2024年中考数学复习：勾股定理的多种应用考点培优练习

勾股定理的多种应用考点培优练习

考点直击

1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，a2+b2=c2.

2.勾股定理逆定理：如果一个三角形三边a,b,c满足a?+/=c2,那么这个三角形是直角三角形.

3.勾股数：满足a2+b2=c?的三个正整数a,b,c称为勾股数.

4.利用勾股定理求边长的三类题型：

⑴直接应用勾股定理求直角三角形的边；

⑵利用勾股定理得方程求边一旗杆折断模型；

（3）“化斜为直”构造直角三角形求边.

例题精讲

例1（常州统考）如图,RtAABC中,NBAC=90。,分另（J以AABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形△ABD,△ACE,ABCF,

若图中阴影部分的面积51=6.5,$2=3.5,S3=5.5,则、S4=

举一反三1（凉州统考）如图,AABC中,AD1■于D若AB=15,AC=13,BC=14,求AD.

举一反三2阅读下面的材料，然后解答问题：

我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形.

【理解】

⑴根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗?—（填"是”或“不是”）.

⑵若某三角形的三边长分别为1,V7,2,则该三角形—（填“是”或—“不是”）奇异三角形.

【探究】

在R3ABC中,两边长分别是a,c,且a2=50,c2=100,则这个三角形是否是奇异三角形?请说明理由.

【拓展】在RtAABCcp,ZC=90°,AB=c,AC=b,BC=a,H(b>a,若Rt△ABC是奇异三角形，求a2:b2-.c2.

例2（苏州统考）如图1,在AABC中,33/4+ZB=180°,BC=8,AC=10,求AB的长.

小明的思路：如图2,作BE±AC于点E,在AC的延长线上取点D，使得DE=AE,连接BD.易得NA=ND.AABD为等

腰三角形.由3/4+乙B=180。和NA+NABC+NBCA=180。,易得.ABCA=2乙1,△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE

和AB的长.

解决下列问题：

⑴图2中,4E=.

⑵在AABC中,NA,/B,NC的对边分别为a、b、c.如图3,当3/4+2NB=180。时，用含a,c的式子表示b.

举一反三3如图，已知四边形ABCD中，AB\\CD,BC=AD=4,AB=CD=10,Z.DCB=90°„E为CD边上的一点.

DE=7,动点P从点A出发,以1个单位每秒的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE,设点P运动的时间为t秒.

⑴求BE的长；

⑵若△BPE为直角三角形，求t的值.

举一反三4（高邮统考）【数学实验室】制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正

方形构成“弦图”（如图2）,古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理.

图1图2图3备用图

【探索研究】

⑴小明将“弦图”中的2个三角形进行了旋转，得到图3,请利用图3证明勾股定理.

【数学思考】

⑵小芳认为用其他的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理.请你想一种方法支持她的观点（先在备

用图中补全图形，再予以证明）.

例3如图，在四边形ABCD中,AD=4cm,CD=3cm,AD1CD,AB=13cm,BC=12cm,求四边形的面积.

【思路点拨】连接AC,根据勾股定理求出AC,然后利用勾股定理的逆定理推导出A4BC是直角三角形，然后利用三

角形面积公式将两个三角形的面积相加即可.

举一反三5（海门统考）如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙上，梯子的底端A到墙根0的距离AO为2米，梯子的顶端B

到地面的距离B0为6米，现将梯子的底端A向外移动到.4,使梯子的底端.4到墙根O的距离.4。等于3米，同时梯子的

顶端B下降至.求梯子顶端下滑的距离.BB'.

举一反三6（宜兴统考）如图，小明所在学校的旗杆BD高约为13米，距离旗杆20米处刚好有一棵高约为3米的香樟树

AE,活动课上，小明有意在旗杆与香樟树之间的连线上来回踱步，发现有一个位置到旗杆顶部与到树顶的距离相等，请你

求出该位置与旗杆之间的距离.

D

区

E

f

A-B

过关检测

基础夯实

1.（南通中考）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）

A.3,4,5B.2,3,4

C.4,6,7D.5,11,12

2.（呼伦贝尔中考）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（）

A.6,8,14B.6,8,12

C.6,8,10D.6,8,8

3.（陕西中考）如图，在3x3的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，若BD是AABC的高，则BD的长

为（）

A.^V13B.^V13

1313

C.-V13D.-V13

1313

4.（泸州中考）“赵爽弦图，，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个

全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正

方形的面积为25,则小正方形的边长为（）

D.3

5.（长春中考）如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意

图如图2,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,AABF,ABCG,ACDH,ADAE是四个全等的直角三角形.若

EF=2,DE=8,贝!]AB的长为—.

图2

6.（莆田中考）魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相

补，各从其类”证明了勾股定理.若图中BF=1,CF=2则AE的长为

7.（滨州中考）如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A,B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点）,在这个

6x6的方格纸中，找出格点C,使AABC的面积为1个平方单位的直角三角形的个数是一个.

8.（新疆中考）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是a,b,斜边长为c）和一个边长为c的正方

形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.

⑴画出拼成的这个图形的示意图；

（2）证明勾股定理.

9.（赤峰中考）如图.RtAABC中,NACB=9（T,AB=5,AC=3,把RtAABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到AABC,则四边

形ABCA的面积是（）

A.15B.18C.20D.22

10.（温州中考）把四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的

小正方形EFGH.已知AM为RtAABM较长直角边，AM=2四EF,,则正方形ABCD的面积为

A

A.12SB.IOSC.9SD.8S

1L（雅安中考）对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美"四边形ABCD,对角线AC,BD交于点

O.若AD=2,BC=4,则AB2+CD2=____

12.（绵阳中考）若a,b,c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h,给出下列结论：

①以a"b2,c哨勺长为边的三条线段能组成一个三角形；

②以6,VF,北的长为边的三条线段能组成一个三角形；

③以a+b,c+h,h的长为边的三条线段能组成直角三角形；

④以工3,2的长为边的三条线段能组成直角三角形.

abc

其中所有正确结论的序号为—.

13.（绍兴中考）如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A,C为圆心,m为半径作弧，两弧交于点D,连接BD.

若BD的长为22日”则m的值为一.

14.（宜昌中考）【阅读】能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a,b,c,称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解

公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组

a=-(m2-n2),

b=mn,其中m>n>0,

c=~(m2+n2),

m,n是!互质的奇数.

【应用】当n=l时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.

15.(枣庄中考)已知:如图，在四边形ABCD中,NABC=90°,CD±AD,AD2+CD2=2AB2.

⑴求证:AB=BC；

(2)当BE±AD于E时，试证明:BE=AE+CD.

16.（随州中考）如图，在等腰直角三角形ABC中,/ABC=9（r,D为AC边的中点，过D点作DE1DF交AB于点E、交BC

于点F,若AE=4,FC=3,求EF的长.

17.如图,在AABC中,D,E分别是BC,AC的中点.已知/ACB=9（T,BE=4,AD=7,则AB的长为（）

C.2V13P.2V15

18.长方形台球桌ABCD上,一球从AB边上某处P击出，分别撞击球桌的边BC,CD,DA各1次后,又回到出发点P处，每

次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（如图，a=0）.若AB=3,BC=4,则此球所走路线的总长度（不计球的大小）

为（）

C.IID.10

19.（聊城中考）

⑴如图1是一个重要公式的几何解释.请你写出这个公式.

⑵如图2,R3ABC义R3CDE,/B=ND=90。,且B,C,D三点共线.试证明:NACE=90。.

⑶伽菲尔德利用⑴中的公式和图2证明了勾股定理，现请你尝试该证明过程.

ab

A

b

图1

20.（牡丹江中考）在AABC中,4B=2遥,AC=4,BC=2,以AB为边向AABC外作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段

CD的长.

【例题精讲】

1.2.5解析:记BF与DE相交于点G,记CF与DE交于点H,^.^△ABD.△ACE,△BCF均是等腰直角三角形,...

222

AB=BD,AC=CE,BC=CF,设AB=BD=a,AC=CE=b,BC=CF=c,SAABG=m,SACH=n,va+b=c,SABD+SACE=SBCF,■■邑+

m+n+S4=S2+S3+m+n,•••S4=3.5+5.5—6.5=2.5.

2.(1)912(2)b

解析:⑴由题可知BE是AD的垂直平分线,...AB=BD,NA=ND.,.^3NA+NABC=180。,NA+NABC+NBCA=180。，.^.Z

BCA=2ZA.VZBCA=ZD+ZCBD,ANBCA=NA+NCBD=2NA,NCBD=NA,，DC=BC=8,.\

AD=DC+AC=8+10=18,，AE=DE=9,.\EC=AD—CD=9—8=L.,.在直角ABCE和直角AAEB中,由勾股定理得.BC2-CE2=

AB2-4E?,即82-I2=AB2-9?,解得AB=12.(2)如图作BE±AC于点E.在AC的延长线上取点D.使得DE=AE.连接BD.

则BE是边AD的垂直平分线,.,.AB=BD,NA=ND.^.^3NA+2NB=180。,NA+NABC+NBCA=180。,.,.2NA+NABC=N

ACB.VZACB=ZD+ZDBC,A2ZA+ZABC=ZD+ZDBC.VZA=ZD,.\ZA+ZABC=ZDBC,BD=AB=c,即ZDCB

=NDBC,，DB=DC=c.由题意得DE=4E=—EC=AE-AC=—-b=—，i£RtABEC中,BE2=BC2-EC?,在RtABEA

22222222

中,BE=BA-EA,..BC-EC=BA-E/P,即a-(一1=c-(等)1整理得b=

3.36cm2解析:连接AC,：AD_LCD,...在直角AACD中.AC2=AD2+CD?.又AD=4cm,CD=3cm,解得AC=5cm.:AC2+

BC2=52+122=169=132=AB2,.-.ZACB=90°,

.•.SH«ABCD=S^CD+S^C=-AD%+|".8c=6+30=36(/),

【举一反三】

1.12解析:设BD=x，则CD=14-x,

VAD±BC,AZADB=ZADC=9O°.

---AADB与AACD均为直角三角形，

AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,&P152-x2=132-(14-x)?,解得x=9,BD=9,AD=VAB2-BD2=

V152-92=12.

2.【理解】⑴是⑵是【探究】当c为斜边时，-="-<?=50,RtAABC不是奇异三角形；当b为斜边时，b2=

c2+a2=150,50+150=2x100,a2+b2=2c2,RtAABC是奇异三角形.【拓展】1:2:3

解析：【理解】⑴设等边三角形的边长为a,•••a2+a2=2a乙c等边三角形一定是。奇异三角形.(2)：I2+(V7)=2x

22,・••该三角形是奇异三角形.【拓展】RtAABC中,NC=90°,a2+b2=c2.:c>b>a,•.・2c2>b2+a2,2a2<b2+c2.V

RtAABC是奇异三角形,.2b2=a2+c2,2b2=a2+a2+b2,:.b2=2a2a2+b2=c2,.e.c2=3a2,:.a2:b2:c2=1:2:3.

3.⑴5⑵t=7或-|

VCD=10,DE=7,CE=10—7=3.在RtACBE中,BE=VBC2+CE2=5.(2)当NBPE=90。时,AP=10-3=7厕

t=7+l=7(秒);当NBEP=90。时,BE2+PE2=BP?,即52+42+(7-t)2=(10-1产解得t=1.

4.(1)证明:如图1.

图形的面积表示为a2+b2+2x^ab=a2+b2+ab,,图形的面积也可表示为c2+4x

|a/>=c2+ab,..(a+b)2=c2+4x|afo,a2+b2+ab=c2+ab,a2+b2=c?.即直角三角形

两直角边的平方和等于斜边的平方.

(2)如图2.•.■大正方形的面积表示为(a+6)2,大正方形的面积也可表示为

图2

c2+4X|ah,(a+b)2=c2+4x|ab,a2+b2+lab=c2+2ab,■-a2+b2=/.即直角三角形两直角边的平方和等于

斜边的平方.

5.6-同解析:在RtAAOB中，由勾股定理可知AB2=A02+0B2=40,在RtAAUB，中由勾股定理可知

A'B'2=A'O2+OB'2.,/AB=A'B',A'O2+OB'2=40.OB,=V40-9=V31BB'=6-V31.

6.6米

解析:根据题意可得AE=3m,AB=20m,BD=13m.如图,设该位置为点C,且AC=xm.由AC=xm得BC=(20—x)m,由题意得

CE=CD则(CE?=CD2,32+X2=(20-久尸+13?,解得x=14；.CB=20-x=6.由0<14<20可知，该位置是存在的，该位置与旗

杆之间的距离为6米.

D

/，4

【过关检测】

1.A解析::32+42=5"♦.三条线段能组成直角三角形，人正确；；22+32^42,.•.三条线段不能组成直角三角形，B

错误；42+627?,出三条线段不能组成直角三角形，C错误；52+II2丰122,.,.三条线段不能组成直角三角形，D错

误.

2.D解析:6+8=14,.•.不能组成三角形,A错误;V62T82=10<12,6+8>12,.•.不能组成锐角三角形,B错误;•：

V62+82=10,二能组成直角三角形，C错误；V62+82=10>8,6+8>8”能组成锐角三角形，D正确.

22

3.D解析：由勾股定理得AC=V2+3=V13,vSABC=3x3-jxlx2-|xlx3-ix2x3=3.5,^AC-BD=

*V13-BD=7,BD=誓.

4.D解析：由题意可知，中间小正方形的边长为a-b,I.每一个直角三角形的面积为5必="8=4,二4X京。+

(a—b)2=25,(a-b)2=25-16=9,a-b=3.

5.10解析:依题意知,BG=AF=DE=8,EF=FG=2,・・・BF=BG-BF=6.直角AABF中，利用勾股定理得AB=^AF2+BF2=

V82+62=10.

6.3V10解析:VBF=1,CF=2,.\BC=BF+CF=1+2=3.VABEC,：•—=—,KP—=之解得CE=6.在RtAADE

CECFCE2

中,AD=3,DE=DC+CE=3+6=9,根据勾股定理得AE=V32+92=3V10.

角形有6个。

(2)证明：I,大正方形的面积可表示为c2,又可表示为X4+(&-a)2,c2=^abx4+(^b-a)2,c2=2ab+b2-

2ab+a2,.-.c2=a2+〃.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

9.A解析:\,把RtAABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△ABC；A'A=CC=3,44||BC，在RtAABC中,：

AB=5,AC=3,，BC=V52-32=4.VAA'/7BC,/.四边形ABCA是梯形,，四边形ABCA的面积=|(44+BC，)•AC=|x

(3+4+3)X3=15.

10.C解析:设AM=2a,BM=b，则正方形ABCD的面积:=4a2+户.由题意可知EF=(2a-b)-2(a-b)=2a-b-2a+2b=b,■-AM=

2V2EF,2a=2V2b,a=V2Z).x•正方形EFGH的面积为S,b2=S,：.正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9s.

11.20解析:..•AC_LBD,，NAOD=NAOB=NBOC=NCOD=90。.由勾股定理得力炉+CD2=AO2+BO2+CO2+

DO2,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AD2+BC2.'：AD=2,BC=4,AB^CD^^42=20.

12.②③解析：直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2=C?,因而以a2,b“2的长为边的三条线段不能满足两边之和大

于第三边，故不能组成一个三角形，①错误；直角三角形的三边有a+b>c(a,b,c中c最大),而在VaV6,V6,三个数中最

大，如果能组成一个三角形，则有、Va+VF>成立，即((VH+Vb)2>(VE)［即a+b+2Vab>c,,由a+b>c知不等式成

立，从而满足两边之和大于第三边，则以根,也,泥的长为边的三条线段能组成一个三角形，②正确;a+b,c+h,h这三个数中

c+h一定最大,(a+b)2+h2=a2+b2+2ab+h2,(c+h)2=c2+h2+2ch,X2ab=2ch=4SAABC,(a+b)2+h2=(c+八产根据

勾股定理的逆定理知以a+b,c+h,h的长为边的三条线段能组成直角三角形，③正确；若以二I的长为边的三条线段能组

abc

成直角三角形，假设a=3,b=4,c=5,:G)2+C)2乎G)：•••以这三个数的长为线段不能组成直角三角形，④错误.

13.2或2b解析：如图，点D在AC的垂直平分线上，：AABC是等边三角形，，点B在AC的垂直平分线上，,BD

垂直平分AC.设垂足为E,VAC=AB=2,BE=V3.

当点D,B在AC的两侧时，•:BD=2V3,.,.BE=DE,AD=AB=2,...m=2.当点D,B在AC的同侧时,•••BD=2DE=

3V3,.-.AD=J(3V3)2+l2=2V7,m=2式..综上所述，m的值为2或2收

14.12,13或3,4

解析:当n=1时,a=巳(m2-l)circZelb=mcircle!,c=1(m2+1)③,'.,直角三角形有一边长为5,当a=5时，

|(十-1)=5解得m=±VIT(舍去);当b=5时,即m=5,代入①③得a=12,c=13;当c=5时,|(m2+1)=5,解得m=±3,'.'m>0,

m=3,代入①②得a=4,b=3.综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12,13或3,4.

15.(1)证明:连接AC.ZABC=90°,AB2+BC2=AC2.:CD1AD,■,AD2+CD2=AC2.■,AD2+CD2=2AB2,：.AB2+

BC2=2AB2,BC2=AB2.VAB>0,BC>0,AB=BC.

(2)过C作CF±BE于点F.如图，

BE±AD,CF_LBE,CD_LAD,

.^.NFED=/CFE=ND=90。,.^.四边形CDEF是矩形..".CD=EF.^.^NABE+ZBAE=90°,ZABE+ZCBF=90°,/.Z

(Z-AEB=Z-BFC,

BAE=ZCBE^ABAE与ACBF中，=乙CBF,

(AB=BC,

：.ABAE^△CBF(AAS).JAE=BF.

.♦.BE=BF+EF=AE+CD.

16.5解析:连接BD,如图,

•・•等腰直角三角形ABC中,D为AC边的中点,・・・BD_LAC（三线合一）,BD=CD=AD,NABD=45。,，NO45。,，ZABD二

ZC.又DE±DF,

:.NFDC+NBDF=NEDB+NBDF,

/.NFDC=NEDB.・・・Z\EDB^Z\FDC(ASA),・・・BE=FC=3,・・・AB=7JJ!JBC=7,JBF=4.在RtAEBF中，EF2=BE2+BF2=

32+42,EF=5.

17.CEC=x,DC=y,ZACB=90°,中，CE2+BC2=x2+4y2=BE2=16,,在直角^ADC中,AC2+

CD2=4x2+y2=AD2=49,,解得x=2®y=1..在直角^ABC中,AB=74x2+4y2=V52=2V13.

18.D解析:,/四边形ABCD是矩形,，ZBCD=ZD=90°,Ap+ZCRQ=90°,ZDSR+ZDRS=90°.Va=p,ZSRD=ZQRC,

ZDSR=p=a=ZASP,/.ZPQR=NPSR.同理可证NSPQ二NSRQ,J四边形PQRS是平行四边形.延长PQ交DC的延长线于点E,

作EH±AB交AB的延长线于点H,如图，

易证.RC=EC=AP=BH,QR=QE,BC=EH=4,，PH=AB=3,.・・EP=V32+42=5,・••平行四边形的周长=2（PQ+QR）=2PE=10.

19.（l）（a+b）2=a2+2ab+b2

（2）证明：：AABC0△CDE,・・.ZBAC=ZDCE,ZACB+NDCE=NACB+NBAC=90。.由于B,C,D