)因为所是边的中垂线，在平面ABi内只有EF上的点与A,B两点的距离相等，则P必在

EF上，设P(l,2,z),则由陷|=|AB|得

勺(1-2)2+(2-0)2+(z-0)2=yJ(0-2)?+(4-0)2+(0-0)

?P-\/Z2+5=V20,：.Z2=15,

Vze[O,4],.*.2=715.

故平面ABB14中的点P(l,2,y[15),

使AABP为正三角形.

(2)设MN上的点。(0,2,z),

由△AQB为直角三角形，其斜边的中线长必等于斜边长的一半.尸|=；|48|,即[1+z?=小,

；.z=2(0<z<4),故MN上的点0(0,2,2)使得△403为直角三角形.

第2章平面解析几何初步

1章志小结与测评

A知识网络构建A核心要点归纳►阶段质量检测

O知识网络构建O

直线的斜率与倾而1

平

面

解

析

几

何

初

步

O核心要点归纳O

一、直线与方程

1.直线的斜率与倾斜角

(1)倾斜角与斜率从“数”和“形”两方面刻画了直线的倾斜程度，但倾斜角a是角度(0?W。<180?),

是倾斜度的直接体现；斜率上是实数(%©(—8,+8)),是倾斜程度的间接反映.在解题的过程中，用斜

率往往比用倾斜角更方便.

90°-90°-180°(不含180°)变化时，斜率左由。(含0)逐渐增大到+8(不存在)，然后由一8(不存

在)逐渐增大到0(不含0).

(3)经过A(xi，yi),Bg>2)(XIWX2)两点的直线的斜率公式上="三”(XIW尤2),应用时注意其适用的条

%2X]

件X1WX2,当X1=X2时，直线的斜率不存在.

2.直线方程的五种形式

名称方程常数的几何意义适用条件

y—yo=k（x（xo,yo）是直线上的一个定点，k

一般直线不垂直于X轴

-xo）是斜率

点斜情况

式

k是斜率，b是直线在y轴上的截

斜截y=kx+b直线不垂直于X轴

距

式

一般

情况j2-yi（xi，yD，（X2，丁2）是直线上的两个

直线不垂直于x轴和y轴

丁一方定点

两点X2~X1

式

a,b分别是直线在无轴，y轴上直线不垂直于x轴和y轴，

ab的两个非零截距

截距且不过原点

式

Ax+By+C=O

一般

（A,B不同时为0）A,B,C为系数任何情况

式

3.两直线的平行与垂直

Zi：y—k\x-\~b\,/i：Aix+Biy+Ci—0,

直线方程

b：丁=%亦+。2I2：A2x+B2y+C2=0

平行的h//l2?AlB2-A2Bi=0,

li//h?ki=k2,且从#历

等价条件且B1C2—B2C1WO

垂直的

/山2?左1•比=—1_L，2?AIA2+5152=0

等价条件

4.距离公式

类型已知条件公式

两点间A（xi，yi）,

d—\l（X2—X1）2+（＞2一丁1）2

的距离8（x2,yi）

点到直线尸（沏，yo），/：AxA-By|Axo+5yo+C|

22

的距离+C=0'y]A+B

两条平行l\：Ax+By+Ci=0,

IG-Cil

=

直线间的h：Ax~\~By~\~C20~yjA2+B2

距离（A,3不同时为0）

圆与方程

1.圆的方程

圆方程形式方程说明

标准方程(x—a)2+(y—b)2—3(冗>0)无论哪种形式都含有三个

参数，求圆的方程时常常

x2+y2+Dx+Ey+F=

一般方程利用待定系数法，借助方

0(。2+/一4尸>0)程组观点求解

2.直线与圆的位置关系

(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：/>0?相交；/<0?相离；/=0?相切.

(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d,则d<r?相交；d>r?

相离；d=r?相切.(主要掌握几何方法)

(3)直线被圆所截得的弦长/=2#工了.

3.圆与圆的位置关系

d表示圆心距，R,r分别表示两圆半径，R>r.

(l)d>R+r?相离；

(2)d=R+r?外切；

(3)R-r<d<R+r?相交；

(4)d=R—r?内切;

(5)0<d<R一厂?内含.

三.空间直角坐标系

1.空间中点的坐标的确定

(1)过点尸作面xOy的垂线，垂足为。；

(2)在面xOy内过点。分别作x轴，y轴的垂线确定点尸的x坐标，y坐标；

(3)过点P作平行于OQ的直线PM确定点P的z坐标.

2.空间中两点间的距离公式

⑴空间中两点P1(尤1,yi,Z1),尸2(尤2，>2,Z2),

贝！]P1P2=yj(Xl-X2)2+y2)2+(Zl—Z2)2.

(2)空间直角坐标系中的中点坐标公式

在空间直角坐标系中，A(xi，yi，Z1),8(X2,”，Z2),则AB的中点为P(号吗超，哼"即平

面直角坐标系中的中点坐标公式可推广到空间直角坐标系中.

O阶段质量检测(二)<>

一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分)

1.点A(2,—3,1)关于点2(—1,0,3)的对称点4的坐标是.

解析：由中点坐标公式的A'的坐标是(一4,3,5).

答案：(一4,3,5)

2.点P为y轴上一点，且点尸到直线3x—4y+3=0的距离等于1,则点尸的坐标为.

解析：依题意，设尸(0,yo),则甲=J二誓11』=],

^/32+(—4)2

即|4加一3|=5,解得yo=-f或2,

所以点尸的坐标为(0,—5或(0,2).

答案：(0,一3或(0,2)

3.若实数根，〃满足2加一〃=1,则直线g—3y+〃=0必过定点.

解析：由已知得n=2m—\,代入直线mx—3y+n=0得mx—3y+2m—1=0,即(x+2)根+(—3y—1)

[x+2=0,']

=0,由彳解得<1所以此直线必过定点(-2,—T).

[―3y—1=0,0=一,3

答案:㈠-f)

4.若直线％—2》+5=0与直线2x+my—6=0互相平行，则实数m—.

解析：由于两直线平行，故加+4=0,从而m=—4,

当相=—4时，两直线平行.

答案：一4

5.若直线/与直线3x+y—1=0垂直，且它在x轴上的截距为一2,则直线/的方程为

解析：因为直线3x+y—1=0的斜率为-3,

所以直线/的斜率为g.

又直线在x轴上的截距为一2,即直线/与x轴的交点为(-2,0),

所以直线/的方程为y-0=1(x+2),即x~3y+2=0.

答案：x-3y+2=0

6.三条直线/i：2x+y—3=0,/2：x—3y+2=0和原3x+ty-1=0共有两个不同的交点，则t=

3t33t

解析：依题意可得/1〃/3或/2〃/3.若/1〃/3,则5=彳，解得2=5；若/2〃/3,则了=F，解得/=一9.

Z1Z1—j

答案：53或一9

222

7.已知两圆Ci：x+j=10,C2：x+/-2x+2y-14=0,则经过两圆交点的公共弦所在的直线方程

为•

解析：将两圆方程相减得x—y+2=0,此即为过两圆交点的公共弦所在的直线方程.

答案：x—y+2=0

8.设P是圆(x—3)2+。+1)2=4上的动点，。是直线龙=—3上的动点，则|尸。|的最小值为.

解析：圆心为M(3,-1),半径为2.圆心到直线x=—3的距离为3—(-3)=6,所以|尸。|的最小值为6

-2=4.

答案：4

9.已知以点M(l,3)为圆心的圆C与直线3x—4y—6=0相切，则该圆C的方程为.

解析：圆心到直线的距离”=71><3音=

-32+(-4)2

故圆C的方程为(X——3)2=9.

答案：(X—l)2+(j—3)2=9

10.直线y=fcv+3与圆(尤一3)2+®—2尸=4相交于M,N两点，若也见》25，则k的取值范围是

》2小,

93+6%+1,

即4—己+]23,解得一左W0.

答案：[「一3本10

11.已知过点尸(2,2)的直线与圆(x—l)2+y2=5相切，且与直线〃冗一>+1=0垂直，贝!J〃=.

解析：设直线斜率为左,则直线方程为了一2=网入-2),即京一丁+2-2%=0,圆心(1,0)到直线的距离

与：I2川=小,即匚*=邓,解得％=一；.因为直线与直线QX—y+l=O垂直，所以％=—1=-即

yjlr+17k2+12a2

〃=2.

答案：2

12.与圆/+&-2)2=1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有条.

解析：结合图形，可知满足条件的直线有4条.

答案：4

13.在平面直角坐标系内，到点A(l,2),8(1,5),C(3,6),D(7,—1)的距离之和最小的点的坐标

是•

解析：设平面上的点为P,易知ABCD为凸四边形，设对角线AC与3D的交点为P',则|E4|十|PC|N|AC|

=\AP'\+\P'C\,\PB\+\PD\^\BD\=\BP'\+\P'D\,当且仅当P与P重合时，上面两式等号同时成立，由AC

和8。的方程解得P(2,4).

答案：(2,4)

14.设集合4={(尤，y)彦+内4},B={(x,j)|(x-l)2+(y-l)2^^(r>0)},当4口2=2时，r的取值

范围是.

解析：；A={(x,训/+,忘4},B={(x,y)|(尤-1)2+°—1)2辽产&>0)}均表示圆及其内部的点,由ACB

=B可知两圆内含或向切.

:.小W2—r,即0VrW2—W.

答案：(0,2一巾]

二、解答题(本大题共6小题，共90分)

15.(14分)求过点A(l,2)和8(1,10)且与直线x—2y—1=0相切的圆的方程.

解：圆心显然在线段AB的垂直平分线y=6上，设圆心为(a,6),半径为广，则Q-a)2+(y-6)2=R

得(1—a)2+(10—6)2=/，而厂="/"

.9“(。一13)2

(a-1)2+16=,

解得a=3或a=—7,厂=2/或r=4y[5.

・,•所求圆的方程为(x—3)2+0—6)2=20或(x+7)2+(y—6)2=80.

16.(14分)求分别满足下列条件的直线方程.