经典模型专题4相似三角形的基本模型

第二十七章相似经典模型专题4相似三角形的基本模型模型1

A字型

模型展示

图形

特征DE∥BC∠AED＝∠C∠ABD＝∠C结论△ADE∽△ABC⇒

＝

＝

①△ABD∽△ACB；②

＝

＝

；③AB2＝AD·AC1.

（2023·大连西岗区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，

DB＝4，BC＝15，则DE的长为（B

）A.6B.9C.10D.12B[变式]

已知线段的长→已知线段的数量关系若将第1题中的“AD＝6，DB＝4”改为“AD＝2BD”，则DE＝

⁠.10

2.

（2023·大连月考）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的边OA上的一点，AC∶OC＝1∶3，过点C作CD∥OB交AB于点D.

若C，D两点的纵坐标分别为1，4，则点B的坐标为

⁠.（0，12）

第3题图

4.

（2024·沈阳沈北新区期末）如图，在△ABC中，D是边AB上的一点.（1）当∠ACD＝∠B时，①求证：△ABC∽△ACD；②若AD＝1，BD＝3，求AC的长.解：（1）①证明：∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，∴△ABC∽△ACD.

解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD.

∵OE⊥BD，∴OE是BD的垂直平分线，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠BDE.

∵DE平分∠BDC，∴∠CDE＝∠BDE，∴∠CDE＝∠DBC.

又∵∠DCE＝∠BCD，∴△ECD∽△DCB.

5.

如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点M，E，连接OE，且OE⊥BD.

（1）求证：△ECD∽△DCB；

5.

如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点M，E，连接OE，且OE⊥BD.

模型2

X字型

模型展示图形

特征AB∥CD∠A＝∠D结论△AOB∽△COD⇒

＝

＝

△AOB∽△DOC⇒

＝

＝

6.

如图，已知∠ADE＝∠AFB，BD＝6，CF＝4，DE＝3，则EF的

长为

⁠.2

7.

（2024·沈阳月考）如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C，

D为格点，连接AB，CD相交于点E，则AE的长为

⁠.

8.

（2023·无锡）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，

CD的中点，AF与DE相交于点G，则DG∶EG＝

⁠.2∶3

9.

（2024·上海松江区月考）如图，在平行四边形ABCD中，G是CB延

长线上的一点，连接DG，分别交AC，AB于点E，F，且AE∶EC＝

2∶3.（1）若AD＝10，求BG的长；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，

∵△ADE∽△CGE，

9.

（2024·上海松江区月考）如图，在平行四边形ABCD中，G是CB延长线上的一点，连接DG，分别交AC，AB于点E，F，且AE∶EC＝2∶3.模型3

双垂直型

模型展示图形

特征∠BAC＝90°，AD⊥BC结论①△ABC∽△DBA∽△DAC；②AB2＝BD·BC；③AC2＝CD·BC；④AD2＝BD·CD

4

11.

如图，在锐角三角形ABC中，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，

AB＝14，AD＝4，BE∶EC＝9∶2，则CD＝

⁠.

12.

在△ABC中，∠C＝90°，A（－1，0），B（3，0），点C在y轴

上，则顶点C的坐标为

⁠.

13.

如图，AB为☉O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接

AC，OC，BC.

（1）求证：∠ACO＝∠BCD；解：（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∵AB⊥CD，∴∠A＋∠ACE＝90°，∠ACE＋∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD.

∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD.

（2）若CD＝AE＝8，求BC的长.

13.

如图，AB为☉O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接

AC，OC，BC.

14.

（2023·鞍山铁东区月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，连接DB，AE⊥BD于点G，交BC于点E.

（1）求证：BE2＝GE·AE；

（2）连接CG，若∠CGE＝∠DBC，求证：BE＝CE.

14.

（2023·鞍山铁东区月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，连接DB，AE⊥BD于点G，交BC于点E.

模型4

手拉手型

模型展示

图形

特征△AOB∽△COD，且绕公共顶点O旋转，简记为“共顶

点，顶角相等，旋转得相似”结论①△AOC∽△BOD；②

＝

＝

；③两条拉手线AC，BD所在直线的夹角与∠AOB相等或

互补15.

（2024·抚顺东洲区模拟）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（D

）A.

∠C＝∠EB.

∠B＝∠ADEC.

＝

D.

＝

D16.

如图，点P在△ABC的外部，连接AP，BP，在△ABC的外部分别作∠PAQ＝∠BAC，∠ACQ＝∠ABP，记∠PAQ为∠1，∠ACQ为

∠2，连接PQ.

（1）求证：AC·AP＝AB·AQ；

（2）判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由.解：（2）∠PQA＝∠ACB.

16.

如图，点P在△ABC的外部，连接AP，BP，在△ABC的外部分别作∠PAQ＝∠BAC，∠ACQ＝∠ABP，记∠PAQ为∠1，∠ACQ为

∠2，连接PQ.

17.

（1）如图1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE.

①求证：△ABC∽△ADE；②若AB＝AC，试判断△ADE的形状，并说明理由.

∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE.

②△ADE是等腰三角形.理由如下：

（2）如图2，旋转△ADE，使点D落在边BC上，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE.

求证：CE⊥BC.

∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴CE⊥BC.

模型5

一线三等角

模型展示

图形

特征两个三角形的其中一条边在同一条直线上，并且有一个顶点重合结论①△ABC∽△CDE；②AB·DE＝BC·CD特例当C为BD的中点时，△ABC∽△CDE∽△ACE18.

如图，E是AB的中点，AC＝5，BD＝2.若∠A＝∠CED＝∠B，

则AB的长为（C

）A.7B.

C.

2

D.10C

20.

（2024·沈阳康平月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝

12，点D，E分别在边BC，AC上（点D不与端点B，C重合），并且

满足∠ADE＝∠B.

（1）求证：△ABD∽△DCE.

解：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

∵∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠C.

∵∠ADB＝180°－∠ADE－∠CDE，∠DEC＝180°－∠C－

∠CDE，∴∠ADB＝∠DEC，∴△ABD∽△DCE.

（2）设BD＝x，CE＝y，当x取何值时，y取最大值？y的最大值为多

少？

（3）当△ADE是等腰三角形时，求BD的长.

模型6

半角模型

模型展示

图形基本图形拓展图形

特征AB＝AC，∠BAC＝

2∠MAN＝90°△AMN为等边三角形，

∠BAC＝2∠MAN＝120°结论△ABN∽△MAN∽△MCA△ABM∽△CAN∽△CBA21.

如图，在△PAD中，∠APD＝120°，B，C为边AD上的两点，

△PBC为等边三角形，找出图中的相似三角形，并说明理由.解：△PAB∽△DPC∽△DAP.

理由如下：∵△PBC是等边三角形，∴∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°.∵∠APD＝120°，∴∠APB＋∠DPC＝60°.∵∠A＋∠APB＝60°，∠PDC＋∠DPC＝60°，∴∠A＝∠DPC，∠PDC＝∠APB.

∵∠PBA＝∠PCD＝120°＝∠APD，∴△PAB∽△DPC∽△DAP.

22.

如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG

摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠G＝90°，BC＝6.若△ABC

固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF，AG与边BC分别交于点D，

E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）.