重庆市a卷2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

重庆市A卷2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提

升题)知识点分类

一.因式分解的应用(共1小题)

1.(2021•重庆)如果一个自然数M的个位数字不为0,且能分解成AXB,其中A与B都

是两位数，4与B的十位数字相同，个位数字之和为10,则称数M为“合和数”，并把

数M分解成M=AXB的过程，称为“合分解”.

例如；609=21X29,21和29的十位数字相同,个位数字之和为10,

；.609是“合和数”.

又如；234=18X13,18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10,

.♦.234不是“合和数”.

(1)判断168,621是否是“合和数”?并说明理由；

(2)把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即知=4义8.A的各个数位数字之和与

B的各个数位数字之和的和记为P(M)；4的各个数位数字之和与B的各个数位数字之

和的差的绝对值记为Q(M).令G(M)=F,当G(M)能被4整除时，求出所

Q(M)

有满足条件的M.

二.反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)

2.(2022•重庆)已知一次函数(AW0)的图象与反比例函数y=&的图象相交于点

X

A(1,m),B(m-2).

(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；

(2)根据函数图象，直接写出不等式履的解集；

(3)若点C是点8关于y轴的对称点，连接AC,BC,求△ABC的面积.

三.二次函数综合题（共3小题）

3.（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+6x+c经过A（0,-1）,B（4,

1）.直线A8交x轴于点C,P是直线AB下方抛物线上的一个动点.过点P作尸。，48,

垂足为力，PE〃x轴，交AB于点E.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当△?£）£的周长取得最大值时，求点P的坐标和△P0E周长的最大值；

（3）把抛物线），=/+6x+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点尸.M是新抛

物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点4,B,M,N为顶点

的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.

备用图

4.（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+fet+2过点（1,3）,且交x轴

于点A（-l,0）,8两点，交y轴于点C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PDLBC于点D,过点P作)，

轴的平行线交直线BC于点E,求aPOE周长的最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)中△PQE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线C8方向平移找个

单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平面内确定一点N,使得以点A,

P，M,N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的

坐标的其中一种情况的过程.

5.(2022•重庆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yuU+bx+c与直线AB交于点A(0,

2

-4),B(4,0).

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点P是直线48下方抛物线上的一动点，过点尸作x轴的平行线交48于点C,过

点尸作y轴的平行线交x轴于点D,求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)中PC+尸。取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，

点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F,M为平移后的抛物线的对称轴

上一点.在平移后的抛物线上确定一点N,使得以点E,F,M,N为顶点的四边形是平

行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的

过程.

VIII

四.作图一复杂作图（共1小题）

6.（2022•重庆）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形A8C。中，E是

边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系.他的思路是：首先

过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使

问题得到解决.请根据小明的思路完成下面的作图与填空:

证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF,垂足为F（只保留作图痕迹）.

在△BAE和△EFB中,

'.'EF1BC,

:.NEFB=90°.

又NA=90°,

/•①

'JAD//BC,

：.②

又③

:.△BAEQXEFB(A4S).

同理可得④

.*•S/xBCE—S^EFB+S^EFC—is^ABFE+—S^mEFCD——S矩形ABC£>・

222

E

A

B匕-------------------------"C

五.几何变换综合题(共2小题)

7.(2022•重庆)如图，在锐角AABC中，NA=60°,点。，E分别是边A8,AC上一动

点，连接BE交直线CD于点F.

(1)如图1,若4B>AC,且BD=CE,NBCD=NCBE,求/CFE的度数；

(2)如图2,若AB=AC,且8/)=4£在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°

得到线段CM,连接MF,点N是MF的中点，连接CN.在点£>,E运动过程中，猜想

线段8F,CF,CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)若AB=AC,且BD=AE,将AABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP,

点，是AP的中点，点K是线段P尸上一点，将沿直线HK翻折至所在平

面内得到△Q4K,连接PQ.在点DE运动过程中，当线段尸尸取得最小值，且。K_L

时，请直接写出世的值.

BC

8.(2021•重庆)在△4BC中，AB=AC,。是边BC上一动点，连接A。，将40绕点A逆

时针旋转至AE的位置，使得ND4E+/BAC=180°.

(1)如图1,当/BAC=90°时，连接BE,交AC于点F.若BE平分NABC,BD=2,

求AF的长；

(2)如图2,连接8E,取BE的中点G,连接AG.猜想AG与C。存在的数量关系，并

证明你的猜想；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接。G,CE.若NBAC=120°,当BD>CD,ZAEC

=150°时，请直接写出地迈的值

CE

六.相似形综合题（共1小题）

9.（2023•重庆）在RtZXABC中，ZACB=90°,NB=60°，点。为线段AB上一动点，

连接CD.

（1）如图1,若AC=9,BD=®求线段AO的长；

（2）如图2,以C。为边在C£＞上方作等边点F是QE的中点，连接BF并延长,

交C。的延长线于点G.若NG=NBCE,求证：GF=BF+BE；

（3）在C。取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE.点M为CO所

在直线上一点，将沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BMW.连接

AM点尸为AN的中点，连接CP,当CP取最大值时，连接3尸，将△8CP沿2C所在

直线翻折至△ABC所在平面内得到△BC。，请直接写出此时返的值.

七.解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）

10.（2023•重庆）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，

如图：①A-Q-C-8；②A-E-B.经勘测，点B在点A的正东方，点C在点8的正

北方10千米处，点。在点C的正西方14千米处，点。在点A的北偏东45°方向，点E

在点A的正南方，点E在点8的南偏西60°方向.（参考数据：72^1.41,73^1.73）

（1）求4。的长度.（结果精确到1千米）

（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路

①还是线路②？

北

西——>东

南

八.频数（率）分布直方图（共1小题）

11.（2023•重庆）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时

间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长

时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组:

合格60WxV70,中等70Wx<80,优等x280）,下面给出了部分信息：

A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60,64,67,69,71,71,72,

72,72,82.

8款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70,71,72,72,

73.

两款智能玩具飞机运行最长时间统计表

类别AB

平均数7070

中位数71b

众数a67

方差30.426.6

根据以上信息，解答下列问题:

（1）上述图表中,b=,m=；

（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理

由即可）

（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、8款智能玩具飞机120架，估计两款智

能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？

B款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图

九.整数问题的综合运用(共1小题)

12.(2022•重庆)若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十

位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”.

例如：M=2543,：32+42=25,；.2543是“勾股和数”；

又如：M=4325,V52+22=29,29r43,，4325不是“勾股和数”.

(1)判断2022,5055是否是“勾股和数”，并说明理由;

(2)一个“勾股和数”M的千位数字为“，百位数字为从十位数字为c,个位数字为d,

记G(M)=£1&,P(M)=।1。(a-c)+(b-d)].当G(〃)，p(M)均是整数时,

93

求出所有满足条件的

重庆市A卷2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提

升题)知识点分类

参考答案与试题解析

一.因式分解的应用(共1小题)

1.(2021•重庆)如果一个自然数例的个位数字不为0,且能分解成AX8,其中A与B都

是两位数，A与8的十位数字相同，个位数字之和为10,则称数M为“合和数”，并把

数M分解成M=AX8的过程，称为“合分解”.

例如；609=21X29,21和29的十位数字相同，个位数字之和为10,

.♦.609是“合和数”.

又如：234=18X13,18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10,

••.234不是“合和数”.

(1)判断168,621是否是“合和数”?并说明理由；

(2)把一个四位“合和数”M进行“合分解"，即M=4X8.A的各个数位数字之和与

B的各个数位数字之和的和记为P(M)；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之

和的差的绝对值记为Q(M).令GCM)=PW,当GCM)能被4整除时，求出所

Q(H)

有满足条件的M.

【答案】(1)168不是“合和数”，621是“合和数”.(2)1224,1221,5624,5616.

【解答】解：(1)7168=12X14,

:T2和14十位数字相同,但个位数字2+4410,

•••168不是“合和数”.

：621=23X27,23和27十位数字相同，且个位数字3+7=10,

•••621是“合和数”.

(2)设A的十位数字为如个位数字为〃，

的个位数字不为0,且M是一个四位“和合数”，

9,1—,

则4=10〃?+”,8=10〃]+10-〃，

:.P(A/)=加+〃+〃?+10-〃=2m+10,Q(M)=|(瓶+〃)-(加+10-〃)|=|2〃-10|・

'.G(M)=F0!2=,2m+10=m+5=>(%是整数).

Q(M)|2n-10I|n-5I

；3WZ9,

:・8Wn2+5W14,

•1是整数,

・"+5=8或〃?+5=12,

①当m+5=8时，

(m+5=8或jm+5=8

Iln-5|=f1|n-51=2)

，当〃?=3时，〃=6或4,当m=3时，〃=7或3,

：.M=AXB=(10/72+n)(10w+10-〃)=36X34=1224或M=AXB=(10m+〃)(10m+10

-〃)=37X33=1221,

②当团+5=12时，

(m+5=12或1m+5=12

1ln-5|=rIln-51=3)

当〃?=7时，〃=6或4,当》t=7时，"=8或2,

；.M=AX5=(lOm+n)(10w+10-n)=76X74=5624或M=AXB=(10/n+n)(10w+10

-n)=78X72=5616.

综上，满足条件的例有：1224,1221,5624,5616.

反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)

2.(2022•重庆)已知一次函数>=丘+6(%#0)的图象与反比例函数y=&的图象相交于点

X

4(1,m),B(H,-2).

(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；

(2)根据函数图象，直接写出不等式区+匕的解集；

(3)若点C是点8关于y轴的对称点，连接AC,BC,求△ABC的面积.

(2)-2<xV0或x>l；

(3)12.

【解答】解：(1)•••反比例函数丫=g的图象过点A(1,m),B(〃，-2),

解得加=4,72=-2,

・・・A(1,4),8(-2,-2),

・・,一次函数(攵20)的图象过A点和8点,

..Jk+b=4

1-2k+b=-2

解得「=2,

lb=2

一次函数的表达式为y=2r+2,

描点作图如下：

-5-4W-2加

m承;y

卜-卜十俏不III

III

(2)由(1)中的图象可得，

不等式自的解集为：-2<x<0或x>l；

X

(3)由题意作图如下:

由图知△4BC中BC边上的iWi为6,8C=4,

.*.SAABC=yX4X6=12.

三.二次函数综合题(共3小题)

3.(2021•重庆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+foc+c经过A(0,-1),B(4,

1).直线AB交x轴于点C,P是直线AB下方抛物线上的一个动点.过点尸作PCAB,

垂足为D,PE〃x轴，交AB于点E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当的周长取得最大值时，求点P的坐标和△POE周长的最大值；

(3)把抛物线y=，+6x+c平移，使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点P.M是新抛

物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A,B,M,N为顶点

备用图

【答案】⑴1；

2

(2)点户的坐标为(2,-4),△?£>£周长最大值为丝度+8.

5

(3)点M的坐标为(2,-4)或(-2,12)或(6,12).

【解答】解：(1)；抛物线y=/+fex+c经过A(0,-1),B(4,1),

.fc=-l

I16+4b+c=l

解得：b~^2,

c=-l

该抛物线的函数表达式为y=7-L-1；

2

(2)如图1,设直线A3的函数表达式为y=fcr+”，

VA(0,-1),B(4,1),

解得：吃,

n=-l

・,・直线AB的函数表达式为〉=1-1,

2

令y=0,得当-1=0,

2

解得：x—2,

：.C(2,0),

设尸(r,?-Xr-1),其中o<t<4,

2

•.•点E在直线y=Z-1上，PE〃x轴，

2

z2--Z-r-1=工-1,

22

，x=2p-It,

:.E(2?-it,r2-2?-i),

2

：.PE=t-124-It)=-2?+8z=-2(Z-2)2+8,

\"PDLAB,

：.ZAOC=ZPDE=90°,

又：PE〃x轴，

：.ZOCA^ZPED,

:.丛PDEsXAOC,

：AO=1,OC=2,

AC=yJs>

.♦.△AOC的周长为3+J§,

令△2£>£：的周长为/,则.3圮5=星,

_1PE_

24

.../=3遥+5”_2(r-2)2+8]=-.6立上10(r-2)+-??/^,+8,

555

...当f=2时，周长取得最大值，最大值为竺区+8.

5

此时，点P的坐标为(2,-4).

(3)如图2,满足条件的点M坐标为(2,-4),(6,12),(-2,12).

由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为y=--4x,对称轴为直线x=2,

①若AB是平行四边形的对角线，

当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形，

即MN经过AB的中点C(2,0),

:点N的横坐标为2,

...点M的横坐标为2,

...点M的坐标为(2,-4),

②若AB是平行四边形的边，

I.当MN//AB且MN=AB时，四边形ABNM是平行四边形，

VA（0,-1）,B（4,1）,点N的横坐标为2,

...点M的横坐标为2-4=-2,

，点M的坐标为（-2,12）；

II.当且MW=A8时，四边形ABMN是平行四边形，

VA（0,-1）,8（4,1）,点N的横坐标为2,

.•.点M的横坐标为2+4=6,

，点M的坐标为（6,12）；

综上所述，点M的坐标为（2,-4）或（-2,12）或（6,12）.

图1

4.（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点（1,3）,且交x轴

于点A（-l,0）,8两点，交y轴于点C.

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PDLBC于点D,过点P作），

轴的平行线交直线BC于点E,求aPOE周长的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）中△PQE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线C8方向平移找个

单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平面内确定一点N,使得以点A,

P，M,N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的

坐标的其中一种情况的过程.

【答案】（1）y=-1？+当+2；

22

（2）周长的最大值为10+6遥,点p（2,3）；

5_

（3）点N的坐标为：（L-司互）或（LjVV）或（一互，2）.

222222

【解答】解：（1）由题意得：［a+b+2=3,

I0=a-b+2

,1

解得：<门，

吨

则抛物线的表达式为：y=-L2+m+2；

22

（2）令y=-当+2=0,

22

解得：x=4或-1,即点8（4,0）,

PE//y轴，则NPED=ZOCB,

则tan/PE£>=lan/OCB=2,贝UsinZPED=-^^,cosNPED1

V57T

由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：v=-Ar+2,

2

贝IjPE=-2/+当+2+L-2=-A(x-2)2+2W2,

2222

即PE的最大值为2,此时，点尸（2,3）,

(1+2+^^.)20+6遥

则/XPDE周长的最大值=PE（1+sinZPED+cosZPED）=PE=

遍遍5

即△尸。E周长的最大值为也也区，点P（2,3）；

5

（3）抛物线沿射线CB方向平移遥个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1

个单位,

则平移后抛物线的对称轴为x=L,

2

设点M（工，相），点N（s,力，

2

由点A、P的坐标得，4户=18,

当A尸是对角线时，由中点坐标公式和AM=AN得:

_3

7m-3

-l+2=s+y

9

<3=m+t解得：，

(y+1)2+m2=(s+1)2+t2

g5=--

2

即点N的坐标为：(-5,9)；

22

当AM或AN是对角线时，由中点坐标公式和AN=AP或AM=AP得:

「7

y-l=s+2s~1=~2

m=t+3或t=m+3

.(s+l)2+t2=18(y+D2+ni2=18

解得：t=±，一（不合题意的值已舍去），

日土平

即点N的坐标为：（工，+JVL）；

2_2__

综上，点N的坐标为：（工，-3互）或（上，包互）或（-5,9）.

222222

5.（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线了=：+法+。与直线AB交于点A（0,

2

-4）,B（4,0）.

（1）求该抛物线的函数表达式;

(2)点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C,过

点P作y轴的平行线交x轴于点D,求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)中PC+尸。取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位,

点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F,M为平移后的抛物线的对称轴

上一点.在平移后的抛物线上确定一点N,使得以点E,F,M,N为顶点的四边形是平

行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的

过程.

【答案】(1)y=^-j?-x-4；

2

(2)PC+PC的最大值为空，此时点P的坐标是(§,-35)；

428

(3)N的坐标为：(工，生)或(-工，21)或(-西，型).

282828

【解答】解：(1)把A(0,-4),B(4,0)代入丫=工/+区+。得：

2

fc=-4

18+4b+c=0

解得[b=T,

Ic=-4

.•.抛物线的函数表达式为-x-4；

2

(2)设直线AB解析式为)，=丘+£,把A(0,-4),B(4,0)代入得:

[t=-4

14k+t=0

解得，k=l,

11=-4

直线AB解析式为y=x-4,

设P(m,—m~-m-4),贝！］PD--^jtr+m+4,

22

在y—x-4中，令y=L*2-小_4得彳=_加，

22

C(Aj„2-m,-机-4),

22

2

PC=m-(Aw?-m)--Aw/+2/n,

22

PC+PD--A/„2+2/H-L"2+”?+4=-W2+3/„+4=-(m--)2+^-,

2224

V-l<0,

二当机=3时，PC+尸。取最大值空，

24

止匕时上序-m-4=~lx(旦)2-3-4=-强，

22228

：.P(旦，-翌)；

28

答：PC+PD的最大值为空，此时点P的坐标是(3,-35).

428

(3)；将抛物线产工向左平移5个单位得抛物线产工(x+5)2-(x+5)-4

22

=-kr2+4x+—,

22

.•.新抛物线对称轴是直线x=-二丁=-4,

2X2

在)=工2+4尤+工中,令x=O得y=—>

222

AF(0,工)，

2

将P(3,-强)向左平移5个单位得E(-工，-强)，

2828

设M(-4,n),N(r,A/^+4/s--),

22

①当ERMN为对角线时，EF、MN的中点重合，

0和=一4+r

解得r=l,

2

/.Ar+4r+—=Ax(A)2+4XJL.+.Z.=

2222228

：.N（A,至）；

28

②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合,

7

0-4=-hr

2

A/^+4r+—=—X(-A)2+4X(-A)+-L=A2.,

2222228

：.N(-A,马；

28

③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合，

7

0+r=---4

解得r=-至，

2

：._1/+4什工=工'（-2+4X（--1^.）+工=型_,

2222228

：.N（-耳型）；

28

综上所述，N的坐标为：（工，至）或（-上，」&）或（-」旦，11）.

282828

四.作图一复杂作图（共1小题）

6.（2022•重庆）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AO

边上的一点，试说明ABCE的面积与矩形A8C。的面积之间的关系.他的思路是：首先

过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使

问题得到解决.请根据小明的思路完成下面的作图与填空：

证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF,垂足为F（只保留作图痕迹）.

在△BAE和△EFB中，

"：EF±BC,

：.ZEFB=90".

又/A=9O°,

二/A=/EFB,①

'CAD//BC,

，NAEB=NFBE,②

又BE=EB,③

A/XBAE^/XEFB(44S).

同理可得AEDC咨ACFE(A4S),⑷

：.S&BCE=S&EFB+SAEFC=X^ABFE+—S^HiEFCD=—S短形ABC。.

【答案】①NA=/EFB,®ZAEB=ZFBE,③BE=EB,®/\EDC^/\CFECAAS).

【解答】解：根据题意作图如下：

'JEFVBC,

：.ZEFB=90°.

又NA=90°,

：.ZA^ZEFB,①

'：AD//BC,

：.NAEB=NFBE,②

又BE=EB,③

.,.△BAE必EFB(A4S).

同理可得△E£)CgZ\CFE(AAS),(4)

S&BCE=SAEFB+S&EFC=上^ABFE+—SK^EFCD=—S矩形ABC。，

222

故答案为：①NA=NEFB,②NAEB=NFBE,③BE=EB,®/\EDC^ACFE(AAS).

五.几何变换综合题(共2小题)

7.(2022•重庆)如图，在锐角△42C中，NA=60°,点£>,E分别是边A8,AC上一动

点，连接8E交直线CD于点E

(1)如图1,若AB>4C,且BO=CE,NBCD=NCBE,求NCFE的度数；

(2)如图2,若AB=AC,且BZ)=4E,在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°

得到线段CM,连接MF,点N是MF的中点，连接CN.在点£>,E运动过程中，猜想

线段B凡CF,CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)若AB=AC,且BD=AE,将△ABC沿直线AB翻折至△4BC所在平面内得到△ABP,

点，是AP的中点，点K是线段PF上一点，将沿直线4K翻折至△P4K所在平

面内得到△QHK,连接PQ.在点。，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且。K,

P尸时，请直接写出世的值.

BC

图2备用图

(2)结论：BF+CF=2CN.

⑶W1至返.

14

【解答】解：(1)如图1中,在射线CD上取一点K,使得CK=BE,

在△BCE和△CBK中,

BC=CB

,NBCK=NCBE，

BE=CK

:.ABCEqACBK(SAS),

:・BK=CE,/BEC=/BKD,

•:CE=BD,

:・BD=BK,

：.ZBKD=ZBDK=ZADC=/CEB,

YNBEC+NAE/=180°,

AZADF+ZAEF=\S00,

AZA+ZEFD=180°,

VZA=60°,

：.ZEFD=\20°,

AZCFE=180°-120°=60°；

(2)结论：BF+CF=2CN.

9

理由：如图2中，\AB=ACfZA=60°,

•0•/\ABC是等边三角形，

：.AB=CB,ZA=ZCBD=60°,

•：AE=BD,

:.△ABEWXBCD(SAS),

:・/BCF=NABE,

：.ZFBC+ZBCF=60°,

：.ZBFC=120°,

如图2-1中，延长CN到。，使得NQ=CN,连接FQ,

图2

*：NM=NF,4CNM=/FNQ,CN=NQ,

••.△CNM名△QNF(SAS),

:.FQ=CM=BC,

延长。尸到尸，使得PF=BF,则△尸8尸是等边三角形，

；・NPBC+NPCB=NPCB+NFCM=120°,

/.ZPFQ=ZFCM=NPBC,

•:PB=PF,

：./\PFQ^APBC(SAS),

:・PQ=PC,ZCPB=ZQPF=60°,

：./\PCQ是等边三角形，

・•・BF+CF=PC=QC=2CN.

证法二：延长MC到P,使得CP=CM,连接尸8,PF,延长尸C到。，使得CQ=8E

■:FN=MN,CP=CM,

:・PF=2CN,

■:CB=CM=CP,ZBCP=180°-60°-60°=60°,

***/\BCP是等边二角形，

：.ZBPC+ZBFC=\SO°,

；・NPBF+NPCF=180°,

VZPC2+ZPCF=180°,

:./PBF=/PCQ,

：.PB=PC,BF=CQ,

•••△P/J尸丝△PCQ(SAS),

APF=PQ,NBPF=/QPC,

；・NQPF=NBPC=60°,

•••△尸。尸是等边三角形，

・・・FQ=CF+CQ=CF+BF=2CN；

(3)由(2)可知NBFC=120°,

，点尸的运动轨迹为红色圆弧(如图3-1中),

:.P,F,O三点共线时，PF的值最小，

此时tanZAPK--^---^,

APM

：.NHPK>45°,

"CQKA-PF,

：.ZPKH=ZQKH=45°,

如图3-2中，过点”作HLLPK于点L,设PQ交K”题意点J,设HL=LK=2,PL=

百，PH=47,KH=2近,

SAPHK=4•PK・HL=EKH・PJ,

22

：.PQ-2PJ~2X2(22=2近+近

2V2

.PQ=2V2+V6_

BC2V714

8.(2021•重庆)在△ABC中，AB=AC,。是边BC上一动点，连接A。，将绕点4逆

时针旋转至AE的位置，使得ND4E+NBAC=180°.

(1)如图1,当N84C=90°时，连接8E,交AC于点F.若8E平分NA8C,BD=2,

求A尸的长；

(2)如图2,连接BE,取BE的中点G,连接AG.猜想4G与CD存在的数量关系，并

证明你的猜想；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接£>G,CE.若/BAC=120°,当BD>CD,ZAEC

=150°时，请直接写出处四的值.

【答案】(1)

(2)AG=1CD,证明过程见解答部分；

2

⑶迎.

2

【解答】解：(1)连接CE,过点F作FQ,2c于Q,

：BE平分NABC,ZBAC=90°,

：.FA=FQ,

"：AB=AC,

：.ZABC^ZACB=45Q,

:.FQ=®CF,

2

VZBAC+ZDAE=180°,

：.ZDAE=ZBAC=90°，

：.ZBAD=ZCAEf

由旋转知，AD=AEt

：./\ABD^/\ACE(SAS),

:・BD=CE=2,ZABD=ZACE=45°,

：.ZBCE=90°,

：.ZCBF+ZBEC=90°,

〈BE平分NA8C,

I./ABF=/CBF,

：.ZABF+ZBEC=90°,

VZBAC=90°,

••.NABb+NA尸8=90°,

・・・NAFB=NBEC,

■:/AFB=NCFE,

：.ZBEC=ZCFE,

：.CF=CE=2,

；.AF=FQ=®CF=®；

2

(2)AG=^CD,

2

理由：延长BA至点M,使AM=A8,连接EM,

；G是BE的中点，

：.AG=—ME,

2

：N84C+/OAE=/BAC+/C4M=180°,

：.ZDAE=ZCAM,

：.ZDAC=NEAM,

\'AB=AM,AB=AC,

：.AC=AM,

\'AD=AE,

.".△ADC^AAEM(SAS),

:・CD=EM,

：.AG=^CD；

2

(3)如图3,连接。E,A。与5E的交点记作点M

VZBAC+ZDAE=180°,ZBAC=120°,

；・NDAE=60°,

VAD=AEf

1•△ACE是等边三角形，

：.AE=DE,ZADE=ZAED=60°,

VZAEC=150°,

：.ZDEC=ZAEC-ZAED=90°,

在△ABC中，AB=AC,ZBAC=\20°,

AZACB=ZABC=30°,

VZAEC=]50°,

AZABC+ZAEC=1SO°,

，点A,B,C,E四点共圆,

：.ZBEC=ZBAC=nO°,

ZBED=ABEC-ZDEC=30°,

・・./DNE=180°-/BED-NADE=90°,

'：AE=DE,

:.AN=DN,

：.BE是AD的垂直平分线，

：.AG=DGfBA=BD=AC,

：.ZABE=ZDBE=^ZABC=i50,

2

AZACE=ZABE=15Q,

：.ZDCE=45°,

*：ZDEC=90°,

/.ZEDC=45°=/DCE,

.DE=CE,

：.AD=DEf

设AG=〃，则DG=a,

由（2）知，AG=1.CD,

2

：.CD=2AG=2a,

：.CE=DE=^-CD=42a,

2

:.AD=®a,

:.DN=lD=J^a,

22

过点D作OHJ_AC于H,

在RtZkQHC中，NACB=30°,CD=2a,

：.DH=a,

根据勾股定理得，CH=Ma,

在RtZ\AHZ）中，根据勾股定理得，环谓

：.AC=AH+CH=a+43a,

BD—a+\f3a>

图3

六.相似形综合题(共1小题)

9.(2023•重庆)在RtZSABC中，ZACB=90°,ZB=60°，点。为线段AB上一动点，

连接CD.

(1)如图1,若AC=9,BD=M，求线段A。的长；

(2)如图2,以CD为边在C。上方作等边△CDE,点F是OE的中点，连接BF并延长,

交C。的延长线于点G.若NG=NBCE,求证：GF=BF+BE；

(3)在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE.点M为CD所

在直线上一点，将沿BM所在直线翻折至△