17.1　勾股定理（第3课时　利用勾股定理作图）

1/917．1勾股定理第3课时利用勾股定理作图本节课是在学生体验了勾股定理的探索过程，从中发现在直角三角形中，已知两边的长，就可以求出第三边的长后，相应安排探究3“在数轴上画出表示eq\r(13)的点”，目的是让学生掌握并熟练运用勾股定理解决简单的问题．【置疑导入】操作与探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示eq\r(13)的点吗？为了研究这个问题，请完成如下探究：1．根据下图填空：x＝eq\r(2)，y＝eq\r(3)，z＝2，w＝eq\r(5)．2．按照图中的规律一直作下去，你能说出第n个小直角三角形的各边长吗？3．利用勾股定理，是否可以在数轴上画出表示eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(4)，eq\r(5)，…的点？试一试．4．13可以写成哪两个整数平方和的形式？现在你能在数轴上画出表示eq\r(13)的点吗？动手画一画吧！【说明与建议】说明：利用一个目的明确的操作探究问题引入新课，培养学生的动手操作能力和抽象概括能力，激发学生的学习兴趣．建议：教师设计的问题串能很好地帮助学生突破难点，所以教学中要充分调动学生的学习主动性，要让学生自己动手去画图操作．【情景导入】如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面圆的周长等于18cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，则沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(1)尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？(2)将圆柱侧面剪开并展开成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？(3)蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？【说明与建议】说明：将曲面最短路程问题转化为平面最短距离问题，并利用勾股定理求解实际问题引入新课．使学生在活动中体验数学建模思想，增强学生的探究能力、操作能力、分析能力，发展空间观念．建议：学生分小组合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案路线长度的计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．要让学生通过探究发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到长方形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学知识解决实际问题的方法．命题角度1利用勾股定理在数轴上表示数1．(1)用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示eq\r(10)的点A.(要求：不写作法，保留作图痕迹)(2)若数轴上的另一点B与点A关于1所在的点对称，则点B对应的数是2－eq\r(10)．解：如图，点A即为所求．命题角度2勾股定理与网格2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．(1)在图1中，以格点为端点，画线段MN＝eq\r(13)；(2)在图2中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10.eq\o(\s\up7(),\s\do5(图1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图2))解：如图所示．命题角度3勾股定理与图形计算3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于点E，已知CD＝6，AD＝10.(1)求线段AE的长；(2)求△ABC的面积．解：(1)∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，∴DE＝CD＝6.∴AE＝eq\r(AD2－DE2)＝eq\r(102－62)＝8.(2)易得BE＝BC.设BC＝x，则BE＝x，AB＝8＋x.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即162＋x2＝(8＋x)2，解得x＝12.∴BC＝12.∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)×16×12＝96.课题17.1第3课时利用勾股定理作图授课人素养目标1.会运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步理解、感受数轴上的点与实数的一一对应关系．了解利用勾股定理证明HL定理．2．会运用勾股定理解决带有一定综合性的几何图形问题，并从中进一步体会数形结合思想与转化思想．教学重点运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，运用勾股定理进行作图与计算．教学难点理解实数与数轴的一一对应关系，在比较复杂的图形中利用勾股定理进行计算．授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆总长为24m，则旗杆顶部落在离旗杆底部12m处．2．如图所示，校园内有两棵树相距8m，一棵树高13m，另一棵树高7m，一只小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞10m.师生活动：教师组织学生分析，然后给学生留充分的时间去完成，完成之前可先复习一下勾股定理的内容．回顾旧知，为新课做铺垫．活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】投影出图片：思考：这个美丽的图案是怎么画出来的？它依据的是什么数学知识？观察发现：图形由若干个直角三角形构成，是根据我们所学的勾股定理来完成的．我们知道eq\r(2)是边长为1的等腰直角三角形的斜边的长，可是在数轴上如何表示出eq\r(2)呢？如何表示eq\r(3)呢？师生活动：教师投影出图片，学生观察，联想到美丽的海螺的图案．学生讨论出思考题的结果，教师做点评．利用目的明确的操作探究问题引入新课，激发学生的学习兴趣．活动二：实践探究、交流新知【探究新知】探究一：利用勾股定理证明HL定理在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？师生活动：教师提出问题，师生共同画图，写出已知、求证，学生加以证明．已知：如图所示，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′.分析：要证明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，难以找到锐角对应相等，只有找第三边相等，发现可以根据勾股定理得到BC＝eq\r(AB2－AC2)，B′C′＝eq\r(A′B′2－A′C′2)，容易得到BC＝B′C′.证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根据勾股定理，得BC＝eq\r(AB2－AC2)，B′C′＝eq\r(A′B′2－A′C′2)，又∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′．∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).探究二：怎样在数轴上画出表示eq\r(13)的点？分析引导：教师可帮助学生进行如下分析：(1)你能画出长为eq\r(2)的线段吗？怎么画？说说你的画法．(2)设斜边c＝eq\r(13)，两直角边分别为a，b，根据勾股定理有a2＋b2＝13，若a，b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，则a＝2，b＝3，所以长为eq\r(13)的线段是直角边长分别为正整数2和3的直角三角形的斜边长．(3)在数轴上怎样作出这个三角形呢？师生活动：学生根据教师的提示思考讨论如何画出长为eq\r(13)的线段，教师根据学生的叙述，写出画法，适当点评．通过证明HL定理使学生掌握勾股定理在推理证明中的应用，提高学生应用勾股定理解决实际问题的能力．利用勾股定理和数轴上的点表示实数，将数和图形联系在一起，让学生领会了数形结合的思想，同时也加深了对勾股定理、数轴和实数的理解．规范学生的作图语言和作图．活动三：开放训练、体现应用活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1在数轴上画出表示eq\r(17)的点(不写作法，但要保留画图痕迹).解：如图所示，点A即为所求．例2如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8.求AC的长．解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.在Rt△BCD中，BD＝eq\r(BC2－CD2)＝6.设AC＝AB＝x，则AD＝x－6，在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，即x2＝(x－6)2＋82，解得x＝eq\f(25,3).∴AC＝eq\f(25,3).例3如图，有一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm.(1)请问：长为12.5dm的铁棒能放进去吗？(1)如果有一只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．解：(1)连接BD，∵AD＝12dm，AB＝4dm，∴BD2＝AD2＋AB2＝122＋42＝160.∴CD＝eq\r(BD2＋BC2)＝eq\r(160＋32)＝13(dm).∵13dm>12.5dm，∴长为12.5dm的铁棒能放进去．(2)如图1所示，CD＝eq\r(（12＋4）2＋32)＝eq\r(265)(dm).如图2所示，CD＝eq\r(（3＋4）2＋122)＝eq\r(193)(dm).如图3所示，CD＝eq\r(（12＋3）2＋42)＝eq\r(241)(dm).∵eq\r(265)>eq\r(241)>eq\r(193)，∴爬行的最短路程是eq\r(193)dm.eq\o(\s\up7(),\s\do5(图1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图2))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图3))【变式训练】1．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是(B)A.eq\r(5)＋1B．eq\r(5)－1C．－eq\r(5)＋1D．－eq\r(5)－12．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，连接CD，AC＝2eq\r(3)，BC＝2，DB＝1，CD＝eq\r(3)，则AB的长为4．3．如图，在Rt△OA1A2中，过点A2作A2A3⊥OA2，以此类推．且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝1，记△OA1A2的面积为S1，△OA2A3面积为S2，△OA3A4面积为S3，…，细心观察图，认真分析各题，然后解答问题：①(eq\r(1))2＋1＝2，S1＝eq\f(\r(1),2)；②(eq\r(2))2＋1＝3，S2＝eq\f(\r(2),2)；③(eq\r(3))2＋1＝4，S3＝eq\f(\r(3),2)；……(1)请写出第n个等式：(eq\r(n))2＋1＝n＋1，Sn＝eq\f(\r(n),2)；(2)根据式子的规律，线段OA10＝eq\r(10)；(3)求出Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋…＋Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))的值．解：Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋…＋Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))＝(eq\f(1,2))2＋(eq\f(\r(2),2))2＋(eq\f(\r(3),2))2＋…＋(eq\f(\r(10),2))2＝eq\f(1＋2＋…＋10,4)＝eq\f(55,4).师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．掌握勾股定理在几何计算中的应用，提高学生应用勾股定理解决问题的能力．引导学生积极发表自己的看法，梳理所学到的知识，加深对知识的理解和巩固．活动四：课堂检测【课堂检测】1．在长方形纸片ABCD中，AD＝10cm，AB＝4cm，按如图所示的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝eq\f(29,5)__cm．第1题图第2题图2．如图，有一个圆柱，它的高为15cm，底面半径为eq\f(8,π)cm，在点A的一只蚂蚁想吃到点B的食物，爬行的最短路程为17__cm．3．在数的发展中，我们发现，有理数已经不能满足人们的需要，比如正方形ABCD的面积为2，则它的边长就不是一个有理数，所以就产生了像eq\r(2)这样的无理数．后来我们学习了勾股定理，很多的无理数都可以用线段来表示，也都可以在数轴上表示．问题：(1)在数轴上作出表示－eq\r(2)的点(保留作图痕迹).(2)在6×8的网格图中(每个小正方形边长均