2025年上海市崇明区高考数学二模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年上海市崇明区高考数学二模试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若a>b>0，c>d，则下列结论正确的是(

)A.a−b<0 B.ac2+1>bc2.若圆锥的轴截面(过圆锥轴的一个截面)是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为(

)A.π B.2π C.3π D.4π3.抛掷一枚质地均匀的硬币n次(其中n为大于等于2的整数)，设事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为(

)A.5 B.4 C.3 D.24.数列{an}是等差数列，周期数列{bn}满足bn=cos(anA.4 B.5 C.6 D.7二、填空题：本题共12小题，共54分。5.不等式|x−1|<2的解集为______．6.已知复数zi=1−2i(i为虚数单位)，则z=______．7.已知全集U=R，集合A={1,2,4}，B={2,4,5}，则A∩B−=8.直线x=−2与直线3x−y+1=0的夹角为_____．9.已知a=(1,0)，b=(2,1)，则|a+210.函数y=2sin(ωx−π16)(ω>0)的最小正周期是π，则ω=______．11.某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如图所示茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为______．12.在△ABC中，若c=3，C=π3，其面积为3，则a+b=13.若(x+1)10=a0+14.已知f(x)=−x2+ax,x≤1ax−1,x>115.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点为F1、F2.以O为顶点，F16.已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数a、c∈M，b∉M且a<b<c时，称M为“间断整数集”.集合{x|1≤x≤10,x∈Z}的所有子集中，是“间断整数集”的个数为______．三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，PA=2，点E，F分别为PB，PD的中点．

(1)求证：PA⊥平面ABCD；

(2)求点P到平面AEF的距离．18.(本小题14分)

已知f(x)=log3(x+a)+log3(6−x)．

(1)是否存在实数a，使得函数y=f(x)是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由；

(2)若a>−3且a≠019.(本小题14分)

某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示．

(1)从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率；

(2)根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9℃，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17℃，最低温度为9℃，当天的温差为8℃，记4月1日至4日这4天温差的方差为s12，4月11日至14日这4天温差的方差为s22，若s22=43s12，求4月14日天气预报的最高气温；

(3)从3月31日至420.(本小题18分)

已知抛物线Γ：x2=4y，过点P(a,b)的直线l与抛物线Γ交于点A、B，与y轴交于点C．

(1)若点A位于第一象限，且点A到抛物线Γ的焦点的距离等于3，求点A的坐标；

(2)若点A坐标为(4,4)，且点B恰为线段AC的中点，求原点O到直线l的距离；

(3)若抛物线Γ上存在定点D使得满足题意的点A、B都有DA⊥DB，求a、b满足的关系式．21.(本小题18分)

已知函数y=f(x)，P为坐标平面上一点.若函数y=f(x)的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数y=f(x)在点Q处的切线，则称点P具有性质Mf．

(1)若f(x)=x2，判断点P(1,0)是否具有性质Mf，并说明理由；

(2)若f(x)=2x3−4x2+2x，证明：线段x=12(−1≤y≤1)上的所有点均具有性质Mf参考答案1.B

2.B

3.C

4.D

5.(−1,3)

6.2+i

7.{1}

8.π69.2910.2

11.7

12.2113.31014.(0,2)

15.2+216.968

17.解：(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，

∴AB⊥BC，CD⊥AD，

∵AB∩PB=B，AD∩PD=D，

∴BC⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，

∴PA⊥BC，PA⊥CD，

∵BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．

(2)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

∵PA=2，点E，F分别为PB，PD的中点，

∴P(0,0,2)，A(0,0,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)，

AE=(1,0,1)，AF=(0,1,1)，AP=(0,0,2)，

设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅AE=x+z=0n⋅AF=y+z=0，取x=1，得n=(1,1,−1)18.解：(1)根据题意，存在a=6，使得函数y=f(x)是偶函数，

当a=6时，f(x)=log3(x+6)+log3(6−x)，有x+6>06−x>0，

解可得−6<x<6，即函数的定义域为(−6,6)，

由f(−x)=log3(6−x)+log3(6+x)=f(x)，则f(x)为偶函数，符合题意，

综上所述，存在实数a=6，使得函数y=f(x)是偶函数；

(2)由f(x)≤f(6−x)，得log3(x+a)+log3(6−x)≤log3(6−x+a)+log3x，

所以x+a>06−x>06−x+a>0x>0，且(x+a)(6−x)≤x(6−x+a)①，

由①得，ax≥3a，

因为a>−3且a≠0，

所以当−3<a<0时，−a<x≤3；当a>0时，3≤x<6，

综上所述，当−3<a<0时，不等式的解集为(−a,3]；当a>0时，不等式的解集为[3,6)．

19.解：(1)设事件A=“从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，这三天中至少有两天是阵雨”，

连续统计三天共有12个样本点，事件A共有4个样本点，

所以P(A)=412=13；

(2)因为4月1日至4日这4天温差分别为9℃、8℃、9℃、9℃，

所以s12=14i=14(xi−x−)2=316，设4月14日的温差为x℃，

则4月1101233355随机变量×的期望E[X]=0×320.解：(1)设A(x,y)(x,y>0)，因为点A在抛物线上，

所以点A到抛物线T的焦点的距离等于它到抛物线Γ的准线y=−1的距离，

所以y+1=3，y=2，

所以x=42，

故点A的坐标是(22,2)；

(2)设B(b,b24)，则C(2b−4,b22−4)，

由题意，4−2b=0，所以b=2，

所以B点坐标为(2,1)，

直线l的方程为：3x−2y−4=0，

所以原点O到直线l的距离d=|−4|32+(−2)2=41313；

(3)设D(x0,x024)，由题意，直线l斜率必然存在，

设其方程为：y−b=k(x−a)，

代入x2=4y中，得：x2−4kx+4ka−4b=0，

设A(x1,x124),B(x2,x224)，

则x1+x2=4k，x1x2=4ka−4b，

因为DA⊥DB，

所以DA⋅DB=(x1−x0,x124−x024)⋅(x2−x0,x224−x024)=0，

所以x1x2+(x1+x2)x0+x02+16=0，

故4ka−4b+4kx0+x02+16=0，

即4(a+x0)k+x02+16−4b=0，

由题意，得x0=−ax02=4b−16，

因此a2=4b−16．

21.解：(1)点P(1,0)具有性质Mf，理由如下：

设Q(q,q2)，因为f′(x)=2x，

所以曲线y=f(x)在点Q处的切线方程为：y=2qx−q2，

将点P(1,0)坐标代入，得：2q−q2=0，

所以q=0或2，

即函数y=f(x)的图像上存在与P不同的一点Q(0,0)，使得直线PQ是函数y=f(x)图像在点Q处的切线，

故点P(1,0)具有性质Mf；

(2)证明：f′(x)=6x2−8x+2，

设P(12,y)(−1≤y≤1)，Q(q,2q3−4q2+2q)，

函数y=f(x)的图像在Q处的