2024-2025学年山东省青岛市高一下册3月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年山东省青岛市高一下学期3月月考数学检测试题说明：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．满分150分．答题时间120分钟．2．请将第Ⅰ卷题目的答案选出后用2B铅笔涂在答题纸对应题目的代号上；第Ⅱ卷用黑色签字笔将正确答案写在答题纸对应的位置上，答在试卷上作废．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题（共8题，每小题5分）1.把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据函数图象平移遵循“左加右减”原则，根据已知的平移后函数和移动单位，反推原函数.【详解】根据“左加右减”原则，那么将的图象向左平移个单位就可得到的图象.对于，向左平移个单位，即将变为.所以.故选：C.2.已知向量，夹角为，且，则（）A. B.10 C. D.【正确答案】C【分析】根据向量的模长公式求出，再根据向量数量积公式计算.【详解】已知，可得：

已知向量，夹角为，，，则

则.故选：C.3.如图，平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）.若，且点落在第Ⅲ部分，则实数、满足（）A.，； B.，；C.，； D.，.【正确答案】B【分析】根据向量的加法法则，结合共线即可求解.【详解】由点落在第Ⅲ部分，所以，如下示意图，由于方向相同，方向相反，所以，，故选：B4.王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远"的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径R=6371km，如图，设O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置(人的高度忽略不计)，按每层楼高3m计算，“欲穷千里目”即弧的长度为500km，则需要登上楼的层数约为（）（参考数据：，，）A.5800 B.6000 C.6600 D.7000【正确答案】C【分析】根据弧长公式可求得即的大小，在中，即可求得的大小.【详解】O为地球球心，人初始位置为点M，点N是人登高后的位置，的长度为km，令，则，∵，，，∴，又，所以按每层楼高m计算，需要登上6600层楼.故选：C.5.在中，已知（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则为（）A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【正确答案】C【分析】利用正弦定理化边为角，将，化为，再结合三角形内角的关系及两角和的正弦定理，可得，从而可得答案.【详解】解：因为，所以，即，所以，所以或，又因，所以，则，所以为直角三角形.故选：C.6.如图，半圆的直径为，为直径的延长线上一点，且，为半圆上任意一点，以为边作等边三角形.当时，等于A. B.C. D.【正确答案】B【分析】四边形面积分为两个三角形计算，其中，利用余弦定理求AB，得正三角形ABC的面积，可得结果.【详解】如图.过点作于，则，即..，...本题考查三角函数的应用，函数式的建立，考查计算能力，属于中档题.7.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，故选：．8.若平面向量，，满足，，，且，则的最小值是（）A.1 B. C. D.【正确答案】B【分析】根据已知条件对进行变形，再结合向量模的计算公式以及不等式求出的最小值.详解】由可得.根据向量数量积的性质，则有，已知，所以，两边同时平方可得.

根据向量模的平方等于向量自身平方，，已知，，则，，所以.那么，展开得，移项化简可得，即.

由于，展开.因为，所以当时，取得最小值.则的最小值为.

故选：B.二、多选题（共3题，每小题6分）9.下列说法中错误的是（）A.单位向量都相等B.向量与是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上C.两个非零向量，若，则与共线且反向D.已知向量，若与的夹角为锐角，则【正确答案】ABD【分析】根据向量相等判断A；根据向量共线判断BC；根据向量夹角得，解不等式可判断D.【详解】解：对于A选项，单位向量方向不同，则不相等，故A错误；对于B选项，向量与共线向量，也可能是，故B错误；对于C选项，两个非零向量，若，则与共线且反向，故C正确；对于D选项，向量，若与的夹角为锐角，则且与不共线，故，解得且，故D错误；故选：ABD10.把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.在上单调递增D.若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为【正确答案】ABD【分析】利用辅助角公式化简函数，由已知求出即得解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断.【详解】，由关于原点对称，得，，而，则，，对于A，的最小正周期，A正确；对于BC，由，得，直线是的图象一条对称轴，B正确，C错误；对于D，由，得，而在上有极大值点又有极小值点，则，解得，D正确故选：ABD11.已知点是函数的图象的一个对称中心，则（）A.是奇函数B.，C.若在区间上有且仅有条对称轴，则D.若在区间上单调递减，则或【正确答案】BC【分析】根据的对称中心求得，根据奇偶性、对称性、单调性等知识确定正确答案.【详解】依题意，点是函数的图象的一个对称中心，所以，且①，B选项正确.则，所以，由于是奇数，所以是偶函数，A选项错误.C选项，，将代入得：，整理得，由于在区间上有且仅有条对称轴，所以，解得，由于，所以，对应，所以C选项正确.D选项，在区间上单调递减，，将代入得：，整理得，则，解得，而，所以或，时，，符合单调性，时，，不符合单调性，所以舍去所以，所以D选项错误.故选：BC第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（共3题，每小题5分）12.

如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2，将筒车简化为圆，以为原点，以与水平平行的直线为轴建立直角坐标系，设时，盛水筒位于，以为始边，以为终边的角为，动点每秒钟逆时针转过，则盛水筒的高度与时间的关系是______________.【正确答案】.【分析】由题意得到,再由动点每秒钟逆时针转过，得到t秒后求解.【详解】解：因为时，盛水筒位于，以为始边，以为终边的角为，所以,又因为动点每秒钟逆时针转过，所以t秒后，则，所以则盛水筒的高度与时间的关系是，故13.如图，在四边形中，已知，点在边上，则最小值为______.【正确答案】##【分析】解法一，设，运用向量线性运算及数量积运算可得，（），转化为求二次函数在区间上的最值即可，解法二、解法三，建立不同平面直角坐标系，运用向量坐标运算及二次函数求最值即可.【详解】解法一：由，，得，所以，，则，设，则，所以，当且仅当时，取得最小值.解法二：由，得，所以，，如图，建立平面直角坐标系，则，，所以.设，则，所以，所以，，则，当且仅当时，取得最小值.解法三：由，得，所以，，，如图，分别以所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系，则.因为点在边上，所以设，所以，所以，当且仅当时，取得最小值.故答案为.14.在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为__________.【正确答案】【分析】由三角形面积公式和题设等式，利用余弦定理化简求得和，再由正弦定理化简所求式为，设，利用三角恒等变换将其化成，求得，最后运用双勾函数的单调性求得范围.【详解】因，代入可得，整理得，，由余弦定理，，则得，，两边平方，化简得，，即，解得或0，因为为锐角三角形，所以.由正弦定理得（*），，又为锐角三角形，，则，即故则，令，代入（*）式可得，，因函数在上单调递减，在上单调递增，则，又，因为，故.故答案为.思路点睛：本题主要考查三角恒等变换和三角函数的性质在三角形中的应用，属于难题.解题思路在于，利用三角形面积公式和正弦定理、余弦定理由题设条件求出角，再由所求式进行合理的三角恒等变换，借助于三角函数的图象性质和双勾函数的单调性求解即得.四、解答题（共5题）15.已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求B；（2）设，，求c.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题设，根据正弦定理得，结合三角形内角的性质得，即可求B；（2）由余弦定理，结合已知条件列方程，即可求c.【详解】（1）由正弦定理得：，而，∴，又，，∴，又，即（2）由余弦定理，即，∴，解得.16.某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况：月份1月份2月份3月份4月份收购价格（元/斤）8987养殖成本（元/斤）55.5866.32现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系.（1）请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式；（2）按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？【正确答案】（1）模型①，模型②（2）答案见解析【分析】（1）根据已知中的数据，求出参数的值，可得两个函数解析式；（2）根据（1）中函数模型，求出价格的估算值，与成本比较后可得答案．【小问1详解】由表中数据可知，收购价格月份变化上下波动，应选模型①，由表中数据可知，养殖成本逐月递增，应选模型②，对于模型①，由点及，可得函数周期满足，即，所以，又函数最大值为，最小值为，解得，，所以，又，所以，又，所以，所以模型①；对于模型②，图象过点，，所以，解得：，所以模型②；【小问2详解】由（1）设，，若时则盈利，若则亏损；当时，；当时，；当时，；当时，；这说明第5，6，7月份可能盈利，8月份生猪养殖户可能出现亏损．17.如图，在中，点在边上，，，，．（1）求的面积；（2）求线段的长．【正确答案】（1）；（2）．【详解】试题分析：（1）求得的值后再利用三角形的面积计算公式即可求解；（2）利用余弦定理求得的值后即可求解．试题解析：（1）∵，且，∴．又∵，∴．∴．∵,，∴；（2）∵，且,，，∴，∴．又∵，∴，又∵在中,,∴,即,∴．考点：余弦定理解三角形．18.已知向量，向量与向量的夹角为，且.（1）求向量；（2）设向量，向量，其中，若，试求的取值范围.【正确答案】（1）或（2）【分析】（1）设向量=（x，y），由已知中向量=（1，1），向量与向量夹角为，且=﹣1．根据向量数量积的运算法则，可得到关于x，y的方程组，解方程可得向量的坐标；（2）由向量=（1，0）向量，其中(，)，其中，，若＝0，我们可以求出2的表达式，利用三角函数的性质可得的取值范围．【详解】（1）设向量=（x，y），∵向量=（1，1），则=x+y=﹣1…①=||•||•cos=﹣1，即x2+y2=1解得x=0，y=﹣1或x=﹣1，y=0故=（﹣1，0），或=（0，﹣1），（2）∵向量=（1，0），⊥，则=（0，﹣1），又∵向量=（cosx，cos2（﹣）），∴+=（cosx，cos2（﹣）﹣1）=（cosx，），则|+|2=cos2x+=cos2x-sinx+=-，∵，，，|+|2故|+|≤本题考查的知识点是平面向量的综合题，其中熟练掌握平面向量的数量积公式，模的计算公式，最后转化成二次函数在上求最值是解答本题的关键，属于中档题.19.假设，为平面中不共线的单位向量，，则对任意向量，存在唯一一组，使得，这样我们就得到了从平面向量到全体二元有序数组集合的一一对应关系，这样就产生了仿射坐标系，有序数组叫做向量的斜坐标．（1）若的斜坐标为，，求与垂直的单位向量的斜坐标．（2）在夹角为θ的仿射坐标系中，设，，求证：①②（3）在三角形ABD中，DF为边AB的中线，过B点作DF的垂线，交DF于C，交AD于E，此时，求的最