高中数学题型讲义(直线与圆)

直线与圆题型库（1）

学问精髓

■直线方程

令二个概念（斜率、倾斜

角）

令三个距离（点点、点线、

重点难点：

平行线间）

直线间关系

令四组关系（相交、平行、

难点：对称关系；直线旋转肯定角度后的斜率计算，如过圆外固定

垂直、对称）

点的两条切线或割线斜率计算。

令五种形式（点斜（标

直线与圆间关系

准）、斜截、两点、截

圆与圆间关系

距、一般）

温馨提示：时刻不要遗忘斜率不存在状况的探讨

■圆方程

令两种形式（标准、一般）

令三种关系（点圆、线圆、

圆圆）

主干题型思维路径

•倾斜角范围探讨

T1***已知（ze[—,—）,求直线

62

2xcosa+3y+1的倾斜角范围？T1:左=一2。；，,cosae（0,#],n上£[-^-,0）,=>彳顷斜角aG[着,"）

T2（10）****xcosa+V3y+2=0,求

T2：k=一co",因为一1<COSQ<1n一正《人

百33

其倾斜角范围？

如图：直线越靠近y轴，斜率肯定值越大，反之亦然

温馨提示：倾斜角范围一般由斜率范

本题中=一4<左<4,其肯定值网《4，直线越靠近X轴，所

围反演，有两种情形：两边和中间，

即：以倾斜角是[0,刍3学㈤

66

①上2%或％<k0；②k\Gk&k,

斜率逆时针增大：0+8,跨过y轴

后，-80正切函数在[0段)和(]/)

上单增

斜率肯定值越大，直线越靠近y轴，

肯定值越小，直线越靠近X轴。

T1:求直线斜率范围，要重点分析动直线是否存在“垂直状态”情

•斜率范围探讨

形，若存在，则分两类：＞0和＜0,若不存在，则要么是在.＞0类范

T1***直线/过点尸(-1,2),且与以

围，要么在＜0类范围。

A(-2,-3),(3,0)为端点的线段相交,求

通过图形可知本题动直线存在“垂直状态”的状况，因此分两类

直线/的斜率范围？

探讨。

•求直线方程(求斜率和过点，点

斜式是根本)T1：这种类型的题高考不会考，属于基本功题型；但必需娴熟驾

T1***直线经点P(2,3),且两坐标上的驭，为高考题打下基础；

截距相等，求直线方程？T2：这类题属于条件约束下的直线方程问题，通解思路就是依据

T2****过点尸(2,1)的直线/交两轴于条件选择合适直线方程形式，写出含参的直线方程形式，依据约

两点，求(1)当AAOfi面积最小时直束条件建立参数方程，进而求出参数即可。这也是全部这类题型

线方程？(2)最小时直线方的通用解法。

程？

直线与圆题型库(2)

主干题型思维路径

快捷提示：只要涉与到直线问题，就得单拎出

•两条直线的平行与垂直斜率不存在的状况进行分析

T1***(10)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行(垂直)TK略。

的直线方程是？T2：先分析①特别情形：/Jx轴：sin8=0,此

T2****已知两条直线时：匕不存在；k2=-2sin0

/1:x+ysin^-l=l:2xsin6+y+l=0,试求两直线平再分析②一般情形：匕=-」一;N=-2sin6

2sin。-

行、垂直时。的值。然后再以上的两种状况下分别从平行和垂直约

束下求参数值

•两直线交点问题

T1***直线/过两直线3x+2y-1=0和

5x+2y+l=0的交点，且垂直于直线3x-5y+6=0的直线TK求出交点和斜率，点斜式写出即可。

方程？T2：可通过图象分析求得。

T2****(10)直线y=与直线x+y-l=0的交点位于

第一象限，则左范围？

T1：分特别状况和一般状况进行分类分析；

•距离问题

T2：图上形如图：f「

T1****求过点(-2,2)且与点(-1,1)的距离为1的直

线方程？

T2****直线/：3x-y-1=0与点A(4,1),B(0,4),C(2,0)

求(1)在直线/上求一点P,使得最小；(2)在直线/上

同侧

求一点Q,使得肯定值最大。

两侧

•中点问题

T1：中点问题一般是设中点线段坐标，然后中

T1****过点p(3,0)作直线/使它被两条直线

点公式表示中点，如本题：可设线段的一个端

2x-y-2=0和x+y+3=0所截得线段恰好被P点平分，求

点是(再,%),另一个端点区，，则可列出四个

直线/方程？

方程(斜率和中点：2+2),然后只要求出一个

端点，则就能把中点线段方程写出，

直线与圆题型库(3)

主干题型思维路径

T：思路1：轨迹法：所求直线上任一点(x,y)关于对

•点对称问题称点(2,3)的对称点(中点关系)在已知直线上，

T***直线/:y=4x+l关于点(2,3)对称的直线方因止匕：2x3-y=4(2x2—x)+l

程？思路2：点对称直线平行且对称点到两直线距离相

等。利用这个几何关系列方程也可。

T：思路1：轨迹法：直线4上任一点(x,y)关于直线/

的对称点肯定在已知直线4上，

其中轴对称点关系：连线垂直对称轴+中点在对称轴

•轴对称问题

T****直线/:3》+4y-l=0,直线4:2x+y-4=0,直上

思路2：详细点：在已知直线上取一详细点(0,4),

线4与直线4关于直线/对称，求直线4方程？

然后求出其关于对称对称的点(%,%),然后与对称

轴和已知直线交点用两点式写出直线方程。

总而言之就是|等腰三角形|关系

主干题型思维路径

•求圆方程

圆就抓圆心。因此本类题关键是要把圆心的坐标求

T1***圆半径为，圆心在直线y=2x上，圆被直

出，见弦就垂径！，垂径后解直角三角形！

线y=X截得弦长为4应，求圆标准方程？

解略。

T2****圆心在x轴上，半径为6的圆0位于y轴左

侧，且与直线x+2y=0相切，则圆方程？

T3****(10L)过点(1,4)的圆C与直线x-y-1=0

相切于点B(2,1)则圆C的方程为？

T1：已知方程/(x,y)=0是一条几何曲线，所求表达

•与圆有关的最值问题也是一种几何度量，综合两者求出其范围。所求表

T1****已矢口方程f+/一4；(；+1=0,求(1)y—无范达一般有三种形式结构：①4=依+分，直线平移中

围；(2)求Y+y2的范围；(3)求上的范围？的截距范围(如：线性规划)；②〃=(x-4+(i)2：

丁2****(11)在圆/+/—2乙-6丁=0内,过点E(0,1)以点(“,6)为圆心的圆半径范围；③〃=~：曲线

x-a

的最长弦和最短弦分别为、，则四边形的面积为？上点与点①力)连线的斜率范围。

T2：最长弦：直径；最短弦：中点弦。

直线与圆题型库(4)

主干题型思维路径

•与圆有关的轨迹问题T1：(1)求轨迹方程首先把轨迹点的坐标设为(x,y),然

T1(11****设圆C与两圆后依据题目约束条件求出方程/(x,y)=0即可。

(x+6)2+y2=4,(x一6)2+y2=4中的一个内切，题目约束关系为：

另一个外切，(1)求圆C的圆心轨迹方程(2)［圆C与一圆圆心距离=它们半径之差(内切)一

《或

［圆C与另一圆圆心距离=它们半径之和(外切)

已知点M(半，竽),尸(石,0)且P为L上动点，

'圆C与一圆圆心距离=它们半径之和(外切)处后依据

〔圆C与另一圆圆心距离=它们半径之差(内切)'后后

求’研-3日的最大值与此时点P的坐标。

题目条件求方程关系。

(2)由(1)可知轨迹L是一组焦点在x轴上的双曲线，

已知点M、F分布于一支双曲线的两侧，连线与双曲线

的交点即为所求。(2,(竿,—半)

T：圆的一般方程中参数的范围核心约束就是“半径表

达”>0且二次项系数/0

•圆的一般方程应用

因此首先"0,然表达半径

T(10M)****若方程ax?+ay2-4(a-l)x+4y=0表

/=》十上_4/=应/+2)>0

示圆，求参数。取值范围，并求出其半径最小的a

圆方程.r2=⑹♦一产+2)="(I—2+N)>0,转化为二次反比例

aaa

复合函数的值域问题

•综合求圆方程

T(10M)****依据下列条件求圆方程：

(1)过点尸(1,1)和坐标原点，且圆心在直线

T：(1)标准方程

2x+3y+1=0上；

(2)思维1：标准方程，思维2：切线关系。

(2)圆心在直线

(3)思维L一般方程；思维2：两条线段中垂线交点

y=-4x上，且与直线/:x+y-1=0相切于

为圆心

点P(3,-2)

(3)过三点41,12),3(7,10),C(—9,2)

直线与圆题型库(5)

直线与圆关系学问精髓

令两个问题：切线和弦长

2

切线方程：圆方程（工-。）?+（y-8）2=/,过点尸（如K）的切线方程为：（x0-«）（a:-a）+（y0-b）（y-b）=r

2222

特别情形：x+y=r,过点POo，%）的切线方程为：xox+yoy=r

以上公式推理逻辑：几何法：圆心切点连线垂直切线，切点在切线和圆上；代数法：斜截

式直线斜率满意相交方程A=0关系。当然也可以利用导数工具。

留意：不要遗忘斜率不存直线的探讨！

弦长问题：圆截直线弦：几何法和代数法。几何法（垂径关系下的勾股定理）在圆中首选，代数法通

用于全部曲线弦问题。|=&1+左2）［（石+々）2—

令三种直线与圆的关系：相交、相切、相离（代数法：相交二次方程A;几何法：圆心到直线的距离与

半径关系）

令四种圆与圆的关系：相交、内切、外切、相离（外离、内含）几何法：圆心和（差）与半径和（差）

关系）

令圆系方程：

同心圆系：x2+y2+Dx+Ey+A=O^（x-a）2+（y-b）2=r2过两圆交点圆系：7j（x,y）+2力（x,y）=0,

（2*0,不包括圆2）

两圆公共弦直线方程：（。-2）x+（g-E2）y+f；-招=0

温馨提示：遇到圆的问题时，多用几何关系，辅以代数处理。

主干题型思维路径

•直线与圆的关系T1：遇到参数直线形式，肯定要找到变中的不变，

T1（11）***直线/:y=-x+g）与圆d+y?=1的位置要不过定点（绕定点转动），要不斜率不变（倾斜

关系是什么？肯定平移），本题直线过定点（-L。），然后再考察

2

T2（11）****将圆/+丁=1沿*轴正方向平移1个定点与圆的关系，代入计算知：在圆内，因此直线

单位后得圆C,若过点（3,0）的直线/和圆C相切，与圆相交。

则直线/的斜率=?当然也可以计算圆心到直线距离表达后与半径比

T3（09L）***圆C与直线x—y=0与x—y—4=0都相较；或者计算相交二次方程的△

切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为？T2：几何法：画出切线直角三角形，并依据直角三

T4（11L）****若曲线Q-.x2+y2-2x=0与曲线角形三边长计算切线斜率。

C2：y（y-祖）=0有四个不同交点，则参数机取值代数法：圆心（1,0）到直线y=3）的距离=半

范围？径，求出左。

丁5（12）***圆（3：x2+y2-4x=0,/过点（3,0）,则T3：画图从几何关系入手分析。（X-1）2+4+1）2=2

/与C的关系为？T4：曲线是由直线y=。和y=/。+1）【过定点

（先推断定点与圆c的关系：内部，因此相交）（T,0）】组成，画图后可知，两条临界直线是斜

率为士害，旋转过程中不能与0重合（四个交点）。

直线与圆题型库（6）

主干题型思维路径

T1：（1）垂径直角关系求之

•弦长与中点弦问题

闻

T1****圆x2+y2=8内一点P（-l,2）,过点P的直线/（2）思维1：设出A、B两点坐标，列出在圆上的方

的倾斜角为直线/交圆于A、B两点，（1）当程，两式相减求出斜率。

&=红时，的长为？（2）当弦被点P平分时，求思维2：挖掘几何关系：圆心与弦中点P连线后垂直

4

弦，中点又在弦上。直线方程可求。

直线/方程。•

T2：几何法：如图：过圆外肯定点固定弦长

T2（10）****直线y=fcc+3与圆（x-3>+（y-2>=4

定点P与圆心连线斜率=治，

相交于M、N两点，若|MN七2百，则左取值范围？

利用垂径定理可算出上下对称角的正切值《

（过圆外肯定点的定值弦长问题）

上切线的斜率％=4*

1_kgk'

T3****直线y=x+l上一点向圆（X-3）2+y2=1引切

下切线的斜率左=4。倾斜角的和差关系（正切

线，则切线长最小为？

l+kok

T4（11M）****过点P（3,4）作圆/+；/=］的两条和差公式）

代数法：表达出MN=/（A）,然后满意了⑹2

切线，切点为A、B,则线段长为？

T3：遇到切线连圆心和切点，然后解切心直角三角形：

T5（12L）