2025年江西省上饶市余干县高考数学一模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年江西省上饶市余干县高考数学一模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|x2−6x−7<0}，N={x|2x>a}，若M⊆N，则实数a的取值范围为A.(−∞,14] B.(−∞,14) C.(−2,+∞) D.(−∞,−2]2.已知z=3+i1+i2+A.−1−3i B.−1+3i C.1−3i D.1+3i3.“m>1”是“椭圆C：x2m+y2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某统计数据共有13个样本xi(i=1,2,3,…,13)，它们依次成公差d=1的等差数列，若这组数据的60%分位数是26，则它们的平均数为(

)A.25 B.23 C.21 D.195.在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠A=60°，DM=3MC，则AM⋅A.1 B.32 C.2 D.6.将编号为1，2，3，4的4个小球随机放入编号为1，2，3，4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有1个凹槽与其放入的小球编号相同的概率是(

)A.14 B.724 C.587.已知双曲线C：x2a2−y24=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线右支上运动(不与顶点重合)，设PF1与双曲线的左支交于点Q，A.3 B.2 C.5 8.利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数f(x)=xx，x∈(0,+∞)，下列说法正确的是(

)A.f(x)有且只有一个极大值点

B.f(x)在(0,1e)上单调递增

C.存在实数a∈(0,+∞)，使得f(a)=1e二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l：ax+(a+1)y+2=0，圆O：x2+y2A.存在实数a，使圆O关于直线l对称

B.直线l过定点(2,−2)

C.对任意实数a，直线l与圆O有两个不同的公共点

D.当a=−12时，直线l被圆O10.已知函数f(x)=cosωx−sinωx(ω>0)，则下列说法正确的是(

)A.当ω=3时，f(x)在[0,π4]上单调递减

B.若函数f(x)的图象向左平移π4个单位长度后得到函数g(x)=2sinωx的图象，则ω的最小值为5

C.若函数|f(x)|的最小正周期为π4，则ω=8

D.当ω=2时，若关于x11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足DPA.当λ=μ时，BP⊥AC1

B.当μ=12时，三棱锥C1−PB1C的体积为定值

C.当λ+μ=1时，PC+PB的最小值为12+26

D.当λ=12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若(2x−ax)6展开式中的常数项为−160，则实数a=13.已知函数f(x)=e2x−1−e1−2x14.已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=2，Snn=a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=2[bcos2(π12−A2)−asinB2cosB2]．

(1)求16.(本小题15分)

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=8，N是AA1的中点，点P，Q分别是B1C1，B1N的中点，AB与平面17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex+e−x2−a(1+x22)(a∈R)．

(1)若曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为e2，求18.(本小题15分)

已知点A是直线x=−4上的动点，O为坐标原点，过点A作y轴的垂线l，过点O作直线OA的垂线交直线l于点B，记点B的轨迹为曲线C．

(1)求C的方程；

(2)过曲线C上一点P(t,2)的直线l1，l2分别交C于M，N两点(异于点P)，设l1，l2的斜率分别为k1，k2．

(Ⅰ)若k1k2=−43，求证：直线MN过定点；

(Ⅱ)若19.(本小题17分)

2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛．

(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；

(2)M大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为p(0<p<34)，且每次是否中奖相互独立．

(Ⅰ)记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为f(p)，求f(p)的极大值；

(Ⅱ)M大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时p参考答案1.D

2.A

3.B

4.A

5.D

6.C

7.C

8.D

9.BCD

10.AB

11.ABD

12.1

13.[−2,1]

14.an=n+1

15.解：(1)由b=2[bcos2(π12−A2)−asinB2cosB2]可得b=b[cos(π6−A)+1]−asinB，

所以bcos(π6−A)=asinB．

由正弦定理可得：sinBcos(π6−A)=sinAsinB，因为sinB>0，所以cos(π6−A)=sinA=32cosA+12sinA，

所以sinA=3cosA，

所以tanA=3，又A∈(0,π)，所以A=π3．

(2)因为b=3，BC边上的高为3217，

所以bsinC=3217，即sinC=217．

根据正弦定理：asinA=csinC⇒a32=c217⇒a=72c．

由余弦定理：a2=b2+c2−2bccosA=9+c2−3c，

所以74c2=9+c2−3c，

解得c=2，所以a=7．

所以△ABC的周长为：a+b+c=7+3+2=5+7．

16.解：(1)取BC中点O，连接OA，OP，因为三棱柱ABC−A1B1C1为正三棱柱，

所以OA，OB，OP两两垂直．

故可以O为原点，建立如图空间直角坐标系．

因为三棱柱ABC−A1B1C1为正三棱柱，且AB=AA1=8，

所以C(−4,0,0)17.解：(1)已知f(x)=ex+e−x2−a(1+x22)(a∈R)，

则f′(x)=ex−e−x2−ax，

∵曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为e2，

∴f′(1)=e−e−12−a=e2，解得a=−12e；

(2)由(1)可得f′(x)=ex−e−x2−ax，令g(x)=f′(x)=ex−e−x2−ax，

则g′(x)=ex+e−x2−a，

若x=0是f(x)的极小值点，则f′(0)=e0−e−02−a×0=0，

则f′(x)在x=0左侧附近小于0，在x=0右侧附近大于0，

这意味着f′(x)在x=0处的导数g′(x)>0，

把x=0代入g′(x)得g′(x)=e0+e−02−a=1−a>0，解得a<1；

当a<1时，

∵ex+e−x≥2ex⋅e−x=2，当且仅当ex=e−x，即x=0时，等号成立，

∴g′(x)=ex+e−x2−a>0恒成立，则f′(x)在R上单调递增，

当x<0时，f′(x)<f′(0)=0，f(x)单调递减；

当x>0时，f′(x)>f′(0)=0，f(x)单调递增，∴x=0是f(x)的极小值点；

当a=1时，此时g′(0)=0，令ℎ(x)=g′(x)=ex+e−x2−1，

则ℎ′(x)=ex−e−x2，此时ℎ′(0)=0，

∵ℎ(x)=ex+e−x2−1≥2ex⋅e−x2−1=0，

当且仅当ex=e−x，即x=0时，等号成立，∴g′(x)≥0恒成立，

则f′(x)在R上单调递增，

当x<0时，f′(x)<f′(0)=0，f(x)单调递减；当x>0时，f′(x)>f′(0)=0，f(x)单调递增；

∴x=0是f(x)的极小值点；

当a>1时，

令g′(x)=0，即ex+e−x2−a=0，设ex=t(t>0)，

则t+1t2−a=0，整理得t2−2at+1=0，

由一元二次方程求根公式t=2a±4a2−42=a±a2−1，

∵a>1，∴a+a2−1>1，0<a−a2−1<1，

存在x0≠0(x0=lnt)，使得在x0附近，当x在x0到0之间或0到x0之间时，g′(x)<0，f′(x)单调递减，

此时f′(x)在x=0两侧不满足左负右正，则x=0不是f(x)的极小值点；

综上，a的取值范围是(−∞,1]．

18.解：(1)设B(x,y)，

因为点A是直线x=−4上的动点，

所以设A(−4,y)，

根据OA⊥OB，

可得OA⋅OB=(−4,y)⋅(x,y)=−4x+y2=0，

故y2=4x；

(2)设直线x=my+n，

由x=my+ny2=4x，

得y2−4my−4n=0，

设M(x1,y1)，N(x2,19.解：(1)记事件A：小王已经答对一题，事件B：小王未进入决赛，

则P(B|A)=n(AB)n(A)=C41⋅C21C41⋅C21+C42=88+6=47；

(2)(I)由题意知，f(p)=C