2024-2025学年江苏省常州市北郊初级中学九年级（下）3月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省常州市北郊初级中学九年级（下）3月月考数学试卷一、单选题：本大题共8小题，共24分。1.在0、2、−3、π四个数中，最小的数是(

)A.0 B.2 C.−3 2.一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，那么这个两位数是(

)．A.x+y B.10xy C.10x+y D.3.下列几何体中，主视图是三角形的是(

)A. B.

C. D.4.在平面直角坐标系中，点A2,−4到x轴的距离是(

)A.4 B.2 C.−4 D.−25.如图，嘉嘉借助刻度尺画了一条数轴，则这条数轴上点A对应的实数为(

)

A.−5 B.−2.5 C.0 D.2.56.如图，Rt▵ABC中，∠C=90∘,∠B=40∘，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E,F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则A.60∘ B.65∘ C.7.如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60∘，则n的值是(

)

A.4 B.5 C.6 D.88.一个寻宝游戏的寻宝通道如图①所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成．为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图像大致如图②所示，则寻宝者的行进路线可能为：

A.A→O→B B.B→A→C C.B→O→C D.C→B→O二、填空题：本大题共10小题，共30分。9.如图是常州市2025年除夕这一天的天气预报，该天最高气温比最低气温高

∘C．

10.分解因式：x2y−2xy+y=

．11.2024年6月2日6时23分，“嫦娥六号”着陆器在月球背面预定着陆区域成功着陆．月球与地球之间的距离约为380000千米，将380000用科学记数法表示为

12.已知扇形的半径为2cm，圆心角为100∘，则该扇形的弧长

cm．13.某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量(单位：g)，得到的数据如下：50.03

49.98

50.00

49.99

50.0249.99

50.01

49.97

50.00

50.02当一个工件的质量x(单位：g)满足49.98≤x≤50.02时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是

．14.当分式x+1x有意义，则x的取值范围是

．15.如图，在▵ABC中，AB=AC，∠A=36∘，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2，则AD的长度为

．

16.一次函数y=kx−1k≠0的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的第

象限．17.如图，正方形ABCD的边长为6，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内部作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与DC相交于点E，则梯形ABCE的面积为

．

18.如图，在Rt▵ABC中，P是斜边AB边上一点，且BP=2AP，分别过点A、B作l1、l2平行于CP，若CP=4，则l1与l2之间的最大距离为

．三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.先化简，再求值：a−12−aa+1，其中a=−220.解分式方程和不等式组：(1)2x+y=7(2)2x+1≤221.在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分(单位：分，满分10分)进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：信息一：甲、丙两位选手的得分折线图：信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0,8.9,8.3；信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：选手统计量甲乙丙平均数m9.18.9中位数9.29.0n根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m，n的值：m=

，n=

；(2)从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手

发挥的稳定性更好(填“甲”或“丙”)；(3)该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由．22.如图，一个可以自由转动的转盘被分成4个相同的扇形，这些扇形内分别标有数字2，5，5，3，指针的位置固定．转动转盘，当转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，计为转动转盘一次(若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止)．

(1)转动转盘一次，转出的数字为2的概率是

；(2)转动转盘两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次转出的数字之和是5的倍数的概率．23.如图，点C在线段AD上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE．

(1)求证：▵ABC≌▵ADE；(2)若∠BAC=60∘，求24.为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七(3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．25.如图，一次函数y=k1x+2的图像与反比例函数y=k2x的图像相交于Am,4，B两点，与x，y轴分别相交于点C，D(1)分别求这两个函数的表达式；(2)以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE.求▵ABE的面积．26.四边形ABCD中，AD/​/BC，∠C=90∘，AD=8，AB=62，BC=14.点P由B出发，沿BC向终点C运动，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90∘得到PQ，设点P运动的路程为(1)当点P位于图1位置，且∠BAP=∠CPQ时，求∠APC的度数；(2)在点Q随点P运动的过程中，①若点Q恰好落在边CD上，如图2，求x的值；②连接AC，若PQ/​/AC，如图3，求tan∠BAP(3)连接DQ，直接写出DQ的最小值．27.在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数的表达式为y=ax2+bx+3．

(1)若a=−1，且点2,3在函数的图像上，求此时函数的最大值；(2)若a>0，且函数的图像经过点−1,−1，当自变量x的值满足x≥−1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围

；(3)在(1)的条件下，若二次函数y=ax2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，点D在直线BC上方的二次函数图像上，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得▵CDM中的某个角恰好等于∠OCA的228.在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在PO的延长线上，使得POQO=12，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，A(2,4),B(2,2),P−1,−32是线段AB外一点，Q2,3在PO的延长线上，且POQO=12，因为点Q在线段(1)如图1，已知图形W1：线段AB，A2,4，B2,2，在P1−52(2)如图2，已知图形W2：线段BC，B2,2，C5,2，若直线MN:y=−x+b上存在点P是图形W2的“延长(3)如图3，已知图形W3：以Tt,1为圆心，半径为1的⊙T，若以D−1,−2，E−1,1，F2,1为顶点的等腰直角三角形DEF上存在点P，使得点P是图形W3的“延长2参考答案1.C

2.D

3.A

4.A

5.A

6.B

7.C

8.C

9.7

10.yx−111.3.8×1012.10π9

13.160

14.x≠0

15.2

16.一

17.45218.9

19.解：a−1==−3a+1，当a=−2时，原式=−3×−2

20.【小题1】解：2x+y=7①①−②得，y−−3y=7−3，解得：把y=1代入①得，2x+1=7，解得：x=3，∴这个方程组的解为x=3y=1【小题2】解：2x+1≤2①解不等式①得：x≤1解不等式②得：x<1，∴不等式组的解集为x≤1

21.【小题1】9.19.1【小题2】甲【小题3】解：应该推荐甲选手，理由如下：甲的中位数和平均数都比丙的大，且甲的成绩稳定性比丙好，甲的中位数比乙的大，∴应该推荐甲选手．

22.【小题1】1【小题2】解：画树状图为：共有16种等可能的结果，其中两次转出的数字之和是5的倍数的结果数为6种，所以这两次转出的数字之和是5的倍数的概率=6

23.【小题1】证明：在▵ABC与▵ADE中，AB=AD所以▵ABC≌▵ADESAS【小题2】解：因为▵ABC≌▵ADE，∠BAC=60所以AC=AE，∠CAE=∠BAC=60所以△ACE是等边三角形．所以∠ACE=60

24.解：设乙组平均每小时包x个粽子，则甲组平均每小时包x+20个粽子，由题意得：150x+20=120经检验：x=80是分式方程的解，且符合题意，∴分式方程的解为：x=80，∴x+20=100答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．

25.【小题1】解：由y=k1x+2∵tan∴DO∴C−1,0代入y=k1x+2∴一次函数解析式为y=2x+2，过A作AM⊥x轴，如图1，∴tan∵AM=4，∴CM=2，∴OM=1，∴A1,4代入y=k2x∴反比例函数解析式为y=4【小题2】解：如图2，过A作AN//y轴，交BE于N，联立y=2x+2和y=4∴x∴x=−2或1，∴B−2,−2∴BD=∴DE=DB=2∴OE=∴E4,0设直线BE解析式为y=mx+n，∴∴m=13，∴直线BE解析式为y=1当x=1时，y=1∴N1,−1∴AN=5，∴▵ABE的面积12

26.【小题1】解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示：∴∠AEB=∠AEC=90∵AD//BC，∠C=90∘，∴∠D=180∴∠AEC=∠C=∠D=90∴四边形AECP为矩形，∴EC=AD=8，∵AB=62，∴BE=BC−EC=14−8=6，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=∴AE=BE=6，∴∠B=∠BAE=45由旋转的性质得，∠APQ=90∴∠APE+∠QPE=90∘，∴∠PAE=∠QPE，∵∠BAP=∠CPQ，∴∠BAP=∠PAE=1∴∠APC=∠B+∠BAP=45【小题2】解：①当点Q恰好落在CD边上时，过点A作AH⊥BC于点H，如图3所示：∴∠AHP=∠C=90∴∠HAP+∠APH=90由旋转的性质得：AP=PQ，∠APQ=90∴∠APH+∠CPQ=90∴∠HAP=∠CPQ，在▵HAP和▵∠CPQ中，∠AHP=∠C=90∴▵HAP≌▵∠CPQAAS∴AH=PC，由(1)可知，AH=6，∴AH=PC=6，∴BP=BC−PC=14−6=8，∴点P运动的路程x=BP=8，即x的值为8；②过点P作PK⊥AB于点K，过点A作AN⊥BC于点N，过点Q作QM⊥BC于点M如图4所示，∴∠ANP=∠PMQ=90∴∠PAN+∠APN=90由旋转的性质得：AP=PQ，∠APQ=90∴∠APN+∠QPM=90∴∠PAN=∠QPM，在△PAN和▵QPM中，∠ANP=∠PMQ=90∴▵PAN≌▵QPMAAS∴AN=PM，PN=QM，由(1)可知：AN=BN=6，四边形ANCD是矩形，∴AN=PM=6，CN=AD=8，∵此时点P运动的路程BP=x，∴PN=BN−BP=6−x，∴PN=QM=6−x，∵AN⊥BC，QM⊥BC，∴∠ANC=∠QMP=90∵PQ//AC，∴∠ACN=∠QPM，∴▵ACN∽▵QPM，∴AN∴6解得：x=3∴BP=x=3在Rt▵ABN中，BN=AN=6，∠B=45∵PK⊥AB∴△BPK是等腰直角三角形，即BK=PK，由勾股定理得BP=∴BK=PK=∴AK=AB−BK=6在Rt△APK中，tan∠BAP=【小题3】解：当PQ在BC的上方时，DQ才有最小值，过点A作AR⊥BC于点R，过点Q作QL⊥CD于点L，QS⊥BC交BC的延长线于点S，如图5所示：设PR=a，由(1)可知：AR=BR=6，同上理可证明：▵APR≌PQSAAS∴AR=PS=6，PR=QS=a，∴PC=BC−BR−PR=14−6−a=8−a，∴CS=PS−PC=6−8−a∵QL⊥CD，QS⊥BC，∠BCD=90∴∠QLC=∠DCS=∠S=90∴四边形DLCS是矩形，∴CL=QS=a，QL=CS=a−2，∴DL=CD−CL=6−a，在Rt▵DQL中，由勾股定理得DQ∴当a=4时，DQ2为最小，最小值为∴DQ的最小值为8

27.【小题1】解：若a=−1，则抛物线的表达式为y=−x将2,3代入y=−x3=−4+2b+3，解得，b=2，则抛物线的表达式为：y=−x即函数的最小值为2；【小题2】0<a≤4【小题3】解：存在点D，使得▵CDM中的某个角恰好等于∠OCA的2倍，理由如下：在OC上截取CH=AH，则∠AHO=2∠ACO，如图，∵OA=1，OC=3，∴AH2=A解得：AH=5∴OH=4过点D作DN//x轴交直线BC于点N，∵OC=OB,∴∠OBC=45∴∠MND=45∵DM⊥BC，∴▵MND是等腰直角三角形，∴MN=MD设MD=3x，则CM=4x，CD=5x，∴DN=3∴CD设Dn,n2∴DN=−n2+3n∴3解得，n=1