2024-2025学年广东省广州七十五中高一（下）第一次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州七十五中高一（下）第一次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若AB=(1,2)，AC=(−1,1)，则BC=A.(2,−1) B.(2,1) C.(−1,2) D.(−2,−1)2.若复数z满足(3−i)(z+2)=2+6i，则|z|=(

)A.1 B.2 C.2 D.3.已知|b|=2|a|，(a−bA.5π12 B.π4 C.3π44.设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2=b2+cA.30° B.60° C.120° D.150°5.以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(

)A.8π B.4π C.8 D.46.如图，已知AB=a，AC=b，BC=4BD，CA=3A.34b−13a B.57.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2BcosA=sinCcosB，则△ABC的形状为(

)A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形8.为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距2km的两点A，B处分别测得∠BAC=105°，∠BAD=60°，∠ABC=45°，∠ABD=60°，则C，D间的距离为(

)A.2km

B.2km

C.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的(

)A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形

B.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C.用平面截圆柱，得到的截面可以是等腰梯形

D.底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱是正四棱柱10.下列命题为真命题的是(

)A.复数−2−i的虚部为−i

B.在复平面内，复数−2−i的共轭复数对应的点在第四象限

C.若i为虚数单位，n为正整数，则(1+i1−i)4n=1

D.若|z|≤1，则在复平面内11.折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形AOB，其中∠AOB=150°，OA=2OC=2OD=2，点F在弧AB上，且∠BOF=120°，点E在弧CD上运动.则下列结论正确的有(

)

A.OD⋅DA=3−1B.OF=λOA+mOB，则λ+m=3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面向量a，b，|b|=3，向量a在向量b上的投影向量为−16b，则a13.如图，一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，其中O′A′//B′C′，∠O′A′B′=90°，O′A′=2B′C′=4，A′B′=2，则平面图形OABC的面积为______．14.如图所示的两个对称的等腰△ABO与△A1B1O，且AB=2，AO=5，若该平面图形绕着直线l1(l1//AB)

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知a=(1,0),b=(2,1)．

(1)求|a+3b|；

(2)当k16.(本小题15分)

如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，等腰直角三角形△SOC的面积为12．

(1)求圆锥SO的表面积；

(2)若点B是AC的一个三等分点，求三棱锥A−SBC的体积．17.(本小题15分)

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且acosC+3asinC=b+c．

(1)求角A；

(2)若a=2，b+c=4，求△ABC18.(本小题17分)

如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=2BD．

(1)若cos∠ADC=−14，AC=8，AD=4，求AB；

(2)若△ABC是锐角三角形，B=π319.(本小题17分)

如图，设Ox、Oy是平面内相交成α(0<α<π)的两条射线，e1、e2分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α−仿射坐标系，在α−仿射坐标系中，若OP=xe1+ye2，则记OP=(x,y)．

(1)在π4−仿射坐标系中，若a=(2,1)，求|a|；

(2)在α−仿射坐标系中，若a=(−1,3)，b=(−3,1)，且a与b的夹角为π3，求cosα；

(3)如图所示，在π3−仿射坐标系中，B、

参考答案1.D

2.D

3.D

4.B

5.A

6.B

7.D

8.B

9.AC

10.CD

11.BCD

12.−313.1214.4

15.58；

−116.解：(1)等腰直角三角形SOC中，SO⊥AC，又因为其面积为12，

所以12|OC|2=12,|OC|=1，即圆锥底面半径r=1，

圆锥母线长为：l=|SO|2+|OC|2=2，

所以圆锥SO的表面积为：S=πrl+πr2=2π+π=(2+1)π．17.解：(1)因为acosC+3asinC=b+c，

由正弦定理得：sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC，

因为A+B+C=π，

所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以3sinAsinC=cosAsinC+sinC，

因为sinC≠0，

所以3sinA=cosA+1，

所以3sinA−cosA=1，所以sin(A−π6)=12，

因为A∈(0,π),A−π6∈(−π6,5π6)，

所以A−π6=π18.解：(1)根据余弦定理，在△ACD中，

cos∠ADC=AD2+CD2−AC22×CD×AD=CD2−488CD=−14，

则CD