初中数学组卷三角形及四边形

中考数学几何题

一.选择题（共19小题）

1.如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分NDAC,AE交CD于点F,CE±AE,

垂足为点E,EG±CD,垂足为点G,点H在边BC上，BH=DF,连接AH、FH,FH

与AC交于点M,以下结论：

①FH=2BH；（2）AC±FH；（3）SAACF=1;@CE=1AF；⑤EG?=FG・DG,

2

其中正确结论的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

2.如图，正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，4AEF是等边三角形，

连接AC交EF于点G,下列结论：①CE=CF,②NAEB=75°,③AG=2GC,④BE+DF=EF,

⑤SMEF=2S.ABE，其中结论正确的个数为（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.如图，正方形ABCD中，P为AB中点，BELDP交DP延长线于E,连结AE,

AFLAE交DP于F,连结BF,CF.下列结论：①EF=&AF；②AB=FB；③CF〃BE；

④EF=CF.其中正确的结论有（）个.

A.1B.2C.3D.4

4.如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,过。点作OE^AC,交

AB于E,若BC=4,AAOE的面积是5,则下列说法错误的是（）

A.AE=5B.ZBOE=ZBCEC.CE±OBD.sinZB0E=2

5

5.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB,F是AD的中点，作CE,AB,垂足

E在线段AB上，连接EF、CF,则下列结论中一定成立的是（）

①NDCF=LNBCD；②EF=CF；③NDFE=3NAEF；@SABEC=2SACEF.

6.如图，由两个长为9,宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD,则四边形

7.如图，点。为正方形ABCD的中心，BE平分NDBC交DC于点E,延长BC到

点F,使FC=EC,连结DF交BE的延长线于点H,连结0H交DC于点G,连结

HC.则以下四个结论中：①OH〃BF,②GH=LBC,③OD=^BF,④NCHF=45。.正

42

确结论的个数为（)

A.4个B.3个C.2个D.1个

8.如图，在矩形ABCD中，AD=&AB,ZBAD的平分线交BC于点E,DH±AE

于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点0,下列结论：

©△ABE^AAHD；②HE=CE；③H是BF的中点；④AB=HF；

9.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BELAC于点，连接DF,分析下

列四个结论：①△AEFs^CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四边形CDEF=%AABF其中

2

正确的结论有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

10.已知点D与点A(0,6),B(0,-4),C(x,y)是平行四边形的四个顶点,

其中x,y满足3x-4y+12=0,则CD长的最小值为()

A.10B.26C.迈D.4

5

11.如图，边长一定的正方形ABCD,Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M,

过M作MNLAQ交BC于点N,作NPLBD于点P,连接NQ,下列结论:①AM=MN；

②MP=LBD；③BN+DQ=NQ；④AB+BN为定值.其中一定成立的是()

2BM

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

12.如图，在边长为6加的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线

上一点，BE=DG,连接EG,过点C作EG的垂线CH,垂足为点H,连接BH,BH=8.有

下列结论：

①NCBH=45°；②点H是EG的中点；③EG=4jI5；④DG=2加

其中，正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

13.如图，已知梯形ABCD中，AD〃BC,AD=2,BC=5,4ABE和^CDF是等腰直

角三角形，ZBAE=ZCDF=90°,则四边形AEDF的面积为（）

14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,NBAD=135。，作AH,

BC,点H为垂足，AH交BD于点F,G是AB中点，连接GE交AH于点M,给出

下列结论：①AAEG是等腰三角形；②ME=LBC；③FH=HC；④AE2=EF・EB；⑤

4

AF・BH=FH・BC,其中结论正确的个数是（)

D

A.2个B.3个C.4个D.5个

15.在Rt^ABC中，AC=BC,点D为AB中点.ZGDH=90°,NGDH绕点D旋转,

DG、DH分别与边AC、BC交于E,F两点.下列结论：

①AE+BF=^AB,②^DEF始终为等腰直角三角形，

2

③S四边形CEDF二IAB2,

8

(4)AE2+CE2=2DF2.

其中正确的是()

A.①②③④B.①②③C.①④D.②③

16.如图，锐角^ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，AADC^AADC,△

AEB之△AEB',且C'D〃EB'〃BC,BE、CD交于点F.若NBAC=35°,则NBFC的大

小是（）

A.105°B.110℃.100°D.120°

17.如图，在^ABC中，ZACB=90°,ZCAD=30°,AC=BC=AD,CE1CD,且CE=CD,

连接BD、DE、BE,则下列结论：①NECA=165°,②BE=BC；③AD=BE；④CD=BD.其

中正确的是（）

，E

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

18.已知，等腰Rt^ABC中AC=BC,点D在BC上，且NADB=105°,ED±AB,G

是AF延长线上一点，BE交AG于F,且DE=2FG,连GE、GB.则下列结论:

@AG±BE；②NDGE=60°；③BF=2FG；④AD+&DC=AB.

其中正确的结论有（）

A.①②B.①②④C.①③④D.②③④

19.如图，在^ABC中，ZACB=90",AC=BC,AD平分NBAC,CE，AD交AB于E,

BE=CF,BF交CE于P,连PD,下列结论：①AC=AE,②CD=BE,③PB=PF,④DP=BF,

D.①③

二.填空题（共5小题）

20.如图，正方形ABCD中，AB=6,点E在边CD上，且CD=3DE,将^ADE沿

AE对折至^AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.下列结论：

四；；〃；

①4ABG^AFG②BG=CG③AGGF@SAABG=SAAFG;@ZAGB+ZAED=145°.

其中正确的个数有个.

21.如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，。是EG的中点，Z

EGC的平分线GH过点D,交BE于点H,连接OH,FH,EG与FH交于点M,对

于下面四个结论：

①GHLBE；②BG=EG；③△MFG为等腰三角形；④DE：AB=1+A/2-

其中正确结论的序号为—.

22.如图，边长为1的菱形ABCD中，ZDAB=60°.连结对角线AC,以AC为边

作第二个菱形ACEF,使NFAC=60。.连结AE,再以AE为边作第三个菱形AEGH

使NHAE=60。…按此规律所作的第n个菱形的边长是—.

23.如图，在菱形ABCD中，NA=60。，E、F分别是AB,AD的中点，DE、BF相

交于点G,连接BD,CG.有下列结论，其中正确的有—（填正确结论的序号）.

2

@ZBGD=120°；②BG+DG=CG；©ABDF^ACGB；(4)SAABD=AB.

D

24.如图，在正方形ABCD中，分别以AD,BC为斜边作RtAADE和RtACBF,

5.RtAADE^RtACBF,连结EF,若S正方形ABCD=20,SAADE=3,则EF=

三.解答题(共15小题)

25.△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C

重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.

(1)观察猜想

如图1,当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系为：—.

②BC,CD,CF之间的数量关系为：—；(将结论直接写在横线上)

(2)数学思考

如图2,当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，

请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.

(3)拓展延伸

如图3,当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G,连接GE.若已

知AB=2&,CD=1BC,请求出GE的长.

26.如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)概念理解：如图2,在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD

是垂美四边形吗？请说明理由.

(2)性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB,CD与BC,AD之间的数

量关系.

猜想结论：(要求用文字语言叙述)—

写出证明过程(先画出图形，写出已知、求证).

(3)问题解决：如图3,分别以Rt^ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正

方形ACFG和正方形ABDE,连接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE长.

27.如图1,在正方形ABCD内作NEAF=45。，AE交BC于点E,AF交CD于点F,

连接EF,过点A作AHLEF,垂足为H.

(1)如图2,WAADF绕点A顺时针旋转90。得至！J&BG.

①求证：4AGE^4AFE；

②若BE=2,DF=3,求AH的长.

(2)如图3,连接BD交AE于点M,交AF于点N.请探究并猜想：线段BM,

MN,ND之间有什么数量关系？并说明理由.

图1图2图3

28.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG

〃CD交AF于点G,连接DG.

(1)求证：四边形EFDG是菱形；

(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；

(3)若AG=6,EG=2泥，求BE的长.

29.如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE,DE.

(1)如图1,求证：4BCE之ADCE；

(2)如图2,延长BE交直线CD于点F,G在直线AB上，且FG=FB.

①求证：DEXFG；

②已知正方形ABCD的边长为2,若点E在对角线AC上移动，当4BFG为等边三

角形时，求线段DE的长(直接写出结果，不必写出解答过程).

30.如图，4ABC和4CDE是等腰直角三角形，NBAC=NCED=NBCE=90。.点M

为BC边上一点，连接EM、BD交于点N,点N恰好是BD中点，连接AN.

(1)求证：MN=EN；

(2)连接AM、AE,请探究AN与EN的位置关系与数量关系.

①写出AN与EM：位置关系—；数量关系—；

②请证明上述结论.

31.已知等边三角形ABC中，E是AB边上一动点（与A、B不重合），D是CB

延长线上的一点，且DE=EC.

（1）当E是AB边上中点时，如图1,线段AE与DB的大小关系是：AEDB

（填"<"或"="）

（2）当E是AB边上任一点时，小敏与同桌小聪讨论后，认为（1）中的结论依

然成立，并进行了如下解答：解：如图2,过点E作EF〃BC,交AC于点F

（请你按照上述思路，补充完成全部解答过程）

（3）当E是线段AB延长线上任一点时，如图3.（1）中的结论是否依然成立？

若成立，请证明.若不成立，请说明理由.

32.如图，AB、CD交于点E,AD=AE,CB=CE,F、G、H分别是DE、BE、AC的

中占

I八、、•

(1)求证：AF±DE；

(2)求证：FH=GH.

33.如图，已知NABC=90°,D是直线AB上的点，AD=BC.

(1)如图1,过点A作AF,AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断^CDF

的形状并证明；

(2)如图2,E是直线BC上一点，且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,ZAPD

的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由.

34.操作发现

将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30。角

的直角三角板DEF的长直角边DE重合.

问题解决

将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30。，点C落在BF上，AC与

BD交于点O,连接CD,如图②.

(1)求证：△CDO是等腰三角形；

(2)若DF=8,求AD的长.

35.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A,B重合），分别过

A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.

（1）如图1,当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是,QE与QF的

数量关系式一；

（2）如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关

系，并给予证明；

（3）如图3,当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是

否成立？请画出图形并给予证明.

36.如图，已知点D为等腰直角AABC内一点，NCAD=NCBD=15。，E为AD延

长线上的一点，且CE=CA.

(1)求证：DE平分NBDC；

(2)若点M在DE上，且DC=DM,求证：ME=BD.

37.已知：ZiABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC,点F在CE的

延长线上，CF=AB,求证：AF±AQ.

0

B

C

38.如图，在^ABC中，AB=AC=a,BC=b,且2a>b,BG^AC于G,DE，AB于

E,DFLAC于F.

（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，计算DE+DF和BG的长（用a,b表示）,

并判断DE+DF与BG的关系.

（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系是否仍然成

立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由.

（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系.（不

要求证明）

39.等边△ABC,点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边4ADE,

连接CE.

(1)如图1,若点D在线段BC上，求证：CE+CD=AB；

(2)如图2,若点D在CB的延长线上，线段CE,CD,AB的数量有怎样的数量

关系？请加以证明.

2017年02月28日账号1的初中数学组卷三角形及四边

形

参考答案与试题解析

一.选择题（共19小题）

1.（2016•牡丹江）如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分NDAC,AE交CD

于点F,CEXAE,垂足为点E,EGXCD,垂足为点G,点H在边BC上，BH=DF,

连接AH、FH,FH与AC交于点M,以下结论：

①FH=2BH；（2）AC±FH；（3）SAACF=1;④CE=1AF；⑤EG?=FG・DG,

2

其中正确结论的个数为（）

【分析】①②、证明△ABH之AADF,得AF=AH,再得AC平分NFAH,则AM既

是中线，又是高线，得ACLFH,证明BH=HM=MF=FD,贝UFH=2BH；所以①②都

正确；

③可以直接求出FC的长，计算SMCFWL错误；

④根据正方形边长为2,分别计算CE和AF的长得结论正确；

⑤利用相似先得出EG2=FG.CG,再根据同角的三角函数列式计算CG的长为1,

则DG=CG,所以⑤也正确.

【解答】解：①②如图1,•四边形ABCD是正方形，

；.AB=AD,NB=ND=90°,ZBAD=90°,

VAE平分NDAC,

AZFAD=ZCAF=22.5°,

VBH=DF,

.,.△ABH^AADF,

...AH=AF,NBAH=UFAD=22.5°,

.•.NHAC=NFAC,

AHM=FM,AC±FH,

VAE平分NDAC,

，DF=FM,

，FH=2DF=2BH,

故选项①②正确；

③在Rt^FMC中，ZFCM=45°,

.•.△FMC是等腰直角三角形，

•••正方形的边长为2,

.，.AC=2；r2，MC=DF=2./2-2,

.♦.FC=2-DF=2-(2后2)=4-2加,

SMFC」CF・ADW1,

2

所以选项③不正确；

®AF=VAD2+DF2=722+(2V2-2)

VAADF^ACEF,

AD二AF,

"'CE^FC'

•24-2®

＞，CE=4-272

.,.CE=V4-2V2-

.,.CE=XAF,

2

故选项④正确；

⑤在Rt^FEC中，EG±FC,

.*.EG2=FG«CG,

cosZFC

FC-CE

但也乌％,

CF4-2V2

，DG=CG,

AEG2=FG«DG,

故选项⑤正确；

本题正确的结论有4个,

故选C.

【点评】本题是四边形的综合题，综合考查了正方形、相似三角形、全等三角形

的性质和判定；求边时可以利用三角形相似列比例式，也可以直接利用同角三角

函数列式计算；同时运用了勾股定理求线段的长，勾股定理在正方形中运用得比

较多.

2.（2016•黑龙江模拟）如图，正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，△

AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G,下列结论：①CE=CF,②NAEB=75。，

③AG=2GC,④BE+DF=EF,⑤SACEF=2S^ABE，其中结论正确的个数为（）

E；

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】通过条件可以得出4ABE^4ADF,从而得出NBAE=NDAF,BE=DF,得

到CE=CF；由正方形的性质就可以得出NAEB=75。；设EC=x,由勾股定理得到EF,

表示出BE,利用三角形的面积公式分别表示出S^CEF和2s"BE，再通过比较大小

就可以得出结论.

【解答】解：•••四边形ABCD是正方形，

AB=BC=CD=AD,ZB=ZBCD=ZD=ZBAD=90°.

VAAEF等边三角形，

，AE=EF=AF,ZEAF=60°.

AZBAE+ZDAF=30".

在RtAABE和RtAADF中,

(AB=AD,

lAE=AF，

RtAABE^RtAADF(HL),

；.BE=DF,

，CE=CF,故①正确；

VZBAE=ZDAF,

I.NDAF+NDAF=30°,

即NDAF=15。,

.*.ZAEB=75",故②正确;

设EC=x,由勾股定理，得

EF=&x,CG=1x,

2_

AG=AEsin60°=EFsin60°=2XCGsin6O0=2ZL<,

2

...AGW2GC,③错误；

,.,CG=2^X,AG=^X,

22

...AC=&+4x

2

.•.AB=AC・返』Ylx,

22

BE=—愿x-x=^Tx,

22

，BE+DF=(V5-1)x,

...BE+DFWEF,故④错误；

,*'SACEF=—x2，

2

SMBE』XBEXAB=1X^XXV3-1x=-Lx2,

22224

=

2SAABESACEF>故⑤正确.

综上所述，正确的有3个,

故选：B.

【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾

股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题

时运用勾股定理的性质解题时关键.

3.（2016•南充模拟）如图，正方形ABCD中，P为AB中点，BE，DP交DP延长

线于E,连结AE,AFLAE交DP于F,连结BF,CF.下列结论：①EF=&AF；②

AB=FB；③CF〃BE；④EF=CF.其中正确的结论有（）个.

【分析】根据已知和正方形的性质推出NEAB=NDAF,ZEBA-ZADP,AB=AD,

证^ABE之ZXADF即可；取EF的中点M,连接AM,推出AM=MF=EM=DF,证N

AMB=NFMB,BM=BM,AM=MF,推出△ABM/^FBM即可；求出NFDC=NEBF,

推出ABEF之4DFC即可.

【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD,NBAD=90。，

AZDAF+ZBAF=90°,

VAF±AE,

AZBAE+ZBAF=90°,

AZBAE=ZDAF,

VBEXDP,

AZABE+ZBPE=90",

又：NADF+NAPD=90°,ZBPE=ZAPD,

AZABE=ZADF,

在AABE和AADF中，

'NABE=/ADF

<AB=AD，

LZBAE=ZDAF

.,.△ABE^AADF(ASA),

，AE=AF,

•••△AEF是等腰直角三角形，

/.EF=V2AF；故①正确；

，AE=AF,BE=DF,

，NAEF=NAFE=45°,

取EF的中点M,连接AM,

.\AM±EF,AM=EM=FM,

ABEAM,

VAP=BP,

，AM=BE=DF,

AZEMB=ZEBM=45°,

ZAMB=90o+45°=135°=ZFMB,

在△ABM和△FBM中，

'AM=FM

<ZAMB=ZFMB-

.♦.△ABM之△FBM(SAS),

；.AB=BF,故②正确；

，NBAM=NBFM,

VZBEF=90°,AM±EF,

AZBAM+ZAPM=90°,NEBF+NEFB=90°,

，NAPF=NEBF,

：AB〃CD,

AZAPD=ZFDC,

NEBF=NFDC,

在Z\BEF^DADFC中，

'BE=DF

<NEBF=/FDC，

网二DC

.,.△BEF^ADFC(SAS),

，CF=EF,NDFC=NFEB=90°,

故④正确；

ACFXDEP,

VBEXDP,

，CF〃BE；故③正确.

故选D.

【点评】此题属于四边形的综合题.考查了正方形的性质、全等三角形的判定与

性质、等腰直角三角形的性质以及直角三角形的性质等知识.注意准确作出辅助

线是解此题的关键.

4.（2016秋•庐阳区期末）如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,

过。点作OELAC,交AB于E,若BC=4,AAOE的面积是5,则下列说法错误的

是（）

A.AE=5B.ZBOE=ZBCEC.CE±OBD.sinZBOE=A

5

【分析】A、作辅助线，构建矩形AGOF,利用面积为5,代入面积公式可求得

AE的长为5,此说法正确；

B、证明NABC+NEOC=180。，根据对角互补的四边形四点共圆得：E、B、C、O

四点共圆，则NBCE=NBOE,此说法正确；

C、因为E、B、C、。四点共圆，所以根据垂径定理可知：要想OBLCE,得保证

过圆心的直线平分弧，即判断弦长BE和0E的大小即可;

D、利用同角的三角函数计算.

【解答】解：A、过。作OFLAD于F,作OGLAB于G,

•四边形ABCD是矩形，

，AC=BD,0A=17XC,OD」BD,

22

OA=OD,

.*.AF=FD=1AD=1BC=2,

22

ZAGO=ZBAD=ZAFO=90°,

・••四边形AGOF是矩形，

.•.OG=AF=2,

•.&AEO与E・OG=5,

2

.\AE=M=12^5,

OG2

所以此选项的说法正确；

B、VOE±AC,

AZEOC=90°

VZABC=90°,

AZABC+ZEOC=180",

.,.E、B、C、。四点共圆，

AZBCE=ZBOE,

所以此选项的说法正确；

C、在Rt^BEC中，由勾股定理得：BE=^52_42=3,

；.AB=3+5=8,

AC=VAB2+BC2=V82+42=4后

.,.AO=1AC=2A/5，

E0=VAE2-AO^752-(275)2=^>

.•.OEWBE,

：E、B、C、。四点共圆，

VZEOC=90°,

AEC是直径，

AEC与OB不垂直；

此选项的说法不正确；

D、sin/BOE=sin/BCE=%

EC5

所以此选项的说法正确，

因为本题选择说法错误的，

【点评】本题考查了矩形的性质和判定、四点共圆的判定和性质、勾股定理以及

解直角三角形的有关知识，较为麻烦，此类题相当于解决四个问题，尤其是第三

问利用了圆中的性质进行证明，比较容易理解；本题还利用了同角的三角函数求

一个角的正弦，这在解直角三角形中经常运用，要熟练掌握.

5.（2016春•开江县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB,F是AD的

中点，作CELAB,垂足E在线段AB上，连接EF、CF,则下列结论中一定成立

的是（）

①NDCF=LNBCD；②EF=CF；③NDFE=3NAEF；@SABEC=2SACEF.

2

A.F口

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

【分析】①根据平行四边形的性质和平行线的性质解答即可；

②延长EF,交CD延长线于M,证明4AEF之△DMF,得到EF=FM,根据直角三

角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；

③设NFEC=x,用x分别表示出NDFE和NAEF,比较即可；

④根据EF=FM,得到SAEFC=SMFM，根据MC>BE,得到SMEC<2S/FC.

【解答】解：①•.¥是AD的中点，

；.AF=FD,

•.•在回ABCD中，AD=2AB,

.♦.AF=FD=CD,

AZDFC=ZDCF,

VAD//BC,

，NDFC=NFCB,

，NDCF=NBCF,

.*.ZDCF=1ZBCD,故此选项正确；

2

②如图1,延长EF,交CD延长线于M,

:四边形ABCD是平行四边形，

，AB〃CD,

AZA=ZMDF,

,.,F为AD中点，

，AF=FD,

在4AEF和△DFM中，

'/A=NMDF

<NAFE=/DFM，

、AF=DF

.,.△AEF^ADMF(ASA),

，FE=MF,NAEF=NM,

VCE±AB,

AZAEC=90°,

AZAEC=ZECD=90",

VFM=EF,

AFC=FE,故②正确；

③设NFEC=x,则NFCE=x,

AZDCF=ZDFC=90°-x,

AZEFC=180°-2x,

AZEFD=900-x+180°-2x=270°-3x,

ZAEF=90°-x,

.\ZDFE=3ZAEF,故此选项正确；

@VEF=FM,

••SAEFC=SACFM»

VMOBE,

SABEC<'2SAEFC

故SABEC=2SACEF错误，

故选：A.

【点评】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角

形的性质，正确作出辅助线、得出△AEF/4DMF是解题关键.

6.（2016春•镇江期中）如图，由两个长为9,宽为3的全等矩形叠合而得到四

边形ABCD,则四边形ABCD面积的最大值是（）

【分析】首先根据图1,证明四边形ABCD是菱形；然后判断出菱形的一条对角

线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，设AB=BC=x,则BE=9-x,利

用勾股定理求出x的值，即可求出四边形ABCD面积的最大值是多少.

【解答】解：如图1,作AELBC于E,AFLCD于F,

图1,

VAD/7BC,AB〃CD,

...四边形ABCD是平行四边形,

•••两个矩形的宽都是3,

，AE=AF=3,

,*'S四边形ABCD=AE・BC=AF,CD，

BC=CD,

・••平行四边形ABCD是菱形.

设AB=BC=x,则BE=9-x,

BC2=BE2+CE2,

x2=(9-x)2+32,

解得x=5,

•••四边形ABCD面积的最大值是：

5X3=15.

故选：A.

【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，矩形的性质和应用，以及勾股定理

的应用，要熟练掌握.

7.（2016春•重庆期中）如图，点。为正方形ABCD的中心，BE平分NDBC交

DC于点E,延长BC到点F,使FC=EC,连结DF交BE的延长线于点H,连结OH

交DC于点G,连结HC.则以下四个结论中：①OH〃BF,②GH=LBC,③OD」BF,

42

④NCHF=45。.正确结论的个数为（）

【分析】根据已知对各个结论进行分析，从而确定正确的个数.①作EJLBD于

J,连接EF,由全等三角形的判定定理可得△DJEZ^ECF,再由平行线的性质得

出OH是4DBF的中位线即可得出结论；

②根据OH是4BFD的中位线，得出GH=1CF,由GH<1BC,可得出结论；

24

③易证得^ODH是等腰三角形，继而证得OD=LBF；

2

④根据四边形ABCD是正方形，BE是NDBC的平分线可求出RtABCE^RtADCF,

再由NEBC=22.5。即可求出结论.

【解答】解：作EJLBD于J,连接EF

VBE平分NDBC

.♦.EC=EJ,

AADJE^AECF

；.DE=FE

AZHEF=45°+22.5°=67.5°

ZHFE=^—=22.5°

2

AZEHF=180°-67.5°-22.5°=90°

VDH=HF,OH是的中位线

...OH〃BF；故①正确；

.,.0H=1BF,ZDOH=ZCBD=45",

2

VOH是Z\BFD的中位线，

.\DG=CG=XBC,GH=1CF,

22

VCE=CF,

.•.GHJCFJCE

22

:CE<CG=LBC,

2

/.GH<1BC,故②错误.

4

・••四边形ABCD是正方形，BE是NDBC的平分线，

BC=CD,ZBCD=ZDCF,NEBC=22.5°,

VCE=CF,

，RtABCE^RtADCF,

AZEBC=ZCDF=22.5°,

ZBFH=90°-ZCDF=90°-22.5°=67.5°,

•.,OH是△DBF的中位线，CD1AF,

...OH是CD的垂直平分线，

.•.DH=CH,

ZCDF=ZDCH=22.5°,

.\ZHCF=90°-ZDCH=90°-22.5°=67.5°,

ZCHF=1800-ZHCF-ZBFH=180°-67.5°-67.5°=45°,故④正确;

ZODH=ZBDC+ZCDF=67.5°,

AZOHD=180°-ZODH-ZDOH=67.5°,

ZODH=ZOHD,

.*.OD=OH=1BF；故③正确.

2

【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正

方形的性质.解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直

角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答.

8.（2016春•张家港市校级期中）如图，在矩形ABCD中，AD=J^AB,NBAD的

平分线交BC于点E,DHLAE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交

BF于点O,下列结论：

①4ABE之△AHD；②HE=CE；③H是BF的中点；④AB=HF；

A.1B.2C.3D.4

【分析】①根据角平分线的定义可得NBAE=NDAE=45。，然后利用求出4ABE是

等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=&AB,从而得到AE=AD,

然后利用"角角边"证明△ABE和4AHD全等；从而判断出①正确；

②由①可得AB=BE=CD=HD,继而证得NEDH=/EDC,然后由角平分线的性质，

证得②正确；

③求出NEBH=NOHD=22.5°,ZAEB=ZHDF=45°,然后利用"角边角"证明△BEH

和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF,判断出③正确；

④判断出4ABH不是等边三角形，从而得到ABWBH,即ABWHF,得到④错误.

【解答】解：：在矩形ABCD中，AE平分NBAD,

，NBAE=NDAE=45°,

•・.△ABE是等腰直角三角形，

.♦.AE=&AB,

VAD=V2AB,

，AE=AD,

在AABE和AAHD中，

'NBAE=NDAE

<NABE=NAHD=90°，

,AE=AD

.,.△ABE^AAHD(AAS),故①正确；

，BE=DH,

，AB=BE=CD=HD,

AZADE=ZAED=1(180°-45°)=67.5°,

2

ZCED=180°-45°-67.5°=67.5°,

AZAED=ZCED,

VZC=90°,DH±AE,

NEDH=NEDC,

/.HE=CE；故②正确；

VAB=AH,

VZAHB=1(180°-45°)=67.5°,

2

AZOHE=ZAHB=67.5°,

AZDHO=90°-67.5°=22.5°,

VZEBH=90°-67.5°=22.5°,

，NEBH=NOHD,

在△BEH和△HDF中，

'/EBH=N0HD=22.5°

<BE=DH，

AEB=NHDF=45°

.,.△BEH^AHDF(ASA),

，BH=HF,

即H是BF的中点；故③正确；

VAB=AH,NBAE=45°,

/.△ABH不是等边三角形，

.♦.ABWBH,

...即ABWHF,故④错误；

综上所述，结论正确的是①②③共3个.

故选：C.

【点评】此题属于四边形的综合题.考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、

等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.注意根据相等的度数求

出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键.

9.（2016秋•邹城市校级月考）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE

，AC于点，连接DF,分析下列四个结论：①△AEFs^CAB；②CF=2AF；③DF=DC；

④S四边形CDEF="S^ABF其中正确的结论有（）

2

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】①根据四边形ABCD是矩形，BEXAC,可得NABC=NAFB=90。，又NBAF=

NCAB,于是△AEFs^CAB,故①正确；

②根据点E是AD边的中点，以及AD〃BC,得出△AEFs/^CBF,根据相似三角

形对应边成比例，可得CF=2AF,故②正确；

③过D作DM〃BE交AC于N,得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=LBC,

2

得到CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；

④根据△AEFs^CBF得至uEF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出SA

AEF=4△ABF，SAABF=Is矩形ABCD，可得s四边形CDEF=SAACD-SAAEF=-^-S矩形ABCD，即可得到

2612

s四边形CDEF=至S^ABF，故④正确.

2

【解答】解：如图，过D作DM〃BE交AC于N,交BC于M,

,••四边形ABCD是矩形,

，AD〃BC,ZABC=90°,AD=BC,

...NEAC=/ACB,

；BE，AC于点F,

AZABC=ZAFE=90",

/.△AEF^ACAB,故①正确;

：AD〃BC,

.,.△AEF^ACBF,

AAE_AF_1；

・十百T

.-AE=1TXD=1BC,

22

••A-F-,-1，

CF2

,.CF=2AF,故②正确;

，DE〃BM,BE〃DM,

.四边形BMDE是平行四边形,

.BM=DE」BC,

2

.BM=CM,CN=NF,

•BELAC于点F,DM〃BE,

.DN±CF,

.DN垂直平分CF,

.DF=DC,故③正确；

VAAEF^ACBF,

.•.空U,

…而而2，

•'•SAAEF=Is△ABF，SAABF=Is矩形ABCD，

26

••SAAEF=^-S矩形ABCD，

12

又,：、四边形CDEF=S^ACD-SAAEF=^S矩形ABCD-矩形ABCD=上5矩形ABCD，

21212

••S四边形CDEF二5SaABF，故④正确；

2

【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的

性质，图形面积的计算的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键.解题时注意,

相似三角形的对应边成比例.

10.(2015•常州模拟)已知点D与点A(0,6),B(0,-4),C(x,y)是平行

四边形的四个顶点，其中x,y满足3x-4y+12=0,则CD长的最小值为()

A.10B.26C.D.4

5

【分析】如图所示，根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，可

得CD过线段AB的中点M,即CM=DM,根据A与B坐标求出M坐标，要求CD

的最小值只需求出CM的最小值即可.

【解答】解：根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，

...CD过线段AB的中点M,即CM=DM,

VA(0,6),B(0,-4),

AM(0,1),

•••点到直线的距离垂线段最短，

.•.过M作直线的垂线交直线于点C,此时CM最小，

直线3x-4y+12=0,令x=0得到y=3；令y=0得到x=-4,即F(-4,0),E(0,

3),

.♦.OE=3,OF=4,EM=2,EF=^^2^2=5,

VAEOF^AECM,

•CM-EMpnCM_2

OFEF45

解得：CM=1,

5

则CD的最小值为迈.

5

故选C.

【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握

平行四边形的判定与性质是解本题的关键.

11.（2015•泰安模拟）如图，边长一定的正方形ABCD,Q为CD上一个动点，

AQ交BD于点M,过M作MNLAQ交BC于点N,作NP，BD于点P,连接NQ,

下列结论：①AM=MN；②MP=LBD；③BN+DQ=NQ；④AB+BN为定值.其中一定

2BM

成立的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【分析】由题可知A,B,N,M四点共圆，进而可得出NANM=/NAM=45。，由

等角对等边知，AM=MN,故①正确；

由同角的余角相等知，ZHAM=ZPMN,所以RQAHMZRdMPN,即可得出结

论，故②正确；

先由题意得出四边形SMWB是正方形，进而证出^AMS咨△NMW,因为AS=NW,

所以AB+BN=SB+BW=2BW,而BW：BM=1：正，所以故④正确.

BMV2

因为NBAN+NQAD=NNAQ=45。，在NNAM作AU=AB=AD,且使NBAN=/NAU,

NDAQ=NQAU,J^LUAABN^AUAN,ADAQ^AUAQ,有NUAN=/UAQ=90°,

BN=NU,DQ=UQ,即可得出结论，故③正确；

【解答】解：如图：作ALUNQ于U,连接AN,AC,

VZAMN=ZABC=90°,

...A,B,N,M四点共圆，

，NNAM=NDBC=45°,NANM=/ABD=45°,

AZANM=ZNAM=45°,

由等角对等边知，AM=MN,故①正确.

由同角的余角相等知，ZHAM=ZPMN,

RtAAHM^RtAMPN

.".MP=AH=1AC=XBD,故②正确，

22

VZBAN+ZQAD=ZNAQ=45",

・•.三角形ADQ绕点A顺时针旋转90度至ABR,使AD和AB重合，在连接AN,

证明三角形AQN且ANR,得NR=NQ

则BN=NU,DQ=UQ,

・•.点U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ,故③正确.

如图，作MSLAB,垂足为S,作MWLBC,垂足为W,点M是对角线BD上的

点，

四边形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW,

.,.△AMS^ANMW,

.•.AS=NW,

，AB+BN=SB+BW=2BW,

VBW：BM=1：

・•.坦区L=g=点,故④正确.

BM&

故选D.

【点评】本题利用了正方形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，等腰直角三

角形的性质，全等三角形的判定和性质求解.

12.（2015春•和平区期末）如图，在边长为6加的正方形ABCD中，E是AB边

上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG,连接EG,过点C作EG的垂线CH,垂

足为点H,连接BH,BH=8.有下列结论：

①NCBH=45°；②点H是EG的中点；③EG=4收；④DG=2圾

其中，正确结论的个数是（）

【分析】连接CG,作HFLBC于F,HOLAB于O,证明^CBE^4CDG,得到△

ECG是等腰直角三角形，证明NGEC=45。，根据四点共圆证明①正确；根据等腰

三角形三线合一证明②正确；根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出EG的

长，得到③正确；求出BE的长，根据DG=BE,求出BE证明④正确.

【解答】解：连接CG,作HFLBC于F,HOLAB于O,

在4CBE和4CDG中，

rCB=CD

<NCBE=/CDG，

、BE=DG

AACBE^ACDG,

AEC=GC,ZGCD=ZECB,

VZBCD=90°,

AZECG=90°,

•••△ECG是等腰直角三角形，

VZABC=90°,ZEHC=90°,

，E、B、