七年级数学上册知识点练习专题28 数轴贯穿有理数的经典考法【九大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版）

专题2.8数轴贯穿有理数的经典考法【九大题型】

【华东师大版】

型

题

1数轴上点的平移】......................................................................1

型

题

2数轴上点表示的数】....................................................................4

型

题

3判断数轴上点的符号或原点位置】.......................................................6

型

题

4数轴上两点距离的和差倍分问题】.......................................................8

型

题

6数轴与方程思想的运算】...............................................................16

型

题

数轴上的动点定值问题】...............................................................

型

题718

型数轴上的折置问题】...................................................................

题822

9数轴上点的规律问题】.................................................................26

”2片，?三

【题型1数轴上点的平移】

【例1】（2022•惠安县校级月考D在数轴上有三个点小B、C,如图所示.

（1）将点8向左平移4个单位，此时该点表示的数是-3；

（2）将点C向左平移3个单位得到数加，再向右平移2个单位得到数则m,n分别

是多少？

（3）怎样移动4、8、C中的两点，使三个点表示的数相同？你有几种方法？

」「4।4

-3-2-10123

【分析】（I）B点表示的数是1,再向左移动4个单位可得到表示的数是-3；

（2）C点表示的数是3,向左移动3个单位得到数加=3-3,再向右移2个单位得到数

n=0+2；

（3）移动方法有3科1，①把A、B两点移到。点处；②把人、。两点移到B点处；③把

。、B两点移到A点处.

【解答】解：（1）点3表示的数是1,向左平移4个单位是1・4=・3,即该点表示的

数是-3；

（2）点C表示的数是3,所以/〃=3-3=0,〃=0+2=2；

（3）有三种方法：①是C不动，将点A向右平移5个单位，将B向右平移2个单位;

②是4不动，将4向右平移3个单位，将。向左平移2个单位；

③是A不动，将B向左平移3个单位，将C向左平移5个单位.

故答案为：・3

【变式（2022•沂水县一模）在数轴上，点4,6在原点。的两侧，分别表示数0,1,

将点A向右平移2个单位长度，得到点C（点C不与点8重合），若C0=8。，则。的

值为（）

A.1B.-1C.-2D.-3

【分析】根据CO=B。且点C不与点B重合可得点C表示的数为-1,据此可得。=-1

-2=-3.

【解答】解：•・•点。在原点的左侧，且CO=BO,

・••点C表示的数为-1，

:・a=-1-2=-3.

故选：

【变式1-2］（2022•乳山市期中）已知点A,B在数轴上表示的数分别是-2,3,解决下列

问题：

（1）将点A在数轴上向左平移;个单位长度后记为A，Ai表示的数是一,膈点8

J«J

在数轴上向右平移1个单位长度后记为8,S表示的数是」

（2）在（1）的条件下，将点&向左移动库个单位长度后记为史，则生表示

的数与小表示的数互为相反数；

（3）在（2）的条件下，将原点在数轴上移动5个单位长度，则点所表示的数是多少？

【分析】（1）把点A表示的数减g得到4表示的数，把点B表示的数加上1得到以表

示的数：

（2）若&表示的数与4表示的数互为相反数，则比表示的数为2：,然后确定平移的方

法与距离；

（3）讨论：若将原点在数轴上向右移动5个单位长度，相当于把点&向左平移5个单

位，从而得到B2表示的数；若将原点在数轴上向左移动5个单位长度，相当于把点历

向右平移5个单位，从而得到比表示的数.

【解答】解：⑴4表示的数为-2-1二一/；办表示的数是4；

（2）在（1）的条件下，将点小向左移动弓个单位长度后记为&，则a表示的数与A

表示的数G为相反数；

（3）在（2）的条件下，若将原点在数轴上向右移动5个单位长度，则点&表示的数是

-21；若将原点在数轴上向左移动5个单位长度，则点々表示的数是公；

AO

故答案为-2；；4；左，1；.

*5

【变式1-3］（2022•工业园区期末）【理解概念】

对数轴上的点P按照如下方式进行操作：先把点P表示的数乘以2,再把表示得到的这

个数的点沿数轴向右平移3个单位长度，得到点P'.这样的操作称为点。的“倍移”，

数轴上的点4、B、C、D、E、产经过“倍移”后，得到的点分别为A'、夕、C'、D'、

E、F'.

【巩固新知】

（1）若点A表示的数为-1,则点A'表示的数为

（2）若点夕表示的数为9,则点B表示的数为3.

【应用拓展】

（3）若点C表示的数为5,且CD'=3CD,求点。表示的数；

（4）已知点E在点尸的左侧，将点E'、尸再次进行“倍移”后，得到的点分别为E”、

F",若E〃F"=2020,求的长.

【分析】（I）由-1X2+3=1,即可得出对应点A表示的数为1；

（2）设点B表示的数为1,2x+3=9,即可得出结论：

（3）设点。表示的数为d,则。'表示的数为2d+3,由|2d+3-5|=3|d-5|,即可得出

结论”：

O

（4）设点E表示的数为e,点尸表示的数为/；则e＜/,则点石'表示的数为2e+3,点

F表示的数为2户3,进而可表达E''和F'',再根据条件列等式求解.

【解答】解：（1）•・•点A表示的数为-1,

:.-1X2+3=1,

・••点々表示的数为1,

故答案为：1.

（2）设点8表示的数为斯

•・•点9表示的数是9,

A2x+3=9,

解得：x=3,

故答案为：3.

（3）设点短表示的数为d,D'表示的数为24+3,

■:CD'=3CD,

，|2d+3-5|=3|d-5|,

解得：d=l3或d=m.

・••点。表示的数为13或9.

（4）设点E表示的数为e,点尸表示的数为/；则

：-EF=f~e,

・••点E'表示的数为2e+3,点尸表示的数为＞3,

工点E''表示的数为2（2e+3）+3=4e+9,点尸'表示的数为2（＞3）+3=铲9,

（1）如果把这条路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点，请你在这条数轴

上标出聪聪家与青青家的大概位置（数轴上一格表示50米）.

（2）聪聪家与刚刚家相距多远？

（3）聪聪家向西20米所表示的数是多少？

（4）你认为可用什么办法求数轴上两点之间的距离？

■I■■）

刚-loo^e学+5咪

刚校

【分析】画数轴要注意正方向，原点和单位长度；数轴上两点间的距离公式是|。-臼=|

-100+1501=50；聪聪家向西20米所表示的数是-120；求数轴上两点间的距离可用右

边的点表示的数减去左边的点表示的数.

【解答】解：（1）依题意可知图为：

青

百

家

_1_

刚-100米学+50米

刚校

（2）V|-100-（-150）|=50（M,

・•・聪聪家与刚刚家相距50米.

（3）聪聪家向西20米所表示的数是-100-20=-120.

（4）求数轴上两点间的距离可用右边的点表示的数减去左边的点表示的数.

【变式2-2]（2022春•海淀区校级月考）直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动

一周，圆上的一点由原点到达。点，点。对应的数是（）

【分析】计算出圆的周长即可知道点O'所表示的数，而圆的周长=JiX直径.

【解答】解：圆的周长="X1=JT,

所以。对应的数是「

故选：C.

【变式2-3]（2022•南安市模拟）如图，数轴上点。对应的数为4则数轴上与数-3d对

应的点可能是（）

1iC।.

—4—3—2—1012x

A.点AB.点8C.点OD.点E

【分析】根据得到对照数轴即可得出答案.

【解答】解：1,

・•・-3<-34V-3

2

故选：B.

【题型3判断数轴上点的符号或原点位置】

【例3】(2022秋•岳池县期中)有理数〃、〃、c在数轴上所对应的点的位置如图所示，有

下列四个结论：①(«+/?)；2③同<；

(b+c)(c+a)>0@b<bb1c®\a-b\-\c

-a\+\b-c\~\a\=a.其中正确的结论有()个.

a■1|blaci、

-101

A.4B.3C.2D.1

【分析】根据数轴上各数的位置得出・IVOVbVcVl,依此即可得出结论.

【解答】解：由数轴上。、氏。的位置关系可知：

®a<O<b<c,

Va+b<0,b+c>0,c+aVO,

:.(a+b)(/>+(?)(c+a)>0>故①正确；

：.b2<b,b<-

bt

：,lr<b<\,故②错误；

D

⑤•••同)1,1-bc<1,

-he：故③错误；

④•：a<b,c>a,c>b,«<0>

.'•a-b<0,c-a>0,b-c<0»

\a-b\-\c-a\+\b-c\-\a\=b-a-(c・a)+(c-。)-(・a)=b-a-c+a+c-b+a

=a.故④正确.

故正确的结论有①④，一共2个.

故选：C.

【变式3-1](2022秋•新郑市期中)已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在

同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述错误的是

()

小红小刚小明小颖

______[.I1.11411.1.

-5-4-3-2-10123

A.数轴是以小明所在的位置为原点

B.数轴采用向北为正方向

C.小刚所在的位置对应的数有可能是-q

D.小刚在小颖的南边

【分析】根据数轴上匹人的位置判断即可.

【解答】解：A、数轴以小明所在的位置为原点，说法正确，不符合题意；

8、数轴采用向北为正方向，说法正确，不符合题意；

。、小刚所在的位置的数可能为-2.4,说法不正确，符合题意；

。、小刚在小颖的南边，说法正确，不符合题意.

故选：C.

【变式3-2]（2022秋•海淀区校级期末）如图，数轴上点A,M,8分别表示数小a+b,b,

那么原点的位置可能是（）

~Atl~Bk

A.线段AM上，且靠近点4B.线段48上，且靠近点8

C.线段8M上，且靠近点8D.线段上，且靠近点M

【分析】由点A,B,初的位置可知，a和。的符号相反，则且同<|〃|,结合

数轴的定义，可知原点一定在4B上，且靠近点A.

【解答】解：由点A,B,M的位置可知，aV0VA,且8MVAM,

:.b-（a+。）<（a+b）-a,-a<bf

・"1<依，

.*.a+b>0,

；・原点一定在AM上，且靠近点4.

故选：A.

【变式3-3]（2022秋•海陵区校级期中）如图，数轴上的点M,N表示的数分别是加，小

点M在表示（），1的两点（不包括这两点）之间移动，点N在表示-1,-2的两点（不

包括这两点）之间移动，则下列判断正确的是（）

NM

-3-2*-10*1234>

A.m2-2n的值一定小于0

B.13〃?+川的值一定小于2

C.」一的值可能比2000大

m-n

D,2+与勺值不可能比2000大

mn

【分析】根据，〃、〃的取值范围，这个选项进行判断即可.

【解答】解：由题意得，OV〃1V1,-2<n<-1,

nr-2/i>0,因此选项A不符合题意;

VO</n<l,-2<n<-1,

:.-2<rn+n<0,0<2w<2,

・•・・2<3m+n<2,因此选项B符合题意；

/〃-〃=/〃+（-〃）>1,<1»因此选项C不符合题意；

m-n

上的值无穷大，而-IvLv-；,因此工十工可能大于2000,因此选项。不符合题意，

mn2mn

故选：B.

【题型4数轴上两点距离的和差倍分问题】

【例4】（2022秋•吁胎县期中）已知数轴上两点A、B,其中A表示的数为-2,8表示的

数为2,若在数轴上存在一点C,使得AC+8C=〃,则称点C叫做点从、5的“〃节点”，

例如图I所示，若点C表示的数为0,有AC+8C=2+2=4,则称点C为点小B的“4

节点”.

请根据上述规定回答下列问题：

（I）若点C为点人、8的“〃节点”，且点C在数羯上表示的数为-3,则〃=6.

（2）若点。是数轴上点4、B的“5节点”，请你直接写出点。表示的数为-2.5或

2.5；

（3）若点石在数轴上（不与A、5重合），满足/3、£之间的距离是A、石之间距离的

一半，且此时点E为点4、8的“〃节点”，求出〃的值.

A••---••---B♦♦

-202

备用图

-----A•---.---•---.---B•----A-----A•---•---♦♦---B•----►

-202-202

备用图备用图

【分析】（I）根据‘，节点”的概念解答；

（2）设点。表示的数为「根据“5节点”的定义列出方程分情况，并解答；

（3）需要分类讨论：①当点E在6A延长线上口、J,②当点E在线段A6上时，③当点、E

在A8延长线上时，根据/3£=］七，先求点E表示的数，再根据AC+8C=〃，列方程可

得结论.

【解答】解：（1）「A表示的数为-2,B表示的数为2,点C在数轴上表示的数为-3,

：,AC=\,BC=5,

・・・〃=4C+3C=1+5=6.

故答案为：6.

(2)如图所示：

D・jA••••B•D•一、＞

-2.5-2022.5

•••点。是数轴上点A、B的“5节点”，

：,AD+BD=5,

；AB=4,

・•・/)在点A的左侧或在点A的右侧，

设点。表示的数为x,则4D+BQ=5,

，・2・x+2-x=5或x-2+x-(-2)=5,

x=-2.5或2.5,

・••点D表示的数为2.5或・2.5;

故答案为：・2.5或2.5；

(3)分三种情况：

①当点E在£4延K线上时，

•・•不能满足8E=)E,

・•・该情况不符合题意，舍去；

②当点E在线段A8上时，可以满足如下图,

AB

・・•E•••A

-202

n=AE+BE=AB=4；

③当点E在AB延长线上时，

*：BE=-AE,

2

：.BE=AI3=4,

，点七表示的数为6,

...〃=4E+BE=g+4=12,

综上所述：〃=4或〃=12.

【变式4-1](2022秋•江夏区校级月考)在数轴上，点人代表的数是-12,点B代表的数

是2,AB代表点A与点B之间的距离.

(1)®AB=14；

②若点夕为数轴上点力与8之间的一个点，且AP=6,则BP=8；

③若点尸为数轴上一点，且BP=2,则AP=12或16.

(2)若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点5的距离的和是35,求

C点表示的数.

(3)若P从点A出发,Q从原点出发，M从点8出发，且P、Q、M同时向数轴负方向

运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M

点的运动速度是每秒2个单位长度，当尸、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中

一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？

【分析】此题可借助数轴用数形结合的方法求解.(I)①根据距离定义可直接求得答案

14.②根据题目要求，P在数轴上点4与B之间，所以根据进行求解.③

需要考虑两种情况,即P在数轴上点A与8之间时和当P不在数轴上点A与B之间时.当

户在数轴上点A与8之间时，AP=AB-BP.当P不在数轴上点A与8之间时，此时有

两种情况，一种是超越八点，在八点左侧，此时8P>14,不符合题目要求.另一种情况

是尸在B点右侧，此时根据作答.(2)根据前面分析，C不可能在AB之

间，所以，。要么在A左侧，要么在8右侧.根据这两种情况分别进行讨论计算.(3)

因为m点的速度为每秒2个单位长度，远小于P、Q的速度，因此"点永远在P、。的

右侧.“当其中一个点与另外两个点的距离相等时”这句话可以理解成一点在另外两点

正中间.因此有几种情况进行讨论，第一是Q在尸和M的正中间，另一种是尸在Q和

M的正中间.第三种是。。重合时，MP=MQ,三种情况分别列式进行计算求解.

【解答】解:

(1)①AB之间的距离为2-(-12)=14.

②"总距离是14,。在数轴上点A与4之间，所以6P=48-”=14-6=8.

③P在数轴上点4与B之间时，AP=AB-8P=14-2f2；

当P不在数轴上点4与8之间时，因为A8=14,所以P只能在B右侧，此时8P=2,

4P=A8+BP=14+2=16.

(2)假设C为x,

当C在A左侧时，AC=-12-x,BC=2・x,AC+BC=35,解得x=字；

当C在6右侧时，AC=x-(-12),BC=x-2,AC+8c=35,解得x=学

(3)设经过时间7秒，则P点坐标为-12-6。。点坐标为-87,M点坐标为2・2。

当Q在。和M的正中间，即Q为的中点时，2(-87)=(-12-67)+(2-2T),

解得T=%.

当尸在。和M的正中间，即P为QM的中点时，2(・12・67)=(-87)+(2-2D,

解得了=-13<0,不合题意，舍掠.

当PQ重合时，即M到P、。距离相等时，此时MP=MQ,

/.-12-6T=-8T,

/.T=6s.

因此，当丁二：秒时，此时，M=Q=-10,P=-y.

当丁=6秒时，此时，M=-10,Q=-48,P=-48.

【变式4-2](2022•长汀县期中)点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、8之间且到

4的距离是点C到8的距离3倍・，那么我们就称点C是｛A,B｝的奇点.

例如，如图1,点A表示的数为・3,点B表示的数为1.表示0的点C到点A的距离是

3,到点8的距离是1,那么点。是｛A,3｝的奇点；又如，表示-2的点。到点A的距

离是1,到点9的距离是3,那么点7)就不是(八，闭的奇点，但点力是｛氏小的奇点.

如图2,M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-3,点N所表示的数为5.

(1)数3所表示的点是｛M,N｝的奇点：数7所表示的点是IN,M｝的奇点；

(2)如图3,A、B为数轴上两点，点人所表示的数为-5(),点B所表示的数为30.现

有一动点P从点8出发向左运动，到达点4停止.P点运动到数轴上的什么位置时，P、

A和8中恰有一个点为其余两点的奇点？

ADC3I、

-6-5-4-5-5-18f234

图1

¥「।一「y

-3-2-101234567>

图2

【分析】(1)根据定义发现：奇点表示的数到｛M,N｝中，前面的点M是到后面的数N

的距离的3倍，从而得出结论；

根据定义发现：奇点表示的数至l」｛N,M｝中，前面的点N是到后面的数M的距离的3倍，

从而得出结论；

(2)点八到点8的距离为80,由奇点的定义可知：分4种情况列式：①PB=3%；②

PA=3PB；®AB=3PA：®PA=3AB；可以得出结论.

【解答】解：(1)5-(-3)=8,

84-(3+1)=2,

5-2=3；

-3+2=-1.

故数3所表示的点是｛M,N｝的奇点；数-1所表示的点是｛N,M｝的奇点.

故答案为：3；-I；

(2)30-(-50)=80,

804-(3+1)=20,

30-20-10,

-50+20=-30,

-50-804-3=-76|（舍去），

-50-80X3=-290（舍去）.

故P点运动到数轴上的-30或10位置时，P、4和B中恰有一个点为其余两点的奇点.

【变式4-3］（2022•湖里区校级期中）已知数轴上两点A.B对应的数分别为-2和7,点

M为数轴上一动点.

（1）请画出数轴，并在数轴上标出点入、点4；

（2）若点M到4的距离是点M到8的距离的两倍，我们就称点M是［A,B］的好点.

①若点M运动到原点。时，此时点M不是【A,8］的好点（填是或者不是）

②若点M以每秒1个单位的速度从原点。开始运动，当渺是1B,A｝的好点时，求点

M的运动方向和运动时间

（3）试探究线段8M和AM的差即8M-AM的值是否一定发牛.变化？若变化，请说明

理由：若不变，请求其值.

【分析】（I）画出数轴，并在数轴上标出点A、点B即可；

（2）①先根据数轴上两点的距离表示出和AM的长，再根据好点的定义即可求解；

②分三种情况进行讨论：当点M在点4的右侧：当点M在点A与8之间时；当点M在

点人的左侧时；代入计算即可；

（3）同理按（2）②分三种情况计算.

【解答】解：（1）如图所示：

AB

1।1111111111111A

-207

（2）①AM=2,BM=1,

2X7=14X2,

故点M不是【A,Bl的好点；

②当点M在点8的右侧时，

2（r+2）=/-7,

解得t=-11（舍去）;

当点M在点A与B之间时，

2（r+2）=7-r,

解得z=l；

当点M在点A的左侧时，

2（-2+t）=7+3

解得/=11.

故点M的运动方向是向右,运动时间是I或点A7的运动方向是向左.运动时间是11秒：

(3)线段BM与AM的差即8M-AM的值发生变化，理由是：

设点M对应的数为c,

由4M=匕-7|,AM=|c+2|,

则分三种情况：当点M在点8的右侧时，

BM-AM=c-7-c-2=-9；

当点M在点A与4之间时，BM-AM=1-c-c-2=5-2c,

当点M在点4的左侧时，BM-AM=1-c+c+2=9.

故答案为：不是.

【题型5数轴上的行程问题】

【例5】(2022秋•东阿县期末)如图，三点A、B、P在数轴上，点A、8在数轴上表示的

W.B

数分别是-4,12(A5两点间的距离用表示)7°匕

(1)C在48之间且HC=BC,C对应的数为4；

(2)。在数轴上，且AC+8C=20,求C对应的数；

(3)P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，。从8点同时出发，以2个

单位/秒在数轴上向左运动.

求：①P、Q相遇时求。对应的数

②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的速度从0点向左运动.当遇到P时，点M

立即以同样的速度(3个单位/秒)向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点

尸与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？

【分析】(1)根据中点的定义可得；

(2)设点。表示的数为达分点。在A、3之间，点。在点A左侧和点。在点4右侧

三种情况，根据两点间的距离公式分别列方程求解可得；

(3)①设，秒后，点P表示的数为-4+f,点Q表示的数为12-23根据相遇时点P、Q

所表示的数相同，列方程求解可得；②由①知点P、。从出发到相遇用时当秒，据此知点

M的运动时间为左秒，再根据路程=速度X时间可得答案.

【解答】解：(1)根据题意知点C表示的数为W=4,

故答案为：4；

(2)设点C表示的数为x,

当点C在4、8之间时，由题意知(x+4)+(12-A)=20,即16=20,不合题意，舍去；

当点。在点A左侧时，由题意知(-4-x)+(12-x)=20,解得：x=-6,

当点C在点B右侧时，由题意知x-12+x-(-4)=20,解得：x=l4,

即点C表示的数为-6或14；

(3)①设/秒后，点P表示的数为-4+1,点Q表示的数为12・2人

由题意知-4+f=12-2/,

解得：ug,

则相遇时点P对应的数为-4+g=*

②：由①知点P、Q从出发到相遇用时当秒，

・••点M的运动时间为:秒，

则点M所经过的总路程是3x?=16单位.

【变式5-1]（2022秋•市中区校级期中）如图，人、B分别为数轴上的两点，A点对应的数

为-20,B点对应的数为100.

-20100

-----------------------•--------------------------------------------------------1-------------------------------►

AB

（1）请写出与4、8两点距离相等的点M所对应的数；

（2）现有一•只电子蚂蚁户从8点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电

子蚂蚁。恰好从A点日发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的

C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？

（3）若当电子蚂蚁尸从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子

蚂蚁。恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间

时，两只蚂蚁间的距震为20个单位长度？

【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解：

（2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点。走的路程，根据左减右加的

原则，可求出20向右运动到相遇地点所对应的数；

（3）此题是追及问题，分相遇前两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，相遇后两只蚂蚁

间的距离为20个单位长度，列出算式求解即可.

【解答】解：（I）A,8之间的距离为120,M点对应的数是（・20+100）+2=40；

（2）它们的相遇时间是120+（6+4）=12（秒），

即相同时间Q点运动路程为：12X4=48（个单位），

即从数-20向右运动48个单位到数28；

（3）相遇前：（100+20-20）+（6-4）=50（秒），

相遇后：（100+20+20）+（6-4）=70（秒）.

故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度.

【变式5-2]（2022•越秀区二模）甲、乙两个昆虫分别在数轴原点和+8的人处，分别以1

单位长度⑶1.5单位长度/s速度同时相向而行.

（1）第一次相遇在数轴上何处；

（2）若同时沿数轴的负方向而行，乙昆虫在数轴上何处追上甲昆虫？

(3)在(1)的条件下，两个昆虫分别到达点A和0处后迅速返回第二次相遇于数轴何

处？

【分析】(I)设相遇时间为/,然后列出方程求出/值，再求解即可；

(2)设追上的时间为r,利用追击问题列出方程求解，再求解即可；

(3)设第二次相遇的时间为/,然后求出相遇点到原点的距离即可.

【解答】解：(1)设相遇时间为/,

根据题意得，f+1.5f=8,

解得f=3.2,

所以相遇点在数轴上3.2处；

(2)设追上的时间为r,

根据题意得，1.5/7=8,

解得r=16,

所以乙昆虫在数轴上-16处追上甲昆虫；

(3)设第二次相遇的时间为

根据题意得，什1.5『3X8,

解得/=9.6,

A9.6X1.5-8=6.4,

所以第二次相遇于数轴6.4处.

【变式5-3](2022春•南关区校级月考)一次数学课上，小明同学给小刚同学出了一道数

形结合的综合题，他是这样出的：如图，数轴上两个动点M,N开始时所表示的数分别

为-10,5,M,N两点各自以一定的速度在数轴上运动，且M点的运动速度为2个单位

长度/s.

^1005

(DM,N两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求N点的运动速度.

(2)M,N两点按上面的各自速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距6个

单位长度？

(3)M,N两点按上面的各自速度同时出发，向数粕负方向运动，与此同时，。点从原

点出发沿同方向运动，且在运动过程中，始终有CMCM=I：2.若干秒后，C点在-

12处，求此时N点在数轴上的位置.

【分析】(1)根据速度=路程+时间，即可解决问题；

(2)由。4+08大于6个单位长度，分两种情况，一种8在右侧，一种A点在右侧，再

根据时间=路程+时间，即可解决问题；

(3)要想始终保持。=2C8,则。点的速度应介于A、8两者之间，设出。点速度为x

个单位/秒，联立方程，解方程即可得出C点的运动速度，再由速度求时间，由时间求得

N点的运动路程从而解得N点在数轴上的位置.

【解答】解：(1)依题意，得104-2=554-5=1

所以N点的运动速度是1个单位长度/s；

(2)・・・OM+ON=IO+5=15>6,且M点运动速度大于N点的速度，

，分两种情况，

①当点M在点N的左侧时，

运动时间为=(OM+OM-6)+(2-1)=(10+5-6)+1=%.

②当点M在点N的右恻时，

运动时间为=(OM+ON+6)4-(2-1)=(10+5+6)+1=215

综合①②得，9秒和21秒时，两点相距都是6个单位长度；

(3)设点C的运动速度为x个单位/秒，运动时间为/,根据题意得知

10+(2-x)Xf=[5+(x-1)Xr]X2,

整理，得2-x=2r-2,

解得.*=1,即。点的运动速度为9个单位/秒

・•・当。点在-12处运动时间为12+;=%,

；・N点运动路程是1X9=9,

・・・N点在数轴上的位置是・4.

【题型6数轴与方程思想的运算】

【例6】(2022秋•越秀区校级期中)在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1

个单位长度，有理数。，〃，c,d表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所

示.已知3〃=4〃-3,则代数式c-5d的值是()

abed

A.-20B.-16C.-12D.-8

【分析】根据3a=4方-3求出b的值，进而求出小c,d的值，即可确定出所求式子的

值.

【解答】解：，：a=b-2,3a=4h-3,

:・b=-3,

：・c=-2,a=-5,d=2,

则c・5d=・2-5X2=-12.

故选：C.

【变式6-1](2022秋•余姚市期末)数轴上有6个点.每相邻两个点之间的距离是1个单

位长，有理数”，江c,d所对应的点是这些点中的4个，位置如图所示：

(1)完成填空：c-a=3,d-c=2,d-a=5；

(2)比较a+d和〃+c的大小；

(3)如果4c=。+2儿求"〃・c+d的值.

―g•:6.2>

【分析】(I)根据题意求出所求式子的值即可；

(2)利用作差法比较大小即可;

(3)根据4c=〃+2力求出。的值，进而求出小小d的值，即可确定出所求式子的值.

【解答】解：(I)根据题意得：c-〃=3,c-b=I,d-tz=5；

故答案为：3;2；5；

(2)•・•(a+d)-(b-c)=a+d-b-c=(a-b)+(d-c)=-2+2=0,

•*ci^d=b^c\

(3)Va=c-3,b=c-I,

：,4c=c-3+2(c-1),

解得：c=-5,a=-8,b—-6,d=-3,

则原式=86+53=12.

【变式6-2】(2022秋•武昌区校级月考)如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1

个单位，点A、B、C、。对应的数分别是。、b、c、d,且32a=9,请在图中标出原点

O,并求出3c+〃-%的值.

-...1---1---1------1------1---：---1---->

A3CD

【分析】此题用排除法进行分析：分别设原点是点A或8或。或D

【解答】解：若原点是4,则。=0,b=4,此时〃・2a=-8,和已知不符，排除；

若原点是点B,则。=-4,b=0,此时。-2a=8,和已知相不符，排除；

若原点是点。，则〃=-8,8=-4,此时8-24=12,和已知不相符，排除；

若原点是点C，则。=-5,b=-1,此时》-2。=9,和已知相符，正确；

当点C是原点时，3c+d-2a=3X0+3-2X(-5)=13.

【变式6-3](2022•洛川县校级期末)如图所示，数轴(不完整)上标有若干个点，每相

邻两点相距一个单位长度，点A，B,C,。对应的数分别是a,b,c,d,且有一个点表

示的是原点.若4+2。+5=0,则表示原点的应是点C.

。

IIAIIIBIrYIII

abcd

【分析】此题用排除法进行分析：分别设原点是点4或B或C或D.

【解答】解：若原点为A,则。=0,d=7,此时由27+5=12,与题意不符合，舍去；

若原点为则-3,d=4,此时"+2〃+5=-3,与题意不符合，舍去；

若原点为C,则。=-4,4=3,此时〃+2〃+5=0,与题意符合；

若原点为D，则a=-7,d=0,此时d+2a+5=-9,与题意不符合，舍去.

故答案为：C.

【题型7数轴上的动点定值问题】

【例7】（2022秋•普宁市期末）已知如图，在数轴上有A,B两点,所表示的数分别为-

10,-4,点4以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点8以每秒3个单位长度的速

度也向右运动，如果设运动时间为，秒，解答下列问题：

-10-404

（1）运动前线段AB的长为6；运动1秒后线段AB的长为4；

（2）运动/秒后，点A,点8运动的距离分别为5/和3/:

（3）求/为何值时，点A与点B恰好重合；

（4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻，，使得线段A8的长为5,若存在，求，

的值；若不存在，请说明理由.

【分析】（I）根据两点间距离公式计算即可；

（2）根据路程=速度X时间，计算即可；

（3）构建方程即可解决问题；

（4）分两种情形构建方程解决问题；

【解答】解：（I）AB=-4-（-10）=6,

运动1秒后，A表示-5,B表示-1,

：,AB=-1+5=4.

故答案为6,4.

（2）运动/秒后，点4,点8运动的距离分别为5f,3r,

故答案为5f,3九

（3）由题意：（5-3）f=6,

・1=3.

（4）由题意：6+3/-5/=5或5L（6+3。=5,

解得/=：或蓝，

・•・/的值为T或蓝秒时，线段AB的长为5.

【变式7-1］（2022秋•绥宁县期中）阅读下面的材料：

如图1,在数轴上A点所示的数为mB点表示的数为b,则点A到点B的距离记为/W.线

段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB=b-a.

请用上面的知识解答下面的问题：

如图2,一个点从数轴上的原点开始，先向左移动3〃到达A点，再向左移动20”到达

8点，然后向右移动7cm到达C点，用I个单位长度表示lew.

（1）请你在数轴上表示出A.B.C三点的位置：

(2)点C到点A的距离CA=5cm；若数轴上有一点。，且A£)=4,则点。表示的

数为-5或3:

(3)若将点人向右移动xcm,则移动后的点表示的数为-1+x；(用代数式表示)

(4)若点B以每秒2(切的速度向左移动，同时A.C点分别以每秒lc/〃、4c/〃的速度向

右移动.设移动时间为，秒，

试探索：C4-A8的值是否会随着，的变化而改变？请说明理由.

-2012F

图1

-6-5-4-3-2-1012345>

图2

【分析】(I)根据题意容易画出图形；

(2)由题意容易得出CA的长度；设。表示的数为“，由绝对值的意义容易得出结果；

(3)将点4向右移动双神，则移动后的点表示的数为-1+x；

(4)表示出CA和AB,再相减即可得出结论.

【解答】解：(1)如图所示：

(2)CA=4-(-I)=4+1=5(cm)；

设。表示的数为m

'：AD=4cm,

：.\-I-«|=4,

解得：a=-5或3,

••・点。表示的数为-5或3：

故答案为：5,-5或3；

(3)将点4向右移动九“〃，则移动后的点表示的数为-1+x；

故答案为：・1+X:

(4)CA-AB的值不会随着/的变化而变化，理由如下：

根据题意得：CA=(4+4/)-(-1+/)=(5+3力cm,AB=(-1+f)-(-3-2.0=

(2+3。cm,

：.CA-AB=(5+3/)-(2+3/)=3(cm),

：.Ch-AB的值不会随着/