2024-2025学年湖南省长沙市望城一中高一（下）段考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙市望城一中高一（下）3月段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，复数z满足(1−z)i=2，则|z+3z−A.5 B.10 C.3 2.设a=40.9，b=(12A.a>b B.a≡b

C.a<b D.a、b的大小无法确定3.在下列条件中：①b2−4ac≥0；②ac>0；③ab<0且ac>0；④b2−4ac≥0，bA.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④4.已知点A(−2,−1)，B(3,4)，C(−1,1)，D(3,3)，与AB同向的单位向量为e，则向量CD在向量AB方向上的投影向量为(

)A.35e B.32e5.2000年我国国内生产总值(GDP)为89442亿元，如果我国GDP年均增长7.8%，那么按照这个增长速度，在2000年的基础上，我国GDP要实现比2000年翻两番的目标，需要经过(    )(参考数据：lg2≈0.3010，lg1.078≈0.0326，结果保留整数)A.17年 B.18年 C.19年 D.20年6.已知ℎ(x)为△ABC内一点，若分别满足①|OA|=|OB|=|OC|，②OA⋅OB=OB⋅A.内心、重心、垂心、外心 B.外心、垂心、重心、内心

C.外心、内心、重心、垂心 D.内心、垂心、外心、重心7.已知f(x+1)是偶函数，任意x1∈(−∞,1]，x2∈(−∞,1]，且x1≠x2，满足f(A.(−∞,0)∪(2,+∞) B.(0,2)

C.(−∞,0) D.(2,+∞)8.已知动点P1(x1,cosx1)，PA.|OP1|有最小值1 B.|OP1|有最小值，且最小值小于1

C.OP二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1，z2是关于z的方程3z2−az+b=0(a,b∈R,a>0)的两个复数根，且z1A.z1与z2互为共轭复数 B.a−b=2

C.a210.已知向量a=(1,m)，b=(2,−4)，则下列说法正确的是(

)A.若|a+b|=10，则m=5

B.若a//b，则m=−2

C.若a⊥b，则11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题是真命题的是(

)A.若acosB=bcosA，则△ABC为等腰三角形

B.若B=π4，c=2，b=65，则△ABC只有一解

C.若bcosA+(a−2c)cosB=0，则B=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=−x2−ax−5,(x≤1)ax(x>1)是R13.设复数z1=−1−i，z2=3+3i，若z=214.如图，在△ABC中，点D是边AB上一点且BD=2AD，E是边BC的中点，直线AE和直线CD交于点F，若BF是∠ABC的平分线，则|BC||BA|=______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记其面积为S，则有(a+b+c)(a+b−c)sinC=6S．

(1)求C；

(2)若ab=a+b，求S的最小值．16.(本小题15分)

已知平行四边形ABCD中，DE=2EC，2AF=AD，AE和BF交于点P．

(1)用AB，AD表示向量AP．

(2)若△BPE的面积为S1，△APF的面积为S2，求S1S2的值．

17.(本小题15分)

已知函数f(x)=sin(ax+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π4，且图象过点M(π6,12)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)的单调递增区间；

(3)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍18.(本小题17分)

如图，设Ox，Oy是平面内相交成α(0<α<π)的两条射线，e1，e2分别与Ox，Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α−仿射坐标系，在α−仿射坐标系中，若OP=xe1+ye2，则记OP=(x,y)．

(1)在α−仿射坐标系中

①若a=(m,n)，求|a|；

②若a=(−1,3)，b=(−3,1)，且a与b的夹角为2π3，求cosα；

(2)如图所示，在π3−仿射坐标系中，B，C分别在x19.(本小题17分)

复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受．

材料：形如z=a+bi(a,b∈R)的数称为复数的代数形式.而任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式，即a=rcosθb=rsinθ，其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角，我们规定0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz.复数z=r(cosθ+isinθ)叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若OZ1=r1(cosθ1+isinθ1),OZ2=r2(cosθ2+isinθ2)，则r1(cosθ1+isinθ1)⋅r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].其几何意义是把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1绕点参考答案1.B

2.A

3.A

4.B

5.C

6.B

7.A

8.A

9.ACD

10.BD

11.ACD

12.[−3,−2]

13.414.2

15.C=13π；

16.解：(1)因为点P在BF上，所以AP=xAF+(1−x)AB=x2AD+(1−x)AB，

又因为AE=AD+23AB，AP//AE，所以x2=1−x23，解得x=34，

所以AP=14AB+38AD；

(2)由(1)可得，AP=38AE，则APAE=38，即APPE=35，

因为AP=14AB+34AF，所以(14+34)AP=14AB+34AF17.18.19.解：(1)由于z=1−3i，故|z|=2，所以z=2(12−32i)，

所以cosθ=12,sinθ=−32，

因为0≤θ<2π，所以θ=5π3，

所以z=2(cos5π3+isin5π3)；

(2)由材料一复数的乘法几何意义可知，复数z2乘以一个模长为1，辐角为90°的复数z0，

即为复数z1.故z2⋅z0=(2b+i)⋅i=z1=2a−3i，

故2b=−3−1=2a