安徽省安庆市部分示范高中2024-2025学年高二下学期第一次联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年高二数学下学期第一次联考试卷试题范围：数列、导数及其应用、计数原理第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．设为数列的前n项和，若，则（

）A．1032 B．1033 C．520 D．5212．已知，，，则关于，，的方程共有（

）组不同的解.A．36 B．45 C．50 D．243．市内某公共汽车站6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是()．A．48B．54C．72D．844．若数列的通项公式为，则该数列中的最大项是（

）A． B． C． D．5．汉诺塔（TowerofHanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具.如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子，A柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为，例如：，，则下列说法正确的是（

）A． B．为等差数列C．为等比数列 D．6．已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．7．从点可向曲线引三条不同切线，则t的取值范围为（

）．A． B． C． D．8．已知函数，若，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．e二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9．数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（

）A．四位回文数有45个 B．四位回文数有90个C．（）位回文数有个 D．（）位回文数有个10．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．时，曲线的切线斜率最小值为B．时，有最大值C．时，有两个零点D．时，有最小值11．已知函数，下列结论正确的是（

）A．当时，是的极大值点B．若在区间上单调递减，则的取值范围是C．若存在唯一的零点，且，则的取值范围是D．存在实数，使得成立三､填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知数列，对于任意正整数，都满足，则13．任意时，不等式恒成立，则实数的取值范围是.14．某城市的交通道路如图，从城市的西南角到城市的东北角，经过城市中心广场，最近的走法种数有种．四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15．（13分）关于正整数2160，求：(1)它有多少个不同的正因数？(2)它的所有正因数的和是多少？16．（15分）已知数列的首项，的前项和为且满足(1)证明：数列是等差数列；(2)若，求数列的前项和．17．（15分）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若函数有两个零点，求m的范围．18．（17分）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)证明：.19．（17分）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，.(1)证明：在区间上单调递减；(2)对于恒成立，求实数的取值范围；(3)，证明：（附：）参考答案题号12345678910答案BACDCBAABDAD题号11121314答案ACD6015.（1）由题意，，则2160的正因数，因为可取0，1，2，3，4；可取0，1；可取0，1，2，3；所以2160有个不同的正因数.式子的展开式就是40个正因数之和．所以，之和为.16．（1）证明：因为，即，所以，又，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列．（2）由（1）可得，所以，当时，所以，当时也成立，所以，所以，所以①，②，①②得，则，所以．17．（1）函数，当时，在上单调递增；当时，在内单调递减，在单调递增；（2），令，整理可得，设，则，由，令，得，令，得，则在内单调递减，在内单调递增，由题意可知：有两个零点，则，解得，18．（1）；（2）因为，恒成立，所以恒成立.令，则，令，则且不恒为0，即在上单调递减，则，所以当时，且不恒为0，所以在区间上单调递减，故，所以，综上，实数的取值范围为；（3）取，由（2）得当时，，所以.取，则有，即，所以，，，，将上述式子相加得，得证.19．（1），令，则，令，则，若，则单调递减，单调递减，，在上单调递减，若，则单调递增，，即存在唯一，使得，且在上，单调递减，在上，单调递增，且，在区间上单