2024年中考数学试题分类汇编：尺规作图类问题（解析版）

2024年中考数学真题专题分类精选汇编

专题30尺规作图类问题

一、选择题

1.（2024山东烟台）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下,

【答案】D

【解析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的

性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可.

【详解】第一个图为尺规作角平分线的方法，OP为的平分线；

第二个图，由作图可知：OC=OD,OA=OB,

：.AC=BD,

ZAOD=ZBOC,

AAOD咨ABOC,

/.ZOAD=ZOBC,

；4C=BD,ZBPD=ZAPC,

:.ABPDaAPC,

/.AP=BP,

•：OA=OB,OP=OP,

：.^AOP^/\BOP,

/.ZAOP=/BOP,

...OP为//08的平分线；

第三个图，由作图可知N/CP=N/08,0C=CP,

CP//BO,ZCOP=ZCPO,

：.J）CPO=七BOP

：.4cop=ZBOP,

OP为N/05的平分线;

第四个图，由作图可知：OPLCD,OC=OD,

••.OP为NZ08的平分线；

故选D.

2.（2024四川眉山）如图，在AZ8C中，AB=AC=6,BC=4,分别以点A,点B为圆心，大

于工48的长为半径作弧,两弧交于点E,F,过点、E,F作直线交AC于点。，连接8。，则ABCD

2

的周长为（）

A.7B.8C.10D.12

【答案】C

【解析】本题考查了尺规作图一作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明=3。，根据

△BCZ）的周长++，即可求出答案.

【详解】由作图知，E尸垂直平分48,

AD=BD>

.•△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC,

AB=AC=6,8C=4,

.•.△5。£>的周长=6+4=10,

故选：C.

3.（2024天津市）如图，Rt4/BC中，/。=90。,/2=40。，以点A为圆心，适当长为半径画

弧，交AB于点、E,交/C于点尸；再分别以点及尸为圆心，大于工所的长为半径画弧，两弧（所

2

在圆的半径相等）在NA4C的内部相交于点尸；画射线/P,与相交于点。，则//DC的大

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】B

【解析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐

角互余可求出NA4C=50°,由作图得/氏4。=25。，由三角形的外角的性质可得465。,

故可得答案

【详解】•••/C=90o,/J8=40。，

ABAC=90°—NB=90°-40°=50°,

由作图知，4P平分NB4C,

ZBAD=-ABAC=-x50°=25°,

22

又ZADC=ZB+ABAD,

：.=40°+25°=65°,

故选：B

4.（2024河北省）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段AD一定是一5。的（）

R

C.中位线D.中线

【答案】B

【解析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得L/C,从而可得

答案.

由作图可得：BDLAC,

线段BD一定是AABC的高线;

故选B

5.（2024武汉市）小美同学按如下步骤作四边形/BCD：①画NM4N；②以点A为圆心，1个单

位长为半径画弧，分别交ZM,AN于点、B,D；③分别以点B,。为圆心，1个单位长为半径画弧,

两弧交于点C；④连接5C,CD,BD.若NZ=44。，则NCS。的大小是（）

C.68°D.70°

【答案】C

【解析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形4BCD是菱形，进而根据

菱形的性质，即可求解.

【详解】解：作图可得A5=4D=5C=r>C

二四边形45CD是菱形，

/.AD||BC,ZABD=ZCBD

•/N4=44°,

ZMBC=ZA=44°,

：.ZCBD=1(180°-ZMBC)=1(180°-44°)=68°,

故选：C.

6.(2024四川南充)如图，已知线段48,按以下步骤作图：①过点8作48,使!45,

2

连接ZC；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交4c于点D；③以点/为圆心，以长为

半径画弧，交AB于点、E.若AE=mAB,则冽的值为()

A.B.6一2c.75-1D.75-2

22

【答案】A

【解析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得N4BC=90。，再根据8C=448,设=

2

然后在RtA^SC中，利用勾股定理可得AC=—a，再根据题意可得：

2

AD=AE,CD=BC=-a,从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答.

2

【详解】VBCLAB,

・・・NABC=90°,

BC=-AB,设=Q

2

BC——a、

2

:.AC7AB2+Be?=

由题意得：AD=AE,CD=BC=~a,

2

AE=AD=AC-CD=—a--a=^^a，

222

•/AE=mAB,

故选：A

7.(2024北京市)下面是“作一个角使其等于N/05”的尺规作图方法.

(1)如图，以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交。4,OB于点、C,D；

(2)作射线0'4',以点。'为圆心，OC长为半径画弧，交ON于点C'；以点。为圆

心，3长为半径画弧，两弧交于点。外

(3)过点。弘乍射线。F,则44'。8=

/B/B'

上述方法通过判定工CODdCOD得到ZA'O'B'=AAOB,其中判定LCODdCOD的依

据是()

A.三边分别相等的两个三角形全等

B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

D,两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

【答案】A

【解析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.

本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.

【详解】根据上述基本作图，可得0c=O'C',OD=O'D',CD=CD',

故可得判定三角形全等的依据是边边边，

故选A.

8.（2024深圳）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线幺。平分NA4c的是（）

A.①②B.①③C.②③D,只有①

【答案】B

【解析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分

线的定义.利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可.在图①中，利用基本作图可判断幺。平分

ZBAC；在图③中，利用作法得/£=4F,,可证明"FM'AEN,有

ZAMD=ZAND,可得ME=NF,进一步证明，得DM=DN,继而可证明

AADM^AADN，得/MAD=/NAD,得到ZD是二胡。的平分线；在图②中，利用基本作

图得到。点为的中点，则/。为边上的中线.

【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分/B/C；

在图③中，利用作法得/£=/F,AM=AN,

7

工M/

在AAFM和AAEN中，

AE=AF

<ABAC=ABAC,

AM=AN

AAFM^AEN（SAS）,

：./AMD=ZAND,

•;AM—AE=AN—AF

:.ME=NF

在和AND9中

NAMD=ZAND

<ZMDE=NNDF,

ME=NF

AMDE^ANDF(AAS),

：.DM=DN,

AD=AD,AM=AN,

：.AADM^AADN(SSS),

/MAD=/NAD,

/.ND是/胡。的平分线；

在图②中，利用基本作图得到。点为的中点，则/。为5C边上的中线.

则①③可得出射线AD平分NBAC.

故选：B.

9.（2024四川成都市）如图，在Y45CD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径

作弧，分别交氏4,BC于■点、M,N；②分别以N为圆心，以大于‘"乂的长为半径作弧，

2

两弧在N48。内交于点0；③作射线50,交4D于点E,交延长线于点尸.若CD=3,

£»E=2,下列结论错误的是（）

A.ZABE=ZCBEB.BC=5

BE5

C.DE=DFD.——=—

EF3

【答案】D

【解析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定

的综合.先由作图得到AF为。的角平分，利用平行线证明NAEB=NABE,从而得到

AE=AB=CD=3,再利用平行四边形的性质得到5。=/。=/£+£。=3+2=5,再证明

BE3

△AEBsADEF,分别求出=—,DF=2,则各选项可以判定.

EF2

【详解】由作图可知，5厂为N45。的角平分，

ZABE=ZCBE,故A正确；

V四边形ABCD为平行四边形，

/.AD=BC,AB=CD,AD\\BC,

AD//BC

NAEB=ZCBE,

ZAEB=ZABE,

AE=AB=CD=3,

BC=AD=AE+ED=3+2=5,故B正确;

AB=CD,

ZABE=NF,

ZAEB=NDEF,

△AEBsADEF,

BE_AB_AE_

一,

~EF~~DFED

BE3_3

一,

~EF-DF2

BE_3

—>DF=2,故D错误;

~EF2

•/DE=2,

：.DE=DF,故C正确，

故选：D.

10.(2024湖北省)N5为半圆O的直径，点。为半圆上一点，且NC4B=50°.①以点B为圆心,

适当长为半径作弧，交4B,BC于D,E；②分别以为圆心，大于工DE为半径作弧，两弧交于

2

点尸；③作射线AP,则/48尸=()

【答案】C

【解析】本题主要考查圆周角定理以及角平分线定义，根据直径所对的圆周角是直角可求出

ZABC=4Q°,根据作图可得=L480=20。，故可得答案

2

【详解】为半圆。的直径，

ZACB=90°,

•/ZCAB=50°，

ZABC=40°，

由作图知，/P是148C的角平分线，

ZABP=-ABC=2Q°,

2

故选：C

二、填空题

1.（2024湖南省）如图，在锐角三角形48c中，2。是边BC上的高，在氏4,上分别截取线

段BE,BF，使BE=BF；分别以点£,尸为圆心，大于工EE的长为半径画弧，在248C内，

2

两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MNLAB于有、N.若MN=2,AD=4MD,

贝|」我=.

【解析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知AP平分/48C,根据角平

分线的性质可知DM=MN=2,结合40=4"。求出4D,AM.

【详解】作图可知AP平分N48C,

：4D是边5C上的高，MN1AB,MN=2,

：.MD=MN=2,

'：AD=AMD,

AD=8,

AM=AD-MD=6,

故答案为：6.

2.（2024贵州省）如图，在中，以点/为圆心，线段N2的长为半径画弧，交BC于点D,

连接4D.若48=5,则4D的长为.

【答案】5

【解析】本题考查了尺规作图，根据作一条线段等于已知线段的作法可得出幺。=/5,即可求解.

由作图可知：AD=AB,

4B=5,

：.AD=5,

故答案为：5.

3.（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，以点。为圆心，适当长为半径画弧，交x

轴正半轴于点交y轴正半轴于点N,再分别以点N为圆心，大于;W的长为半径画弧，两

弧在第一象限交于点X,画射线。8，若〃（2a—贝ija=.

【解析】此题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，坐标与图形的性质，根据作图方法可得点8

在第一象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第一象限内点的坐标符号可得答案.

【详解】根据作图方法可得点〃在第一象限角平分线上；点〃横纵坐标相等且为正数；

2。­1=。+1,

解得：。=2,

故答案为：2.

4.（2024山东枣庄）如图，已知NMAN,以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与ZM、AN

相交于点B,C；分别以3,。为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于

2

点尸，作射线/尸.分别以A,8为圆心，以大于工48的长为半径作弧，两弧相交于点D,E,作

2

直线£>£分别与48,/尸相交于点尸，Q.若48=4,ZPQE=67.5°,则/到/N的距离为

M

【答案】V2

【解析】如图，过/作于X,证明NB4P=NC4P,DE1AB,AF=BF=-AB=2,

2

再证明/E4〃=45。，再结合勾股定理可得答案.

AF=BF=-AB=2,

2

•/ZPQE=67.5°,

/.ZAQF=67.5°,

ZBAP=ZCAP=90°-67.5°=22.5°,

NFAH=45。，

AH=FH=—AF=V2，

2

尸到/N的距离为J5；

故答案为：V2

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等

腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步

操作.

5.（2024天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点4£G均在格点上.

⑵点E在水平网格线上，过点4瓦尸作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与尸

的延长线相交于点民中，点M在边上，点N在边48上，点尸在边ZC上.请用无

刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点使的周长最短，并简要说明点M,N,P

的位置是如何找到的（不要求证明）.

【答案】①.V2②.图见解析，说明见解析

【解析】【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键.

（1）利用勾股定理即可求解；

（2）根据圆的相关性质和网格特点进行作图即可.

【详解】（1）由勾股定理可知，/G=A/F+F=亚,

故答案为：V2

（2）如图，根据题意，切点为M；连接腔并延长，与网格线相交于点〃!；取圆与网格线的交点

D和格点H,连接DH并延长,与网格线相交于点M2；连接，分别与AB,AC相交于点N,P,

则点M,N,P即为所求.

三、解答题

1.（2024福建省）如图，已知直线/[〃心

,2

(1)在/],，2所在的平面内求作直线/，使得/〃/]〃，2，且/与4间的距离恰好等于/与z2间的距离；

(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，若4与间的距离为2,点4SC分别在///上，且为等腰直角三

角形，求的面积.

【答案】(1)见解析；(2)的面积为1或*.

2

【解析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想：

(1)先作出与4的垂线，再作出夹在4,，2间垂线段的垂直平分线即可；

(2)分/B/C=90°,/B=/C；ZABC=90°,BA=BC；=90°,G4=CS三种情况，结

合三角形面积公式求解即可

【小问1详解】

解：如图，

X——

、/12

直线,就是所求作的直线.

【小问2详解】

①当ABAC=90。,=/C时，

■：lH4〃，2,直线与4间的距离为2,且/与4间的距离等于/与间的距离，根据图形的对称性可

知：BC=2,

AB=AC=V2,

.-.SAABC=^AB-AC=1.

c

②当NABC=90°,BA=3C时,

分别过点4c作直线4的垂线，垂足为

AAMB=4BNC=90°.

•・•/〃4〃4，直线4与4间的距离为2，且/与4间的距离等于/与乙间的距离，

:.CN=2,AM=1.

ZMAB+ZABM=90°,ZNBC+AABM=90°,

:.ZMAB=ZNBC,:./\AMB^/\BNC,

:.BM=CN=2.

在中，由勾股定理得45?=2加2+8旧2,

AB=45■

综上所述，AA8C的面积为1或9.

2

2.（2024广西）如图，在“BC中，N/=45°,AOBC.

（1）尺规作图：作线段N5的垂直平分线/,分别交Z5,ZC于点。，E-.（要求：保留作图痕迹,

不写作法，标明字母）

（2）在（1）所作的图中，连接BE,若48=8,求的长.

【答案】（1）见详解（2）472

【解析】（1）分别以48为圆心，大于14B为半径画弧，分别交，ZC于点D及作直线QE,

2

则直线/即为所求.

（2）连接由线段垂直平分线的性质可得出BE=/£,由等边对等角可得出/£"=//=45。，

由三角形内角和得出NBE4=90。，则得出A4BE为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出

BE的长.

【小问1详解】

解：如下直线/即为所求.

【小问2详解】

连接8E如下图:

VDE为线段AB的垂直平分线,

BE=AE,

NEBA=ZA=45°,

，NBEA=90°,

为等腰直角三角形,

AB2

历5

BE=AB--=Sx—=4s/2

22

【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角

形内角和定理以及正弦的定义.掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键.

3.（2024陕西省）如图，已知直线/和/外一点/,请用尺规作图法，求作一个等腰直角,

使得顶点8和顶点C都在直线/上.（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不

写作法）

A

【答案】见解析

【解析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图.过点/作48_L/,垂足为8,再在直线/

上截取点C,使=连接/C,则是所求作的等腰直角三角形.

【详解】等腰直角如图所示：

4.（2024内蒙古赤峰）如图，在中，。是48中点.

A.

\

BL----------xc

(1)求作：ZC的垂直平分线/(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；

(2)若/交/C于点£,连接DE并延长至点尸，使EF=2DE,连接BE,CF.补全图形，并证

明四边形BCEE是平行四边形.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定.

(1)利用尺规作图作出线段/C的垂直平分线/即可；

(2)由。，E分别为AB,ZC的中点，根据中位线的性质，得到£>£〃BC,DE=-BC,结合

2

EF=2DE,得到斯=5C,即可证明结论成立.

【小问1详解】

£分别为48,ZC的中点，

DE//BC,DE=-BC,

2

•/EF=2DE,即：DE^-EF,

2

EF=BC,

EF//BC,

四边形BCFE是平行四边形.

5.（2024黑龙江绥化）已知：AABC.

（1）尺规作图：画出一BC的重心G.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）

（2）在（1）的条件下，连接ZG,BG.已知A/BG的面积等于5cm2,则小的面积是.cm2.

【答案】（1）见解析（2）15

【解析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线；

（1）分别作8cze的中线，交点即为所求；

S2

（2）根据三角形重心的性质可得《皿=不，根据三角形中线的性质可得S“BC=28“m=15cm2

口AABD

【小问1详解】

解：如图所示

作法：①作BC的垂直平分线交BC于点D

②作AC的垂直平分线交AC于点F

③连接40、相交于点G

④标出点G,点G即为所求

【小问2详解】

解：:G是的重心,

AG=—AD

3

.S“BG_2

••c―弓

3dABDJ

"BG的面积等于5cm2，

,•S^ABD=7.5cm2

又•・•。是8c的中点,

,•S&ABC=2SAABD=15cm2

故答案为：15.

6.（2024甘肃临夏）根据背景素材，探索解决问题.

平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形/8CDEE

背

六等分圆原理,也称为圆周六等分问题,是一个古老而经典的几何问题，

景

旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题.这个问题由

素

欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述.

材1h

已

知

点C与坐标原点。重合，点。在x轴的正半轴上且坐标为（2,0）

条

件

①分别以点C,。为圆心，3长为半径作弧，两弧交于点P；

操y>

作②以点尸为圆心，PC长为半径作圆；

步③以CD的长为半径，在。尸上顺次截取法=前=方=前；

____________*______\

DX

骤④顺次连接。E,EF,FA,AB,BC,得到正六边形Z8CDE/L

问题解决

任

根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写

务

作法）

任

务将正六边形/8CDE/绕点。顺时针旋转60°,直接写出此时点E所在位置的坐标：______.

【答案】任务一：见解析；任务二：（4,0）

【解析】本题考查尺规作图，弧、弦、圆心角的关系，旋转的性质.利用数形结合的思想是解题关键.

任务一：根据操作步骤作出。尸，再根据弧、弦、圆心角的关系，分别作出

DE=EF=AF=AB=CD,即得出放=砺=方=蓝，最后顺次连接即可；

任务二：由旋转的性质可知。£'=0。=2,即得出。£'=。£'+。。=4,即此时点E所在位置的

坐标为（4,0）.

【详解】解：任务一：如图，正六边形4BCDEE即为所作；

4

O(ol^~DX

任务二：如图,

由旋转可知£>£'=0。=2,

/.OE'=DE'+OD=4,

：.£[4,0）.

故答案为：（4,0）.

7.（2024甘肃威武）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共

用，彩绘线条流畅细致，图案繁缗多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶

艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧.如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形

三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2,已知。。和

圆上一点M.作法如下：

①以点M为圆心，长为半径，作弧交。。于4,B两点;

②延长X。交。。于点C；

即点4,B,C将。。的圆周三等分.

三点定位法三等分圆周

图1图2

(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将。。的圆周三等分(保留作图痕迹，

不写作法)；

(2)根据(1)画出的图形，连接AC,BC,若。。的半径为2cm,则的周长为

_____cm.

【答案】(1)见解析(2)6A/3

【解析】【分析】(1)根据尺规作图的基本步骤解答即可；

(2)连接4W,设工用的交点为。，得到根据。。的半径为2cm,"C是直径,

是等边三角形，计算即可.

本题考查了尺规作图，圆的性质，等边三角形的性质，熟练掌握尺规作图的方法和圆的性质是解题的

关键.

【小问1详解】

根据基本作图的步骤，作图如下：

则点/,B,C是求作的。。的圆周三等分点.

【小问2详解】

连接设/民0M的交点为。，

根据垂径定理得到ADL0M,

的半径为2cm,是直径，-8。是等边三角形,

/.ACAM=90°,ACMA=Z5=60°,MC=4cm,

/.AC=MCsinZCMA=sin60°x4=2^3(cm),

/./BC的周长为AB+3C+ZC=6V^(cm),

故答案为：6-\/3-

A

w

8.（2024河南省）如图，在RtZk/BC中，3是斜边N2上的中线，BE//。。交/C的延长线

于点£

（1）请用无刻度的直尺和圆规作NECM,使NECM=NZ,且射线CM交BE于点/（保留作图

痕迹，不写作法）.

（2）证明（1）中得到的四边形CD8E是菱形

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关

键是：

（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；

（2）先证明四边形CDAF是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出

CD=BD=-AB,最后根据菱形的判定即可得证.

2

【小问1详解】

解：如图，

【小问2详解】

证明：•:NECM=NA,

CM//AB,

■：BE//DC,

，四边形CDBF是平行四边形，

•.•在RtZ\45C中，3是斜边N5上的中线,

/.CD=BD=-AB,

2

，平行四边形CDAF是菱形.

9.（2024武汉市）如图是由小正方形组成的3x4网格，每个小正方形的顶点叫做格点.AABC三个

顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.

（1）在图（1）中，画射线交于点。，使平分的面积；

（2）在（1）的基础上，在射线4D上画点£,使NECB=NACB；

（3）在图（2）中，先画点尸，使点/绕点厂顺时针旋转90°到点C,再画射线/尸交于点G；

（4）在（3）的基础上，将线段48绕点G旋转180°,画对应线段W（点/与点M对应，点8

与点N对应）.

【答案】（1）作图见解析

（2）作图见解析（3）作图见解析

（4）作图见解析

【解析】【分析】本题考查了网格作图.熟练掌握全等三角形性质，平行四边形性质，等腰三角形性

质，等腰直角三角形性质，是解题的关键.

（1）作矩形83/C,对角线印交5C于点。，做射线即可；

（2）作OP〃BC,射线ZRLO尸于点。，连接CQ交4D于点E,即可;

（3）在ZC下方取点凡使4F=CE=«，尸是等腰直角三角形，连接C户，AF，AF

交5C于点G,即可；

（4）作。尸〃BC,交ZG于点作ST〃ZG,交5c于点N,连接MN,即可.

【小问1详解】

如图，作线段印，使四边形是矩形，HI交BC于点、D,做射线Z。，点。即为所求作；

【小问2详解】

如图，作。尸〃8C,作产于点Q,连接交/。于点£,点E即为作求作;

【小问3详解】

如图，在/C下方取点R慢AF=CF=出，连接。尸，连接并延长4F，AF交BC于点、G,

点、F,G即为所求作；

【小问4详解】

如图，作OP〃BC,交射线/G于点作ST〃/G,交.BC于点、N,连接MN,线段跖V即为

所求作.

10.（2024吉林省）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程:

【探究论证】

(1)如图①，在中，4B=BC,BDA.AC,垂足为点D若CD=2,BD=1,则

S^ABC=

(2)如图②，在菱形A'B'C'D'中，A'C=4,B'D'=2,则S菱形.

(3)如图③，在四边形EEG玄中，EGLFH,垂足为点。若£G=5,FH=3,则

S四边形EFGH=；若EG=a,FH=b,猜想S四边形已网口与。，方的关系，并证明你的猜想.

【理解运用】

(4)如图④，在£\MNK中,MN=3,KN=4,MK=5,点、P为边MN上一点、.

小明利用直尺和圆规分四步作图：

(i)以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN,KM于点、R,I；

(ii)以点P为圆心，KR长为半径画弧，交线段W于点/'；

(iii)以点/'为圆心，笈长为半径画弧，交前一条弧于点R,点R,K在跖V同侧；

(iv)过点尸画射线PR,在射线PR上截取尸。=KN,连接KP,KQ,MQ.

请你直接与出S四边物勿侬的值.

【答案】⑴2,(2)4,(3)y,S四边形EFGH,证明见详解，⑷10

【解析】【分析】(1)根据三角形的面积公式计算即可；

(2)根据菱形的面积公式计算即可；

=

(3)结合图形有，S四边形骸G”S4EFG+S^EHG，

即可得S四切花=-xEGxF(9+-xEGx/f<9=-xEGx(EO+8。)，问题随之得解；

(4)先证明△儿WK是直角三角形，由作图可知：NMKN=/MPQ,即可证明再结

合(3)的结论直接计算即可.

【详解】(1):在中，AB=BC,BDVAC,CD=2,

AD=CD=2,

AC-4,

S\ABC=gxZCxBD=2,

故答案为：2；

（2）・・•在菱形中,HC'=4,B'D'=2,

••S菱形=—^B'D'xA,C,-4,

故答案为：4；

9

（3）：EGlFHf

,e,=5xEGxFO,$AEHG=3XEGxHO,

,S四边形MG4=S&EFG+S&EHG，

•••s四边形EFGH=-X£GXFO+-XEGXHO=-xEGx（FO+HO）,

222

，S四边形EFGH=gxEGx（FO+HO）=gxEGxFH,

EG=5,FH=3,

,•S四边形EFG”=—XEGXFH=—,

故答案为：一，

2

猜想：S四边形EFGH=5帅,

证明：VEGLFH,

•'e=万xEGxFO,S^EHG=QXEGXHO,

,S四边形EFG"=S&EFG+S&EHG，

・•・S四边形=-XEGXFO-^-XEGXHO=-XEGX（FO+HO）,

222

,•S四边形EFGH=5xEGx（F0+HO）=—xEGxFH,

,:EG=a,FH=b,

•♦S四边形EFGH=5ab；

（4）根据尺规作图可知：AQPM=AMKN,

,:在小MNK中,MN=3,3=4,MK=5,

•••MK2=KN2+MN2>

是直角三角形，且NMVK=90°,

ANMK+NMKN=90°,

ZQPM=ZMKN,

/NMK+NQPM=90。,

MKA.PQ,

•：PQ=KN=4,MK=5,

...根据（3）的结论有：S四边形WK。=gxMTxP0=lO.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于己知角的尺规作图，勾股定理的

逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键.

11.（2024江苏扬州）如图，已知NPZ。及4?边上一点C.

（1）用无刻度直尺和圆规在射线Z0上求作点。，使得NCO0=2NCZ。；（保留作图痕迹，不

写作法）

（2）在（1）的条件下，以点。为圆心，以。4为半径的圆交射线2。于点B,用无刻度直尺和圆规

在射线B上求作点使点m到点。的距离与点M到射线2。的距离相等；（保留作图痕迹，不

写作法）

3

（3）在（1）、（2）的条件下，若sinN=1,CM=12,求5v的长.

【答案】⑴作图见详解（2）作图见详解⑶BM=645

【解析】【分析】（1）根据尺规作角等于己知角的方法即可求解；

（2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解；

（3）根据作图可得M少，Z。，CM=WM=\2,A8是直径，结合锐角三角函数的定义可得

的值，根据勾股定理可求出ZC的值，在直角中运用勾股定理即可求解.

【小问1详解】

解：如图所示，

Q

：.ZCOQ=2ZCAQ-

点o即为所求

【小问2详解】

解：如图所示，

连接以点8为圆心，以为半径画弧交幺。于点4，以点4为圆心，以任意长为半径画弧

交/。于点G，2,分别以点G，乌为圆心，以大于;G2为半径画弧，交于点片，连接4片并

延长交幺尸于点M,

AB是直径，

ZACB=90°,即

根据作图可得用G=用。1，片，

MB^lAQ,即/MB/=90。，"用是点M到的距离，

BC=BB：

：.RtABCM名RtABB[M(HL),

/.CM=BXM,

点M即为所求点的位置;

【小问3详解】

解：如图所示，

根据作图可得，ZCOQ=2ZCAQ,MC=MW=U,MWLAQ,连接5C,

WM3

...在中，sinZ=----=-

AM5

…5WM5x12”

AM=-----=-----=20,

33

AC=AM-CM=2Q-12=S,

•/AB是直径,

ZACB=90°,

，疝

AB5

设BC=3x,则Z5=5x,

...在尺以48。中,（5x『=（3x『+82,

解得，x=2（负值舍去），

BC=3x=6,

在Rt^BCM中，BM=VCM2+SC2=7122+62=6石•

【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的

综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键.

12.（2024江西省）如图,AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图

（保留作图痕迹）

（2）如图2,点E为线段48的中点，过点3作/C的平行线.

【答案】（1）作图见解析;（2）作图见解析.

【解析】【分析】（1）作直线8