高中数学北师大版必修2学案立体几何初步1-4空间图形的基本关系与公理含答案2

第1课时空间图形基本关系的认识与公理1〜3

预

习

核心必知----自读教材找关键

导

引I

区问题思考——辨析问题解疑惑

［核心必知］

1.空间图形的基本位置关系

点在直线上

点与直线

点在直线外

点v

点在平面内

点与平面，

点在平面外

2.空间图形的3条公理

文字语言图形语言符号语言

过不在一条直线上的三点,若/、B、C三点不共线，则

公理1有且只有一个平面（即可以ZZ7存在唯一一个平面a使力

确定一个平面）Ga,BGa,ga

续表

文字语言图形语言符号语言

如果一条直线上的两点在

一个平面内，那么这条直线若BG1,且a,

公理2

在此平面内（即直线在平面BEa,则负

内）

如果两个不重合的平面有

若力£a,AGB,且。与

一个公共点,那么它们有且

公理3£不重合，则aCB=1,

只有一条过该点的公共直

且4W/

线

［问题思考］

1.三点确定一个平面吗？

提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面，当三点不在同一条直线上时，确定一个平面.

2.三条两两相交的直线，可以确定几个平面？

提示：若三条直线两两相交于一点时，则可以确定一个或三个平面；若相交于三个交点时，则可以确

定一个平面.

课

堂

知识突破—能力提升

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II动

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知识点1点线共面问题•------1［重点知识•讲透练会】|

讲一讲

1.如图所示，已知一直线a分别与两平行直线6,c相交.求证：a,b,c三线共面.

a

［尝试解答］证明：•.”〃，，.•.直线8与c确定一个平面明

如图，令aA6=4aC\c=B,

，力£a,Bea,JZJS.a.

即a,/.a,b,c三线共面.

类题•通法

证明点线共面的常用方法：

①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.

②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面。，再证明其余元素确定平面£,最后证明平面。、

£重合.

练一练

1.已知a〃6〃c,lC\a=A,lCb=B,JQc=C,

求证：直线a,b,c和/共面.

证明：〃4.♦.直线a与。确定一个平面，设为。，如图.

'：ina=A,lCb=B,

：.A^a,BGb,贝lj胫a,BQa.

而IC7,BQ1,

...由公理2可知:后a.

•."〃c,.•.直线8与c确定一个平面，设为£,

同理可知1三8.

平面a和平面£都包含直线。与/，且ICb=B,

02/18

又•.•经过两条相交直线，有且只有一个平面，

平面。与平面£重合，直线a,b,c和/共面.

讲一讲

2.已知在平面a外，它的三边所在的直线分别交平面a于P,Q,义如图），求证：P,Q,#三

点共线.

［尝试解答］证明：法一：；力加1。=只

:.PEAB,/G平面a.

又用里平面ABC,PC平面48c

由公理3可知，点P在平面49C与平面。的交线上.

同理可证。，"也在平面4%与平面a的交线上，

：.P,Q,〃三点共线.

法二：'：APQAR=A,

直线/IP与直线4?确定平面APR.

又a=P,ACDa=R,

：.平面4依。平面a=PR.

.♦.6G平面力々?，CG平面力必，.•.比基平面初发

又•.•0G直线6C,

二06平面APR.又QEa,：.QRPR.

：.P,Q,斤三点共线.

类题•通东

证明点共线问题的常用方法有：法一是首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点,

根据公理3,这些点都在交线上.法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另外的点在其上.

练一练

2.如图，在正方体力优。43G4中，设线段4。与平面43G”交于0，求证：B,Q,〃三点共线.

证明：平面/阿〃，平面4。龙，8G平面力附几8G平面4。曲,

平面平面AMCB=BDi.

；4Cn平面=且4c在平面4〃⑦内，

Z.4?e平面ADCB,QG平面ABQDx,

在两平面的交线仍上，

：.B,Q,4三点共线.

知识点3线共点问题•-----K拔高知识•拓宽提熊X

讲一讲

3.已知：平面。，£,y两两相交于三条直线九12,13,且儿72,A不平行.求证：h,12,h

相交于一点.

［尝试解答］证明：如图，aC£=L,

J3Hy=12,any=h

•：i丘、B,/怎且I”一不平行,

.•.Z与心必相交.设1m=P,

则PRa,PR72S.Y,

:♦PRa（"lY—lit

：.h,h,4相交于一点汽

类题•通法

证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，

并且这两个平面相交（交线是第三条直线），于是得到交线也过此点，从而得到三线共点.

练一练

3.已知在正方体B'CD'中，如图，E,尸分别为44',四上的点（£尸不与"，8重合）

&EF//8,求证：CF,D'E,如三线共点于2

证明：由EF〃CD，知反F,C,D'四点共面.

因为£,少不与4,6重合，所以打飞龙'，即四边形碓）为梯形.

设〃'ECCF=P,,:D'平面"D'D,P&D'.".庄平面A4'D'D.

又至平面/比PRFC,.,/G平面48c0,

即。是平面46（力与平面D'。的公共点.

04/18

又：平面平面加'D'D=AD,：.P^AD,即5D'E,ZM三线共点于2

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已知：空间中|B,C,D,£五点，A,B,C,〃共面，B,C,D,«共面，则4B,C,D,E五点一

定共面吗？

［错解］B,C,。共面，

...点4在点8C,〃所确定的平面内.

:点8,C,D,£四点共面，

.•.点£也在点6,C,〃所确定的平面内，

.•.点力，£都在点8C,。所确定的平面内，

即点4B,C,D,«一定共面.

［错因］在证明共面问题时，必须注意平面是确定的.上述错解中，由于没有注意到8C,〃三点

不一定确定平面，即默认了8C,〃三点一定不共线，因而出错.也即题知条件由昆C,〃三点不一定确

定平面，因此就使得五点的共面失去了基础.

［正解］A,B,C,D,〃五点不一定共面.

(1)当3,C,〃三点不共线时，由公理可知8,C,〃三点确定一个平面a,由题设知｛Ca,E&a,

故4,B,C,D,£五点共面于a-

(2)当8,C,〃三点共线时，设共线于1,若E&1,则4B,C,D,£五点共面；若46有且

只有一点在/上，则4,B,C,D,后五点共面；若山£都不在/上，则力，B,C,D,夕五点可能不共面.

综上所述，在题设条件下，A,B,C,D,£五点不一定共面.

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、学业水平达标

1.下列图形中不一定是平面图形的是()

A.三角形B.菱形

C.梯形D.四边相等的四边形

解析：选D四边相等不具有共面的条件，这样的四边形可以是空间四边形.

2.(重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，啦和a,且长为a的棱与长为近的棱异面,

则a的取值范围是()

A.(0,m)B.(0,木)

C.(1,⑫D.(1,

解析：选A如图所示的四面体4a»中，

设AB=a,则由题意可得缪=4,其他边的长都为1,故三角形4切及三角形题都是以切为斜边

的等腰直角三角形，显然a>0.取。中点反连接小跖则452切皿切且小=庞=\^1一（平）

乎，显然从B、£三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2X摹a,解得0<a<m.

3.下列四个命题中，真命题的个数为（）

①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合

②两条直线可以确定一个平面

③若J/Ga,ME8,an0=1,则Md1

④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内

A.1B.2C.3D.4

解析：选A两个平面有三个公共点时，两平面相交或重合，①错；两条直线异面时不能确定一个平

面，②错；空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，④错.，只有③对.

4.如图所示，在长方体/比。48G。中，判断下列直线的位置关系：

（1）直线46与〃。的位置关系是；

（2）直线46与6c的位置关系是；

（3）直线〃〃与〃0的位置关系是；

（4）直线A8与5c的位置关系是.

答案：（1）平行（2）异面（3）相交（4）异面

5.若a,6是异面直线，b,c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是.

解析：两条直线a,c都与同一条直线6是异面直线，则这两条直线平行、相交或异面都有可能.

答案：平行、相交或异面

6.证明：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.

证明：设这两两相交且不共点的三条直线分别为4,12,卜,且

7|D112,=Ai12cl3=B,

7in，3=c（如图所示）.

06/18

,.•/i与/相交，・•・/与1确定一平面1,

■:B《h,CGh,:,BQa,CQa,

又BCh,CGh,:.1,屋,a,

即两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.

0d虾能力提丸（五）

一、选择题

1.如果空间四点4B,C,。不共面，那么下列判断中正确的是（）

A.A,B,C,〃四点中必有三点共线

B.A,B,C,〃四点中不存在三点共线

C.直线48与5相交

D.直线4?与切平行

解析：选B若4B,C,〃四点中有三点共线，则4B,C,〃四点共面，若4?与⑦相交（或平行）,

则四与切共面，即得4,B,C,，四点共面.

2.若点1在直线8上，8在平面力内，则4b,£之间的关系可以记作（）

A.AWb,be8B.A^b,匠8

C.AWb,Z）豆,£D.A^,b,bGB

解析：选B•.•点4在直线6上，...466,又•.•直线A在平面£内，.•"豆4G6,b望8.

3.如图，平面。n平面尸=/,点。，点be。，且点矢万，点。/.又四n/=斤，设A,B,C

三点确定的平面为y,则£0丫是（）

A.直线/CB.直线比

C.直线CRD.直线

解析：选C'.•fG平面ABC,力方些平面ABC,而RGAB,

平面45C而0C6，1望、B,RR1,:.RRB,

，点G点分为两平面ABC与B的公共点，，万n7=以

4.平行六面体四中，既与的共面也与S共面的棱的条数为（）

A.3B.4C.5D.6

解析：选C与四共面也与比共面的棱有微BC,B氏,44,G4,共5条.

5.在四面体的棱47,BC,CD,加上分别取笈F,G,〃四点，如果）与相交于点也则（）

A.M一定在直线〃'上

B.M一定在直线切上

C."可能在〃•上，也可能在劭上

D.M不在〃'上，也不在做上

解析：选A因为笈F,G,〃分别是四面体4%力的棱〃?，BC,CD,加上的点，EF与HG交于一点、M,

所以点M为平面力比与平面的公共点，而两个平面的交线为4G所以"一定在直线力。上.

二、填空题

6.空间四点4,B,C,D,其中任何三点都不在同一直线上，它们一共可以确定平面的个数为.

解析：四点共面时，确定1个平面，任何三点不共线，四点不共面时，确定4个平面.

答案：1或4

7.如图，在这个正方体中，①而/与劭平行；②GV与加/是异面直线；③CM与龙是异面直线；④）DN

与8V是异面直线.

以上四个命题中，正确命题的序号是.

解析：观察图形可知①③错误，②④正确.

答案：②④

8.有下面几个说法：

①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；

⑤点4在平面。外，点/和平面a内的任意一条直线都不共面.

其中正确的序号是（把你认为正确的序号都填上）.

解析：①中线段可与平面。相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，

所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边

在这个平面内；⑤中点力与。内的任意直线都能确定一个平面.

答案：③④

三、解答题

9.如图所示，ABHa=P,CDCa=P,A,D与B,C分别在平面a的两侧，ACHa=Q,BDCa=R.

求证:P,Q,A三点共线.

证明:a=p,CDCa=p,:.ABCCAP.

切可确定一个平面，设为£.

08/18

■:AGAB,CRCD,BGAB,DRCD,

：.AeB,CG£,BQB,DE8.

.'.AC^P,BL屋,B,平面a、£相交.

V^na=P,ACOa=Q,BDCa=R,

:.P,Q,7?三点是平面a与平面£的公共点.

：.P,Q,7?都在a与S的交线上，故只Q,/?三点共线.

10.已知：a,b,c,d是两两相交且不共点的四条直线.求证：a,b,c,d共面.

证明：①无三线共点情况，如图所示，

设ar~ld=MbC\d=N,cAd=P,aCb=Q,aAc=R,bC\c=S.

•：aC\d^M,：.a,d可确定一个平面a.

、：NRd,(?ea,/.；¥£a,(?ea.

至a,即ZS，a.同理c复a.a,b,c,d共面.

②有三线共点的情况，如图所示，

设6,c,d三线相交于点人,与a分别交于爪P,M,且A?a,

；A?a,｛与a确定一个平面，设为£.

VArea,a/,£,：.N&J3.

1尸，即同理，c£.£,aW.'.a,b,c,d共面.

第2课时空间图形的公理4及等角定理

预

习

核心必知----自读教材找关键

导

引

区问题思考——辨析问题解疑惑

自主学习梳理主干zizhuK.ucK.1f(iu(izhugan

［核心必知］

1.公理4

平行于同一条直线的两条直线生红」

2.定理

空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

3.空间四边形

四个顶点不在同一平面内的四边形叫做空间四边形.

4.异面直线所成的角

(D过空间任意一点户分别引两条异面直线a,3的平行线么，A(a〃九b//J2),这两条相交直线所成

的锐角(或直角)就是异面直线a,方所成的角.

(2)当异面直线a与8所成的角为直角时,a与6互相垂直.

［问题思考］

1.公理4及等角定理的作用是什么？

提示：公理4又叫平行线的传递性.作用主要是证明两条直线平行.等角定理的主要作用是证明空间

两个角相等.

2.两条互相垂直的直线一定相交吗？

提示：不一定.只要两直线所成的角是90°,这两直线就垂直，因此，两直线也可能异面.

课

堂

知识突破一能力提升

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II动

重点知识拔高知识

步步探究稳根基深化提能夺高分区

sttisken^gongyantupozhongnan师生共研突破重难

知识点I公理4的应用1(重点知识■讲透练会】I

讲一讲

R..V

1.如图所示，在棱长为a的正方体力/。464。中，机N,尸分别为线段484旦上的点，若力;

D\U\

BM1

且〃加％求证：PM//AAx.

DA\6

［尝试解答］证明：•.•必〃44,携=；,得咎=；，

IJ\U\«JZ^ZiiJ

BM1

又77=3，:.PM〃BB\.

DA\O

而阳〃44,：.PM//AAy.

类题•通法

空间中证明两直线平行的方法：

(D借助平面几何知识，如三角形的中位线性质、平行四边形的性质，成比例线段平行.

(2)利用公理4,即证明两条直线都与第三条直线平行.

练一练

10/18

1.梯形1腼中，AB//CD,E,b分别为宽和4〃的中点，将平面的F沿)翻折起来，使CD与CD'

的位置重合，G,〃分别为力〃和比'的中点,

求证：四边形时/为平行四边形.

证明：在梯形中，EF〃AB旦EF=；(AB+CD).

在梯形4rD'中，G,〃分别是力〃，BC的中点,

，GH//AB且GH弓(46+CD').

又gCD',:.E卜&GH,

，四边形环切为平行四边形.

知识点2等角定理的应用K重点知识•讲运练会X

讲一讲

2.如图所示，已知其6分别是正方体4G的棱力〃，44的中点,

求证：NC\EB=NCEB.

［尝试解答］证明：连接打,

,:E,笈分别是/〃，4〃的中点，

:.A\EJLAE,

四边形46胡为平行四边形，

:.A^AJLEXE.

又A、A4BB

由基本性质4知B\BJLE、E,

...四边形EM为平行四边形，

:.E\B\〃EB.

同理6G〃比：

又与NG步的对应边方向相同,

：.4C\EB=2CEB.

类题•通法

1.证明两角相等的方法

①等角定理；②三角形全等；③三角形相似.

2.利用等角定理证明两角相等，关键是证明角的两边分别平行，另外要注意角的方向性.

练一练

2.如图，在正方体力题为G”中区F,E\,£分别是棱48,AD,BC,G〃的中点.

求证：①)EFJLER,

(2)NEA\F=/E\CR.

证明：(D连接劭，B心,在△力劭中，因为昆尸分别为46,的中点，所以母幺

1

-BD.

同理，E\F\*B\D\.

在正方体抽045G〃中，BB\』Dh

所以四边形阳〃〃为平行四边形，所以位/台。,

XEFJ^BD,E\RgkIX,

所以EFJLE\F\.

(2)分别取48、44的中点M、N,连接阴、DN、MR,

在正方体4%沙/山G〃中，

由题意，,监；1比?,4也=4%

・・.四边形BCF\M,四边形4£5犷是平行四边形，

：.A\E//BM//CFx.

同理可证4尸〃〃M〃CE.

又4反4尸、CR、CE\,分别为N口厌N后仍的对应两边，且方向相反，,N£4/=N6仍.

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12/18

在空间中有三条线段力民以和微RNABC=ZBCD,那么直线4?与G9的位置关系是（）

A.AB//CD

B.48与必是异面直线

C.AB与切相交

D.四〃切或48与缪异面或然与6®相交

［错解］如图，乙ABC=4BCD,：.AB〃CD.故选A.

［错因］错解的原因在于，认为线段48,BC,如在同一个平面内.

［正解］构造图形：（1）在同一个平面内N40/时（如图（1））；

⑶将图⑵中直线如绕着勿旋转,

使NABC=NBCD.

由（1）知AB//CD,

由⑵知4?与必相交，

由⑶知四与0是异面直线.

训

练

达标练一能力练

提II

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、学业水平达标

1.下列结论正确的是（）

①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直

线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a,b,c,d,如果a〃4c//d,

豆a〃d,那么"c.

A.①②③B.②④

C.③④D.②③

解析：选B①错，可以异面.②正确，公理4.③错误，和另一条可以异面.④正确，由平行直线的

传递性可知.

2.已知直线a,b,c,下列三个命题：

①若a〃b,a_Lc,则6J_c：

②若a〃6,a和c相交，贝和c也相交；

③若a_L6,a_Lc,则6〃c.

其中，正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

解析：选B①项正确；②项不正确，有可能相交也有可能异面；③项不正确.可能平行，可能相交

也可能异面.

3.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条（）

A.相交B.异面

C.相交或异面D.平行

解析：选C如图所示的长方体力式3464〃中，直线44与直线5G是异面直线，与夕G平行的直线

有4。，AD,BC,显然直线44与44相交，与8c异面.

4.如图，夹在两平行平面间的两条线段松切交于点。，已知42=4,B0=2,切=9.则线段少DO

的长分别为,.

解析：..38G9相交于。点，二”；劭共面.

又47与切不相交，C.AC//BD.

COAO„

又DC=9,A0=4,B0=2..,.C0=6,D0=?）.

答案：63

5.已知E,F,G,〃为空间中的四个点，且E,EC,〃不共面，则直线跖和6■，的位置关系是.

解析：假设共面，则区F,G,〃共面，与已知矛盾，

:.EF与以不共面，即异面.

答案：异面

6.如图所示，不共面的三条射线如，OB,0G点4,5,G分别是如，0B,比1上的点，且粤=噜=

UAULJ

五成立♦

14/18

o

求证：AABCoAABC.

证明：在△的8中，，噜=%:.ABUAB.

同理可证4G〃〃；B^QZ/BC.

：.ZG4A=ZCAB,NAB&=NMC.：.XA、B\C\SXABC.

、课下能力提升（六）

一、选择题

1.若直线a〃4bC\c=A,则a与c的位置关系是（）

A.异面B.相交

C.平行D.异面或相交

解析：选Da与c不可能平行，关a"c,又因为a〃4所以6〃c,这与6Cc=4矛盾，而a与。异

面、相交都有可能.

2.如图所示，在三棱锥比的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）

B

A.2对B.3对

C.4对D.6对

解析：选B据异面直线的定义可知共有3对.AP与BC,CP与AB,BP与AC

3.如图所示，在长方体木块4G中，E,尸分别是5。和GO的中点，则长方体的各棱中与用平行的

有（）

A.3条B.4条

C.5条D.6条

解析：选B由于反〃分别是50、GO的中点，故）〃5G,因为和棱6K平行的棱还有3条：AD.

BC、4〃，所以共有4条.

4.已知反F,G,"分别为空间四边形4?（力的各边四，BC,CD,血的中点，若对角线亚=2,AC=4,

则用+膜的值是（）

A.5B.10C.12D.不能确定

解析：选B如图所示，由三角形中位线的性质可得班//劭，FG附D,

再根据公理4可得四边形£7安〃是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以比2

+游=2X(l2+22)=10.

5.异面直线a,b,有岳a,6基£且aC£=c,则直线c与a,b的关系是()

A.c与a,6都相交

B.c与a,8都不相交

C.c至多与a,6中的一条相交

D.c至少与a,6中的一条相交

解析：选D若c