【初中 数学】三元一次方程组及其解法教案 2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

第六章一次方程组6.3三元一次方程组及其解法

一、教材分析本节课《三元一次方程组及其解法》是华师版初中数学七年级下册第六章第三节内容．本课在学生学习了二元一次方程、二元一次方程组及二元一次方程组的解的基本概念后，进一步深入学习三元一次方程、三元一次方程组及其解法组的解．通过本课的学习，加深学生对消元的认知，感受“消元”的思想．

二、学情分析在本节课的学习中，学生已经具备了方程组的基础知识，对方程组的概念有了初步详细的了解．然而，在面对多元题目还不能迅速的做出判断，找出应消去的未知数．因此，在教学过程中，要采用学生多练，多思考，教师要主动引导学生总结归纳解题的方法和规律．

三、教学目标1．了解三元一次方程组的概念．2．会用“代入”、“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决．3．能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法．4．让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法．

四、教学重难点重点：三元一次方程组的解法及“消元”思想．难点：根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元．

五、教学过程情境导入在6.1节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队在“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与平的场数．在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的计分规则，共得18分，已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？这个问题可以通过列出一元一次方程或二元一次方程组来解决．小明同学提出了一个新的思路：问题中有三个未知数，如果设勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数分别为x、y、z，又将怎样呢？分别将已知条件直接“翻译”，列出方程，并将它们写成方程组的形式，得x+y+z=10①3x+y=18②像这样的方程组称为三元一次方程组．怎样解三元一次方程组呢？回忆一下二元一次方程组的解法，从中得到什么启示？师生活动：学生独立思考，再小组交流，最后呈现答案．设计意图：通过创设问题情境，引入新课，使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题．复习回顾解二元一次方程组的基本思想是什么？你会用几种方法解二元一次方程组？答：我们知道，解二元一次方程组的基本思想是“消元”：消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程求解．方法有代入消元法和加减消元法．师生活动：采用教师问学生答．设计意图：通过提前布置预习作业，培养学生建立清晰的知识体系，不仅回顾了知识点也为学生接下来学习新课做铺垫．探究新知活动一：三元转换为二元解决问题问题1：如何解情境导入中的三元一次方程组？对于三元一次方程组，同样可以先消去某一个（或两个）未知数，转化为二元一次方程组（或一元一次方程）求解．注意到方程③中，x是用含y和z的代数式来表示的，把它分别代入方程①②，就可以消去x，得到2y+2z=10（化归思想在这里进一步得到体现，你体会到了吗？）这是一个关于y、z的二元一次方程组，解得y=3将y=3z=2代入方程③中，可得所以这个三元一次方程组的解是x=5什么叫三元一次方程？在这个方程组中，x+y+z=10和x=y+z都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．必备条件：(1)是整式方程；(2)含三个未知数；(3)所含未知数的项的次数都是1．什么叫三元一次方程组？像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组．(1)是整式方程；(2)含三个未知数；(3)三个都是一次方程；(4)联立在一起．上面的三元一次方程组能否用加减消元法求解？或者能否利用方程③，直接代入方程①中的y+z？比较一下，哪种方法更简便？由此你能总结出解三元一次方程组的步骤吗？设计意图：引导学生观察方程组中相应方程之间的关系，从而培养学生爱探索的好习惯．师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．概念归纳：解三元一次方程组的步骤：1.利用代入法或加减法先消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组.2.解二元一次方程组.3.将二元一次方程组的解代入其中一个方程，求出第三个未知数.【教学说明】结合情境问题中列出的方程组，类比前面所学二元一次方程组的解法，得到解三元一次方程组的整体思路．活动二：选择适当的方法解方程组问题2：解方程组3x−y+2z=32x+y−4z=117x+y−5z=1，若要使运算简便，消元的方法应选取(A.先消去xB.先消去yC.先消去zD.以上说法都不对师生活动：学生先独立思考，再小组交流．设计意图：通过让学生操作，培养学生动手的能力，并引发学生的思考，加深对本节概念的印象．应用新知经典例题：例1：解方程组：2x−3y+4z=3①3x−2y+z=7②解：由方程②，得z=7−3x把④分别代入方程①和③,得2x−3y+4(7−3x+2y)=3整理，得−2x+y=−5解这个二元一次方程组，得x=1代入④，得z=所以原方程组的解为x这里，我们用的是代入消元法：先由方程②，用含有x、y的代数式表示z，再分别代入方程①和③，消去未知数z，转化为只含有x的二元一次方程组求解。能否先消去x（或y）？怎么做？比较一下，哪个更简便？例2：解方程组：3x+4y−3z=3①2x−3y−2z=2②分析：三个方程中未知数的系数都不是1或−1解：③－②，得3x+6z=−24即x+2z=−8①×3＋②×4，得17x−17z=17即x−z=1得方程组x+2z=−8x−z=1解得x=−2把x=−2z=−3代入方程②，得所以原方程组的解为x上述例1和例2的解答分别应用了代入消元法和加减消元法，先消去某一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后解所得的二元一次方程组，得到两个未知数的值，进而求出第三个未知数的值，从而得到原方程组的解．能否先消去z（或x）？怎么做？比较一下，哪个更简便？师生活动：学生先独立思考设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情，使学生进入问题情境，让学生加深对知识点印象．激发学生的求知欲望，感受数学的魅力．解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．课堂练习【教材练习】1、解下列方程组：（1）x（3）x(1)解：①＋②得4x+3z=18②－③得2x+5z=16得方程组4x+3z=18解得x=3将x=3z=2得y所以原方程组的解为x=(2)解：①＋2×②得3x−10z=−17得方程组3x−10z=−17解得x=1将x=1z=2得y所以原方程组的解为x=(3)解：把原方程组整理，得x③－①，得2y−z=4④①×4－②，得6y−7z=16⑤⑤－④×3，得−4z=4即z把z=−1代入④得y=3把y=32，z=−1代入①得所以原方程组的解为x=−1(4)解：由①得x:y=6:4④由②得y:z=4:5⑤由④和⑤得x:y:z=6:4:5设x=6k，则y=4k，z=5k把x=6k，y=4k，z=5k代入③得6k+4k+5k=60k=4把k=4代入x=6k=6×4=24所以原方程组的解为x=2．已知y=ax2+bx+c．当x=−2时，y=9；当x=0时，y=3；当x=2时，y=5．求a、解：根据题意得4a−2b+c=9①c=3②把②代入①、③得4a−2b=6解得a=1所以a=1，b=−1，c=3师生活动：学生先独立思考再作答．分析：把“三元”转换为“二元”后解二元一次方程组【限时训练】1．若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z的值为（）A.2B.3C.4D.5答：D师生活动：老师提问学生举手回答问题．解析:通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.2．下列方程是三元一次方程的是________．(填序号)①x+y−z=1； ②4xy+3z=7；③2x+y−7z=0； ④答：①3．解方程组：x+y+z=23①x−y=1②解：由方程②，得x=y+1④将④分别代入①和③，得2y+z=22解得y=8把y=8代入④，得x=9所以原方程组的解为x=4.在等式y=ax2+bx+c中，当x=−1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60求解：根据题意得a−b+c=0①4a+2b+c=3②②－①，得a+③－①，得4a+④与⑤组成二元一次方程组a+b=14a+b=10解得a=3把a=3b=−2代入①得所以原方程组的解为a归纳总结师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．1．本节课你学到了什么？2．解三元一次方程组的基本思路是什么？设计意图：通过小结让学生进一步加深并巩固本节课所学的知识．实践作业