【初中 数学】实践与探索教案 +2024-2025学年华东师大版七年级数学下册

第六章一次方程组6.4实践与探索

一、教材分析本节课《实践与探索》是华师版初中数学七年级下册第六章第四节的内容．本课在学生学习了二元一次方程组和它的解、二元一次方程组的解法和三元一次方程组及其解法的知识之后，作为本章最后一个小结，主要内容是培养学生学会建立二元一次方程组模型解决问题．通过在解决实际问题的过程中，同伴之间的讨论、交流与合作，体会与他人合作的重要性，逐步形成积极参与讨论、敢于发表见解并尊重与理解他人见解的意识．

二、学情分析在本节课的学习中，学生已经掌握了二元一次方程组的相关知识，但在解决不同问题时学生对解题使用方法还不能准确判断．因此，在本节课中通过学生积极思考、互相讨论，探索事物之间的数量关系，形成方程模型．学生学好本节知识，不仅可以解决本章基础问题还能培养学生对数学知识在教学过程中，要采用学生多练，多思考，教师要主动引导学生总结归纳解题的方法和规律．

三、教学目标1．通过对实际问题的探索与解决，逐步形成结合具体的事例发现并提出数学问题的能力．2．学会用二元一次方程组解决简单的实际问题．3．通过学生积极思考、互相讨论，探索事物之间的数量关系，形成方程模型．4．通过在解决实际问题的过程中，同伴之间的讨论、交流与合作，体会与他人合作的重要性，逐步形成积极参与讨论、敢于发表见解并尊重与理解他人见解的意识．

四、教学重难点重点：学生积极参与讨论和探究问题．难点：用二元一次方程组解决简单的实际问题．

五、教学过程复习回顾通过前面的学习，你能说出列二元一次方程组解决实际问题的步骤吗？其中什么是关键？师生活动：采用教师问学生答．设计意图：让学生对列二元一次方程组解决实际问题的步骤进行复习，为本节课作铺垫．探究新知活动一：建立二元一次方程组模型解决几何问题问题1：要用20张白卡纸做长方体的包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面，已知每张白卡纸可以做2个侧面，或者3个底面．如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，那么如何分才能使做成的侧面和底面正好配套？师生活动：请同学们独立思考，试解上面的问题,然后与你的同伴讨论、交流，探索解题进行方法.追问：1.本题有哪些已知量？(1)共有白卡纸20张；(2)一张白卡纸可以做盒身2个或盒底盖3个；(3)1个盒身与2个盒底盖配成一套．2.求什么？用几张白卡纸做盒身？几张白卡纸做盒底盖？3.若设用x张白卡纸做盒身，y张白卡纸做盒底盖，那么可做盒身多少个？盒底盖多少个？（2x个盒身，3y个盒底盖）4.找出2个等量关系.(1)用做盒身的白卡纸张数＋用做盒底盖的白卡纸张数＝20；(2)由已知(3)可知盒底盖的个数应该是盒身的2倍，才能使盒身与盒底盖正好配套．根据题意，得x+y=20解这个方程组，得x由于解为分数，所以如果不允许剪开，则只能做成16个包装盒，无法全部利用；如果允许剪开，则分法很多，例如可以将一张白卡纸一分为二，用8张半做盒身，11张半做盒底盖，可以做成盒身17个，盒底盖34个，正好配套成17个包装盒，较充分地利用了材料．问题2：小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如下图所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试”，结果小红七拼八凑，拼成如下图所示的正方形，咳，怎么中间还留有一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形！你能求出这些长方形的长和宽吗？1.观察小明的拼图你能发现小长方形的长xmm与宽ymm之间的数量关系吗？（根据矩形的对边相等，得3x=5y）2.再观察小红的拼图，你能写出表示小长方形的长xmm与宽ymm之间的另一个关系式吗？(显然有x+2=2y)这样就得到方程组3解这个方程组，得x=8个小矩形的面积和=8xy=8×10×6=480(mm2大正方形的面积=(x+2y)484−480=4(mm2)=22因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为2mm的小正方形．师生活动：在学生探索解题方法的过程中，教师要鼓励学生多角度地思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励．鼓励学生进行质疑和大胆创新．设计意图：引导学生认真审题，并找出等量关系．应用新知活动二：建立二元一次方程组模型解决实际问题例1：某商场购进甲、乙两种商品后，甲种商品加价50%、乙种商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲种商品打八折销售，乙种商品打八五折销售，某顾客购买甲、乙两种商品各1件，共付款538元，已知商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元．解：设甲种商品的进价为x元，乙种商品的进价为y元．根据题意，得x+y+88=538x化简，得x+y=450解得x=250答：甲种商品的进价为250元，乙种商品的进价为200元．例2：如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米．2x=x+3y解这个方程组，得x=答：小长方形的长是36厘米，宽是12厘米．师生活动：学生先独立思考设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情，使学生进入问题情境，让学生加深对知识点印象．激发学生的求知欲望，感受数学的魅力．课堂练习【教材练习】1．为了更有效地利用水资源，鼓励居民节约用水，某市规定，居民生活用水按三档分段计价．第一段：每户每月用水不超过Am3，水价为2.91元/m3；第二段：每户每月用水超过Am3但不超过Bm3，超过部分水价按3.71元/m3计算；第三段：每户每月用水超过B已知小红家上月用水20m3，并没有超过Bm3，缴纳水费59.80元．问：该市规定的用水标准解：2.91×所以小红家上月用水量超过Am3设该市规定的用水标准A是xm3，小红家按第二段超量部分计费的用水量是ym根据题意，得x+y=20解这个方程组，得x=答：设该市规定的用水标准A是18m3，小红家按第二段超量部分计费的用水量是2m2．某山区盛产一种野果，极具市场前景，一家经销公司一次收购23t．经市场预测，若直接销售，则每吨可获利500元；若经过粗加工并包装，则每吨可获利2500元；若制成罐头出售，则每吨可获利4000元．该公司每天可粗加工并包装4t或制罐头1.5t．同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须不超过7天全部销售或加工完毕．为此，公司研究了三种方案：（1）全部进行粗加工并包装；（2）尽可能多地制作罐头，余下的直接销售；（3）部分制作罐头，其余进行粗加工并包装，且正好7天完成。请你探究一下，为公司做决策．（1）全部进行粗加工并包装，可获利2500×23=57500（元）．（2）尽可能多地制作罐头，余下的直接销售，可获利4000×1.5×7+500×(（3）设制作罐头x天，进行粗加工并包装y天．根据题意，得x+y=7解这个方程组，得x=此时获利4000×1.5×2+2500×4×5=62000（元）．因为62000>57500>48250所以公司应选择方案（3）：安排2天制作罐头，5天进行粗加工并包装获利最大．师生活动：学生先独立思考再作答．分析：转换后利用代入法解二元一次方程组．【限时训练】1．一个长方形，它的长减少1cm，宽增加3cm，可得到一个正方形，其面积比原来的长方形面积大21cm2．分析：本题要求原来长方形的长与宽，可利用题中的条件找出相等关系，列出方程组来解决，由于原来长方形的长减少1cm，宽增加3cm，就可得到一个正方形，据此有相等关系“原长方形的长−1=原长方形的宽+3”，而所得的正方形比原来的长方形面积大21cm2．据此又可以得相等关系“所得正方形的面积－原来的长方形的面积=21”解：设原来长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意，得x−1=y+3化简得x解这个方程组，得x=答：原来长方形的长与宽分别是10cm，6cm．2.有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为5：4，第二个长方形的长与宽之比为3：2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6cm，求这两个长方形的面积．解：设第一个长方形的长与宽分别为5xcm和4xcm，第二个长方形的长与宽分别为3ycm和2ycm，根据题意，得2(5x+4x)−2(3y+2y)=1124x−2×3y解这个方程组，得x=因为5x×4x=1620cm2，3y×2y=15答：这两个长方形的面积分别为1620cm2，150cm3.某纸品厂为了制作甲、乙两种长方形无盖小盒(图1)，利用边角料裁出长方形和正方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等(图2)．现用300张长方形硬纸片和150张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可做甲、乙两种小盒各多少个？【教学说明】通过练习使学生掌握如何从几何问题中抽象出数学模型.解：设可做甲种小盒x个，可做乙种小盒y个．根据题意可得：4x+3y=300解这个方程组，得x答：可做甲种小盒30个可做乙种小盒60个．归纳总结师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．1．本节课你学到了什么？2．怎样建立二元一次方程组模型解决问题？设计意图：通过小结让学生进一步